1、2021-2022 学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）第一次月考数学试卷学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1已知2，则的值是（ ） A B C3 D3 2若两个相似多边形的面积之比为 4：9，则这两个多边形的周长之比为（ ） A： B2：3 C4：9 D16：81 3一元二次方程 x2+6x10 配方后可变形为（ ） A （x+3）210 B （x+3）28 C （x3）210 D （x3）28 4已知一个菱形的周长为 8，有一个内角为 120，则该菱形较短的对角线长为（ ） A4 B2 C2 D1 5如图
2、，点 D 在ABC 的边 AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定ABCADB（ ） ACABD BCBAADB C D 6不解方程，判断方程 2x2+3x40 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 7平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D对角线互相垂直平分且相等 8某商品经过两次连续涨价，由原来的每件 10 元上涨为现在的 14.4 元，设平均每次涨价的百分比为 x， 则可列方程（ ） A14.4（1x）210 B10（1+2x）14.4 C14.4（12x）10 D
3、10（1+x）214.4 9如图，在正方形 ABCD 中，N 是 DC 上的点，且，M 是 AD 上异于 D 的点，且NMBMBC， 则（ ） A B C D 10 如图， 在 RtABC 中， ACB90， ACBC4， 将ABC 绕点 A 沿顺时针方向旋转后得到ADE， 直线 BD、 CE 相交于点 O， 连接 AO 则下列结论中： ABDACE； COD135； AOBD； AOC 面积的最大值为 8其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11因式分解：4ax24ax+a 12已知（m2）x|m|3x
4、+10 是关于 x 的一元二次方程，则 m 13已知 xa 是方程 x23x50 的根，则代数式 42a2+6a 的值为 14如图，菱形 ABCD 的边长为 2，过点 C 作直线 l 交 AB 的延长线于 M，交 AD 的延长线于 N，则 的值为 15如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，D 是 AC 的中点，点 E 在 BC 上，分别连接 BD、 AE 交于点 F若BFE45，则 CE 三、解答题（共三、解答题（共 55 分）分） 16解方程： （1）x24x120； （2）x（x9）8（9x） 17如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，ABC 的顶点都在
5、格点上，建立平 面直角坐标系 （1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ； （2）以原点 O 为位似中心，将ABC 放大，使变换后得到的A1B1C1与ABC 对应边的比为 2：1，请 在网格内画出A1B1C1 18如图，在矩形 ABCD 中，点 M 在 DC 上，AMAB，且 BNAM，垂足为 N （1）求证：ABNMAD； （2）若 AD2，AN4，求 CM 的长 19某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有 81 个人被感染 （1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？ （2）若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的人会不会超过 720 人？ 20如
6、图，已知 CD 是 RtABC 斜边 AB 上的中线，过点 D 作 AC 的平行线，过点 C 作 CD 的垂线，两线 相交于点 E （1）求证：ABCDEC； （2）若 CD4，CE3，求ABC 的面积 21在等腰 RtABC 中，CABA，CAB90，点 M 是 AB 上一点 （1）点 N 为 BC 上一点，满足CNMANB 如图 1，求证：； 如图 2，若点 M 是 AB 的中点，连接 CM，求的值； （2）如图 3，点 P 为射线 CA（除点 C 外）上一个动点，直线 PM 交射线 CB 于点 D，若 AM1，BM 2，直接写出CPD 的面积的最小值为 22 在平面直角坐标系 xOy 中
7、， 已知 A （0， 2） ， 动点 P 在 yx 的图象上运动 （不与 O 重合） ， 连接 AP 过 点 P 作 PQAP，交 x 轴于点 Q，连接 AQ （1）求线段 AP 长度的取值范围； （2）试问：点 P 运动的过程中，QAP 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由 （3）当OPQ 为等腰三角形时，求点 Q 的坐标 2021-2022 学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）第一次月考数学试卷学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1已知2，则的值是（ ）
8、A B C3 D3 【分析】直接利用比例的性质得出 a、b 的关系，进而得出答案 【解答】解：2， b2a， 故选：B 2若两个相似多边形的面积之比为 4：9，则这两个多边形的周长之比为（ ） A： B2：3 C4：9 D16：81 【分析】利用相似多边形的性质解决问题即可 【解答】解：两个相似多边形的面积之比为 4：9， 两个相似多边形的对应边的比为 2：3， 两个相似多边形的周长的比为 2：3， 故选：B 3一元二次方程 x2+6x10 配方后可变形为（ ） A （x+3）210 B （x+3）28 C （x3）210 D （x3）28 【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的
