1、必考部分 第十章第十章 统计、统计案例统计、统计案例 高考大题规范解答系列(六)概率与统计 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 考点一 离散型随机变量的分布列与期望 (2021 山西联考)已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒 中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同现从甲盒中任取三个球放入 乙盒中 (1)求乙盒中红球个数 X 的分布列与期望； (2)求从乙盒中任取一球是红球的概率 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)由题意知 X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X0)C 0 3C 3 3 C3 6 1 20，P(X1
2、) C1 3C 2 3 C3 6 9 20， 2 分得分点 P(X2)C 2 3C 1 3 C3 6 9 20，P(X3) C3 3C 0 3 C3 6 1 20， 4 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 5 分得分点 所以 E(X)0 1 201 9 202 9 203 1 20 3 2. 6 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2)当乙盒中红球个数为 0 时，P10， 7 分得分点 当乙盒中红球个数为 1 时，P2 9 20 1 6 3 40，
3、 8 分得分点 当乙盒中红球个数为 2，P3 9 20 2 6 3 20， 9 分得分点 当乙盒中红球个数为 3 时，P4 1 20 3 6 1 40， 10 分得分点 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为 P1P2P3P41 4. 12 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 【评分细则】 (1)第一问中，正确算出P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)各得1 分，列出分布列得1分，求出期望得1分 (2)第二问中，分类讨论，每种情况各占1分 (3)其他方法按步骤酌情给分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2019 课标， 21)为治疗某种
4、疾病， 研制了甲、 乙两种新药， 希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮 选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲 药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当 其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验， 并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试 验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得 1 分， 乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药 得 1 分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得 0 分甲、 乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药
5、的得分记为 X. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (1)求 X 的分布列； (2)若甲药、 乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi(i0,1， ， 8)表示“甲 药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p00， p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中 aP(X1)，bP(X 0)，cP(X1)假设 0.5，0.8. 证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列； 求 p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)X 的所有可能取值为1
6、,0,1. P(X1)(1)， P(X0)(1) (1)， P(X1)(1) 所以 X 的分布列为 X 1 0 1 P (1) (1)(1) (1) 4 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2)由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1. 5 分得分点 因此 pi0.4Pi10.5pi0.1pi1， 故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)， 即 pi1pi4(pipi1). 6 分得分点 又因为 p1p0p10， 所以pi1pi(i0,1,2，7)是公比为 4，首项为 p1的等比数列. 7 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 由
7、可得 p8p8p7p7p6p1p0p0 (p8p7)(p7p6)(p1p0)4 81 3 p1. 由于 p81，故 p1 3 481， 所以 p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0) 4 41 3 p1 1 257. 10 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药 治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4 1 257 0.003 9， 11 分得分点 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 12 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统
8、计案例 【评分细则】 每个式子1分，表格1分；给出X的可能取值给1分； 得出a、b、c的值(有正确的)得1分； 得到Pi1Pi4(PiPi1)得1分； 给出结论得1分； 得出P8，P4，P1的表达式各得1分； 说明P4非常小得1分； 说明实验方案合理得1分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 【名师点评】 1核心素养：本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的期 望、方差的应用、二项分布、决策问题等，考查数据处理能力、运算求 解能力，考查或然与必然思想，考查的核心素养的逻辑推理、数学建 模、数学运算、数据分析 2解题技巧：破解此类题的关键：一是认真读题，读懂题意；二 是会利
9、用导数求最值；三是会利用公式求服从特殊分布的离散型随机变 量的期望值；四是会利用期望值，解决决策型问题 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 变式训练 1 (2021 湖南五市十校教研教改共同体联考)某学校为了了解学生对新 冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒 预防知识竞答竞答分为必答题(共 5 题)和选答题(共 2 题)两部分每位 同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响已知甲同学答对每道 必答题的概率为4 5，答对每道选答题的概率为 2 5. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (1)求甲恰好答对 4 道必答题的概率； (2
10、)在选答阶段，若选择回答且答对奖励 5 分，答错扣 2 分，选择放 弃回答得 0 分已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的 概率均为1 2，试求甲同学在选答题阶段，得分 X 的分布列 解析 (1)甲恰好答对 4 道必答题的概率为 PC4 5 4 5 41 5 256 625. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2)依题意，每道题选择回答并答对的概率为1 2 2 5 1 5， 选择回答且答错的概率为1 2 3 5 3 10， 选择放弃回答的概率为1 2. 甲得分的可能性为4 分，2 分，0 分，3 分，5 分和 10 分 所以 P(X4) 9 100， 高考一轮
