1、2020-2021 学年河南省南阳学年河南省南阳市市高三（上）高三（上）10 月月考数学（文）试卷月月考数学（文）试卷 一、选择题一、选择题 1. 设集合 = *5,3,1,0,1,3+， = * = 2 2 + 3，则 =( ) A.,5,3- B.*3,1+ C.*5,3+ D.*5,3,1,3+ 2. 命题“ R， 2”的否定是( ) A. R， 2 D. R， 2 3. 已知函数() = sin 3 , 0, 2+ 3, 0, 则(2021) = ( ) A. 9 4 B. 3 4 C.3 4 D.9 4 4. 若 = log0.25 log0.22， = 0.20.3， = 30.2
2、，则，的大小关系为( ) A. B. C. D. 5. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的登鹳雀楼 ，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三 层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游 客 （身高忽略不计） 从地面点看楼顶点的仰角为30， 沿直线前进79米到达点， 此时看点的仰角为45， 若 = 2，则楼高约为(保留到整数位，3 1.7321)( ) A.65米 B.74米 C.83米 D.92米 6. 已知在四边形中， ， = 1， + 2 = 0，则 =( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7. 若函数() = 的极值为1，则实数的值
3、为( ) A. B.2 C.2 D.1 8. 函数() = 2+ ln| 22的图象大致为( ) A. B. C. D. 9. 若 . 2 ,/， cos2 + sin.5 4 / = 0，则sin.2 + 6/ =( ) A. 3 2 B.0 C. 3 2 D. 3 2 或0 10. 已知函数() = ; 2 5的零点位于区间(, + 1)， 上，则2+ log4| =( ) A. 1 4 B.1 4 C.1 2 D.3 4 11. 若，为正实数，且 1 2: + 1 :2 = 1，则 + 的最小值为( ) A.2 3 B.4 3 C.2 D.4 12. 数学中一般用min*,+表示，中的较
4、小值关于函数() = minsin + 3cos,sin 3cos有如 下四个命题： ()的最小正周期为；()的图象关于直线 = 3 2 对称； ()的值域为,2,2-；()在区间. 6 , 4/上单调递增 其中是真命题的是( ) A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 若变量，满足约束条件 2 + 2 0， + 2 0， 2 2 0, 则 = 3 的最大值为_. 已知向量 = (1,3)， = (2, + 1)，若.2 + / ，则 =_. 已知函数()为R上的奇函数，当 0)的长轴长为4， 上顶点为， 左、 右焦点分别为1， 2， 且12= 60， 为 坐标原点 (1)求椭圆的方程；
5、 (2)设点，为椭圆上的两个动点，若 = 0，问：点到直线的距离是否为定值？若是，求 出的值；若不是，请说明理由. 已知在极坐标系中， 曲线1的极坐标方程为(3cos sin) = 23 + 2 以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线2的参数方程为 = 3(1 + cos)， = 2 + 3sin （为参数）. (1)求曲线1的直角坐标方程和2的普通方程； (2)设曲线1与曲线2相交于，两点，求|的值 已知函数() = |2 1| + | + 2|. (1)求不等式() 4的解集； (2)若()的最小值为，且实数，满足3 4 = 2，求( 2)2+ ( +
6、1)2的最小值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1. 【答案】 C 【考点】 函数的定义域及其求法 补集及其运算 【解析】 首先解出集合,再利用补集得解. 【解答】 解：由题设得2 2 + 3 0， 解得：3 1. 即 = *3,1,0,1+, 所以 = *5,3+. 故选C. 2. 【答案】 D 【考点】 命题的否定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 全称命题的否定是特称命题， 命题“ R， 2”的否定是“ R， 2”. 故选. 3. 【答案】 B 【考点】 分段函数的应用 函数的求值 【解析】 利用诱导公式，以及分段函数求值. 【解答】 解：由题设得 (2
7、021) = sin 2021 3 = sin(673 + 2 3 ) = sin. + 2 3 / = sin 2 3 = 3 2 ， 所以(2021) = . 3 2 / = . 3 2 / 2 + 3 . 3 2 / = 3 4. 故选B. 4. 【答案】 A 【考点】 指数式、对数式的综合比较 【解析】 利用指数函数对数函数的单调性即可得出. 【解答】 解： = log0.2 5 2 1， . 故选A. 5. 【答案】 B 【考点】 解三角形的实际应用 【解析】 设出，表示出，构造方程即可解出. 【解答】 解：设 = ，则 = 2 = 2， 在 中，由于 = 45，则 = = 2， 在
