1、2021 年湖南省长沙市开福区中考数学二模试卷年湖南省长沙市开福区中考数学二模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1计算（6）（）的结果是（ ） A18 B2 C18 D2 2自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图 片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A B C D 3下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） Aa2+b2 B2ab2 Ca2b2 Da2b2 4如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D
2、5如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ） A平移变换 B相似变换 C旋转变换 D对称变换 6如图，已知直线 a，b 被直线 c 所截，且 ab，若40，则 的度数为（ ） A140 B50 C60 D40 7某校饭堂随机抽取了 100 名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如 图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（ ） A套餐一 B套餐二 C套餐三 D套餐四 8在同一平面直角坐标系中，一次函数 y1k1x+b 与反比例函数 y2（x0）的图象如图所示，则当 y1 y2时，自变量 x 的取值范围为（ ） Ax1 Bx3 C0 x1 D1x3 9为执
3、行“两免一补”政策，某地区 2006 年投入教育经费 2500 万元，预计 2008 年投入 3600 万元，设这 两年投入教育经费的年平均增长百分率为 x，则下列方程正确的是（ ） A2500（1+x）+2500（1+x）23600 B2500（1+x%）23600 C2500 x23600 D2500（1+x）23600 10已知二次函数 y（xh）2（h 为常数），当自变量 x 的值满足 1x3 时，其对应的函数值 y 的最小 值为 1，则 h 的值为（ ） A2 或 4 B0 或 4 C2 或 3 D0 或 3 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分
4、，每小题 3 分）分） 11预计到 2025 年，中国 5G 用户将超过 460000000，将 460000000 用科学记数法表示为 12如图，折扇的骨柄长为 27cm，折扇张开的角度为 120，图中的长为 cm（结果保留 ） 13分式方程1 的解为 14已知 x1、x2是一元二次方程 x24x70 的两个实数根，则的值是 15如图，在ABC 中，ABAC，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，E 为 AB 的中点，若 BC12，AD 8，则 DE 的长为 16如图，某同学在楼房的 A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为 30，荷塘另一端点 D 与点 C，B 在同一直 线上，已知楼房
5、AC32 米，CD16 米，则荷塘的宽 BD 为 米 三、解答题（第三、解答题（第 17-19 题每小题题每小题 6 分，第分，第 20-21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22-23 题每小题题每小题 6 分，第分，第 24-25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分）分） 17计算：2sin60+（） 2+（2020）0+|2 | 18先化简，再求值：（+1），其中 x 是不等式组的整数解 19如图，在ABCD 中，以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AFBE连接 EF （1）求证：四边形 ABEF 是菱形； （2）请用无刻度的直尺在A
6、BCD 内找一点 P，使APB90（标出点 P 的位置，保留作图痕迹， 不写作法） 20我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、 编织”五大类劳动课程为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行 调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有 800 名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动， 请用列
7、表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率 21如图，已知矩形 ABCD，AD4，CD10，P 是 AB 上一动点，M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点 （1）求证：四边形 PMEN 是平行四边形； （2）请直接写出当 AP 为何值时，四边形 PMEN 是菱形； （3）四边形 PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出 AP 的长；若不可能，请说明理由 22今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强 体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材已知购买 2 根跳绳和 5 个毽子共需 32 元；购买 4 根跳绳和 3 个
