1、北京市昌平北京市昌平 2020-2021 学年学年九年级上九年级上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 2 分）分） 1已知 y（m+1）x|m 1|+2m 是 y 关于 x 的二次函数，则 m 的值为（ ） A1 B3 C1 或 3 D0 2如图，在ABC 中，A90，若 AB8，AC6，则 cosC 的值为（ ） A B C D 3在同一平面直角坐标系中，函数 ykx+k 与 y（k0）的图象可能是（ ） A B C D 4如图，ABC 中，A65，AB6，AC3，将ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三 角形不构成相似的是（ ） A B C D 5在平面直
2、角坐标系中，将抛物线 y3x2向左平移 2 个单位长度，向下平移 4 个单位长度，得到抛物线是 _，顶点坐标是_ （ ） Ay3（x2）2+4， （2，4） By3（x2）24， （2，4） Cy3（x+2）24， （2，4） Dy3（x+2）24， （2，4） 6A（，y1） ，B（1，y2） ，C（4，y3）三点都在二次函数 y（x2）2+k 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y1y2 Dy3y2y1 7如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，点 E、F 分别是边 AD、BC 上的点，AF 与 BE 交于点 O，AE5， BF2，则B
3、OF 与AOE 的面积之比为（ ） A B C D 8同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图 （1）作线段 AB，分别以点 A，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点 C； （2）以点 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D； （3）连接 BD，BC 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） AABD90 BCACBCD CsinA DcosD 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分）分） 9如果，那么锐角 A 的度数为 10请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式： 11如果一个矩形的宽与长的比等
4、于黄金数（约为 0.618） ，就称这个矩形为黄金矩形，若矩形 ABCD 为黄金矩形，宽 AD，则长 AB 为 12反比例函数的图象经过（2，y1） ， （3，y2）两点，则 y1 y2（填“” 、 “”或“” ） 13如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 ABBC，CD BC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上，若测得 BE12m，EC8m，CD10m，则河 的宽度 AB 长为 m 14抛物线 y（x1）2+t 与 x 轴的两个交点之间的距离为 6，则 t 的值是 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知函数和，点 M
5、为 y 轴正半轴上 一点，N 为 x 轴上一点，过 M 作 y 轴的垂线分别交 y1、y2的图象于 A、B 两点，连接 AN，BN，则ABN 的面积为 16如图，分别过第二象限内的点 P 作 x，y 轴的平行线，与 y，x 轴分别交于点 A，B，与双曲线分别 交于点 C，D下面三个结论， 存在无数个点 P 使 SAOCSBOD； 存在无数个点 P 使 SPOASPOB； 存在无数个点 P 使 S四边形OAPBSACD 所有正确结论的序号是 三、解答题（每题三、解答题（每题 5 分）分） 17 （5 分）计算：sin60cos30+sin245tan45 18 （5 分）计算： 19 （5 分）
6、如图，ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足ACDABC，若 AC，AD2，求 DB 的长 20 （5 分）已知蓄电池的电压 U 为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比 例函数关系，它的图象如图所示 （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 10A，那么用电器的可变电阻 R 应控制在什么 范围？请根据图象，直接写出结果 21 （5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 yx 与反比例函数 y的图象的两个交点分别为点 P （m， 1） 和点 Q （1）求 k 的值和点 Q 的坐标； （2）如果点 A 为 x 轴上
7、的一点，且PAQ90，直接写出点 A 的坐标 22 （5 分）如图，在ABC 中，AD 平分BAC，E 是 AD 上一点，且 BEBD （1）求证：ABEACD； （2）若 BD1，CD2，求的值 四、解答题（每题四、解答题（每题 6 分）分） 23 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y的图象过点 A（1，6） （1）求反比例函数的表达式； （2）过点 A 的直线与反比例函数 y图象的另一个交点为 B，与 x 轴交于点 P，若 AP2PB，求点 P 的坐标 24 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y（x1）21 与 x 轴的交点为 A，B（点 A 在点 B 的左
