1、第一节第一节 不等关系与不等式不等关系与不等式 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)ab_. (2)abab0. (3)ab_.(双向性) (2)传递性：ab，bc_.(单向性) (3)可加性：abacbc.(双向性) (4)同向可加性：ab，cd_.(单向性) (5)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0_.(单向性) (7)乘方法则：ab0anbn(nN，n1)(单向性) (8)开方法则：ab0nanb(nN，n2)(单向性) 3倒数性质 (1)ab0，则 a 1 b.(双向性) (2)a0b1 ab0,0c b d.
2、(4)0axb 或 axb01 b 1 xb0，m0，则 (1)b a bm am(bm0) (2)a b am bm； a b0) 二、必明 2 个易误点 1在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 ab，bcabac2bc2；若 无 c0 这个条件，abac2bc2就是错误结论(当 c0 时，取“”) 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)ab，cdadbc.( ) (2)aba3b3.( ) (3)abac2bc2.( ) (4)ab，cdacbd.( ) (5)ab1 a 1 b.( ) (6)若1 a 1 b|b|.( ) (
3、7)若 ab 且 ab0，则1 ab0，则 ac2bc2 B若 ab0，则 a2b2 C若 ab0，则 a2abb2 D若 ab0，则1 a 1 b 3若 A(x3)2，B(x2)(x4)则 A 与 B 的大小为_ 三、易错易混 4给出下列命题： 若 ab，c0，则c abc3，则 ab； 若 ab，且 kN*，则 akbk； 若 cab0，则 a ca b cb. 其中正确命题的序号是_ 5已知 12a60,15bb，则( ) Aln(ab)0 B3a0 D|a|b| 考点一 比较两个数(式)的大小自主练透型 1设 a，b0，)，A a b，B ab，则 A，B 的大小关系是( ) AAB
4、BAB CAB 2已知 a1，a2(0,1)，记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关系是( ) AMN CMN D不确定 3若 aln 3 3 ，bln 4 4 ，cln 5 5 ，则( ) Aabc Bcba Ccab Dbac 悟 技法 用作差法比较两个实数大小的四步曲 考点二 不等式的性质互动讲练型 例 1 2021 广东广州调研已知实数 x，y 满足 1 2 xtan y Bln(x22)ln(y22) C.1 x 1 y Dx 3y3 听课笔记： 例 2 2021 山东烟台检测给出下列不等式： 1 ab)； x 1 x2(x0)； c ab c ab (ba0 a b
5、(a，b，m0 且 ab)其中恒成立的个数为( ) A1 B2 C3 D4 悟 技法 不等式性质应用问题的 3 大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注 意不等式性质成立的前提条件 (2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断 pq 和 qp 是否正确，要注意特殊值 法的应用 (3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊 值验证的方法. 变式练(着眼于举一反三) 1若 ab|b| Ba2ab C.1 a 1 b D. 1 ab 1 a 2已知 xy，则下列不等式一定成立的是( ) A.1
6、x0 Cx2y2 D. 1 2 x 1 2 y 考点三 利用不等式性质求范围互动讲练型 例 3 已知1x4,2y3，则 xy 的取值范围是_，3x2y 的取值范围是 _ 变式练(着眼于举一反三) 3将本例的条件改为“1xy3”，则 xy 的取值范围为_ 4将本例的条件改为“1xy4,2xy0 ab0 bc acbd acbd 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 2解析：A 中，c20 时，ac2bc2； B 中，ab0，由性质可得 a2b2； C 中，令 a2，b1，则 a24，ab2，b21， 显然 a2abb2； D 中，令 a2，b1