9、平方即可得到结果 【解答】解：一元二次方程 x2+6x10 配方后可变形为（x+3）210， 故选：A 4已知一个菱形的周长为 8，有一个内角为 120，则该菱形较短的对角线长为（ ） A4 B2 C2 D1 【分析】由题意画出图形，证得ABC 为等边三角形，得 ACAB2 即可 【解答】解：如图，四边形 ABCD 是菱形，周长为 8， ABBCCDAD2，ADBC， B+BAD180， B18012060， ABC 为等边三角形， ACAB2， 即该菱形较短的对角线长为 2， 故选：C 5如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定ABCADB（ ） ACABD B
10、CBAADB C D 【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可 【解答】解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定ABCADB B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定ABCADB C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定ABCADB D、无法判断三角形相似， 故选：D 6不解方程，判断方程 2x2+3x40 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】求出根的判别式，只要看根的判别式b24ac 的值的符号就可以了 【解答】解：b24ac942（4）410， 方程有两个不相等的实数根， 故选：B 7平行四边形、矩形、
11、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D对角线互相垂直平分且相等 【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图 形都具有的性质 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分 故选：A 8某商品经过两次连续涨价，由原来的每件 10 元上涨为现在的 14.4 元，设平均每次涨价的百分比为 x， 则可列方程（ ） A14.4（1x）210 B10（1+2x）14.4 C14.4（12x）10 D10（1+
12、x）214.4 【分析】设平均每次涨价的百分率为 x，则等量关系为：原价（1+x）2现价，据此列方程 【解答】解：设平均每次涨价的百分比为 x，则可列方程 10（1+x）214.4， 故选：D 9如图，在正方形 ABCD 中，N 是 DC 上的点，且，M 是 AD 上异于 D 的点，且NMBMBC， 则（ ） A B C D 【分析】从点 B 处作 BFMN 交 MN 于点 F，根据题意可设 DN3a，NC4a，则 CD7a，首先证明 BFMBAM 推出 AMMF 设 AMx，再证明BCNBFN，推出 CNNF，在 RtDMN 中利用 勾股定理列出方程即可解决问题 【解答】解：从点 B 处作
13、BFMN 交 MN 于点 F， 四边形 ABCD 是正方形， ABCDAD，ADBC，ACD90， AMBMBC， NMBMBC， BMABMF， BAMA，BFMN， ABBF， 在 RtBMA 和 RtBMF 中， ， RtBMARtBMF， AMMF， 同理可证BCNBFN， CNNF， 设 DN3a，NC4a，则 CD7a，则 NF4a，设 AMMFx， 在 RtDMN 中，MN2DM2+DN2 （3a）2+（7ax）2（4a+x）2， 解得 xa， AMa，ABCD7a， AM：AB3：11； 故选：A 10 如图， 在 RtABC 中， ACB90， ACBC4， 将ABC 绕点
14、A 沿顺时针方向旋转后得到ADE， 直线 BD、 CE 相交于点 O， 连接 AO 则下列结论中： ABDACE； COD135； AOBD； AOC 面积的最大值为 8其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由旋转性质证明ABDACE 即可判断；由ABDACE，可得DBAECA，OGB CGA，进而BOCBAC45即可判断；证明ABD 为等腰三角形即可判断；通过 A、C、 B、F 四点共圆，当 O、G、C 三点一线且垂直 AC 通过圆心的时候，可得AOC 的高最大，从而AOC 的面积最大，进而判断 【解答】解：由旋转性质可知，ACBCAEDE4，ABAD4， DA
15、ECAB45， DAE+EABCAB+EAB，即DABEAC 故ABDACE，故正确； 设 AB、CE 交于点 G，如图 由ABDACE，可得DBAECA， 又EGBCGA， BOCBAC45， COD135，故正确； 由BOCBAC45，可知 A、C、B、O 四点共圆， 由圆内接四边形性质知BOA+BCA180， 则BOA90，即 AOBD 故正确； 以 AC 作AOC 底边，则 O 到 AC 距离为高，设高为 h， 当 h 最大时，AOC 面积才最大 A、C、B、O 四点共圆，且BCA90， 故 AB 为此圆直径，当 h 垂直 AC 通过圆心的时候，h 最大， 此时 h2+2， 故AOC
16、的面积最大值为h4+4， 故错误 故正确的一共有 3 个， 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11因式分解：4ax24ax+a a（2x1）2 【分析】原式提取 a，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式a（4x24x+1）a（2x1）2， 故答案为：a（2x1）2 12已知（m2）x|m|3x+10 是关于 x 的一元二次方程，则 m 2 【分析】根据一元二次负的定义得出 m20 且|m|2，求出 m 的值即可 【解答】解：（m2）x|m|3x+10 是关于 x 的一元二次方程， m20 且|m|2， 解得：m2， 故答案为：2 13已知 x
