1、第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法考试内容等级要求基本不等式C一元二次不等式C线性规划A合情推理与演绎推理B分析法与综合法A反证法A数学归纳法的原理A数学归纳法的简单应用B7.1不等关系与不等式考情考向分析以理解不等式的性质为主，在高考中主要以填空题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合属低档题1两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)(2)作商法 (aR，b0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc同向可加性acbd可乘性acbc注意c的符号acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(n
2、N，且n1)a，b同为正数概念方法微思考1若ab，且a与b都不为0，则与的大小关系确定吗？提示不确定若ab，ab0，则0b，则，即正数大于负数2两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如21，13.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，a1，则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(4)ab0，cd0.()(5)ab0，ab0”是“a2b20”的_条件答案充分不必要解析0aba2b2，但由a2b200.3P66练习T1雷电的温度大约是28000，比太阳表面温度的4.5
3、倍还要高设太阳表面温度为t，那么t应满足的关系式是_答案4.5t28000解析由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5tb0，cd0；.答案解析cd0，0dc，又0ba，bdac，又cd0，即.当a5，c5，b4，d4时，易知不正确5设a，bR，则“a2且b1”是“ab3且ab2”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得ab213，由不等式的同向同正可乘性可得ab212.即“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分条件；反之，若“ab3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a6，b.所以“
4、a2且b1”是“ab3且ab2”的充分不必要条件6若，则的取值范围是_答案(，0)解析由，得0.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a0，b0，则p与qab的大小关系为_答案pq解析(作差法)pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故p0)，则P，Q的大小关系是_答案P0，所以PQ.(3)若a，b，c，则a，b，c的大小关系为_答案cba解析方法一易知a，b，c都是正数，log8164b；log62510241，所以bc.即cbe时，函数f(x)单调递减因为e34f(4)f(5)，即cbb0，比较aabb与abba的大小解ab，又ab0
5、，故1，ab0，ab1，即1，又abba0，aabbabba，aabb与abba的大小关系为aabbabba.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：作差；变形；定号；结论(2)作商法：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论(3)函数的单调性法跟踪训练1(1)已知pR，M(2p1)(p3)，N(p6)(p3)10，则M，N的大小关系为_答案MN解析因为MN(2p1)(p3)(p6)(p3)10p22p5(p1)240，所以MN.(2)若a0，且a7，则77aa和7aa7的大小关系为_答案77aa7aa7解析77aaa77a，则当a7时，01,7a1，77aa7aa7；当0a1,7a0，则7a1
6、，77aa7aa7.综上，77aa7aa7.题型二不等式的性质1若0，则下列不等式：ab|b|；ab；abb2中，正确的不等式有_(填序号)答案解析因为0，所以ba0，ab0，所以abab，|a|b|，在ba两边同时乘以b，因为b0，所以abb2.因此正确的是.2已知a，b，c满足cba，且acac；c(ba)0；cb20.答案解析由cba且ac0，知c0.由bc，得abac一定成立3设ab1，c；acloga(bc)其中所有正确结论的序号是_答案解析由不等式性质及ab1，知，又c，正确；构造函数yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确思维升华
7、常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立例2已知ab0，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1；a3b32a2b.其中一定成立的不等式为_(填序号)答案解析由ab0可得a2b2，成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；ab0，()2()222b2()0，成立；若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b32a2b，不成立命题点2求代数式的取值范围例3已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是
8、_答案(4,2)(1,18)解析1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2y18.引申探究1若将本例条件改为1xy3，求xy的取值范围解1x3，1y3，3y1，4xy4.又xy，xy0，4xy0，故xy的取值范围为(4,0)2若将本例条件改为1xy4,2xy3，求3x2y的取值范围解设3x2ym(xy)n(xy)，则即3x2y(xy)(xy)，又1xy4,2xy3，(xy)10,1(xy)，(xy)(xy)，即3x2y，3x2y的取值范围为.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法逐一给出推理判断或反例说明结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行
9、判断(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围跟踪训练2(1)若ab；a2ab；bn(nN*)答案解析(特值法)取a2，b1，逐个检验，可知项均不正确；项，|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|bc0，x，y，z，则x，y，z的大小关系是_(用“”连接)答案zyx解析方法一由题易知，x0，y0，z0，又y2x22c(ab)0，yx.同理，zy，zyx.方法二令a3，b2，c1，则x，y，z，故zyx.1下列命题中，正确的序号是_若ab，cd，则acbd；若acbc，则ab；若，则ab，cd，则acbd.答
10、案解析取a2，b1，c1，d2，可知错误；当cbcab，所以错误；因为0，所以ag(x)解析f(x)g(x)x22x2(x1)210，则f(x)g(x)3对于0a1，给出下列四个不等式：loga(1a)loga；a1a.其中正确的不等式是_(填序号)答案解析当0a1时，函数ylogax与yax均为(0，)上的减函数0a1，1a1，正确4若6a10，b2a，cab，那么c的取值范围是_答案(9,30)解析cab3a且cab，9ab3a30.5设ta2b，sab21，则s，t的大小关系为_答案ts解析stb22b1(b1)20，st.6若，满足，则2的取值范围是_答案解析，2.，2.又0，2.20
11、，则与的大小关系是_答案解析(ab).ab0，(ab)20，0.8已知有三个条件：ac2bc2；a2b2，其中能成为ab的充分条件的是_答案解析由ac2bc2可知c20，即ab，故“ac2bc2”是“ab”的充分条件；当c0时，ab；当a0，b0时，ab的充分条件9已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：若ab0，bcad0，则0；若ab0，0，则bcad0；若bcad0，0，则ab0.其中正确的命题是_(填序号)答案解析ab0，bcad0，0，正确；ab0，又0，即0，bcad0，正确；bcad0，又0，即0，ab0，正确故都正确10设，T1cos(1)，T2cos(1)，则T1与T2的大小
12、关系为_答案T1T2解析T1T2(cos1cossin1sin)(cos1cossin1sin)2sin1sin0.故T10，求证：；(2)已知cab0，求证：.证明(1)bcad，bd0，11，.(2)cab0，ca0，cb0.12已知1a4,2b8，试求ab与的取值范围解因为1a4,2b8，所以8b2.所以18ab42，即7ab2.又因为，所以2，即2.13设实数x，y满足0xy4，且02x2y4xy，则x，y的取值范围是_答案0x2且0y2解析由题意得则由2x2y4xy(x2)(2y)0，得或又xy4，可得14(2018江苏无锡天一中学质检)设f(x)lnx,0ab，若pf()，qf，rf(a)f(b)，则下列关系式中正确的是_(填序号)qrp；prp；prq.答案解析由于ba0，所以0，所以lnln，则qp.而pln(lnalnb)r，故正确15设0bablna；alnbblna；aebbea.答案解析令y，0x1.则y，可见函数y在(0,1)上单调递增所以，正确令f(x)，0x1，则f(x)0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，又因为0ba1，所以f(a)f(b)，即bea，故正确16已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc2a，求的取值范围解由已知及三角形三边关系得两式相加，得023，的取值范围为.12
