1、2020-2021 学年河南省南阳市高三（上）期中考试数学（理）试卷学年河南省南阳市高三（上）期中考试数学（理）试卷 一、选择题一、选择题 1. 已知集合 = |2(2) cos，： 是锐角三角形，则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 设，满足约束条件 + 1, 1, 0, 则 = 2 + 的最小值是( ) A.1 B.0 C.1 D.2 7. 设 .0, 2/， .0, 2/，且tan = 1sin cos ，则( ) A.3 = 2 B.3 + = 2 C.2 = 2 D.2 + = 2 8. 已知函数 = ( 1)与 = lo
2、g( 1)的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是( ) A.1 1 B.1 C. 1 9. 已知函数() = sin2 2sin， (0,2)，则下列判断正确的是( ) A.()是增函数 B.()的极大值点是2 3 C.()是减函数 D.()的极小值点是2 3 10. 已知数列*+， *+满足1= 2， 1= 0.2， +1= 1 3+1 + 2 3， +1 = 1 4 + 3 4， 则使 0，则22+ 1 + 1 () 10 + 252取得最小值时，的值为( ) A.2 B.2 C.4 D.25 二、填空题二、填空题 将函数() = sin(2)的图象向右平移 6个单位后得到函数()的
3、图象，则()在. 12, 6/上为_ 函数 （填“增”或“减”） 等比数列*+的前项和为，若+1，+2成等差数列，则其公比为_ 若 ， 是两个非零向量，且| | = | | = | + |， 0 2 2 ,11，则 与 + 的夹角取值范围是_. 已知函数()的定义域为，导函数为()，若() = cos ()，且() + sin 2 0)在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，为图 象与轴的交点，且 为正三角形 (1)求的值及函数()的值域； (2)若(0) = 83 5 ，且0 ( 10 3 , 2 3)，求(0 + 1)的值 已知函数() = sin，() = cos. (1)讨论函数(
4、) = () ()在(0,)上的单调性； (2)求函数() = () ()在0 4 , 21上的零点个数 已知数列*+的前项和为，1= 2 3，3( + 1) +1= 0. (1)求数列*+的通项公式； (2)若= 2+1 +1， +，求证：1 + 2+ + 3. 已知函数() = ln ，() = ，其中，均为实数 (1)试判断过点(1,0)能做几条直线与 = ()的图象相切，并说明理由； (2)设 = 1， 0，若对任意的1，2 ,3,4-(1 2)，|(2) (1)| | 1 (2) 1 (1)|恒成立，求的 最小值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1. 【答
5、案】 B 【考点】 补集及其运算 【解析】 先求出集合，再利用集合的运算求解即可. 【解答】 解： 集合 = |2(2) 1 = *|0 1+， = (1,0- ,2,+). 故选. 2. 【答案】 B 【考点】 复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 复数的模 【解析】 把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解的值，最后代入模的公式求模 【解答】 解：2i 1+i = (2i)(1i) (1+i)(1i) = (2)+(2)i 2 . 复数2i 1+i ( )为纯虚数， 2 2 = 0， +2 2 0， 解得 = 2， |1 i| = |1 2i| = 12+ (2)2= 5.
6、故选. 3. 【答案】 D 【考点】 等比数列的性质 等差数列的性质 等比中项 【解析】 由等差数列的性质化简已知条件，得到关于7的方程，求出方程的解得到7的值，即得到7的值，把所求 的式子利用等比数列的性质化简，将7的值代入求出值 【解答】 解： *+为等差数列， 3+ 11= 27， 23 7 2 + 211= 0可化为47 7 2 = 0. 由7 0，可得7= 4， 7= 7= 4. *+为等比数列， 68= 7 2 = 16. 故选. 4. 【答案】 A 【考点】 利用导数研究函数的单调性 函数的图象 导数的几何意义 【解析】 利用函数的单调性与导函数的正负之间的关系进行求解即可. 【
7、解答】 解：由()的图象可知：()在(,0)上递增，在(0,+)上先增再减再增， 所以在区间(,0)上，() 0； 在(0,+)上先有() 0，再有() 0. 分析选项中各个图象可知，只有选项符合 故选 5. 【答案】 B 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】 利用充分必要条件结合正弦函数的单调性即可得到答案. 【解答】 解：当不为锐角时，cos 0，由sin 0，则sin cos， 即 可以为非锐角三角形，故充分性不成立； 若 为锐角三角形，则0 2，即 2 . 由正弦函数的单调性，得sin cos，故必要性成立， 从而sin cos”是 为锐角三角形”的必要不充分条件.