8、 侧） （1）求点 A，B 的坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫整点 直接写出线段 AB 上整点的个数； 将抛物线 y（x1）21 沿 x 翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在 x 轴上方的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数 25 （6 分）如图，二次函数 y（xh）2+k 的顶点坐标为 M（1，4） （1）求出该二次函数的图象与 x 轴的交点 A，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点 P（点 P 与点 M 不重合） ，使 SPAB？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 26 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y （x0
9、）的图象和ABC 都在第一象限内， ABAC，BCx 轴，且 BC4，点 A 的坐标为（3，5） （1）若反比例函数 y（x0）的图象经过点 B，求此反比例函数的解析式； （2）若将ABC 向下平移 m（m0）个单位长度，A，C 两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求 m 的值 五、解答题（每题五、解答题（每题 7 分）分） 27 （7 分）抛物线 yx24 与 x 轴的两个交点分别为 A、B（A 在 B 左侧） ，与 y 轴的交点为 C （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）将抛物线沿 x 轴正方向平移 t 个单位（t0） ，同时将直线 l：y3x 沿 y 轴正方向平移 t 个单位平 移
10、后的直线为 l，平移后 A、B 的对应点分别为 A、B当 t 为何值时，在直线 l上存在点 P，使得ABP 是以 AB为直角边的等腰直角三角形？ 28 （7 分）在 RtABC 中，ACB90，O 为 AB 边上的一点，且 tanB，点 D 为 AC 边上的动点（不 与点 A，C 重合） ，将线段 OD 绕点 O 顺时针旋转 90，交 BC 于点 E （1）如图 1，若 O 为 AB 边中点，D 为 AC 边中点，则的值为 ； （2）若 O 为 AB 边中点，D 不是 AC 边的中点， 请根据题意将图 2 补全； 小军通过观察、实验，提出猜想：点 D 在 AC 边上运动的过程中， （1）中的值
11、不变小军把这个猜 想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求的值的几种想法： 想法 1：过点 O 作 OFAB 交 BC 于点 F，要求的值，需证明OEFODA 想法 2：分别取 AC，BC 的中点 H，G，连接 OH，OG，要求的值，需证明OGEOHD 想法 3：连接 OC，DE，要求的值，需证 C，D，O，E 四点共圆 请你参考上面的想法，帮助小军写出求 （3）若（n2 且 n 为正整数） ，则的值为 （用含 n 的式子表示） 2020-2021 学年北京市昌平九年级（上）期中数学试卷学年北京市昌平九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题
12、 2 分）分） 1已知 y（m+1）x|m 1|+2m 是 y 关于 x 的二次函数，则 m 的值为（ ） A1 B3 C1 或 3 D0 【分析】根据 yax2+bx+c（a 是不为 0 的常数）是二次函数，可得答案 【解答】解：y（m+1）x|m 1|+2m 是 y 关于 x 的二次函数，则|m1|2 且 m+10 ， 解得：m3 故选：B 【点评】该题主要考查了二次函数的定义；牢固掌握定义是解题的关键 2如图，在ABC 中，A90，若 AB8，AC6，则 cosC 的值为（ ） A B C D 【分析】根据勾股定理求出 BC，根据余弦的定义计算即可 【解答】解：A90，AB8，AC6，
13、BC10， cosC， 故选：A 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角 A 的邻对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的余弦是解 题的关键 3在同一平面直角坐标系中，函数 ykx+k 与 y（k0）的图象可能是（ ） A B C D 【分析】分两种情况讨论，当 k0 时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出 k0 时，一 次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案 【解答】解：当 k0 时，ykx+k 过一、二、三象限；y过一、三象限； 当 k0 时，ykx+k 过二、三、四象限；y过二、四象限 观察图形可知，只有 D 选项符合题意 故选：D 【点评】本题主要考查了反比