8、 中，由于 = 30，则 = 3 = 33， 所以 = = 33 2 = 79， 解得 = 79 33;2 24.7， 所以楼高 = 3 = 24.7 3 74（米）. 故选B. 6. 【答案】 C 【考点】 平面向量数量积的运算 向量的加法及其几何意义 【解析】 利用平面向量数量积及线性运算，即可解出. 【解答】 解： = ( + ) = + ， 又 ， = 0. 又 = 2 = 2 ， = 2 2 = 2| |2. | | = 1， = 2， = 0 + 2 = 2. 故选C. 7. 【答案】 D 【考点】 利用导数研究函数的极值 【解析】 利用导数求出函数的单调性和极值，列出关于的方程，
9、求解即可. 【解答】 解： () = e ， () = e ， 令() 0，可得 0，可得 ln，此时函数单调递增， 当 = ln时，函数有极小值， (ln) = eln ln = 1， 解得 = 1. 故选D. 8. 【答案】 B 【考点】 复合函数的单调性 函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： () = ()2+ ln|;| 2(;)2 = 2+ ln| 22 = ()， 所以()是偶函数，其图象关于轴对称，故排除，. 又(1) = 1 0，(1 2) = 1 4 ln4 0，(1) = 3 0， (2) (1) 0时的解析式，再利用求导得解. 【解答】 解：由题设 0，则
10、0， () = () = 2+ 2 + 1，即() = 2 2 1. () = 2 2， (1) = 2 2 = 2， 解得： = 2. 故答案为：2. 【答案】 14 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 根据正弦定理和余弦定理将已知条件变形求出角 C，再根据三角形面积公式求出 ab,最后由余弦定理求解即 可得结果. 【解答】 解：由sin + 2sin = 2cossin得， + 2 = 2 2:2;2 2 ， 整理得2+ 2 2= ， 所以cos = 1 2. 因为0 7.879， 因此，有99.5%的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关 【考点】 概率的应用 众数、中位数、平均数 独立
11、性检验 【解析】 本题考查用样本估计总体，独立性检验的应用 【解答】 解：(1)估计8月份游客到该超市购买纪念品不少于90元的概率为30:40:20 180 = 0.5. (2)估计8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值为： 1 180,15 20 + 45 30 + 75 40 + 105 30 + 135 40 + 165 20- = 16500 180 91.7. (3)填写2 2列联表，如下： 不少于120元 少于120元 总计 年龄不小于50岁 24 80 104 年龄小于50岁 36 40 76 总计 60 120 180 则2= 180(2440;8036)2 60120104
12、76 = 2880 247 11.66 7.879， 因此，有99.5%的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关 【答案】 (1)证明：取的中点，连接， 因为为的中点， 所以/ 因为 = 2， 所以 = 又/， 所以四边形是平行四边形， 所以/ 因为 = ， = ， 所以平面/平面 因为 平面， 所以/平面 (2)解：因为是的中点， 所以点到平面的距离是点到平面距离的1 2 因为 平面， ， = ， 所以 平面， 所以 ， 所以三棱锥;= 1 3 = 1 3 1 2 2 2 = 2 3 在 中， = 1， = 2+ 2= 4 + 1 = 5， 所以= 1 2 5 = 5 2 设点到平面的距离为，则
13、1 3 5 2 = 2 3， 解得 = 45 5 ， 所以点到平面的距离是 2 = 25 5 【考点】 点、线、面间的距离计算 直线与平面平行的判定 【解析】 【解答】 (1)证明：取的中点，连接， 因为为的中点， 所以/ 因为 = 2， 所以 = 又/， 所以四边形是平行四边形， 所以/ 因为 = ， = ， 所以平面/平面 因为 平面， 所以/平面 (2)解：因为是的中点， 所以点到平面的距离是点到平面距离的1 2 因为 平面， ， = ， 所以 平面， 所以 ， 所以三棱锥;= 1 3 = 1 3 1 2 2 2 = 2 3 在 中， = 1， = 2+ 2= 4 + 1 = 5， 所以
14、= 1 2 5 = 5 2 设点到平面的距离为，则1 3 5 2 = 2 3， 解得 = 45 5 ， 所以点到平面的距离是 2 = 25 5 【答案】 解：(1)当 = 1时，() = 2 ln( 0)， () = 2 1 = 22;1 . 令() = 22;1 = 0，解得 = 2 2 . （负值舍去） 当0 2 2 时，() 2 2 时，() 0，()单调递增 综上，()在.0, 2 2 /上单调递减，在. 2 2 ,+/上单调递增 (2)() = 2 1 = 22;1 ( 0) . 当 0时，() 0时，令() = 0，解得 = 2 2 . 当0 2 2 时，() 2 2 时，() 0
15、，()单调递增， 所以()= . 2 2 / = 1 2 ln 2 2 = 1 2 + 1 2ln2 . 因为()有两个零点，所以() 0，即1 2 + 1 2ln2 0，解得 1 2 . 当0 1 2时，0 1 2 2 0，.1 / = 1 + ln . 令() = 1 + ln， 当 .0, 1 2/时， () = ;1 2 . 1 2/ = 2 ln2 1 0， 故()存在两个零点 所以实数的取值范围是.0, 1 2/ . 【考点】 利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】 【解答】 解：(1)当 = 1时，() = 2 ln( 0)， () = 2 1 =
