1、必考部分 第二章第二章 函数、导数及其应用函数、导数及其应用 高考大题规范解答系列(一)函数与导数 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点一 利用导数解决与函数有关的极、最值问题 例 1 (2020 北京，19,15分)已知函数f(x)12x2. (1)求曲线yf(x)的斜率等于2的切线方程； (2)设曲线yf(x)在点(t，f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积 为S(t)，求S(t)的最小值 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)因为 f(x)12x2，所以 f(x)2x， 1 分得分点 令2x2，解
2、得 x1， 2 分得分点 又 f(1)11，所以所求切线方程为 y112(x1)， 整理得 2xy130. 4 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)由(1)可知 f(x)2x，所以曲线 yf(x)在点(t，f(t)处的切线斜 率 k2t，又 f(t)12t2，所以切线方程为 y(12t2)2t(xt)， 6 分得分点 整理得 2txy(t212)0，当 x0 时，yt212，所以切线与 y 轴的交点为(0，t212)， 7 分得分点 当 y0 时，xt 212 2t ，所以切线与 x 轴的交点为 t212 2t ，0 . 8 分得分点 高考一轮总复习 数
3、学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 当 t0 时，S(t)1 2 t212 2t (t212)t 2122 4t ， 9 分得分点 则 S(t)3t 24t212 4t2 ， 10 分得分点 当 0t2 时，S(t)2 时，S(t)0，此时 S(t)在(2，)上单调递增， 所以 S(t)minS(2)32. 11 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 当 t0 时，S(t)t 2122 4t ； 12 分得分点 则 S(t)3t 24t212 4t2 ， 13 分得分点 当 t2 时，S(t)0，此时 S(t)在(，2)上单调递减； 当2t0，此时 S(t
4、)在(2,0)上单调递增， 所以 S(t)minS(2)32. 14 分得分点 综上所述，当 t 2 时，S(t)取最小值，为 32. 15 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 【评分细则】 求对导函数得1分 解对f(x)2得1分 写对切线方程得2分 写对切线方程得2分 求对与y轴交点得1分 求对与x轴交点得1分 分类讨论t0时写对S(t)得1分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 求对S(t)得1分 求对S(t)的最小值得1分 分类讨论，t0， 所以 x2xa0 有两个不同的正根，所以 14a0， x1x210， x1x2a0， 解得
5、 0a1 4.故实数 a 的取值范围为 0，1 4 . 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)由(1)知 x1x2a， x1x21， 不妨设 x1x2， 所以 f(x)极小值f(x1)， f(x) 极大值f(x2)， 所以 f(x)极小值f(x)极大值f(x1)f(x2)ln(x1x2)2(12a)ax 1x2 x1x2 (x1x2)ln a24a. 令 (a)ln a4a2，则 (a)1 a4， 当 0a0， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 所以 (a)在 0，1 4 上单调递增，所以 (a)0；当 x 3， 2 3 时，f(x)0.所
6、以 f(x)在区间 0， 3 ， 2 3 ， 单调递增，在区间 3， 2 3 单调递减. 4 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)证明：因为 f(0)f()0，由(1)知，f(x)在区间0，的最大值为 f 3 3 3 8 ， 5 分得分点 最小值为 f 2 3 3 3 8 . 6 分得分点 而 f(x)是周期为 的周期函数，故|f(x)|3 3 8 . 7 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)证明：由于(sin2xsin22xsin22nx)3 2 8 分得分点 |sin3xsin32xsin32nx| |sin
7、x|sin2xsin32xsin32n 1xsin2nx|sin22nx| 9 分得分点 |sin x|f(x)f(2x)f(2n 1x)|sin22nx| 10 分得分点 |f(x)f(2x)f(2n 1x)|， 11 分得分点 所以 sin2xsin22xsin22nx 3 3 8 2n 3 3 n 4n. 12 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 【评分细则】 正确求得导函数并化简正确得 2 分 讨论 f(x)的单调性，正确得 2 分 求对 f(x)的最大值得 1 分 求对 f(x)的最小值得 1 分 证出|f(x)|3 3 8 得 1 分 高考一轮总复
8、习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变形正确得1分 合理转化得1分 转化出f(x)、f(2x)、f(2n1x)得1分 放缩正确得1分 证出结论得1分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 【名师点评】 1核心素养： 利用导数判断函数的单调性及解决与不等式有关的函数问题是高考 命题的热点问题本题主要考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素 养 2解题技巧： (1)讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方 法，对导数解不等式 (2)求出f(x)的最值是证明第2问的关键 (3)将不等式左边变形与f(x)及第2问结合起来是完成第3问的关键 高考一轮总复习