11、总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 P(X2)C1 21 2 1 2 3 5 3 10， P(X0)1 2 1 2 1 4， P(X3)C1 21 2 1 2 2 5 3 5 3 25， P(X5)C1 21 2 1 2 2 5 1 5， P(X10)1 2 1 2 2 5 2 1 25. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 所以 X 的分布列为 X 4 2 0 3 5 10 P 9 100 3 10 1 4 3 25 1 5 1 25 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 考点二 线性回归分析 (2018 全国2)下图是某地区2000年至20
12、16年环境基础设施 投资 y(单位：亿元)的折线图 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变 量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的 值依次为 1,2， ， 17)建立模型； y 30.413.5t， 根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，7)建立模型：y 9917.5t. (1)分别利用这两个模型， 求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的 预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 高考一轮总复习
13、数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 【分析】 (1)模型中取t19，模型中取t9，求出对应的函数 值即可；(2)利用所给折线图中数据的增长趋势，加以分析即可 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y 30.413.519226.1(亿元). 3 分得分点 利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y 9917.59256.5(亿元). 6 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2)利用模型得到的预测值更可靠 8 分得分点 理由如下： (i)从折线图可以看出， 2000 年至 20
14、16 年的数据对应的点没有随机散 布在直线 y30.413.5t 上下， 这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建 立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年 相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y 9917.5t 可以较好地描述 2010 年以后 的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可
15、 靠 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (ii)从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元， 由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低， 而利用模型得到的 预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠 (以上给出了 2 种理由， 答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 12 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 【评分细则】 根据模型求出预测值给3分； 根据模型求出预测值给3分； 判断模型得到的预测值更可靠给2分； 作出正确的判断，写出合理理由，给4分； 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计
16、、统计案例 【名师点评】 1核心素养：本题主要考查线性回归方程的实际应用，考查考生 的应用意识，分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力，考查数学 的核心素养是数据分析、数学建模、数学运算 2解题技巧：统计中涉及的图形较多、常见的有条形统计图、折 线图、茎叶图、频率分布直方图、应熟练地掌握这些图形的特点，提高 识图与用图的能力 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 变式训练 2 (2021 安徽蚌埠质检)经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的 使用年数 x(0 x10，xN)与每辆的销售价格 y(单位：万元)进行整理， 得到如表的对应数据： 使用年数 2 4 6 8 10
17、售价 16 13 9.5 7 4.5 (1)试求 y 关于 x 的回归直线方程； 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2)已知每辆该型号汽车的收购价格(单位：万元)与使用年数x(0 x 10，xN)的函数关系为0.05x21.75x17.2，根据(1)中所求的回归 方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b i1 n xiyin x y i1 n x2 in x 2 ，a yb x . 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 解析 (1)由表中数据，得 x 1 5(246810)6，
18、y 1 5(16139.574.5)10， 由最小二乘法得 b 21641369.587104.55610 4163664100536 1.45， a 10(1.45)618.7， 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y1.45x18.7. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2)由题意，zy 1.45x18.7(0.05x21.75x17.2) 0.05x20.3x1.5， 其中 06.635， 11 分得分点 所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 12 分得分点 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 高考一轮总复习 数
19、学（新高考） 第十章 统计、统计案例 【评分细则】 答案给出了4种理由，考生答出任意一种或其他合理理由，均给4 分； 由茎叶图求出中位数，给2分； 按要求完成22列联表，给2分； 根据公式正确求出K2的值，给3分； 借助于临界值表作出判断，给1分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 【名师点评】 1核心素养：茎叶图及独立性检验是高考命题的重点，在每年的 高考试题都以不同的命题背景进行命制此类问题主要考查学生的分析 问题和解决实际问题的能力，同时考查“数据分析”的数学核心素养 2解题技巧：(1)审清题意：弄清题意，理顺条件和结论； (2)找数量关系：把图形语言转化为数字，找关
20、键数量关系； (3)建立解决方案：找准公式，将22列联表中的数值代入公式计 算； (4)作出结论：依据数据，借助临界值表作出正确判断 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 变式训练3 (2021 湖南百校联考)2020年3月受新冠肺炎疫情的影响，我市全体 学生只能网上在线学习为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学 教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查(其 中男生与女生的人数之比为2：1)，结果发现男生中有10名对线上教学满 意，女生中有12名对线上教学不满意 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (1)请完成如下22列联表，并回答
21、能否有90%的把握认为“对线上 教学是否满意与性别有关”； 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 60 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2)以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学 的态度的概率，若从全市学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中对线上教学 满意的人数为 X，求随机变量 X 的分布列与数学期望 附：参考公式及临界值表 K2 nadbc2 abcdacbd，其中 nabcd. P(K2k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案