8、故选 6. 【答案】 C 【考点】 求线性目标函数的最值 【解析】 本题主要先作出线性区域，然后根据直线平移找到最小值的情况代入即可 【解答】 解：由题意，满足约束条件 + 1, 1, 0 的平面区域如下图所示： 平移直线 = 2， 由图易得，当 = 0， = 1时，即经过时，目标函数 = 2 + 取得最小值，最小值为1. 故选 7. 【答案】 D 【考点】 两角和与差的正弦公式 同角三角函数间的基本关系 诱导公式 【解析】 本题主要通过同角关系先进去切化弦，然后通过两角和的正弦公式进行转化，最后根据辅助角公式化为同 名，最值找到等量关系 【解答】 解：由tan = 1sin cos ，得：s
9、in cos = 1sin cos ， 即sincos = cossin + cos， 所以sin( + ) = cos = sin. 2 /. 因为 .0, 2/， .0, 2/， 所以当2 + = 2时，sin( + ) = sin. 2 / = cos成立 故选 8. 【答案】 A 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【解析】 本题考查互为反函数的两个函数的交点问题，首先分析得知交点必在 = 上，然后通过与 = ( 1)联 立转化为新的函数，最后通过数形结合求出最后的范围即可 【解答】 解：因为函数 = ( 1)与 = log( 1)的图象关于直线 = 对称， 故其公共点在直线 = 上.
10、 由题设知，函数 = ( 1)的图象与直线 = 有2个公共点，即方程 = 有2个根， 所以ln = ln，即ln = ln . 令() = ln ，则 () =1ln 2 . 当0 0，此时函数() =ln 单调递增； 当 时， () 0，此时函数() =ln 单调递减， 故当 = 时，函数() = ln 有最大值，最大值为() = 1 . 又(1) = 0， 故当0 1时，() 0；当 +时，() 0. 函数() = ln 的示意图如图所示 故只需0 ln 1 ， 解得1 1 . 故选. 9. 【答案】 D 【考点】 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 【解析】 【解答】 解：
11、由题意，() = 2cos2 2cos = 4cos2 2cos 2. 令() = 0， 解得cos = 1或cos = 1 2， 即 = 2 3 ， = 4 3 . 当0 2 3 时，()单调递减；当2 3 4 3 时，()单调递增， 所以()的极小值点为 = 2 3 . 故选. 10. 【答案】 C 【考点】 数列递推式 等比关系的确定 数列与不等式的综合 【解析】 【解答】 解：由题意，+1= 1 3+1 + 2 3，+1 = 1 4 + 3 4， 整理可得+1 1 3+1 = 2 3， 2 3+1 = 1 6 + 1 2， 两式相减得+1 +1= 1 2( )， 于是可知* +为公比为
12、1 2的等比数列. 又1 1= 1.8，则 = 1.8 (1 2) 1. 于是要使 0.01，只要1.8 (1 2) 1 180，解得 8， 所以使 0时，() 0，且 ()为偶函数， 所以()单调递增，故不符合选项要求； ，当 = 3时，() = sin + 3+ 3为奇函数，且(0) = 0， 当 0时，() = cos + 32+ 3 0恒成立，即()在(0,+)上单调递增， 根据奇函数的对称性可知函数在(,0)上单调递增， 故()在上单调递增，又(0) = 0，即()只有一个零点，故符合选项要求； ， = 3时，() = sin + 3 3为奇函数，故先考虑 0时，函数极值存在的情况.