7、，则1 a 1 2， 1 b1， 显然1 a 1 b.故选 B. 答案：B 3解析：因为 AB(x3)2(x2)(x4) x26x9x26x810， 所以 AB. 答案：AB 4解析：当 ab0 时，c a c b不成立，故不正确； 当 c0 时，ab0ab00cacb， 两边同乘以 1 cacb，得 0 1 cbb0， a ca b cb，故正确 答案： 5解析：15b36， 1 36 1 b 1 15. 又 12a60，12 36 a b 60 15. 1 3 a b4. 答案： 1 3，4 6解析：通解 由函数 yln x 的图象(图略)知，当 0ab1 时，ln(ab)b 时，3a3b
8、，故 B 不正确；因为函数 yx3 在 R 上单调递增，所以当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 正确；当 ba0 时，|a|b|，故 D 不正确故选 C. 优解 当 a0.3，b0.4 时，ln(ab)0,3a3b，|a|b|，故排除 A，B，D.故选 C. 答案：C 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：由题意得，B2A22 ab0，且 A0，B0，可得 AB.故选 B. 答案：B 2解析：MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a2 1)，又因为 a1(0,1)，a2(0,1)，所以 a110，a210，即 MN0， 所以 MN.故选
9、 B. 答案：B 3 解析： 易知 a， b， c 都是正数， b a 3ln 4 4ln 3log81 64b； b c 5ln 4 4ln 5log6251 0241， 所以 bc.所以 cba.故选 B. 答案：B 考点二 例 1 解析：因为 1 2 xy，由于 y 1tan x 在 R 上不是单调函数，所以选项 A 不正确；又 x2y2(xy)(xy)的正负不确定，所以 x2和 y2的关系不确定，所以选项 B 不正 确；又1 x 1 y yx xy 的正负不确定，所以1 x和 1 y的关系不确定，所以选项 C 不正确故选 D. 优解 因为 1 2 xy.由于 f(x)x3是 R 上的单
10、调递增函数，所以 x3y3.故选 D. 答案：D 例 2 解析：对于，若 a1，b1，满足 ab，则1 a 1 b，则 1 ab)不恒成立；对于 ， 若 x0， 则 x1 x2， 若 x0， 则 x 1 x2， 则 x 1 x2(x0)不恒成立； 对于， 由 ba0c， 可得 c ab c abc abab abab 0，则 c ab c ab(ba00 且 a0，则 am bm a b(a，b，m0 且 ab)恒成立故选 B. 答案：B 变式练 1解析：由 ab|b|，A 成立；因为 abab，B 成立；因为 ab 1 b，C 成立；当 a2，b1 时， 1 ab1， 1 a 1 2， 1
11、ab 1 a不成立，故选 D. 答案：D 2解析：A 中，当 x1，y1 时，1 xy2不成立，所以 C 错；D 中 f(x) (1 2) x在 R 上单调递减，当 xy 时，(1 2) x(1 2) y成立，故选 D. 答案：D 考点三 例 3 解析：1x4,2y3 3y2， 4xy2. 由1x4,2y3，得33x12,42y6， 13x2y18. 答案：(4,2)，(1,18) 变式练 3解析：1x3，1y3 3y1， 4xy4 又xy，xy0， 由得4xy0，故 xy 的取值范围是(4,0) 答案：(4,0) 4解析：设 3x2ym(xy)n(xy) 则 mn3 mn2 m5 2 n1
12、2 即 3x3y5 2(xy) 1 2(xy) 又1xy4,2xy3 5 2 5 2(xy)10,1 1 2(xy) 3 2， 3 2 5 2(xy) 1 2(xy) 23 2 即3 23x2y 23 2 故 3x2y 的取值范围是 3 2， 23 2 . 答案： 3 2， 23 2 5解析：解法一 设 f(2)mf(1)nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a2bm(ab) n(ab)， 即 4a2b(mn)a(nm)b， 于是得 mn4， nm2， 解得 m3， n1. f(2)3f(1)f(1) 又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，即 5f(2)10. 解法二 由 f1ab， f1ab 得 a1 2f1f1， b1 2f1f1. f(2)4a2b3f(1)f(1) 又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故 5f(2)10. 解法三 由 1ab2， 2ab4 确定的平面区域如图阴影部分，当 f(2)4a2b 过点 A 3 2， 1 2 时， 取得最小值 43 22 1 25， 当 f(2)4a2b 过点 B(3,1)时， 取得最大值 432110，5f(2)10. 答案：5,10
