1、第第 3 3 章章 不等式不等式 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1设集合 Ax|x2x20，集合 Bx|1x3，则 AB 等于( ) Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 答案 A 解析 Ax|1x2，Bx|1x3， ABx|1x3 2若 a1，则下列命题中正确的是( ) A.1 a 1 b B.b a1 Ca2b2 Dabab1 答案 D 解析 由 a1，得 a10， 所以(a1)(b1)0，即 abB CA2 b a a b2，即 A2， Bx24x2(x24x4)2 (x2)222，即 B2
2、，AB. 5若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是( ) A.24 5 B.28 5 C5 D6 答案 C 解析 由已知可得 3 5x 1 5y1， 则 3x4y 3 5x 1 5y (3x4y) 9 5 4 5 12y 5x 3x 5y 13 5 12 5 5， 当且仅当 x1，y1 2时等号成立， 所以 3x4y 的最小值是 5，故选 C. 6某金店用一台不准确的天平(两边臂长不相等)称黄金，某顾客要购买 10 g 黄金，售货员先 将 5 g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将 5 g 的砝码放入右盘， 将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾
3、客实际所得黄金( ) A大于 10 g B小于 10 g C大于等于 10 g D小于等于 10 g 答案 A 解析 设左、右两臂长分别为 b，a，两次放入的黄金的克数分别为 x，y，依题意有 ax5b， by5a， xy25. xy 2 xy， xy10，当且仅当 xy 时取等号， 又 ab，xy. xy10，即两次所得黄金大于 10 g，故选 A. 7已知一元二次方程 x2(m1)x10(mZ)有两个实数根 x1，x2，且 0 x11x23，则 m 的值为( ) A4 B5 C6 D7 答案 A 解析 一元二次方程 x2(m1)x10(mZ)有两个实数根 x1，x2，且 0 x11x20，
4、 3m0， 解得13 3 m3，又 mZ，可得 m4. 8若不等式 x22xa b 16b a 对任意 a，b(0，)恒成立，则实数 x 的取值范围是( ) A(2,0) B(，2)(0，) C(4,2) D(，4)(2，) 答案 C 解析 对任意 a，b(0，)，a b 16b a 2 a b 16b a 8(当且仅当a b 16b a 时，等号成立)，所 以只需 x22x8，即(x2)(x4)0 有实数解的充分不必要条件有( ) Aa0 Ba32 2 Ca0 Da32 2 答案 AC 解析 a0 时必有解；当 a0a32 2或32 2ab0，则 ac2bc2 B若 ababb2 C若 ab
5、0 且 c c b2 D若 ab 且1 a 1 b，则 ab0 答案 BCD 解析 选项 A，当 c0 时，不等式不成立，故本命题是假命题； 选项 B， ab aab， ab bb2， a2abb2，所以本命题是真命题； 选项 C，ab0a2b200 1 a2 1 b2. c c b2， 本命题是真命题； 选项 D，1 a 1 b 1 a 1 b0 ba ab 0. ab，ba0， ab0)有且只有一个零点，则( ) Aa2b24 Ba21 b4 C若不等式 x2axb0 D若不等式 x2axb0)有且只有一个零点，故可得 a24b0，即 a24b0. 对 A，a2b24 等价于 b24b40
6、，显然(b2)20，故 A 正确； 对 B，a21 b4b 1 b2 4b1 b4，当且仅当 b 1 2时等号成立，故 B 正确； 对 C，因为不等式 x2axb0 的解集为(x1，x2)，故可得 x1x2b0，故 C 错误； 对 D，因为不等式 x2axbb 和1 ab0(或 0ab) 解析 1 a 1 b ba ab b，即 ba0，所以 ab0 或 0ab. 14一元二次不等式 x2axb0 的解集为x|x1，则一元一次不等式 axb0 的 解集为_ 答案 x x3 2 解析 由题意知，3 和 1 是方程 x2axb0 的两根， 所以 31a， 31b， 解得 a2， b3， 不等式 a
7、xb0 即为 2x30，所以 x0，若对于任意的正数 m，n，都有 mn8，则满足1 a 1 m 4 n1的 a 的取值范围是 _ 答案 a|a1 解析 由 mn8 可得 mn19， 故1 m 4 n1 1 9(mn1) 1 m 4 n1 1 9 14n1 m 4m n1 1 9(52 4) 9 91， 当且仅当 n12m，即 m3，n5 时，等号成立， 只需1 a1，即 a1. 故 a 的取值范围为a|a1 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知 a0，Bx|2x2(2a5)x5a0 (1)求 B； (2)若 AB 中有且仅有一个整数，求 a 的取值范围 解 (
8、1)原不等式分解为(xa)(2x5)0， 因为 a5 2，则 B 5 2，a . (2)易得 A(，1)(2，)， AB 中有且仅有一个整数，结合(1)中 B 5 2，a ，且a0，此整数为2， 故只需a3，即3a0； (2)若对一切实数 x，y0， 即(x3) (x1)0，解得 x3 或 x3 或 x1 (2)当 m0 时，y30，符合题意，当 m0 时， 由题意得 m0， 4m212m0， 解得3m0 的解集是x|3x0； (2)当 ax2bx30 的解集为 R 时，求 b 的取值范围 解 (1)因为不等式(1a)x24x60 的解集是x|3x1， 所以 1a0，即 2x2x30，所以(2
9、x3)(x1)0，解得 x3 2或 x0 的解集为 x x3 2或x0，b0， ab(ab) 8 a 2 b 108b a 2a b 102 8b a 2a b 18， 当且仅当8b a 2a b ，即 a2b 时，等号成立 由 a2b， 8 a 2 b1， 得 a12， b6. 当 a12，b6 时，ab 取得最小值 18. (2)证明 a1 a b1 b c1 c aabc a babc b cabc c 4 b a a b c a a c c b b c 422210， 当且仅当 abc1 3时取等号 a1 a b1 b c1 c 10. 21(12 分)已知“xx|1x1，使等式 x2
10、xm0 成立”是真命题 (1)求实数 m 的取值集合 M； (2)设不等式(xa)(xa2)0 的解集为 N，若 xN 是 xM 的必要条件，求实数 a 的取值 范围 解 (1)由题意，知 mx2x x1 2 21 4. 由1x1，得1 4m2， 故 M m 1 4m2a，即 a1 时，Nx|2ax1， 2a9 4. 当 a2a，即 a1 时，Nx|ax2a， 则 a1， a1 4， 2a2， 解得 a1 4. 当 a2a，即 a1 时，N，不满足 MN. 综上可得，实数 a 的取值范围为 a a 9 4 . 22(12 分)精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重
11、要 保障某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二 次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量 w 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费 x 万元之间的函数关系为 wx3 2 (其中推广促销费不能超过 5 万元)已知加工此农产品还要 投入成本 3 w3 w 万元(不包括推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为 430 w 元/件 (1)试将该批产品的利润 y 万元表示为推广促销费 x 万元的函数； (利润销售额成本推广 促销费) (2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 解 (1)由题意知 y 430 w w3 w3 w x w309 wx 63 2 x 2 18 x3， y63 2 x 2 18 x3(0 x5) (2)y63 2 x 2 18 x3， y63 2 1 2 x 36 x3 331 2 x3 36 x3 331 2 2 x336 x3 27. 当且仅当 x3 时，上式取“” 当 x3 时，ymax27. 当推广促销费投入 3 万元时，此批产品的利润最大为 27 万元
