1、第五章第五章 函数应用函数应用 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知下列四个函数图象,其中能用“二分法”求出函数零点的是( ) 答案 A 解析 由二分法的定义可知选 A. 2.函数 f(x)exx2 的零点所在区间是( ) x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x2 1 2 3 4 5 A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 答案 C 解析 由图表可知 f(1) f(2)0,故选 C. 3.若函数
2、 f(x)log3xx3 的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数 据如下: f(2)0.369 1 f(2.5)0.334 0 f(2.25)0.011 9 f(2.375)0.162 4 f(2.312 5)0.075 6 f(2.281 25)0.031 9 那么方程 x3log3x0 的一个近似根(精确度为 0.1)为( ) A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4 答案 C 解析 由参考数据可知 f(2.25) f(2.312 5)0,且|2.312 52.25|0.062 50.1,所以 当精确度为 0.1 时,可以将 2.3 作为函数 f(x)log3xx3 零点的近
3、似值,也即方 程 x3log3x0 的根的近似值. 4.已知 x0是函数 f(x) 1 2 x 1 x的一个零点, 且 x1(, x0), x2(x0, 0), 则( ) A.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0 C.f(x1)0 D.f(x1)0,f(x2)0 答案 D 解析 y 1 2 x 在(, 0)上单调递减, y1 x在(, 0)上单调递减, f(x) 1 2 x 1 x在(, 0)上单调递减, f(x0)0, x1x0, x0 x2f(x0)0, f(x2)2m,所以总成绩比期中降低了,故 选 B. 6.已知 0a1,则方程 a|x|logax|的实根个数为( ) A.2 B.
4、3 C.4 D.与 a 的值有关 答案 A 解析 设 y1a|x|,y2|logax|,分别作出它们的图象如图所示.由图可知,两函数 有两个交点,故方程 a|x|logax|有两个根.故选 A. 7.函数 f(x)ax22x1 在区间(1,1)和(1,2)上分别有一个零点,则实数 a 的 取值范围是( ) A.(3,1) B. 3 4,1 C. 3,3 4 D.(,3) 3 4, 答案 B 解析 由零点存在定理,只需满足 f(1) f(1)0, f(1) f(2)0, 解得3 4a1,故选 B. 8.已知函数 f(x) 1 2 x 7 8,x3, log3x,0 x3, 若函数 g(x)f(x
5、)k 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是( ) A. 7 8,1 B. 7 8,1 C. 7 8,1 D.(0,1) 答案 A 解析 设 y1f(x)与 y2k,如图可知,当 k 7 8,1 时,直线 y2k 与函数 y1f(x) 的图象有且只有两个交点,g(x)f(x)k 恰有两个零点,故选 A. 二、 多项选择题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分) 9.下列函数中,能用二分法求函数零点的有( ) A.f(x)3x1 B.f(x)x22x1 C.f(x)log4
6、x D.f(x)ex2 答案 ACD 解析 f(x)x22x1(x1)2,f(1)0,当 x0;当 x1 时,f(x)0, 在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函 数值异号.故选 ACD. 10.某同学求函数 f(x)ln x2x6 的零点时, 用计算器算得部分函数值如表所示: f(2)1.307 f(3)1.099 f(2.5)0.084 f(2.75)0.512 f(2.625)0.215 f(2.5625)0.066 则方程 ln x2x60 的近似解(精确度 0.1)可取为( ) A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75 答案 AB 解析
7、由表格函数值在 0 的左右两侧,最接近的值,即 f(2.5)0.084,f(2.562 5)0.066 可知方程 ln x2x60 的近似根在(2.5,2.562 5)内,因此选项 A 中 2.52 符合,选项 B 中 2.56 也符合,故选 AB. 11.已知函数f(x) x 2,x(,0), ln x,x(0,1), x24x3,x1,), 若函数g(x)f(x)m恰有2个 零点,则实数 m 可以是( ) A.1 B.0 C.1 D.2 答案 ABC 解析 令 g(x)f(x)m0,则 f(x)m,在同一直角坐标系中作出 yf(x)与 ym 的图象,因为函数 g(x)f(x)m 恰有 2