16、22;1 . 令() = 22;1 = 0，解得 = 2 2 . （负值舍去） 当0 2 2 时，() 2 2 时，() 0，()单调递增 综上，()在.0, 2 2 /上单调递减，在. 2 2 ,+/上单调递增 (2)() = 2 1 = 22;1 ( 0) . 当 0时，() 0时，令() = 0，解得 = 2 2 . 当0 2 2 时，() 2 2 时，() 0，()单调递增， 所以()= . 2 2 / = 1 2 ln 2 2 = 1 2 + 1 2ln2 . 因为()有两个零点，所以() 0，即1 2 + 1 2ln2 0，解得 1 2 . 当0 1 2时，0 1 2 2 0，.1
17、 / = 1 + ln . 令() = 1 + ln， 当 .0, 1 2/时， () = ;1 2 . 1 2/ = 2 ln2 1 0， 故()存在两个零点 所以实数的取值范围是.0, 1 2/ . 【答案】 解：(1)设椭圆的半焦距为， 由已知可得2 = 4， 解得 = 2. 12= 60， 在 2中，2= 30，| = ，|2| = ， |2| = = 2， cos2= = 3 2 ， 解得 = 3， 椭圆的方程为 2 4 + 2 3 = 1. (2)当直线的斜率不存在时， 轴， 由 = 0，可得 ， 结合椭圆的对称性，可设(,)，(,)，则 = |. 将点(,)代入椭圆的方程，得 2
18、 4 + 2 3 = 1， 解得 = 221 7 ， = 221 7 ； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 = + ， 此时点到直线的距离 = | 1:2，即 2 = 2 1:2. 设(1,1)，(2,2)， 联立 = + ， 2 4 + 2 3 = 1， 整理得：(3 + 42)2+ 8 + 42 12 = 0， 则 = 6422 4(3 + 42)(42 12) 0， 化简得：2 0， 化简得：2 42+ 3， 1+ 2= 8 3:42，12 = 42;12 3:42 ， 12+ 12= 12+ (1+ )(2+ ) = (1 + 2)12+ (1+ 2) + 2 = (1 + 2) 4
19、2 12 3 + 42 822 3 + 42 + 2 = 72;12(2:1) 3:42 . 又 = 0， 12+ 12= 0，即7 2;12(2:1) 3:42 = 0， 解得2= 12 7 (1 + 2)， 2= 12 7 ，得 = 221 7 . 综上所述，点到直线的距离是221 7 ，是定值 【答案】 解：(1)曲线1的直角坐标方程为3 = 23 + 2， 即 = 3 23 2， 曲线2的参数方程为 = 3(1 + cos)， = 2 + 3sin （为参数） 消去参数，可得2的普通方程为( 3)2+ ( + 2)2= 9 (2)曲线1的参数方程可写为 = 2 + 1 2， = 2 +
20、 3 2 （为参数） ， 代入曲线2的普通方程，得. 2 1/ 2 + . 3 2 / 2 = 9， 整理得2 8 = 0. 设，所对应的参数分别为1，2， 则1 + 2= 1， 12= 8， | = |1 2| = 12+ 4 8 = 33. 【考点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的参数方程 参数方程的优越性 直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线和圆的方程的应用 【解析】 【解答】 解：(1)曲线1的直角坐标方程为3 = 23 + 2， 即 = 3 23 2， 曲线2的参数方程为 = 3(1 + cos)， = 2 + 3sin （为参数） 消去参数，可得2的普通方程为(
21、3)2+ ( + 2)2= 9 (2)曲线1的参数方程可写为 = 2 + 1 2， = 2 + 3 2 （为参数） ， 代入曲线2的普通方程，得. 2 1/ 2 + . 3 2 / 2 = 9， 整理得2 8 = 0. 设，所对应的参数分别为1，2， 则1 + 2= 1， 12= 8， | = |1 2| = 12+ 4 8 = 33. 【答案】 解：(1)() = |2 1| + | + 2| = 3 1, 2, + 3,2 4，可得 2, 3 1 4或 2 4 或 1 2, 3 + 1 4, 解得 2或2 1， 所以不等式的解集为*| 1+ (2)由(1)易求得()min= (1 2) =
22、 3 1 2 + 1 = 5 2，即 = 5 2， 所以3 4 = 2 = 5，即3 4 5 = 0 因为点(2,1)到直线3 4 5 = 0的距离 = |23;4(;1);5| 32:(;4)2 = 1 ， 所以( 2)2+ ( + 1)2的最小值为2= 1. 【考点】 绝对值不等式的解法与证明 点到直线的距离公式 两点间的距离公式 【解析】 本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想 【解答】 解：(1)() = |2 1| + | + 2| = 3 1, 2, + 3,2 4，可得 2, 3 1 4或 2 4 或 1 2, 3 + 1 4, 解得 2或2 1， 所以不等式的解集为*| 1+ (2)由(1)易求得()min= (1 2) = 3 1 2 + 1 = 5 2，即 = 5 2， 所以3 4 = 2 = 5，即3 4 5 = 0 因为点(2,1)到直线3 4 5 = 0的距离 = |23;4(;1);5| 32:(;4)2 = 1 ， 所以( 2)2+ ( + 1)2的最小值为2= 1.