9、数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练 2 (2020 河南省郑州市高三第二次质量预测)设函数 f(x)ax2(x 1)ln x(aR)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的斜率为 0. (1)求 a 的值； (2)求证：当 01 2x. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)f(x)2axln x11 x， 由题意可得 f(1)2a20， a1. (2)要证 f(x)1 2x(01 2， 即证 xln xln x x 1 2， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 令 g(x)xln x，h(x)ln x x 1 2，
10、由 g(x)11 x0，解得 x1， g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增， 故 g(x)ming(1)1， 由 h(x)1ln x x2 可知 h(x)在(0,2上单调递增， 故 h(x)maxh(2)1ln 2 2 1g(x)min， 故 h(x)1 2x. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点三 利用导数解决与函数零点有关的问题 例 3 (2021 山东省青岛市高三模拟检测)已知函数f(x)aexx a，e2.718 28是自然对数的底数 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围 【分析】 看到单调性想
11、到求函数f(x)的导数 看到f(x)恰有2个零点，想到f(x)0有两解或yf(x)图象与x轴有两 个交点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)f(x)aex1， 1 分得分点 当 a0 时，f(x)aex10， 所以 x(，)，f(x)0 时，令 f(x)aex10，得 xln a； 所以 x(，ln a)时，f(x)0，f(x)在(ln a，)上单调递增. 4 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)由(1)知，当 a0 时，f(x)在(，)上单调递减； 又知 f(0)0，所以 f(x)仅有 1
12、 个零点； 5 分得分点 当 0a1 时，f(0)0，所以 f(ln a)0， 取 f(2ln a)1 a2ln aa，令函数 g(a) 1 a2ln aa， 得 g(a)a1 2 a2 g(1)0， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 所以 f(2ln a)1 a2ln aa0 得 f(x)在(ln a，2ln a)上也有 1 个 零点， 8 分得分点 当 a1 时，f(x)f(0)0，所以 f(x)仅有 1 个零点， 9 分得分点 当 a1 时，f(0)0，所以 f(ln a)1 得 h(a)11 a0， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用
13、所以 h(a)h(1)0， 所以 aln a，a0，得 f(x)在(a，ln a)上也有 1 个零点， 综上可知：若 f(x)恰有 2 个零点，则 a(0,1)(1，). 12 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 【评分细则】 求对导函数得1分 求对a0单调区间得1分 求对a0单调区间得2分 求对a0时f(x)只有一个零点得1分 求对0a1时f(x)有两个零点，并进行综述得3分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 【名师点评】 1核心素养： 本题主要考查导数与函数单调性的关系、零点存在性定理，考查考 生的数形结合能力、推理论证能力以及运
14、算求解能力，考查的数学核心 素养是直观想象、逻辑推理、数学运算 2解题技巧： (1)通过求导，分类讨论，进而求单调区间 (2)通过(1)的分析知道函数f(x)的单调性、最值，讨论f(x)零点的个 数，从而得出结论 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练 3 (2020 全国， 21)设函数 f(x)x3bxc， 曲线 yf(x)在点 1 2，f 1 2 处的切线与 y 轴垂直 (1)求 b. (2)若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：f(x)所有零点的绝对 值都不大于 1. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 本题考查导
15、数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、 极 值、零点 (1)f(x)3x2b. 依题意得 f 1 2 0，即3 4b0，故 b 3 4. (2)证明：由(1)知 f(x)x33 4xc， f(x)3x23 4. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 令 f(x)0，解得 x1 2或 x 1 2. f(x)与 f(x)的情况为： x ，1 2 1 2 1 2， 1 2 1 2 1 2， f(x) 0 0 f(x) c1 4 c1 4 因为 f(1)f 1 2 c1 4，所以当 c 1 4时，f(x)只有小于1 的零点 由题设可知1 4c 1 4. 当 c1 4时，f(x)只有两个零点 1 2和 1. 当 c1 4时，f(x)只有两个零点1 和 1 2. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 当1 4c 1 4时，f(x)有三个零点 x1，x2，x3，且 x1 1，1 2 ，x2 1 2， 1 2 ，x3 1 2，1 . 综上，若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点，则 f(x)所有零点的绝对 值都不大于 1. 谢谢观看