8、个零点,所以只需 yf(x)与 ym 有两个 交点. 由图可知,为使 yf(x)与 ym 有两个交点,只需 m1 或 m0 即可,故当 m 1,0,1 时,两函数均有两个交点,即 ABC 正确;当 m2 时,两函数有一个 交点,不满足题意,故 D 错;故选 ABC. 12.已知函数 f(x)log3(x1)1 x, 若关于 x 的方程 f(x)0 的根在区间(k, k1)内, 则整数 k 的值可以为( ) A.1 B.0 C.1 D.2 答案 AC 解析 画出 ylog3(x1)与 y1 x的图象如图所示,由图象可知,交点的横坐标在 (1,2)和(1,0)内,k1 或 k1.故选 AC. 三、
9、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如果函数 f(x)x2mxm3 的一个零点为 0,则另一个零点是_. 答案 3 解析 函数 f(x)x2mxm3 的一个零点为 0,则 f(0)0,m30,m 3,则 f(x)x23x,于是另一个零点是 3. 14.某人根据经验绘制了 2020 年春节前后,从 1 月 25 日至 2 月 11 日自己种植的 西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在 1 月 31 日大约卖出了_千克西红柿(结果保留整数). 答案 23 解析 前 10 天满足一次函数,设 f(x)axb(a0),将点(1,10
10、),(10,30)代入 函数解析式, 得 ab10, 10ab30,得 a 20 9 ,b70 9 ,则 f(x)20 9 x70 9 , 则在 1 月 31 日,即当 x7 时,f(7)20 9 770 9 210 9 23 千克,故答案为 23. 15.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线, 为了解自己记忆一组单词的情 况, 她记录了随后一个月的有关数据, 绘制散点图, 拟合了记忆保持量与时间(天) 之间的函数关系:f(x) 7 20 x1,0 x1, 1 5 9 20 x 1 2,1x30. 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论: 随着时间的增加,小菲的单词记忆保持量降低; 9 天
11、后,小菲的单词记忆保持量低于 40%; 26 天后,小菲的单词记忆保持量不足 20%. 其中正确的结论序号有_.(注:请写出所有正确结论的序号) 答案 解析 f(x) 7 20 x1,0 x1, 1 5 9 20 x 1 2,1x30, 可得 f(x)随着 x 的增加而减少,故正确; 当 1 1 5,故错误,故答案为. 16.已知函数f(x) 2 x,xa, x2,xa. 若f(x)是单调函数, 则实数a的取值范围是_; 若存在实数 b,使函数 g(x)f(x)b 有三个零点,则实数 a 的取值范围是 _.(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 答案 2,4 (,0) 解析 因为函数y2x在定
12、义域内是单调递增函数, 所以函数f(x)为单调递增函数, 所以 a0 且 2aa2.在同一坐标系下作出函数 y2x与 yx2的图象,由图可知, 实数 a 的取值范围为2,4.函数 g(x)f(x)b 有三个零点等价于函数 yf(x)与 y b 的图象有三个交点,在同一坐标系下作出函数 yf(x)与 yb 的图象,由图可 知,当 a 在 y 轴的左侧时,存在实数 b,使得两函数图象有三个交点,所以要使 函数 g(x)有三个零点,实数 a 的取值范围为(,0). 四、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知定义在 R
13、 上的偶函数 yf(x)在(,0上递增,函数 f(x)的一个零点为1 2,求满足 f(log 1 4 x)0 的 x 的取值集合. 解 1 2是函数的一个零点,f 1 2 0. yf(x)是偶函数且在(, 0上递增,当 log1 4x0,即 x1 时,log 1 4x 1 2, 解得 x2,即 1x2. 由对称性可知,当 log1 4x0 时, 1 2x1. 综上所述,x 的取值集合为 x 1 2x2 . 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x. (1)判断函数 f(x)在区间0,)上的单调性,并用定义证明; (2)函数 g(x)f(x)log2x2 在区间(1, 2)内是否有零
14、点?若有零点, 用“二分法” 求零点的近似值(精确度 0.3);若没有零点,说明理由. (参考数据:1.251.118,1.51.225,1.751.323,log21.250.322, log21.50.585,log21.750.807) 解 (1)函数 f(x)在区间0,)上是增函数,设 x1,x20,),且 x1x2, 则 f(x1)f(x2) x1 x2 ( x 1 x2)( x1 x2) x1 x2 x1x2 x1 x20, 所以 f(x1)f(x2),故函数 f(x)在区间0,)上是增函数. (2)g(x) xlog2x2 在(1, 2)上是增函数, 又因为 g(1) 1log2