8、毽子共需 36 元 （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是 54，且购买的总费用不能超过 260 元；若要求购买跳绳的数 量多于 20 根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案 23如图，已知 AB 是O 的直径，直线 AC 与O 相切于点 A，过点 B 作 BDOC 交O 于点 D，连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 E （1）求证：CD 是O 的切线 （2）求证：DE2EBEA； （3）若 BE1，求线段 AD 的长度 24定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线称为这两个点的“幸福直线” （1）若点 A（0，2），幸福直线：yx，求点
9、 A 关于这条幸福直线的对称点 B 的坐标，并求出直线 AB 的解析式； （2）若点 C（1，m）在反比例函数（x0）图象上，若点 C 关于幸福直线 l 的对称点 D 也在此反 比例函数图象上，请求出此时CDO 的面积； （3）平面直角坐标系中，点 E 的坐标是（0，2），在 x 轴上任取一点 F，过点 F 做 x 轴的垂线 l1，点 E 和点 F 的幸福直线为 l2，直线 l1，l2的交点为 P，当 F 点在 x 轴上运动时，此时点 P 在一函数图象上运 动； 求点 P 所在函数图象的解析式； 若直线 EP 交点 P 所在的函数图象于点 Q，求证：POEQOE 25已知二次函数的图象经过点
10、A（2，0），B（4，0），C（0，4），点 F 为二次函数第二象限内抛物 线上一动点，FHx 轴于点 H，交直线 BC 于点 D，以 FD 为直径的圆M 与 BC 交于点 E （1）求这个二次函数的关系式； （2）当三角形 EFD 周长最大时求此时 F 点坐标及三角形 EFD 的周长； （3）在（2）的条件下，点 N 为M 上一动点，连接 BN，点 Q 为 BN 的中点，连接 HQ，求 HQ 的取值 范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1计算（6）（）的结果是（ ） A18 B2 C18 D2 解：（6）
11、（）（6）（3）18 故选：C 2自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图 片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A B C D 解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形 故选：D 3下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） Aa2+b2 B2ab2 Ca2b2 Da2b2 解：A、a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B、2ab2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C、a2b2能运用平方差公式分解，故此选项正确； D、a2b2不能运用平方差公式分解，
12、故此选项错误； 故选：C 4如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层左上有 1 个正方形 故选：A 5如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ） A平移变换 B相似变换 C旋转变换 D对称变换 解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似 变换 故选：B 6如图，已知直线 a，b 被直线 c 所截，且 ab，若40，则 的度数为（ ） A140 B50 C60 D40 解：40， 140， ab， 140 故选：D 7某校饭堂随机抽取了 100 名学生，对他们最喜欢
13、的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如 图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（ ） A套餐一 B套餐二 C套餐三 D套餐四 解：根据条形统计图可知：学生最喜欢的套餐种类是套餐一， 故选：A 8在同一平面直角坐标系中，一次函数 y1k1x+b 与反比例函数 y2（x0）的图象如图所示，则当 y1 y2时，自变量 x 的取值范围为（ ） Ax1 Bx3 C0 x1 D1x3 解：由图象可得， 当 y1y2时，自变量 x 的取值范围为 1x3， 故选：D 9为执行“两免一补”政策，某地区 2006 年投入教育经费 2500 万元，预计 2008 年投入 3600 万元，设
14、这 两年投入教育经费的年平均增长百分率为 x，则下列方程正确的是（ ） A2500（1+x）+2500（1+x）23600 B2500（1+x%）23600 C2500 x23600 D2500（1+x）23600 解：依题意得 2008 年的投入为 2500（1+x）2， 2500（1+x）23600 故选：D 10已知二次函数 y（xh）2（h 为常数），当自变量 x 的值满足 1x3 时，其对应的函数值 y 的最小 值为 1，则 h 的值为（ ） A2 或 4 B0 或 4 C2 或 3 D0 或 3 解：函数的对称轴为：xh， 当 h3 时， x3 时，y 取得最小值，即（3h）21，
15、 解得：h2 或 4（舍去 2）， 故 h4； 当 h1 时， x1 时，y 取得最小值，即（1h）21， 解得：h0 或 2（舍去 2）， 故 h0； 当 1h3 时， xh 取得最小值，不成立； 综上，h0 或 4， 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11预计到 2025 年，中国 5G 用户将超过 460000000，将 460000000 用科学记数法表示为 4.6108 解：将 460 000 000 用科学记数法表示为：4.6108 故答案为：4.6108 12如图，折扇的骨柄长为 27cm，折扇张开的角度为
