1、2020-2021 学年河南省南阳学年河南省南阳市市高三（上）高三（上）10 月月考数学试卷月月考数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 设为虚数单位， R，“复数 = 2 2 2020 1; 是纯虚数”是“ = 1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 已知集合 = *| ;1 ;2 0+， = *| = 4 2+，则 =( ) A. B.(,2- C.,1,2) D.,0,2- 3. 已知定义在, 5,1 2-上的奇函数()，满足 0时，() = 2 1，则()的值为( ) A.15 B.7 C.3 D.15 4. 已知，均为
2、正实数，若2= log2;1，2;= log1 2，( 1 2) = log2，则( ) A. B. C. D. 1时，不等式(1) 2 (2) 1 恒成立，则实数的取值范围 为( ) A.(,- B.(,) C.(, 2) D.(, 2- 二、填空题二、填空题 已知等比数列*+中， 各项都是正数， 前项和为， 且43， 5， 24成等差数列， 若1= 1， 则4=_. 已知 = ()是定义在上的偶函数，且它在,0,+)上单调递增，那么使得(2) ()成立的实数的 取值范围是_ 在 中， 角， ， 所对的边分别为， ， ， 若(3 cos)sin = sin(1 + cos)， + = 6，
3、则 的 面积的最大值为_. 已知函数() = (2 )( 1) 2ln若函数()在(0,1 2)上无零点，则的最小值为_ 三、解答题三、解答题 已知集合 = * |0 + 1 5+， = * | 1 2 2+( 0) (1)，能否相等？若能，求出实数的值，若不能，试说明理由； (2)若命题: ，命题: ，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围 已知等差数列 *+ 的前项和为 ，且 = 22+ + . (1)求 *+ 的通项公式； (2)若 = 1 +1，求数列 *+ 的前项和 . 已知函数() = sincos( 2 + ) + 3sincos (1)求函数()的最小正周期及对称中心； (2)
4、若() = 在区间,0, 2-上有两个解1，2，求的取值范围及1 + 2的值 在 中，内角，所对的边为，若 的面积 = 1 4，且sin sin = 2sinsin 2sin2. (1)求角的大小； (2)求 面积的最大值. 已知函数() = 22 2 + 1，且函数( + 1)为偶函数 (1)求()的解析式； (2)若方程() = 有三个不同的实数根，求实数的取值范围 已知函数() = (1 + + cos). (1)求曲线 = ()在点(,()处的切线方程； (2)若 = 1, 00, 21时，() sin恒成立，求的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1
5、. 【答案】 B 【考点】 复数代数形式的乘除运算 虚数单位 i 及其性质 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】 （1）先对复数进行化简整理，进而进行推断即可. 【解答】 解：复数 = 2 2 2020 1; = 2 2 1: (1:)(1;) = 2 2 1 2 1 2 = 2;1 2 1 2， 因为复数为纯虚数，则 2;1 2 = 0， 解得 = 1， 故“复数 = 2 2 2020 1; 是纯虚数”是“ = 1”的必要而不充分条件. 故选. 2. 【答案】 C 【考点】 交集及其运算 【解析】 可以求出集合，然后进行交集的运算即可 【解答】 解： = *|1 0时，() = 2
6、1， 则() = (4) = (4) = 15 故选. 4. 【答案】 C 【考点】 指数式、对数式的综合比较 对数值大小的比较 【解析】 利用对数函数和指数函数的性质求解 【解答】 解：2= log2;1，(1 2) = log1 2，( 1 2) = log2， 利用函数 = 2， = log1 2， = ( 1 2) ， = log 2， 如图所示： 由图象可得： 0时，() 0， 故可排除选项； 对于函数 = |tan4| ，当 = 8时， 函数无意义，故排除选项； 当 = 2，() = 0，故排除选项. 故选 10. 【答案】 A 【考点】 数列的求和 【解析】 此题暂无解析 【解答
