《4.4探索三角形相似的条件(第3课时)相似三角形的判定3》同步练习(含答案)

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1、第 3 课时 利用三边的关系判定三角形相似关键问答判定三角形相似时,如何根据已知条件选择合适的方法?1.2017河北 若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC,则B的度数与其对应角B 的度数相比( )A增加了 10% B减少了 10% C增加了(110%) D没有改变2 在ABC 中,AB 25 cm,BC20 cm,AC 15 cm,在DEF 中,DE 5 cm, EF4 cm ,则当 DF_ cm 时,ABC 与 DEF 相似3如图 4423 所示,在正方形网格中有两个三角形 A1B1C1 和 A2B2C2.求证:A1B1C1 A2B2C2.图 4423命题点 1 利用三边对应成比例

2、证明两三角形相似 热度:90%4 如图 4424 所示,给出下列条件:BACD;ADCACB; ;AC 2ADAB .其中单独能够判定ABCACD 的有( )ACCD ABBC图 4424A1 个 B2 个C3 个 D4 个方法点拨已知两个三角形有一组相等的角,只要再找一组角相等或夹这个角的两条对应边成比例,即可判定两个三角形相似解题时要注意图形中隐含的公共角5要做两个形状为三角形的框架,其中一个三角形框架的三边长分别为 4,5,6,另一个三角形框架的一边长为 2,欲使这两个三角形相似,该三角形框架的另两边长可以是_6 如图 4425,已知 ,求证:BAD CAE.ABAD BCDE ACAE

3、图 4425模型建立相似三角形中的基本模型:旋转型:图 4426平行型:图 44277如图 4428,已知:ABAB, , .BCBC OBOB ACAC OAOA试说明:ABCABC.图 44288 如图 4429 所示,在矩形 ABCD 中,BC3AB,E,F 是 BC 边的三等分点,连接 AE,AF,AC.请问:图中是否存在非全等的相似三角形?若存在,请指出图 4429解题突破三等分点是什么意思?你能利用它表示出其他线段的长吗?命题点 2 网格与相似 热度: 87%9 如图 4430,在 44 的正方形网格中,是相似三角形的是( )图 4430A和 B和 C 和 D和方法点拨解决网格相似

4、题常用的策略:(1)找特殊角,即利用网格的直观性 ,从中发现一些特殊的角,如 45,90,135角,再检验夹等角的两组对应边是否成比例;(2)利用勾股定理计算三边的长,再检验三组对应边是否成比例10在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形如图 4431,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 55 的网格中,以 A,B 为顶点作格点三角形,使其与OAB 相似(相似比不能为 1),则另一个顶点 C 的坐标为_图 443111 如图 4432,方格纸中每个小正方形的边长均为 1,ABC 和DEF 的顶点都在方格纸的格点上(1)判断ABC 和DEF 是否相似 ,并说明

5、理由;(2)P1, P2,P 3,P 4,P 5,D,F 是DEF 边上的 7 个格点,请在这 7 个格点中选取 3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与ABC 相似( 要求写出 2 个符合条件的三角形,并在图中连接相应线段,不必说明理由)图 4432方法点拨在解正方形网格中的相似三角形问题时,一般把网格的边长看作单位 1,借助勾股定理可得三角形的三边长,再检验两个三角形的三边是否胜成比例12 一个钢筋三角架的三边长分别是 20 cm,50 cm,60 cm,再做一个与其相似的钢筋三角架,现在只有长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋, 要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余

6、料)作为另外两边,则不同的截法有多少种?写出你的设计方案 ,并说明理由解题突破是否可以把 30 cm 长的钢筋截成两段?当把 50 cm 长的钢筋截成两段时,30 cm 长的钢筋与原三角架的边有几种对应情况?13 如图 4433,在 Rt ABC 中,ACB90,AC8,BC6,CDAB 于点 D.点 P 从点 D 出发,沿线段 DC 向点 C 运动,点 Q 从点 C 出发,沿线段 CA 向点 A 运动,两点同时出发,速度都为每秒 1 个单位长度,当点 P 运动到点 C 时,两点都停止运动设运动时间为 t 秒(1)求线段 CD 的长(2)设CPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数表达式

7、,并确定在运动过程中是否存在某一时刻 t,使得 SCPQ S ABC9100?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由(3)当 t 为何值时,CPQ 为等腰三角形?图 4433解题突破(1)应用等积法求线段长;(2)假设存在,利用方程求解;(3)应用分类讨论思想,注意分类要不重复、不遗漏详解详析【关键问答】判定三角形相似的方法:条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组对应边成比例;条件中若有两组对应边成比例,可找它们的夹角相等或考虑三组对应边成比例1D 解析 ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC,ABC 与ABC的三边对应成比例,ABCA B C,BB. 故选 D

8、.23 3证明:设网格中每个小正方形的边长均为 1.由勾股定理,得A1B1 ,A 1C1 ,A 2B2 ,B 2C2 .12 22 5 12 32 10 12 12 2 12 32 10又知 B1C15,A 2C22, ,A1B1A2B2 52 102 , ,A1C1A2C2 102 B1C1B2C2 510 102 ,A1B1A2B2 A1C1A2C2 B1C1B2C2A 1B1C1 A2B2C2.4C 解析 可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;中A 不是已知的比例线段的夹角,不正确;可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个

9、三角形相似来判定故选 C.5. ,3 或 , 或 ,52 85 125 43 53解析 题中没有指明长为 2 的边与原三角形的哪条边对应 ,所以应分情况讨论:(1)若长为 2 的边与长为 4 的边相对应,则另两边长为 和 3;52(2)若长为 2 的边与长为 5 的边相对应,则另两边长为 和 ;85 125(3)若长为 2 的边与长为 6 的边相对应,则另两边长为 和 .43 53故三角形框架的另两边长可以是 ,3 或 , 或 , .52 85 125 43 536证明: ,ABAD BCDE ACAEABCADE,BACDAE,BACDACDAEDAC,即BADCAE.7解:ABA B,OA