16、 120，图中的长为 18 cm（结果保留 ） 解：折扇的骨柄长为 27cm，折扇张开的角度为 120， 的长18（cm）， 故答案为：18 13分式方程1 的解为 x2 解：两边都乘以 x+4，得：3xx+4， 解得：x2， 检验：x2 时，x+460， 所以分式方程的解为 x2， 故答案为：x2 14已知 x1、x2是一元二次方程 x24x70 的两个实数根，则的值是 解：根据题意得 x1+x24，x1x27， ， 故答案为 15如图，在ABC 中，ABAC，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，E 为 AB 的中点，若 BC12，AD 8，则 DE 的长为 5 解：ABAC，AD
17、平分BAC， ADBC，BDCD6， ADB90， AB10， AEEB， DEAB5， 故答案为 5 16如图，某同学在楼房的 A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为 30，荷塘另一端点 D 与点 C，B 在同一直 线上，已知楼房 AC32 米，CD16 米，则荷塘的宽 BD 为 （） 米 解：由题意知，ABC30，ACB90，AC32 米， tanABCtan30， BC32（米）， CD16 米， BDBCCD（3216）（米） 答：荷塘的宽 BD 为（3216）米， 故答案为：（3216） 三、解答题（第三、解答题（第 17-19 题每小题题每小题 6 分，第分，第 20-21 题每小题
18、题每小题 6 分，第分，第 22-23 题每小题题每小题 6 分，第分，第 24-25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分）分） 17计算：2sin60+（） 2+（2020）0+|2 | 解：原式2+9+1+2 +12 12 18先化简，再求值：（+1），其中 x 是不等式组的整数解 解：（+1） ， 由不等式组，得1x1， x 是不等式组的整数解， x1，0， 当 x1 时，原分式无意义， x0， 当 x0 时，原式 19如图，在ABCD 中，以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AFBE连接 EF （1）求证：四边形 ABEF 是菱形； （
19、2）请用无刻度的直尺在ABCD 内找一点 P，使APB90（标出点 P 的位置，保留作图痕迹， 不写作法） 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AFBE， AFBE， 四边形 ABEF 是平行四边形， BABE， 四边形 ABEF 是菱形； （2）如图所示：点 P 即为所求： 20我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、 编织”五大类劳动课程为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行 调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 60 人；
20、 （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有 800 名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动， 请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率 解：（1）1830%60（人）， 故答案为：60； （2）6015189612（人），补全条形统计图如图所示： （3）800200（人）， 答：该校七年级 800 名学生中选择“厨艺”劳动课程的有 200 人； （4）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 12 种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有 2
21、 种， P（园艺、编织） 21如图，已知矩形 ABCD，AD4，CD10，P 是 AB 上一动点，M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点 （1）求证：四边形 PMEN 是平行四边形； （2）请直接写出当 AP 为何值时，四边形 PMEN 是菱形； （3）四边形 PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出 AP 的长；若不可能，请说明理由 解：（1）M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点， ME，NE 是PDC 的中位线， MEPC，ENPD， 四边形 PMEN 是平行四边形； （2）当 AP5 时， 在 RtPAD 和 RtPBC 中， ， PADPBC， PDPC， M、N、E 分
22、别是 PD、PC、CD 的中点， NEPMPD，MEPNPC， PMMEENPN， 四边形 PMEN 是菱形； （3）四边形 PMEN 可能是矩形 若四边形 PMEN 是矩形，则DPC90 设 PAx，PB10 x， DP，CP DP2+CP2DC2 16+x2+16+（10 x）2102 x210 x+160 x2 或 x8 故当 AP2 或 AP8 时，四边形 PMEN 是矩形 22今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强 体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材已知购买 2 根跳绳和 5 个毽子共需 32 元；购买 4 根跳绳和 3