7、】 解：由对勾函数的性质知， 当 10时，数列*+单调递减， 当 10时，数列*+单调递增， 故|1 2| + |2 3| + + |99 100 | = (1 2) + (2 3) + + (9 10) + ( 11 10) + (12 11) + (13 12) + + (100 99 ) = 1 10+ 100 10 = 1 + 100 (10 + 10) + 100 + 1 (10 + 10) = 162. 故选. 11. 【答案】 B 【考点】 指数式、对数式的综合比较 利用导数研究函数的极值 古典概型及其概率计算公式 【解析】 求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出的范围，通过
8、判断，的范围，得到满足条件的 概率值即可 【解答】 解：() = 2+ 2 + 1， 若函数()有极值点， 则()有2个不相等的实数根， 故 = 42 4 0，解得： 1或 1， 而 = log0.55 2，0 = log32 1，0 = (1 2) 2 1， 满足条件的有2个，分别是， 故满足条件的概率 = 2 4 = 1 2. 故选. 12. 【答案】 D 【考点】 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： (0,+)， 1(1) 2(2 ). 即函数() = () = 2在 (0,+)时是单调增函数. 则() = 2 0恒成立. 2 ， 令() = ， 则()
9、 = (;1) 2 ， (0,1)时，() 0,()单调递增， 2 ()min= (1) = ， 2. 故选. 二、填空题二、填空题 【答案】 15 【考点】 等差中项 等比数列的前 n 项和 【解析】 利用等差数列性质得到25= 43+ 24，再利用等比数列通项得到214= 412+ 213，求出公比，代 入等比数列求和公式即可得到答案. 【解答】 解：等比数列*+中，各项都是正数，1= 1， 43 ，5 ，24成等差数列， 25= 43+ 24， 即214= 412+ 213， 解得 = 2， = 1(舍去)， 4= 1;24 1;2 = 15. 故答案为：15. 【答案】 (,2- ,2
10、,+) 【考点】 奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 【解析】 利用函数是偶函数得到不等式(2) ()等价为(2) (|)，然后利用函数在区间,0,+)上单调递增 即可得到不等式的解集 【解答】 解： 函数()是定义在上的偶函数， 且在区间,0,+)上单调递增 不等式(2) ()等价为(2) (|)， 即2 |， 2或 2. 故答案为：(,2- ,2,+). 【答案】 22 【考点】 余弦定理 正弦定理 基本不等式在最值问题中的应用 诱导公式 【解析】 直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积及 基本关系式的应用求出结果 【解答】 解：在
11、中，角，所对的边分别为， 若(3 cos)sin = sin(1 + cos)， 整理得3sin = sin + sincos + cossin = sin + sin， 利用正弦定理：3 = + ， 由于 + = 6， 整理得：3 = + = 6， 解得： = 2 + = 6， 6 = + 2， 整理可得： 9， （当且仅当 = = 3时等号成立） cos = 2:2;2 2 = (:)2;2;4 2 = 16; sin = 1 cos2 = 4 2 16， = 1 2 4 2 16 = 22 16 22 9 16 = 22， 当且仅当 = = 3时，等号成立 则 的面积的最大值为22. 故
12、答案为：22. 【答案】 2 4ln2 【考点】 利用导数研究与函数零点有关的问题 由函数零点求参数取值范围问题 【解析】 根据函数无零点，得到函数的导函数小于0在一个区间上不恒成立，得到函数在这个区间上没有零点，构造 新函数，对函数求导，利用求最值得方法求出函数的最小值 【解答】 解：因为函数()在(0,1 2)上无零点即() 0在(0, 1 2)上恒成立， 但是() 0在(0,1 2)上恒成立， 即 2 21 ;1 在(0,1 2)上恒成立， 令() = 2 21 ;1 ， (0,1 2)， 则() = 21:2 ;2 (;1)2 ， 令() = 2ln 2 + 2 ， (0, 1 2)，
13、 则() = ;2(1;) 2 ， 易得，()在(0,1 2)上单调递减，则可得() ( 1 2) = 2ln2 + 2 0， 即() 0，()在(0,1 2)上单调递增，() 0时 = *| 1 4 +， 1 = 1 2， 4 = 2， = 2， 当 0时， = *| 4 1 +， 显然 ， 故 = 时， = 2. (2) 得 且 ， 0 + 1 5 1 0时， = *| 1 4 +， 则 1 1 2， 4 1 2， 4 2， 解得 2. 当 0时， = *| 4 1 2， 1 2， 2，或 0时 = *| 1 4 +， 1 = 1 2， 4 = 2， = 2， 当 0时， = *| 4 1