14、例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中 k 和 b 的符号对函数图象 的影响是解题的关键 4如图，ABC 中，A65，AB6，AC3，将ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三 角形不构成相似的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【解答】解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符 合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意； D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本
15、选项不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键 5在平面直角坐标系中，将抛物线 y3x2向左平移 2 个单位长度，向下平移 4 个单位长度，得到抛物线是 _，顶点坐标是_ （ ） Ay3（x2）2+4， （2，4） By3（x2）24， （2，4） Cy3（x+2）24， （2，4） Dy3（x+2）24， （2，4） 【分析】 直接利用抛物线平移规律： 上加下减， 左加右减进而得出平移后的解析式， 即可得出顶点坐标 【解答】解：将抛物线 y3x2向左平移 2 个单位长度，向下平移 4 个单位长度，则所得到抛物线为：y 3（x+2）24
16、则平移后的抛物线的顶点坐标为： （2，4） 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解 题的关键 6A（，y1） ，B（1，y2） ，C（4，y3）三点都在二次函数 y（x2）2+k 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y1y2 Dy3y2y1 【分析】 抛物线的对称性， 增减性， 以及对称性中的离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较， 得出 y1、 y2、y3的大小关系 【解答】解：二次函数 y（x2）2+k 的图象开口向下，对称轴为 x2，点 A（，y1） ，B（1， y2）在对称
17、轴的左侧，由 y 随 x 的增大而增大，有 y1y2， 由 x，x1，x4 离对称轴 x2 的远近可得，y1y3，y3y2，因此有 y1y3y2， 故选：B 【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线的增减性、对称性是常考的知识点 7如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，点 E、F 分别是边 AD、BC 上的点，AF 与 BE 交于点 O，AE5， BF2，则BOF 与AOE 的面积之比为（ ） A B C D 【分析】由 ADBC 可得出OAEOFB，OEAOBF，进而可得出AOEFOB，再利用相 似三角形的性质即可得出AOE 与BOF 的面积之比 【解答】解：ADBC， OAEOFB，OE
18、AOBF， AOEFOB， ， BOF 与AOE 的面积之比为 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关 键 8同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图 （1）作线段 AB，分别以点 A，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点 C； （2）以点 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D； （3）连接 BD，BC 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） AABD90 BCACBCD CsinA DcosD 【分析】由作法得 CACBCDAB，根据圆周角定
19、理得到ABD90，点 C 是ABD 的外心，根 据三角函数的定义计算出D30，则A60，利用特殊角的三角函数值即可得到结论 【解答】解：由作法得 CACBCDAB，故 B 正确； 点 B 在以 AD 为直径的圆上， ABD90，故 A 正确； 点 C 是ABD 的外心， 在 RtABC 中，sinD， D30，A60， sinA，故 C 正确；cosD，故 D 错误， 故选：D 【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直 平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理和解直角三角形 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分）分） 9如果，那么锐
20、角 A 的度数为 30 【分析】根据 30角的余弦值等于解答 【解答】解：cosA， 锐角 A 的度数为 30 故答案为：30 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记 30、45、60的三角函数值是解题的关键 10请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式： y 【分析】根据反比例函数的性质可得 k0，写一个 k0 的反比例函数即可 【解答】解：图象在第二、四象限， y， 故答案为：y 【点评】此题主要考查了反比例函数（k0） ， （1）k0，反比例函数图象在一、三象限； （2）k0， 反比例函数图象在第二、四象限内 11如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为 0.618） ，就称