23、个毽子共需 36 元 （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是 54，且购买的总费用不能超过 260 元；若要求购买跳绳的数 量多于 20 根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案 解：（1）设购买一根跳绳需要 x 元，购买一个毽子需要 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：购买一根跳绳需要 6 元，购买一个毽子需要 4 元 （2）设购买 m 根跳绳，则购买（54m）个毽子， 依题意，得：， 解得：20m22 又m 为正整数， m 可以为 21，22 共有 2 种购买方案，方案 1：购买 21 根跳绳，33 个毽子；方案 2：购买 22 根跳绳，3
24、2 个毽子 23如图，已知 AB 是O 的直径，直线 AC 与O 相切于点 A，过点 B 作 BDOC 交O 于点 D，连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 E （1）求证：CD 是O 的切线 （2）求证：DE2EBEA； （3）若 BE1，求线段 AD 的长度 解：（1）BDOC， DBOCOA，ODBCOD， OBOD， DBOODB， COACOD， 在COA 和COD 中， ， COACOD（SAS）， CAOCDO， AC 是O 的切线， CAO90CDO， 即 ODEC， OD 是O 的半径， EC 是O 的切线； （2）EC 是O 的切线， ODE90， 即EDB+ODB90
25、， 又AB 是O 的直径， ADB90， ABD+BAD90， 又ODBOBD， EDBEAD， 又EE， EBDEDA， ， 即 DE2AEBE； （3）ACO+COA90， BAD+OBD90， 而OBDODBCODCOA， ABD+BAD90， BADACO， 由EBDEDA， tanBAD， BE1， DE2， 由 DE2AEBE 得， 221AE， AE4， AB413， 设 BDa，则 AD2a，由勾股定理得， BD2+AD2AB2， 即 a2+（2a）232， 解得 a， AD2a 24定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线称为这两个点的“幸福直线” （1）若点 A（0，2），
26、幸福直线：yx，求点 A 关于这条幸福直线的对称点 B 的坐标，并求出直线 AB 的解析式； （2）若点 C（1，m）在反比例函数（x0）图象上，若点 C 关于幸福直线 l 的对称点 D 也在此反 比例函数图象上，请求出此时CDO 的面积； （3）平面直角坐标系中，点 E 的坐标是（0，2），在 x 轴上任取一点 F，过点 F 做 x 轴的垂线 l1，点 E 和点 F 的幸福直线为 l2，直线 l1，l2的交点为 P，当 F 点在 x 轴上运动时，此时点 P 在一函数图象上运 动； 求点 P 所在函数图象的解析式； 若直线 EP 交点 P 所在的函数图象于点 Q，求证：POEQOE 解：（1）
27、如图 1， yx 是一三象限的夹角平分线， AOC45， BOCAOC45， B 点落在 x 轴上， OBOA2， B（2，0）， 设 AB 的解析式是 ykx+b， ， ， yx+2； （2）如图 2， 作 CEy 轴于 E，作 DFx 轴于 F，作 CGOF 于 G， m4， C（1，4）， y对称是 yx， COMDOM， EOMFOM45， COEDOF， 又 OCOC， CEODFO90， COEDOF（AAS）， OFOE4，DFCE1， D（4，1）， SCODSCOG+S梯形CGFDSDOF S梯形CGFD ； （3）由题意得， l2是 EF 的垂直平分线， PEPF， 设 P
28、（x，y）， y2x2+（y2）2， yx2+1； 如图 3， 作 PAx 轴于 A，作 QBx 轴于 B，作 QDy 轴于 D， 设 P（x，+1）， PE2x2 +（x21） 2 （+1）2， PA2（+1）2， PEPA， 同理：QEQB， ， ， PCDQ， PECQED， ， ， tanPOEtanQOE， POEQOE 25已知二次函数的图象经过点 A（2，0），B（4，0），C（0，4），点 F 为二次函数第二象限内抛物 线上一动点，FHx 轴于点 H，交直线 BC 于点 D，以 FD 为直径的圆M 与 BC 交于点 E （1）求这个二次函数的关系式； （2）当三角形 EFD 周
29、长最大时求此时 F 点坐标及三角形 EFD 的周长； （3）在（2）的条件下，点 N 为M 上一动点，连接 BN，点 Q 为 BN 的中点，连接 HQ，求 HQ 的取值 范围 解：（1）设二次函数的关系式为 yax2+bx+c， 将 A（2，0），B（4，0），C（0，4）代入得： ，解得， 二次函数的关系式为 yx2x+4； （2）B（4，0），C（0，4） 直线 BC 为 yx+4，BCO45， 由已知可得：FDEBCO45，FED90， FED 是等腰直角三角形， DEEFDF， 三角形 EFD 的周长为 DE+EF+DF（+1）DF，三角形 EFD 周长最大即是 DF 最大， 设 F（
30、t，t2t+4），4t0，则 D（t，t+4）， DFt2t+4t4（t+2）2+2， 0， t2 时，DF 最大为 2， 此时 F（2，4），三角形 EFD 周长最大值为（+1）DF2+2； （3）取 BM 的中点 M，以 MQ 为半径作M，直线 MH 交M于 R、T，如图： 由（2）知：F（2，4），DF2， MFMD1， M（2，3），H（2，0）， B（4，0）， BM 的中点 M（3，）， HM， 当 N 在M 上运动时， BN 的中点 Q 在M上运动， 且M的半径是M 半径的， 即 MRMTMF ， 当 Q 运动到 R 时，HQ 取得最大值 HRHM+MR， 当 Q 运动到 T 时，HQ 取得最小值 HTHMMT， HQ 的取值范围是HQ