14、 +， 显然 ， 故 = 时， = 2. (2) 得 且 ， 0 + 1 5 1 0时， = *| 1 4 +， 则 1 1 2， 4 1 2， 4 2， 解得 2. 当 0时， = *| 4 1 2， 1 2， 2，或 8. 【答案】 解：(1)当 = 1时， 1= 1= 2 + 2， 当 2时，= ;1 = 22+ + ,2( 1)2+ ( 1) + - = 4 2 + . 由4 1 2 + = 2 + 2， 得 = 0. 所以 = 4 2. (2)因为 = 1 +1 = 1 (4 2)(4 + 2) = 1 8( 1 2;1 1 2:1)， 所以= 1 8(1 1 3) + 1 8( 1
15、 3 1 5) + + 1 8 ( 1 2 1 1 2 + 1) = 1 8 (1 1 2 + 1) = 8:4. 【考点】 数列的求和 数列递推式 等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)当 = 1时， 1= 1= 2 + 2， 当 2时，= ;1 = 22+ + ,2( 1)2+ ( 1) + - = 4 2 + . 由4 1 2 + = 2 + 2， 得 = 0. 所以 = 4 2. (2)因为 = 1 +1 = 1 (4 2)(4 + 2) = 1 8( 1 2;1 1 2:1)， 所以= 1 8(1 1 3) + 1 8( 1 3 1 5) + + 1 8 (
16、 1 2 1 1 2 + 1) = 1 8 (1 1 2 + 1) = 8:4. 【答案】 解：(1)函数() = sincos( 2 + ) + 3sincos = sin2 + 3 2 sin2 = 1 cos2 2 + 3 2 sin2 = sin(2 + 6) 1 2 所以函数的最小正周期为 = 2 2 = ， 令2 + 6 = ( )，解得 = 2 12( )， 所以函数的对称中心为( 2 12, 1 2)( ) (2)由于0 2，所以 6 2 + 6 7 6 ， 在区间,0, 2-上有两个解1，2， 所以1 2 sin(2 + 6) 1时，函数的图象有两个交点， 故的范围为,0,1
17、 2) 由于函数的图象在区间,0, 2-上关于 = 6对称， 故1+ 2= 2 6 = 3 【考点】 二倍角的正弦公式 两角和与差的正弦公式 正弦函数的周期性 正弦函数的对称性 三角函数的周期性及其求法 【解析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的 周期和对称中心 （2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的范围和1+ 2的值 【解答】 解：(1)函数() = sincos( 2 + ) + 3sincos = sin2 + 3 2 sin2 = 1 cos2 2 + 3 2 sin2 = sin(2 + 6) 1 2 所以
18、函数的最小正周期为 = 2 2 = ， 令2 + 6 = ( )，解得 = 2 12( )， 所以函数的对称中心为( 2 12, 1 2)( ) (2)由于0 2，所以 6 2 + 6 7 6 ， 在区间,0, 2-上有两个解1，2， 所以1 2 sin(2 + 6) 1时，函数的图象有两个交点， 故的范围为,0,1 2) 由于函数的图象在区间,0, 2-上关于 = 6对称， 故1+ 2= 2 6 = 3 【答案】 解：(1)由 = 1 2sin = 1 4， sin = 2 = sin = sin， 由sin sin = 2sin sin 2sin2 = sin sin， 即2+ 2 2=
19、， cos = 2:2;2 2 = 1 2， (0,)， = 3 (2) = 3， = 2sin = 3， 2= 3 = 2+ 2 2cos = 2+ 2 ， = 1 2sin 3 2sin = 33 4 ， 即 面积的最大值为33 4 . 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)由 = 1 2sin = 1 4， sin = 2 = sin = sin， 由sin sin = 2sin sin 2sin2 = sin sin， 即2+ 2 2= ， cos = 2:2;2 2 = 1 2， (0,)， = 3 (2) = 3，