13、 因为() = cos + 32 3， 令() = cos + 32 3，而() = 6 sin单调递增， 则() (0) = 0， 故()单调递增，且(0) = 2 0, 故存在0 (0,1)使得 ( 0) = 0， 因此，当0 0，() 0时，() 0，函数()单调递增， 故 = 0为函数()在 0时唯一的极小值. 根据奇函数的对称性可知，当 0，多次使用基本不等式即可求解. 【解答】 解：由题意， 0， 则22+ 1 + 1 () 10 + 252 = ( + 1 ) + ,( 2 ) + 1 ()- + ( 2 10 + 252). + 1 2，(2 ) + 1 () 2，2 10 +
14、 252= ( 5)2 0， ( + 1 ) + ,( 2 ) + 1 ()- + ( 2 10 + 252) 4， 当且仅当 = 1 = 2 = 1时取等号， 解得 = 2. 故选. 二、填空题二、填空题 【答案】 减 【考点】 函数 y=Asin（x+）的图象变换 正弦函数的单调性 【解析】 【解答】 解：由题意，将()的图象向右平移 6个单位后得到() = sin,2( 6)- = sin(2 3)的图象， 则由 ( 12, 6)可得2 3 ( 2 ,0). 由正弦函数的单调性可知 = sin(2 3)在( 12, 6)上单调递增， 所以() = sin,2( 6)- = sin(2 3
15、)在( 12, 6)上单调递减. 故答案为：减. 【答案】 2 【考点】 等差中项 等比数列的前 n 项和 【解析】 首先由+1，+2成等差数列，可得2+1+ +2，然后利用等比数列的求和公式分别表示+1， ，+2，注意分1和 1两种情况讨论，解方程即可 【解答】 解：等比数列*+的公比为，前项和为，且+1，+2成等差数列， 则2= +1+ +2. 若 = 1，则= 1，上式显然不成立； 若 1，则2 1(1) 1 = 1(1+1) 1 + 1(1+2) 1 ， 故2= +1+ +2，即2+ 2 = 0， 因此 = 2 故答案为：2. 【答案】 0 4 , 31 【考点】 平面向量数量积的运算
16、 数量积表示两个向量的夹角 【解析】 利用向量的数量积运算公式以及法则对式子变形整理，即可求解. 【解答】 解： | | = | + |，| | = | |， 2 = 2. 2 + 2 + 2 / = 2.2 2 + 2 /， = . 1 22 1/ 2. 记 与 + 的夹角为， . + / = | | + |cos = 2 + ， 即| | 1 | | cos = |2 + . 1 22 1/| |2 = 1 22 | |2， 可得cos = 1 2 01 2, 2 2 1， 4 3. 故答案为：0 4 , 31. 【答案】 , 2 ,+) 【考点】 利用导数研究函数的单调性 函数单调性的性
17、质 【解析】 构造函数() = () cos 2 ，判断函数为奇函数且在R上单调递减，则( ) + () 0 ( ) () = ()求解即可. 【解答】 解：依题意，() cos 2 = ()+ cos() 2 . 令() = () cos 2 ，则() = ()， 故函数()为奇函数. 因为() = 0() cos 2 1 = () + sin 2 0， 所以sin = 3cos， 若cos = 0，则sin = 0，矛盾； 若cos 0，则tan = sin cos = 3， 在 中， (0,)， 所以 = 3. (2)由(1)知， = 3， 所以 = (sin, 1 2). 因为| |
18、= 6 4 ， 所以sin2 + ( 1 2) 2 = 6 4 ， 解得sin = 2 4 （负值已舍）. 因为sin = 2 4 1 2， 所以0 6或 5 6 ， 在 中，又 = 3， 所以0 0. 因为sin2 + cos2 = 1， 所以cos = 14 4 ， 从而cos = cos( + ) = coscos + sinsin = 1 2 14 4 + 3 2 2 4 = 614 8 . 【考点】 向量模长的计算 两角和与差的余弦公式 正弦定理 数量积判断两个平面向量的垂直关系 同角三角函数基本关系的运用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)因为 ， 所以 = 0 ， 即s
