1、思维特训(十二) 全等与相似的综合应用形状相同的两个图形称为相似图形若两个图形不仅形状相同，而且大小也相等，则二者是全等图形全等是相似的特殊情况，全等图形可以看作是相似比为 1 的特殊的相似图形证明全等的方法有“SSS” “SAS”“ASA”“AAS”“HL”，证明相似的方法有“三边对应成比例的两个三角形相似” “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” “两角分别相等的两个三角形相似”等类型一 与相似有关的多结论问题1如图 12S1，在ABC 中，AB BC ，ABC90，BM 是 AC 边上的中线，点 D，E 分别在边 AC 和 BC 上，DB DE，EFAC 于点 F，有以下结论：(1)D
2、BMCDE；(2) SBDE S 四边形 BMFE；(3)CDENBN BD；(4)AC2DF .其中正确的结论有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个图 12S12如图 12S2，ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90，四边形 ACDE 是平行四边形，连接 CE 交 AD 于点 F，连接 BD 交 CE 于点 G，连接 BE.下列结论中：CEBD；ADC 是等腰直角三角形；ADBAEB；CDAE EFCG .其中一定正确的有 ( )图 12S2A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3如图 12S3，菱形 ABCD 中，ABAC，E，F 分别为边 AB，BC 上的点，且
3、AE BF，连接 CE，AF 交于点 H，则下列结论：ABF CAE；AHC120；AEHCEA；AEAD AH AF.其中正确的结论有( )图 12S3A1 个 B2 个 C3 个 D4 个类型二 全等三角形与相似三角形的综合4ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合，将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q.(1)如图 12S4，当点 Q 在线段 AC 上，且 APAQ 时，求证：BPECQE.(2)如图 12S4，当点 Q 在线段 CA 的
4、延长线上时，求证：BPECEQ；并求当 BP2，CQ9 时 BC 的长图 12S45在AOB 中，C，D 分别是边 OA，OB 上的点，将OCD 绕点 O 顺时针旋转到OCD的位置(1)如图 12S5，若AOB90，OA OB，C，D 分别为 OA，OB 的中点，求证：ACBD ；ACBD .(2)如图，若AOB 为任意三角形且AOB ，CD AB，AC与 BD相交于点 E，猜想AEB 是否成立，请说明理由图 12S562017襄阳 如图 12S6，在ABC 中，ACB 90，CD 是中线，ACBC，一个以点 D 为顶点的 45角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC，BC 的延长线相交，交点
5、分别为 E，F，DF 与 AC 相交于点 M，DE 与 BC 相交于点 N.(1)如图，若 CECF，求证：DE DF.(2)如图，在EDF 绕点 D 旋转的过程中：探究线段 AB，CE，CF 之间的数量关系，并说明理由；若 CE4，CF2，求 DN 的长图 12S67如图 12S7，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点过点 E 作 AB的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 GA，GB，GC，GD ，EF.若AGD BGC .(1)求证：AD BC；(2)求证：AGDEGF ；(3)如图，若 AD，BC 所在直线互相垂直，求 的值ADEF图 12S7
6、类型三 与全等、相似三角形有关的探究型问题8在ABC 中，ACB90，经过点 B 的直线 l(不与直线 AB 重合)与直线 BC 的夹角DBCABC，分别过点 C，A 作直线 l 的垂线，垂足分别为 D，E.(1)问题发现若ABC30，如图，则 _；CDAE若ABC45，如图，则 _CDAE(2)拓展探究当 0ABC90， 的值有无变化？请仅就图 的情形给出证明CDAE(3)问题解决随着ABC 位置的变化，若直线 CE，AB 相交于点 F，且 ，CD4，请直接写出CFEF 56线段 BD 的长图 12S8详解详析1C 解析 DBDE ，DBEDEB，DBMMBCCDEC.ABBC， ABC90
7、， BM 是 AC 边上的中线，C45，BM AC，MBCC45，DBMCDE，故(1) 正确；DBMCDE，DMBEFD，DB DE，BMDDFE，S BMD S DFE ，S 四边形 BDFE SDFE S 四边形 BDFES BMD ，S BDE S 四边形 BMFE.故(2)错误；DBCBEN，DCBEBN ，BCDEBN， ，CDENBN BD.CDBN BDEN故(3)正确；BMDDFE，BMDF .又ABC90，BM 是 AC 边上的中线，BM AC，12AC2DF.故(4)正确故选 C.2D 解析 利用 SAS 证明CAEBAD，可得到 CEBD ；利用平行四边形的性质可得 A
8、ECD，再结合ADE 是等腰直角三角形可得到ADC 是等腰直角三角形；利用 SAS 证明BADBAE 可得到ADBAEB；利用已知得出GFDAFE，结合得GDFGFD90.由平行四边形的性质得GCDAEF ，进而得出CGD EAF ，得出比例式3D 解析 由菱形 ABCD 中，ABAC，易证得ABC 是等边三角形，则可得B EAC 60，由 SAS 即可证得ABFCAE， 则可得BAFACE；利用三角形外角的性质，即可求得AHC120；由BAFACE，AEC AEC，推出AEHCEA ；在菱形 ABCD 中，ADAB，由于AEH CEA，ABFCAE，于是AEHAFB，得到 AEADAHAF.