17、a 是方程 x23x50 的根，则代数式 42a2+6a 的值为 6 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到 a23a5，再把 42a2+6a 变形为 42（a23a） ，然后利 用整体代入的方法计算 【解答】解：xa 是方程 x23x50 的根， a23a50， a23a5， 42a2+6a42（a23a）4256 故答案为6 14如图，菱形 ABCD 的边长为 2，过点 C 作直线 l 交 AB 的延长线于 M，交 AD 的延长线于 N，则 的值为 【分析】由题意可得NDCNAM，MBCMAN，由相似三角形的性质可求+的值 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABCBCDAD2，ADB
18、C，CDAB， NDCNAM，MBCMAN， ， +， +1， +， 故答案为： 15如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，D 是 AC 的中点，点 E 在 BC 上，分别连接 BD、 AE 交于点 F若BFE45，则 CE 【分析】过点 A，B 分别作 BC，AC 的平行线交于点 K，则四边形 ACBK 为矩形，过点 A 作 AMDB 交 KB 于点 M，过点 M 作 MNAM 交 AE 的延长线于点 N，过点 N 作 BC 的平行线分别交 AC，KB 的延长 线于点 H，Q，则四边形 CHQB 为矩形，证明AKMMQN（AAS） ，得出 KMNQ，MQAK8， 证明ACEAHN
19、，可求出 CE 的长 【解答】解：过点 A，B 分别作 BC，AC 的平行线交于点 K，则四边形 ACBK 为矩形， 过点 A 作 AMDB 交 KB 于点 M，过点 M 作 MNAM 交 AE 的延长线于点 N， 过点 N 作 BC 的平行线分别交 AC，KB 的延长线于点 H，Q， 则四边形 CHQB 为矩形， BFE45，AMBD， BFEMAN45， AMN 为等腰直角三角形， AMMN， AMK+NMQAMK+MAK90， NMQMAK， 又AKMMQN90， AKMMQN（AAS） ， KMNQ，MQAK8， D 为 AC 的中点，AC6， ADDCBM3， MKNQ3， BQCH
20、5， HNHQNQ835， CEHN， ACEAHN， ， 即， CE， 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 55 分）分） 16解方程： （1）x24x120； （2）x（x9）8（9x） 【分析】 （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）x24x120， （x6） （x+2）0， 则 x60 或 x+20， 解得 x16，x22； （2）x（x9）8（9x） ， x（x9）+8（x9）0， 则（x9） （x+8）0， x90 或 x+80， 解得 x19，x28 17如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，ABC 的顶点
21、都在格点上，建立平 面直角坐标系 （1）点 A 的坐标为 （2，1） ，点 B 的坐标为 （3，2） ， 点 C 的坐标为 （1， 2） ； （2）以原点 O 为位似中心，将ABC 放大，使变换后得到的A1B1C1与ABC 对应边的比为 2：1，请 在网格内画出A1B1C1 【分析】 （1）根据平面直角坐标系中点的坐标的特征即可； （2）把 A、B、C 横坐标与纵坐标乘以2 或 2，即可得到 A1、B1、C1的坐标（或 A1、B1、C1的坐标） ， 然后描点连线即可 【解答】解： （1）由图形知：A（2，1） ，B（3，2） ，C（1，2） ， 故答案为： （2，1） ， （3，2） ， （1
22、，2） ； （2）如图所示，即为所求 18如图，在矩形 ABCD 中，点 M 在 DC 上，AMAB，且 BNAM，垂足为 N （1）求证：ABNMAD； （2）若 AD2，AN4，求 CM 的长 【分析】 （1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用 AAS 证得两三角形 全等即可； （2）利用全等三角形的性质求得 ADBN2，MDAN4，从而利用勾股定理求得 AB 的长，利用 CM CDMD 求得答案即可 【解答】 （1）证明：在矩形 ABCD 中，D90，DCAB， BANAMD， BNAM， BNA90， 在ABN 和MAD 中， ， ABNMAD（AAS） ；
23、 （2）解：ABNMAD， ADBN2，MDAN4， 在 RtABN 中，AB2， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD2， CMCDMD24 19某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有 81 个人被感染 （1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？ （2）若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的人会不会超过 720 人？ 【分析】 （1）设每轮感染中平均一个人会感染 x 个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有 81 个人 被感染，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据 3 轮感染后被感染的人数2 轮感染后被感染的人数（1+8） ，即可