21、这个矩形为黄金矩形，若矩形 ABCD 为黄金矩形，宽 AD，则长 AB 为 2 【分析】根据黄金矩形的定义，求解即可 【解答】解：矩形 ABCD 是黄金矩形，且 AD1， ， ， AB2， 故答案为 2 【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中 12反比例函数的图象经过（2，y1） ， （3，y2）两点，则 y1 y2（填“” 、 “”或“” ） 【分析】将 x2 和 x3 分别代入解析式求出对应 y 的值，再比较大小 【解答】解：当 x2 时，y12， 当 x3 时，y2， y1y2， 故答案为： 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，
22、本题也可以利用反比例函数 的增减性进行求解 13如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 ABBC，CD BC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上，若测得 BE12m，EC8m，CD10m，则河 的宽度 AB 长为 15 m 【分析】证明ABEDCE，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可 【解答】解：ABBC，CDBC， ABEDCE90， 又AEBDEC（对顶角相等） ， ABEDCE， ， 即， 解得 AB15m 故答案为：15 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，熟记性质并求出 三
23、角形相似是解题的关键 14抛物线 y（x1）2+t 与 x 轴的两个交点之间的距离为 6，则 t 的值是 9 【分析】根据题意，可以先求出抛物线 y（x1）2+t 与 x 轴的两个交点的横坐标，即 y0 时 x 的值， 然后根据抛物线 y（x1）2+t 与 x 轴的两个交点之间的距离为 6，即可得到 t 的值 【解答】解：抛物线 y（x1）2+t， 当 y0 时，0（x1）2+t， 解得 x11+，x21， 抛物线 y（x1）2+t 与 x 轴的两个交点之间的距离为 6， （1+）（1）6， 解得 t9， 故答案为：9 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，解答本题的关键是知道抛物线与 x
24、轴交点的横坐标就是 y0 时 x 的值 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知函数和，点 M 为 y 轴正半轴上 一点，N 为 x 轴上一点，过 M 作 y 轴的垂线分别交 y1、y2的图象于 A、B 两点，连接 AN，BN，则ABN 的面积为 3 【分析】过 N 作 NCAB 于点 C，则 NCOM设 OMa（a0） ，令 ya，则 x，可得 A（，a） ， AM；令 ya，则 x，可得 B（，a） ，MB，所以 ABBM+AM，利用三角形面积 公式，结论可得 【解答】解：如图，过 N 作 NCAB 于点 C，则 NCOM 设 OMa（a0） ，则 NCa 令 ya，则 x， A（，a
25、） AN 令 ya，则 x， B（，a） BM ABAM+BM ABN 的面积为：ABNC 故答案为：3 【点评】本题主要考查了反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐 标的特征利用点的坐标来表示相应线段的长度是解题的关键 16如图，分别过第二象限内的点 P 作 x，y 轴的平行线，与 y，x 轴分别交于点 A，B，与双曲线分别 交于点 C，D下面三个结论， 存在无数个点 P 使 SAOCSBOD； 存在无数个点 P 使 SPOASPOB； 存在无数个点 P 使 S四边形OAPBSACD 所有正确结论的序号是 【分析】如图，设 C（m，） ，D（n，） ，则 P
26、（n，） ，利用反比例函数 k 的几何意义得到 SAOC 3，SBOD3，则可对进行判断；根据三角形面积公式可对进行判断；通过计算 S四边形OAPB和 SACD 得到 m 与 n 的关系可对对进行判断 【解答】解：如图，设 C（m，） ，D（n，） ，则 P（n，） ， SAOC3，SBOD3， SAOCSBOD；所以正确； SPOAn，SPOBn， SPOASPOB；所以正确； S四边形OAPBn，SACDm（）3， 当3，即 m2mn2n20，所以 m2n（舍去）或 mn，此时 P 点为无数个，所以 正确 故答案为 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 y图象中任
27、取一点，过这一个点向 x轴和y轴分别作垂线， 与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 也考查了反比例函数图象上点的坐标特征 三、解答题（每题三、解答题（每题 5 分）分） 17 （5 分）计算：sin60cos30+sin245tan45 【分析】根据特殊锐角的三角函数值进行计算即可 【解答】解：原式+（）21 +1 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值和实数的混合运算的计算方法是得出 答案的前提 18 （5 分）计算： 【分析】先化简负整数指数幂，特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值，然后再计算 【解答】解：原式 11+ 【点评】本题考查负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函