19、in 3cos = 0， 由正弦定理得， sin = sin， 所以 sinsin 3sincos = 0 在 中， (0,)， 所以sin 0， 所以sin = 3cos， 若cos = 0，则sin = 0，矛盾； 若cos 0，则tan = sin cos = 3， 在 中， (0,)， 所以 = 3. (2)由(1)知， = 3， 所以 = (sin, 1 2). 因为| | = 6 4 ， 所以sin2 + ( 1 2) 2 = 6 4 ， 解得sin = 2 4 （负值已舍）. 因为sin = 2 4 1 2， 所以0 6或 5 6 ， 在 中，又 = 3， 所以0 0. 因为si
20、n2 + cos2 = 1， 所以cos = 14 4 ， 从而cos = cos( + ) = coscos + sinsin = 1 2 14 4 + 3 2 2 4 = 614 8 . 【答案】 (1)证明： 1+ 2+ 3+ + = ( )， 1+ 2+ 3+.+ +1= + 1 +1， ，得2+1 = 1， +1 1 = 1 2( 1). 又 1= 1 2， 1 1 = 1 2， 数列* 1+是以 1 2为首项， 1 2为公比的等比数列 (2)解： 数列* 1+是以 1 2为首项，以 1 2为公比的等比数列， 1 = 1 2. = (2 )( 1)， = 2 2 . 由+1 = +
21、1 2 2+1 2 2 = 3 2+1 0，得 3. 由+1 = 3 2+1 3， 1 2 5. ， *+的最大值为3= 4= 1 8， 对任意 ，有 1 8， + 1 4 2，即 2 1 4， 则()max 2 1 4， 1 8 2 1 4， 解得 1 2或 1 4， 的取值范围是(, 1 4- , 1 2,+) 【考点】 等比关系的确定 数列递推式 数列与不等式的综合 【解析】 ()由1+ 2+ 3+ + = ( )，得1+ 2+ 3+.+ +1= + 1 +1，二者作差 得2+1 = 1，由此能证明数列* 1+是等比数列 ()由()知= 1 1 2，从而得到 = 2 2 ，由+1 = 3
22、 2+1，得到对任意 ，有 1 8，从而得到 1 8 2 1 4，由此能求出的取值范围 【解答】 (1)证明： 1+ 2+ 3+ + = ( )， 1+ 2+ 3+.+ +1= + 1 +1， ，得2+1 = 1， +1 1 = 1 2( 1). 又 1= 1 2， 1 1 = 1 2， 数列* 1+是以 1 2为首项， 1 2为公比的等比数列 (2)解： 数列* 1+是以 1 2为首项，以 1 2为公比的等比数列， 1 = 1 2. = (2 )( 1)， = 2 2 . 由+1 = + 1 2 2+1 2 2 = 3 2+1 0，得 3. 由+1 = 3 2+1 3， 1 2 5. ， *
23、+的最大值为3= 4= 1 8， 对任意 ，有 1 8， + 1 4 2，即 2 1 4， 则()max 2 1 4， 1 8 2 1 4， 解得 1 2或 1 4， 的取值范围是(, 1 4- , 1 2,+) 【答案】 解：(1)由已知可得， () = 6cos2 2 + 3sin 3 = 3cos + 3sin = 23sin( + 3)， 由于 为正三角形， 的高为23，从而 = 4， 函数()的最小正周期 = 4 2 = 8， 即2 = 8， = 4， 函数()的值域为,23,23- (2) (0) = 83 5 ， 由(1)得(0) = 23sin( 4 0+ 3) = 83 5
24、， 即sin( 4 0+ 3) = 4 5， 由0 ( 10 3 , 2 3)，知 4 0+ 3 ( 2 , 2)， cos( 4 0+ 3) = 1 ( 4 5) 2 = 3 5 (0+ 1) = 23sin( 4 0+ 4 + 3) = 23sin,( 4 0+ 3) + 4- = 23,sin( 4 0+ 3)cos 4 + cos( 4 0+ 3)sin 4- = 23(4 5 2 2 + 3 5 2 2 ) = 76 5 【考点】 三角函数的恒等变换及化简求值 正弦函数的定义域和值域 【解析】 ()将()化简为()23sin( + 3)，利用正弦函数的周期公式与性质可求的值及函数()
25、的值域； ()由0 ( 10 3 , 2 3)，知 4 0+ 3 ( 2 , 2)，由(0) = 83 5 ，可求得即sin( 4 0+ 3) = 4 5，利用两角和的正弦 公式即可求得(0+ 1) 【解答】 解：(1)由已知可得， () = 6cos2 2 + 3sin 3 = 3cos + 3sin = 23sin( + 3)， 由于 为正三角形， 的高为23，从而 = 4， 函数()的最小正周期 = 4 2 = 8， 即2 = 8， = 4， 函数()的值域为,23,23- (2) (0) = 83 5 ， 由(1)得(0) = 23sin( 4 0+ 3) = 83 5 ， 即sin(