22、例 解析 (1)由题意可知抽取60名学生中男生有40人，女生有20人， 则列联表如下： 满意 不满意 合计 男生 10 30 40 女生 8 12 20 合计 18 42 60 因为 K2601012308 2 18424020 10 7 1.4292.706， 所以没有 90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关” 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3，由题意可知，XB 3， 3 10 ， P(Xk)Ck 3 3 10 k 7 10 3k，k0,1,2,3， 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 343 1000 44
23、1 1000 189 1000 27 1000 E(X)3 3 10 9 10. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 考点四 正态分布 国庆 70 周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一 名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例 如要求女兵身高(单位： cm)在区间165,175内 现从全体受阅女兵中随机 抽取 200 人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为165,167)， 167,169)，169,171)，171,173)，173,175五组，得到如图所示的频率分 布直方图，其中第三组的频数为 75，最后三组的频率之和为 0.7. 高考一
24、轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (1)请根据频率分布直方图估计 样本的平均数 x 和方差 s2(同一组中 的数据用该组区间的中点值代表)； (2)根据样本数据，可认为受阅 女兵的身高 X(cm)近似服从正态分 布 N(，2)，其中 近似为样本平 均数 x ，2 近似为样本方差 s2. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 ()求 P(167.86X174.28)； ()若从全体受阅女兵中随机抽取 10 人， 求这 10 人中至少有 1 人的 身高在 174.28 cm 以上的概率 参考数据： 若 XN(， 2)， 则 P(X)0.682 6， P(2X 2)
25、0.954 4 ，11510.7，0.954 4100.63,0.977 290.81,0.977 2100.79. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 解析 (1)由题知五组频率依次为 0.1,0.2,0.375，0.25，0.075，1 分 故 x 0.11660.21680.3751700.251720.075174 170，2 分 s2(170166)20.1(170168)20.2(170172)20.25(170 174)20.0754.6；4 分 (2)由题知 170， 4.6 115 5 2.14，5 分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案
26、例 ( )P(167.86X174.28) P( X174.28)10.954 4 2 0.022 8， 故 10 人中至少有 1 人的身高在 174.28 cm 以上的概率 P1(10.022 8)1010.977 21010.790.21.12 分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 变式训练4 (2021 贵州遵义模拟)3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现 的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些 产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件该技术应用 十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间，某制造企业向A高校 3D打印实验团队租
27、用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度 要求的零件 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中 随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所 示(单位：m). (1)计算平均值 与标准差 ； (2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(， 2)， 该团队到工厂安装调试后，试打了 5 个零件，度量其内径分别为： 86,95,103,109,118(单位：m)，试问：此打印设备是否需要进一步调试， 为什么？ 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 参考数据：P(2Z2)0.954 4， P(3Z3)0
28、.997 4， 0.954 430.87, 0.997 440.99， 0.045 620.002. 解析 (1) 979798102105107108109113114 10 105 m， 28 2827232022232428292 10 36， 所 6m. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2)结论：需要进一步调试 理由如下：如果机器正常工作，则 Z 服从正态分布 N(105,62)， P(3Z3)P(87Z0， 所以 z 在(0,4.06)上单调递增， 当 x(4.06，)时，z0， 所以 z 在(4.06，)上单调递减， 所以当 x4.06 时，即季销量 y1
29、0.20 千本时，季利润总额预报值 最大 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 变式训练 5 (2021 河北省部分重点高中期末联考)11 月，2019 全国美丽乡村篮球 大赛在中国农村改革的发源地安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流 进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)在相同的条件下，每轮甲 乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有 1 人命中，命中 者得 1 分， 未命中者得1 分； 两人都命中或都未命中， 两人均得 0 分 设 甲每次投球命中的概率为1 2，乙每次投球命中的概率为 2 3，且各次投球互 不影响 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计
30、案例 (1)经过 1 轮投球，记甲的得分为 X，求 X 的分布列； (2)若经过 n 轮投球，用 pi表示经过第 i 轮投球，累计得分，甲的得 分高于乙的得分的概率 求 p1，p2，p3； 规定 p00， 经过计算机计算可估计得 piapi1bpicpi1(b1)， 请根据中 p1，p2，p3的值分别写出 a，c 关于 b 的表达式，并由此求出 数列pn的通项公式 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 解析 (1)X 的可能取值为1,0,1. P(X1) 11 2 2 3 1 3， P(X0)1 2 2 3 11 2 12 3 1 2， P(X1)1 2 12 3 1 6.
31、X 的分布列为 X 1 0 1 P 1 3 1 2 1 6 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 (2)由(1)知，P11 6， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得 1 分； 二是两轮有一轮甲得 0 分，有一轮甲得 1 分， P21 6 1 6C 1 21 2 1 6 7 36. 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得 1 分； 二是三轮有两轮各得 1 分，一轮得 0 分；三是 1 轮得 1 分，两轮各得 0 分；四是两轮各得 1 分，1 轮得1 分， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 P3 1 6 3C2 3 1 6
32、21 2C 1 31 6 1 2 2C2 3 1 6 21 3 43 216. 由 piapi1bpicpi1， 知 pi a 1bpi 1 c 1bpi 1， 将 p00，p11 6，p2 7 36，p3 43 216代入， 求得 a 1b 6 7， c 1b 1 7， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 a6 7(1b)，c 1 7(1b)， pi6 7pi1 1 7pi1， pi17 6pi 1 6pi1. pi1pi1 6(pipi1)， p1p01 6， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第十章 统计、统计案例 pnpn1是等比数列，首项和公比都是1 6， pnpn1 1 6n， pnp0(p1p0)(p2p1)(pnpn1) 1 6 1 1 6n 11 6 1 5 1 1 6n . 谢谢观看