24、求出 3 轮感染后被感染的 人数，再将其与 700 进行比较后即可得出结论 【解答】解： （1）设每轮感染中平均一个人会感染 x 个人， 依题意，得：1+x+x（1+x）81， 解得：x18，x210（不合题意，舍去） 答：每轮感染中平均一个人会感染 8 个人 （2）81（1+8）729（人） ，729720 答：若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的人会超过 720 人 20如图，已知 CD 是 RtABC 斜边 AB 上的中线，过点 D 作 AC 的平行线，过点 C 作 CD 的垂线，两线 相交于点 E （1）求证：ABCDEC； （2）若 CD4，CE3，求ABC 的面积 【分析】
25、 （1）根据 CD 是 RtABC 斜边 AB 中线，可得 CDAD，所以AACDCDE，进而可 以证明ABCDEC； （2）结合（1） ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出ABC 的面积 【解答】 （1）证明：ACDE， CDEACD， CD 是 RtABC 斜边 AB 中线， CDAD， AACDCDE， ACBDCE90， ABCDCE； （2）解：CDCE， DE5， CD 是 RtABC 斜边 AB 中线， AB2CD8， ABCDCE， ， SABC6 21在等腰 RtABC 中，CABA，CAB90，点 M 是 AB 上一点 （1）点 N 为 BC 上一点，满足CNMA
26、NB 如图 1，求证：； 如图 2，若点 M 是 AB 的中点，连接 CM，求的值； （2）如图 3，点 P 为射线 CA（除点 C 外）上一个动点，直线 PM 交射线 CB 于点 D，若 AM1，BM 2，直接写出CPD 的面积的最小值为 4 【分析】 （1）证明CNABNM，根据相似三角形的性质证明； 作 BHBA 交 AN 的延长线于 H，证明BMNBHN，得到 CMAHAN+NHAN+NM，根据相似 三角形的性质计算即可； （2）过点 M 作直线 PD与射线 CA，CB 分别交于点 P，D，得到当点 M 是 PD 中点，CPD 面 积的最小，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算
27、【解答】 （1）证明：CABA，CAB90， CB45， CNMANB， CNMANMANBANM， ANCBNM， CNABNM， ， CABA， ； 解：如图 2，作 BHBA 交 AN 的延长线于 H， 在BMN 和BHN 中， ， BMNBHN（ASA） ， BMBH，且 ACAB，CABABH， ACMBAH（SAS） ， CMAHAN+NHAN+NM， 由CNABNM，点 M 是 AB 的中点， 2， ； （2）如图 3，设点 M 是 PD 中点，过点 M 作直线 PD与射线 CA，CB 分别交于点 P，D， 则点 M 不是 PD的中点，当 MDMP时，在 MD上截取 MEMP，连
28、接 DE， 则MPPMDE， SPCDS四边形PCDESPCD， 当 MDMP时，同理可得，SPCDSPCD， 当点 M 是 PD 中点，CPD 面积的最小 如图 4，作 DHAB 于 H， 则DHMPAM AM1，MH1，BH1， MDB 是等腰直角三角形， DHBHAP1，PDC90， PCD 是等腰直角三角形，CP3+14， PCD 的面积4， 故答案为 4， 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 A （0， 2） ， 动点 P 在 yx 的图象上运动 （不与 O 重合） ， 连接 AP 过 点 P 作 PQAP，交 x 轴于点 Q，连接 AQ （1）求线段 AP 长度的取值范围；
29、 （2）试问：点 P 运动的过程中，QAP 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由 （3）当OPQ 为等腰三角形时，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）作 AHOP，由 yx 知：HOQ30，HOA60，由三角函数得出 AH 的值即 为 AP 的最小值； （2）分点 P 在第三象限、点 P 在第一象限的线段 OH 上、点 P 在第一象限的线段 OH 的延长线上三种 情况，用四点共圆求解； （3）分 OQPQ、POOQ、PQOP 三种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）如图 1，作 AHOP，则 APAH， 点 P 在 yx 的图象上 HOQ30，HOA60 A（0，2） AHAO
30、sin60 AP （2） 当点 P 在第三象限时，如图 2， 由QPAQOA90，可得 Q、P、O、A 四点共圆， PAQPOQ30 当点 P 在第一象限的线段 OH 上时，如图 3 由QPAQOA90可得 Q、P、O、A 四点共圆 PAQ+POQ180，又此时POQ150 PAQ180POQ30 当点 P 在第一象限的线段 OH 的延长线上时， 由QPAQOA90可得APQ+AOQ180 Q、P、O、A 四点共圆 PAQPOQ30 （3）设 P（m，m） ，则 lAP：yx+2， PQAP kPQ lPQ：y（xm）+m Q（，0） OP2m2，OQ2m2m+ PQ2m2m+ OPOQ 时，则m2m2m+ 整理得：m24m+30 解得 m23 Q1（2+4，0） ，Q2（24，0） 当 POPQ 时，则m2m2m+ 整理得：2m2+ 解得：m或 m 当 m时，Q 点与 O 重合，舍去， m Q3（2，0） 当 QOQP 时， 则 整理得：m2 解得：m Q4（） 点 Q 的坐标为（2+4，0）或（24，0）或（2，0）或（）