15、1210,所以连续函数 g(x)在区间(1,2)上有且仅有一个 零点 x0;因为 g(1.5) 1.5log21.521.2250.58520.190, 所以 x0(1.5,1.75),又 1.751.50.250),g(x)k2x(k20). 所以 f(1)1 8k1,g(1) 1 2k2, 即 f(x)1 8x(x0),g(x) 1 2 x(x0). (2)设投资债券类产品为 x 万元,则股票类投资为(20 x)万元. 依题意得 yf(x)g(20 x)x 8 1 2 20 x(0 x20). 令 t 20 x(0t2 5), 则 y20t 2 8 t 2 1 8(t2) 23, 所以当
16、t2,即 x16 万元时,最大收益为 3 万元. 20.(本小题满分 12 分)近年来 ,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了 极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资 120 万元, 根据行业规定,每个城市至少要投资 40 万元,由前期市场调研可知:甲城市收益 P 与投入 a(单位:万元)满足 P3 2a6,乙城市收益 Q 与投入 a(单位:万元) 满足 Q1 4a2.设甲城市的投入为 x(单位: 万元), 两个城市的总收益为 f(x)(单位: 万元). (1)当甲城市投资 50 万元时,求此时公司在甲、乙两个城市的总收益; (2)试问如何安排甲、乙两个城市
17、的投资,才能使总收益最大?最大收益是多少? 解 (1)当 x50 时,此时甲城市投资 50 万元,乙城市投资 70 万元, 所以总收益 f(50)3 25061 470243.5(万元). (2)由题知甲城市投资 x 万元,乙城市投资(120 x)万元, f(x)3 2x61 4(120 x)2 1 4x3 2x26, 依题意得 x40, 120 x40,解得 40 x80. f(x)1 4x3 2x26(40 x80). 令 t x,则 t2 10,4 5, y1 4t 23 2t261 4(t6 2) 244. 当 t6 2,即 x72 万元时,y 的最大值为 44 万元. 当甲城市投资
18、72 万元,乙城市投资 48 万元时,总收益最大,且最大收益为 44 万元. 21.(本小题满分 12 分)研究表明,在一节 40 分钟的数学课中,学生的注意力指数 f(x)与听课时间 x(单位:分钟)之间的变化曲线如图所示.当 x(0,16时,曲线是 二次函数图象的一部分;当 x(16,40时,曲线是函数 ylog0.8(xa)80 图象 的一部分. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)如果学生的注意力指数低于 75,称为“欠佳听课状态”,则在一节 40 分钟的 数学课中,学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长?(精确到 1 分钟,参 考数据:451 025,553 125) 解 (
19、1)当 x(0,16时,设 f(x)b(x12)284(b0), 因为 f(16)b(1612)28480,所以 b1 4,所以 f(x) 1 4(x12) 284; 当 x(16,40时,f(x)log0.8(xa)80, 由 f(16)log0.8(16a)8080,解得 a15,所以 f(x)log0.8(x15)80. 综上,f(x) 1 4(x12) 284,x(0,16 log0.8(x15)80,x(16,40 . (2)当 x(0, 16时, 令 f(x)1 4(x12) 28418 或 x6, 所以 0 x6; 当 x(16,40时,令 f(x)log0.8(x15)8075
20、,可得 log0.8(x15)0.8 5 4 5 5 5 5 45 3 125 1 0253, 解得 x18,所以 180),且 f(1)a 2. (1)求证:函数 f(x)有两个零点; (2)设 x1,x2是函数 f(x)的两个零点,求|x1x2|的取值范围; (3)求证:函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. (1)证明 f(1)abca 2,c 3 2ab, f(x)ax2bx3 2ab,对方程 f(x)0,则 b24a 3 2ab b 26a24ab(2ab)22a2,又a0,0 恒成立, 故函数 f(x)有两个零点. (2)解 若 x1,x2是函数 f(x)的两个零点,则 x1,x2是方程 f(x)0 的两个根, x1 x2 b a , x1 x2 b a 3 2 , |x1 x2| (x1x2)24x1 x2 b a 2 4 b a 3 2 b a2 2 2 2,故|x1x2|的取值范围是 2,). (3)证明 f(0)c,f(2)4a2bc,又由(1)知: 3a2b2c0,f(2)ac, 当 c0 时,有 f(0)0,又a0,f(1)a 20,f(1)0, 故函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点; 综上,可知函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.