26、 4 0+ 3) = 4 5， 由0 ( 10 3 , 2 3)，知 4 0+ 3 ( 2 , 2)， cos( 4 0+ 3) = 1 ( 4 5) 2 = 3 5 (0+ 1) = 23sin( 4 0+ 4 + 3) = 23sin,( 4 0+ 3) + 4- = 23,sin( 4 0+ 3)cos 4 + cos( 4 0+ 3)sin 4- = 23(4 5 2 2 + 3 5 2 2 ) = 76 5 【答案】 解：(1)() = ecos sin ，则() = e(sincos1) sin2 ， 当 (0,)时，sincos 1 0，所以() 0，sin 0， 所以() 0，
27、. 2/ = 2 0， 因此，函数() = () ()在0 4 , 21上有且只有一个零点 【考点】 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究与函数零点有关的问题 【解析】 无 无 【解答】 解：(1)() = ecos sin ，则() = e(sincos1) sin2 ， 当 (0,)时，sincos 1 0，所以() 0，sin 0， 所以() 0，. 2/ = 2 0， 因此，函数() = () ()在0 4 , 21上有且只有一个零点 【答案】 (1)解： 3( + 1) +1= 0， +1 +1 = 3 ，又1 0， 数列2 3是以2 3为首项，3为公比的等比数列， = 2 32.
28、 当 2时，= 1= (4 + 2) 33. 当 = 1时，1符合上式， = (4 + 2) 33， + (2)证明：= 2(+1) +1 = 2. 1 1 +1/， 1+ 2+ + = 2. 1 1 1 +1/ 3 【考点】 数列递推式 数列与不等式的综合 【解析】 无 无 【解答】 (1)解： 3( + 1) +1= 0， +1 +1 = 3 ，又1 0， 数列2 3是以2 3为首项，3为公比的等比数列， = 2 32. 当 2时，= 1= (4 + 2) 33. 当 = 1时，1符合上式， = (4 + 2) 33， + (2)证明：= 2(+1) +1 = 2. 1 1 +1/， 1+
29、 2+ + = 2. 1 1 1 +1/ 3 【答案】 解：(1)设过点(1,0)与 = ()的图象相切的直线方程为 = ( + 1)，切点为(0,0)， 则 = (0) = 0 0 = 0 0+1 = 0 0(0+1)， 所以0 2 + 0 1 = 0，此方程显然有两个不相等的实根， 所以过点(1,0)能做2条直线与 = ()的图象相切 (2)当 = 1， 0在,3,4-上恒成立， ()在,3,4-上为增函数 设() = 1 () = ， () = 1(1) 2 0在,3,4-上恒成立， ()在,3,4-上为增函数 设2 1， 则|(2) (1)| | 1 (2) 1 (1)|等价于(2)
30、(1) (2) (1)， 即(2) (2) 3 4 2 1， () 0，()为减函数， ()在,3,4-上的最大值为(3) = 3 2 3 2 3 2 3 2， 的最小值为3 2 3 2 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】 无 无 【解答】 解：(1)设过点(1,0)与 = ()的图象相切的直线方程为 = ( + 1)，切点为(0,0)， 则 = (0) = 0 0 = 0 0+1 = 0 0(0+1)， 所以0 2 + 0 1 = 0，此方程显然有两个不相等的实根， 所以过点(1,0)能做2条直线与 = ()的图象相切 (2)当 = 1， 0在,3,4-上恒成立， ()在,3,4-上为增函数 设() = 1 () = ， () = 1(1) 2 0在,3,4-上恒成立， ()在,3,4-上为增函数 设2 1， 则|(2) (1)| | 1 (2) 1 (1)|等价于(2) (1) (2) (1)， 即(2) (2) 3 4 2 1， () 0，()为减函数， ()在,3,4-上的最大值为(3) = 3 2 3 2 3 2 3 2， 的最小值为3 2 3 2