9、4解：(1)证明：ABC 是等腰直角三角形，BC45，ABAC.APAQ ，BPCQ.E 是 BC 的中点，BE CE .在BPE 和CQE 中，BECE， BC ，BP CQ，BPE CQE(SAS) (2)证明：ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，B CDEF 45 .BEQEQCC，即BEP DEF EQCC，BEP 45EQC45，BEP EQC，BPECEQ， .BPCE BECQBP2，CQ9，BE CE，BE 218，BECE3 ，BC6 .2 25解：(1)证明：OCD 旋转到OCD ，OCOC ，ODOD，AOC BOD.OAOB ，C，D 分别为 OA，OB 的中
10、点，OCOD，OCOD.在AOC和BOD中，OAOB ，AOCBOD，OCOD ，AOCBOD(SAS)，ACBD.延长 AC交 BD于点 E，交 BO 于点 F，如图所示AOCBOD，OACOBD.又AFOBFE，OACAFO90，OBD BFE90，BEA 90，ACBD.(2)AEB 成立，理由如下：设 AC交 BO 于点 F.OCD 旋转得到OC D，OCOC ，ODOD，AOC BOD.CDAB ， ，OCOA ODOB ，即 .OCOA ODOB OCOD OAOB又AOCBOD，AOCBOD，OACOBD.又AFOBFE，AEB AOB.6解：(1)证明：ACB90，ACBC ，
11、ADBD，BCDACD45，BCEACF 90，DCEDCF135.在DCE 和DCF 中，CECF，DCEDCF，CDCD，DCEDCF，DE DF.(2)AB 24CECF.理由：DCFDCE135，CDFF18013545.又CDFCDE45，FCDE，CDFCED， ，即 CD2CECF.CDCE CFCDACB90，ACBC， ADBD，CD AB，AB 24CECF.12如图，过点 D 作 DGBC 于点 G，则DGNECN90，CGDG.当 CE4，CF2 时，由 CD2CECF 得 CD2 .2在 RtDCG 中，CG DG 2.ECN DGN ，ENC DNG ，CEN GD
12、N ， 2，CNGN CEDGGN CG ，13 23DN .GN2 DG221037解：(1)证明：GE 是 AB 的垂直平分线，GA GB.同理 GDGC.在AGD 和 BGC 中，GAGB，AGDBGC，GDGC，AGD BGC ，AD BC.(2)证明：AGDBGC ，AGBDGC.由(1)知AGDBGC，得 .GAGB GDGC在AGB 和DGC 中， ，AGBDGC，GAGD GBGCAGBDGC， ，即 .AGDG EGFG AGEG DGFG又易知AGEDGF ，AGDEGF，AGD EGF.(3)如图，延长 AD 交 GB 于点 M，交 BC 的延长线于点 H，则 AHBH.
13、由AGD BGC ，得GADGBC.在GAM 和HBM 中，GADGBC，GMAHMB，AGBAHB90，AGE AGB 45，12 .AGEG 2又AGD EGF， .ADEF AGEG 28解：(1)如图，CD BD，CDB90.DBCABC30，CD BC.12在ABC 和BAE 中，ACBAEB90，BAEABC30，ABBA，ABC BAE(AAS)，BCAE， CD AE， .12 CDAE 12如图，过点 C 作 CFAB 于点 F，ABC45，ACB90，ACB 是等腰直角三角形CBD45，ABD90.又AEBD ，点 B 与点 E 重合，EF AE.12CDBD，四边形 CD
14、EF 为矩形，EFCD，CD AE， .12 CDAE 12(2) 的值无变化CDAE理由：如图，延长 AC 与直线 l 交于点 G，ACB90，DBCABC ，AGBBAG ，BABG.又BCAG，C 是 AG 的中点AEl，CDl，CDAE，GCDGAE ， .CDAE GCGA 12(3)分两种情况：如图，当点 F 在线段 AB 上时，过点 C 作 CGl 交 AE 于点 H，交 AB 于点 G， DBC HCB.DBCCBF，CBFHCB，CGBG.ACB90，CAGCBF HCBACG90，ACGCAG，CGAGBG.CGl，CFGEFB， .CFEF CGBE 56设 CG5x，BE6x ，则 AB10x.AEB 90，AE8x ，由(2)得 AE2CD.CD4，AE88x ，x 1，AB10，BE6，CG5.GHl，AGHABE， ，HG3，HGBE AHAE 12CHCG HG8.CGl，CD AE，四边形 CDEH 为平行四边形，DECH8，BDDEBE2；如图，当点 F 在线段 BA 的延长线上时，过点 C 作 CGl，交 AE 于点 H，交 AB于点 G，同理可得 CG5，BE 6，HG3，DECHCGHG2，BDDE BE8.综上所述，线段 BD 的长为 2 或 8.