10、BOAB, .A BAB OBOB OAOA , ,BCBC OBOB ACAC OAOA ,ABAB BCBC ACACABCAB C .8解:图中存在非全等的相似三角形,EAFECA .理由如下:因为四边形 ABCD 是矩形,所以B90.设 ABk,则 BC3AB3k .因为 E,F 是 BC 边的三等分点,所以 BEEFFC BCk.13由勾股定理,得 AE k,AF k,AC AB2 BE2 2 AB2 BF2 5 AB2 BC2k.10在EAF 与ECA 中,因为 , ,AECE 2k2k 22 AFCA 5k10k 22 ,所以 ,EFEA k2k 22 AECE AFCA EFE

11、A所以EAF ECA.9C 解析 设每个小正方形的边长为 1.由勾股定理求出中三角形的各边长分别为2, , ;中三角形的各边长分别为 2 ,2,2 .2 10 2 5 , ,22 2 22 102 5 22即 ,22 22 2 102 5与中两三角形的三边对应成比例,和是相似三角形,故选 C.10(5,2) 或(4,4) 解析 OA 2,OB1,AB ,5当 AB 与 AC 对应时,有 或 ,ABAC OAAB ABAC OBABAC 或 AC5.52点 C 在格点上,AC 不合题意,则 AC5,52点 C 的坐标为(5,2)同理,当 AB 与 BC 对应时,可求得 BC 或 BC5,也是只有

12、后者符合题意 ,此时52点 C 的坐标为(4,4)点 C 的坐标为(5,2)或(4,4)11解:(1)ABC 和DEF 相似理由:根据勾股定理,得 AB2 ,AC ,BC5;DE4 ,DF2 ,EF25 5 2 2,10 , , , ,ABDE 2 54 2 104 ACDF 52 2 104 BCEF 5210 104 ABDE ACDF BCEFABCDEF.(2)答案不唯一,下面 6 个三角形中的任意 2 个均可P 2P5D,P 4P5F,P2P4D,P 4P5D,P 2P4P5, P 1FD.图略12解:有两种设计方案:从 50 cm 长的钢筋上截下 12 cm 与 36 cm 的两部

13、分;从 50 cm 长的钢筋上截下 10 cm 与 25 cm 的两部分理由如下:由相似三角形的对应边成比例,可知只能将 30 cm 长的钢筋作为一边,将50 cm 长的钢筋截成两段设从 50 cm 长的钢筋上截下的两段分别长 x cm,y cm,且 xy.当 30 cm 长的边对应 20 cm 长的边时,有 ,解得 x75,y90.2030 50x 60y因为 xy50,所以此种情况不成立;当 30 cm 长的边对应 50 cm 长的边时,有 ,解得 x12,y36.20x 5030 60y因为 xy4850,所以此种情况成立;当 30 cm 长的边对应 60 cm 长的边时,有 ,解得 x

14、10,y25.20x 50y 6030因为 xy3550,所以此种情况成立综上可知,有两种设计方案:从 50 cm 长的钢筋上截下 12 cm 与 36 cm 的两部分;从 50 cm 长的钢筋上截下 10 cm 和 25 cm 的两部分13解析 (1)利用勾股定理可求出 AB 的长,再用等积法可求出线段 CD 的长(2)过点 P 作 PHAC,垂足为 H,通过三角形相似即可用含 t 的代数式表示 PH,从而可以求出 SCPQ 与 t 之间的函数表达式;利用 SCPQ S ABC9100 建立关于 t 的方程,解方程即可解决问题(3)可分三种情况进行讨论:由 CQPC 可建立关于 t 的方程,

15、从而求出 t;由 PQPC或 CQ PQ 不能直接得到关于 t 的方程,可借助等腰三角形三线合一及三角形相似的性质,建立关于 t 的方程,从而求出 t.解:(1)如图,ACB90,AC8,BC 6,AB10.CDAB ,S ABC BCAC ABCD,12 12CD 4.8.BCACAB 6810线段 CD 的长为 4.8.(2)过点 P 作 PHAC,垂足为 H,如图所示由题可知 DPt,CQt,则 PC4.8t.ACBCDB90,HCP90DCBB.PHAC,CHP90,CHPACB,CHPBCA , ,即 ,PH t.PHAC PCAB PH8 4.8 t10 9625 45S CPQ

16、CQPH t( t) t2 t.12 129625 45 25 4825存在某一时刻 t,使得 SCPQ S ABC 9100.S ABC 6824,且 SCPQ S ABC 9100,12( t2 t)249100.25 4825整理,得 5t224t270,即(5t9)(t3)0,解得 t 或 t3.950t4.8,当 t 或 t3 时,S CPQ S ABC 9100.95(3)若 CQPC,则 t4.8t,解得 t2.4;若 PQPC,过点 P 作 PHAC 于点 H,PQPC,PHQC,QHCH CQ .12 t2CHPBCA, ,CHBC CPAB即 ,解得 t ;t26 4.8 t10 14455若 CQPQ,过点 Q 作 QECP ,垂足为 E,如图.CQPQ,CEEP CP .12 4.8 t2ACDB,QECACB,QECACB, ,CEBC QCAB即 ,解得 t .12(4.8 t)6 t10 2411综上所述,当 t 为 2.4 或 或 时,CPQ 为等腰三角形14455 2411

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