28、数值，绝对值，理解二次根式的性质，掌握 a01（a0） ，a p （a0）是解题关键 19 （5 分）如图，ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足ACDABC，若 AC，AD2，求 DB 的长 【分析】 由ACDABC、 AA， 即可得出ABCACD， 根据相似三角形的性质可得出， 代入 AC、AD 的值可求出 AB 的长，再根据 BDABAD 即可求出结论 【解答】解：ACDABC，AA， ABCACD， AC，AD2， ， AB5， BDABAD523 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键 20 （5 分）已知蓄电池的电压 U 为定值，使用蓄电池
29、时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比 例函数关系，它的图象如图所示 （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 10A，那么用电器的可变电阻 R 应控制在什么 范围？请根据图象，直接写出结果 R3.6 【分析】 （1）先由电流 I 是电阻 R 的反比例函数，可设 I，将点（9，4） ，利用待定系数法即可求出 这个反比例函数的解析式； （2）将 I10 代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围 【解答】20 （1）解：设反比例函数的表达式为 I， 由图象可知函数 I的图象经过点（9，4） ， U4936 反比例函数的表达式为 I
30、（R0） （2）I10，I， I10， R3.6， 即用电器可变电阻应控制在 3.6 欧以上的范围内 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识 解决实际问题 21 （5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 yx 与反比例函数 y的图象的两个交点分别为点 P （m， 1） 和点 Q （1）求 k 的值和点 Q 的坐标； （2）如果点 A 为 x 轴上的一点，且PAQ90，直接写出点 A 的坐标 【分析】 （1）根据直线方程求得点 P 的坐标，然后由直线与双曲线交点的求法求得点 Q 的坐标； （2）设 A（x，0） ，利用勾股定理和两点间的
31、距离公式列出方程，通过解方程解决问题 【解答】解： （1）点 P（m，1）在直线 yx 上， m1 点 P （1，1）在上， k1 点 Q 为直线 yx 与的交点， 点 Q 坐标为（1，1） （或者根据双曲线关于原点对称得到点 Q 的坐标） ； （2）由（1）知，P （1，1） ，Q（1，1） 设 A（x，0） ，由勾股定理知，AP2+AQ2PQ2，即（1x）2+12+（x+1）2+（1）2（1+1）2+（1+1） 2 解得 x 故符合条件的点 A 的坐标是（，0）或（，0） 【点评】考查了反比例函数综合题，利用待定系数法确定反比例函数解析式，根据反比例函数图象上点 的坐标特征或双曲线的对称性
32、质求得点 Q 的坐标；解答（2）时，利用勾股定理找到等量关系列出关于 x 的一元二次方程，通过方程思想解决问题，难度不大 22 （5 分）如图，在ABC 中，AD 平分BAC，E 是 AD 上一点，且 BEBD （1）求证：ABEACD； （2）若 BD1，CD2，求的值 【分析】 （1）根据角平分线的定义得到BAECAD，根据等腰三角形的性质得到BEDBDE， 由等角的补角相等得到AEBADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结论 【解答】 （1）证明：AD 平分BAC， BADCAD BEBD， BEDBDE AEBADC ABEACD
33、（2）解：ABEACD， BEBD1，CD2， 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三 角形的判定和性质是解题的关键 四、解答题（每题四、解答题（每题 6 分）分） 23 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y的图象过点 A（1，6） （1）求反比例函数的表达式； （2）过点 A 的直线与反比例函数 y图象的另一个交点为 B，与 x 轴交于点 P，若 AP2PB，求点 P 的坐标 【分析】 （1）把 A 点代入，根据待定系数法即可求得； （2） 作 ACx 轴于 C， BDx 轴于 D， 通过证得APCBPD， 得出2， 求得
34、 B 的纵坐标， 代入解析式求得坐标，然后根据待定系数法求得直线 AB 的解析式，令 y0，即可求得 P 的坐标 【解答】解： （1）反比例函数 y的图象过点 A（1，6） ， k166， 反比例函数的表达式为：y； （2）作 ACx 轴于 C，BDx 轴于 D， ACBD， APCBPD， ， AP2PB， AC2BD， AC6， BD3， B 的纵坐标为3， 把 y3 代入 y得 3，解得 x2， 把 y3 代入 y得，3，解得 x2， B（2，3）或（2，3） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， 把 A（1，6） ，B（2，3）代入得，解得 把 A（1，6） ，B（2，3）代入得
