1、微专题微专题(三三) 抽象函数单调性的判断方法抽象函数单调性的判断方法 例 2021 西安模拟已知定义在 R 上的函数 f(x)满足： f(xy)f(x)f(y)1， 当 x0 时，f(x)1. (1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数； (2)若 f(1)1，解关于 x 的不等式 f(x22x)f(1x)4. 解题视点：(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出 f(x2)f(x1)并与 0 比较大小 (2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点 要 构造出 f(M)x2， 则 x1x20，f(x1x2)1. 又 f(x1)f(
2、x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以，函数 f(x)在 R 上是单调增函数 (2)由 f(1)1，得 f(2)3，f(3)5. 由 f(x22x)f(1x)4 得 f(x2x1)f(3)， 又函数 f(x)在 R 上是增函数，故 x2x13， 解之，得 x1， 故原不等式的解集为x|x1 答题模板：解函数不等式问题的一般步骤 第一步：确定函数 f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：将函数不等式转化为 f(M)f(N)的形式； 第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等 式组； 第四步：解不等式或不等式组确定解集； 第五步：反思回顾查看关键点，易错点及解题规范 答题启示：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质 和相应的条件，对任意 x1，x2在所给区间内比较 f(x1)f(x2)与 0 的大小，或 f(x1)，f(x2)同号时 比较fx1 fx2与 1 的大小有时根据需要，需作适当的变形：如 x1x2 x1 x2或 x1x2x1x2 等