20、= 2sin = 3， 2= 3 = 2+ 2 2cos = 2+ 2 ， = 1 2sin 3 2sin = 33 4 ， 即 面积的最大值为33 4 . 【答案】 解：(1)由题可知 0， 所以函数() = 22 2 + 1的对称轴为 = 1 2， 由于 = ( + 1)是偶函数， 所以( + 1) = ( + 1)， 即() = 22 2 + 1关于 = 1对称， 所以 1 2 = 1，即 = 1 2 所以() = 2 2 + 1 (2)方程() = 有三个不同的实数根， 即方程 = ()有三个不同实数根 令() = ()， 由(1)有() = (2 2 + 1)， 所以() = (2
21、1)， 令() = 0，则 = 1或 = 1 当 0； 当1 1时，() 1时，() 0 故当 1时，()单调递增； 当1 1时，()单调递增 所以，当 = 1时，()取得极大值(1) = 4 ； 当 = 1时，()取得极小值(1) = 0 又由于() 0，且当 时，() 0； 当 +时，() + 所以，方程 = ()有三个不同实数根时，的范围是(0, 4 ) 【考点】 利用导数研究与函数零点有关的问题 函数解析式的求解及常用方法 【解析】 （1） 由于函数()22 2 + 1， 的对称轴为 = 1 2， 且函数( + 1)为偶函数 所以()的对称轴为1， 即可解得的值，得()的解析式； （2
22、） 方程() = 有三个不同的实数根， 即方程 ()有三个不同实数根 把判断方程()何 时有三个不同的实数根的问题， 转化为研究函数的零点问题， 通过导数得到函数的极值， 把函数的极值同进 行比较，得到结果 【解答】 解：(1)由题可知 0， 所以函数() = 22 2 + 1的对称轴为 = 1 2， 由于 = ( + 1)是偶函数， 所以( + 1) = ( + 1)， 即() = 22 2 + 1关于 = 1对称， 所以 1 2 = 1，即 = 1 2 所以() = 2 2 + 1 (2)方程() = 有三个不同的实数根， 即方程 = ()有三个不同实数根 令() = ()， 由(1)有(
23、) = (2 2 + 1)， 所以() = (2 1)， 令() = 0，则 = 1或 = 1 当 0； 当1 1时，() 1时，() 0 故当 1时，()单调递增； 当1 1时，()单调递增 所以，当 = 1时，()取得极大值(1) = 4 ； 当 = 1时，()取得极小值(1) = 0 又由于() 0，且当 时，() 0； 当 +时，() + 所以，方程 = ()有三个不同实数根时，的范围是(0, 4 ) 【答案】 解：(1)由() = (1 + + cos)， 得() = 1 + + cos sin， 所以() = ，() = 1， 所以曲线 = ()在点(,()处的切线方程为： = ，
24、即 = (2)当 = 1时，() = (2 + cos)， 则() sin等价于(2 + cos) sin， 当 00, 21时，(2 + cos) 0，sin 0， 当 0时，() sin恒成立； 当 0， 00, 21时， (2 + cos) sin恒成立等价于 sin 2:cos 0， 令() = sin 2:cos， 则() = 1 1:2cos (2:cos)2， 设 = cos，则 ,0,1-， () = 1:2 (2:)2， () = ;2(:2)(;1) (2:)4 = ;2(;1) (2:)3 0， 所以()在,0,1-上单调递增，所以()的值域为01 4, 1 31 当 1
25、 1 3，即0 3时， () 0，()为00, 21上的增函数， 所以() (0) = 0，符合条件； 当0 1 1 4，即 4时， () 0，()为00, 21上的减函数， 所以当 .0, 21时，() (0) = 0，不符合条件，舍去； 当1 4 1 1 3，即3 4时，存在0 .0, 2/， 使(0) = 0，且 (0,0)时，() 0， 此时() 0， 00, 21时， (2 + cos) sin恒成立等价于 sin 2:cos 0， 令() = sin 2:cos， 则() = 1 1:2cos (2:cos)2， 设 = cos，则 ,0,1-， () = 1:2 (2:)2， () = ;2(:2)(;1) (2:)4 = ;2(;1) (2:)3 0， 所以()在,0,1-上单调递增，所以()的值域为01 4, 1 31 当 1 1 3，即0 3时， () 0，()为00, 21上的增函数， 所以() (0) = 0，符合条件； 当0 1 1 4，即 4时， () 0，()为00, 21上的减函数， 所以当 .0, 21时，() (0) = 0，不符合条件，舍去； 当1 4 1 1 3，即3 4时，存在0 .0, 2/， 使(0) = 0，且 (0,0)时，() 0， 此时() (0) = 0，不符合条件，舍去 综上，所求的的取值范围为(,3-