35、，解得， 直线 AB 的解析式为 y3x+9 或 y3x+3， 令 y0，则求得 x3 或1， P 的坐标为（3，0）或（1，0） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及待定系数法求函数解析式，待定系数法求函数解析 式是本题的关键 24 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y（x1）21 与 x 轴的交点为 A，B（点 A 在点 B 的左 侧） （1）求点 A，B 的坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫整点 直接写出线段 AB 上整点的个数； 将抛物线 y（x1）21 沿 x 翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在 x 轴上方的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）
36、整点的个数 【分析】 （1）解方程（x1）210 可得点 A，B 的坐标； （2）写出从1 到 3 的整数的个数即可； 利用对称的性质写出新抛物线的解析式为抛物线 y （x1） 2+1， 新抛物线的顶点坐标为 （1， 1） ， 然后结合图象求解 【解答】解： （1）当 y0 时，（x1）210，解得 x11，x23， 点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（3，0） ； （2）线段 AB 上整点的坐标为（1，0） ， （0，0） ， （1，0） ， （2，0） ， （3，0） ， 即线段 AB 上整点有 5 个； 抛物线 y（x1）21 沿 x 翻折，得到新抛物线的解析式为抛物线 y（
37、x1）2+1，新抛物 线的顶点坐标为（1，1） ， 新抛物线在 x 轴上方的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数为 6 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 25 （6 分）如图，二次函数 y（xh）2+k 的顶点坐标为 M（1，4） （1）求出该二次函数的图象与 x 轴的交点 A，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点 P（点 P 与点 M 不重合） ，使 SPAB？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 【分
38、析】 （1）由条件可先求得二次函数的解析式，再令 y0 可求得 A、B 两点的坐标； （2）求出MAB 的面积，再求出点 P 的纵坐标，然后代入抛物线解析式求解即可 【解答】解： （1）二次函数 y（xh）2+k 的顶点坐标为 M（1，4） ， 抛物线的表达式为 y（x1）24， 令 y0，得 x1 或 x3， 抛物线与 x 轴的交点坐标为 A（1，0） ，B（3，0） ； （2）A（1，0） ，B（3，0） ，M（1，4） ， AB4 SMAB8， AB4， 点 P 到 AB 的距离为 5 时，SPAB， 即点 P 的纵坐标为5 点 P 在二次函数的图象上，且顶点坐标为 M（1，4） ， 点
39、 P 的纵坐标为 5， 5（x1）24， x12，x24 点 P 的坐标为（4，5）或（2，5） 【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数图象上点的坐标，掌握二次函数顶点式 ya （xh）2+k 的顶点坐标为（h，k）是解题的关键 26 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y （x0）的图象和ABC 都在第一象限内， ABAC，BCx 轴，且 BC4，点 A 的坐标为（3，5） （1）若反比例函数 y（x0）的图象经过点 B，求此反比例函数的解析式； （2）若将ABC 向下平移 m（m0）个单位长度，A，C 两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求 m 的值
40、【分析】 （1）根据已知求出 B 与 C 点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）表示出相应的平移后 A 与 C 坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解 【解答】解： （1）ABAC，BC4，点 A（3，5） B（1，） ，C（5，） ， 若反比例函数 y（x0）的图象经过点 B，则， 解得，k， 反比例函数的解析式为 y； （2）点 A（3，5） C（5，） ， 将ABC 向下平移 m 个单位长度， A（3，5m） ，C（5，m） ， A，C 两点同时落在反比例函数图象上， 3（5m）5（m） ， m 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握等腰三角形的性质，通
41、过等腰三角形求出点的坐 标是解题的关键 五、解答题（每题五、解答题（每题 7 分）分） 27 （7 分）抛物线 yx24 与 x 轴的两个交点分别为 A、B（A 在 B 左侧） ，与 y 轴的交点为 C （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）将抛物线沿 x 轴正方向平移 t 个单位（t0） ，同时将直线 l：y3x 沿 y 轴正方向平移 t 个单位平 移后的直线为 l，平移后 A、B 的对应点分别为 A、B当 t 为何值时，在直线 l上存在点 P，使得ABP 是以 AB为直角边的等腰直角三角形？ 【分析】 （1）令 y0，即可求出 A、B 两点坐标，令 x0，可得点 C 坐标 （2）根据平移
42、的性质，可用 t 表示出直线 l的解析式以及 A、B的坐标；由于抛物线在向右平移的 过程中，开口大小没有变化，因此 AB的长度和 AB 相等，由此可得到 AB的长；若ABP 是以 AB为直角边的等腰直角三角形，那么可有两种情况：PAB90，此时 PAAB； PBA90，此时 PBAB；根据 PA、PB的表达式及 AB的长，即可求出 t 的值 【解答】解： （1）令 x0，y4，得点 C（0，4） ， 令 y0，则 x240，解得 x2， 点 A（2，0） ，点 B（2，0） A（2，0） ，B（2，0） ，C（0，4） （2）由题意，可得直线 l的解析式为 y3x+t，A（t2，0） ，B（t
43、+2，0） ，ABAB4 ABP 为以 AB为直角边的等腰直角三角形， 当PAB90时，点 P 的坐标为（t2，4）或（t2，4） |3（t2）+t|4 解得 t或 t， 当PBA90时，点 P 的坐标为（t+2，4）或（t+2，4） |3（t+2）+t|4 解得 t或 t（不合题意，舍去） 综上所述，t或 t 【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到根的判别式、勾股定理、二次函数解析式的确定、等腰直角 三角形的判定和性质等知识，需注意的是在等腰直角三角形的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论， 以免漏解 28 （7 分）在 RtABC 中，ACB90，O 为 AB 边上的一点，且 tanB，点
44、D 为 AC 边上的动点（不 与点 A，C 重合） ，将线段 OD 绕点 O 顺时针旋转 90，交 BC 于点 E （1）如图 1，若 O 为 AB 边中点，D 为 AC 边中点，则的值为 ； （2）若 O 为 AB 边中点，D 不是 AC 边的中点， 请根据题意将图 2 补全； 小军通过观察、实验，提出猜想：点 D 在 AC 边上运动的过程中， （1）中的值不变小军把这个猜 想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求的值的几种想法： 想法 1：过点 O 作 OFAB 交 BC 于点 F，要求的值，需证明OEFODA 想法 2：分别取 AC，BC 的中点 H，G，连接 OH，OG，要求的值，需证明
45、OGEOHD 想法 3：连接 OC，DE，要求的值，需证 C，D，O，E 四点共圆 请你参考上面的想法，帮助小军写出求 （3）若（n2 且 n 为正整数） ，则的值为 （用含 n 的式子表示） 【分析】 （1）根据 O 为 AB 边中点，D 为 AC 边中点，得出四边形 CDOE 是矩形，再根据 tanBtan AOD，得出，进而得到； （2）根据题意将图 2 补全即可；法 1：过点 O 作 OFAB 交 BC 于点 F，要求的值，需证明 OEFODA；法 2：分别取 AC，BC 的中点 H，G，连接 OH，OG，要求的值，需证明OGE OHD；法 3：连接 OC，DE，要求的值，需证 C，D
46、，O，E 四点共圆分别根据三种方法进行解答 即可； （3）先过点 O 作 OFAB 交 BC 于点 F，要求的值，需证明OEFODA，得出，再根 据（n2 且 n 为正整数） ，得到即可 【解答】解： （1）如图 1，O 为 AB 边中点，D 为 AC 边中点， ODBC，CDO90， 又ACB90，DOE90， 四边形 CDOE 是矩形， OECDAD， ODBC， AODB， tanBtanAOD，即， 故答案为：； （2）如图所示： 法 1：如图，过点 O 作 OFAB 交 BC 于点 F， DOE90， AOD+DOFDOF+FOE90， AODFOE， ACB90， A+BOFE+B
47、90， AOFE， OEFODA， ， O 为 AB 边中点， OAOB 在 RtFOB 中，tanB， ， ， ； 法 2：如图，分别取 AC，BC 的中点 H，G，连接 OH，OG， O 为 AB 边中点， OHBC，OH，OGAC ACB90， OHDOGE90， HOG90， DOE90， HOD+DOGDOG+GOE90， HODGOE， OGEOHD， ， tanB， ， OHGB， ， ； 法 3：如图，连接 OC，DE， ACB90，DOE90， DE 的中点到点 C，D，O，E 的距离相等， C，D，O，E 四点共圆， ODEOCE， O 为 AB 边中点， OCOB， BOCE， ODEB， tanB， ； （3）如图所示，过点 O 作 OFAB 交 BC 于点 F， DOE90， AOD+DOFDOF+FOE90， AODFOE ACB90， A+BOFE+B90， AOFE， OEFODA， ， ， 可设 OB1，则 ABn，AOn1， 在 RtFOB 中，tanB， OF， ， 故答案为： 【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，寻找相似三角形的 一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相 似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用
