1、第 3 课时 利用三边的关系判定三角形相似关键问答判定三角形相似时，如何根据已知条件选择合适的方法？1.2017河北 若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B的度数与其对应角B 的度数相比( )A增加了 10% B减少了 10% C增加了(110%) D没有改变2 在ABC 中，AB 25 cm，BC20 cm，AC 15 cm，在DEF 中，DE 5 cm， EF4 cm ，则当 DF_ cm 时，ABC 与 DEF 相似3如图 4423 所示，在正方形网格中有两个三角形 A1B1C1 和 A2B2C2.求证：A1B1C1 A2B2C2.图 4423命题点 1 利用三边对应成比例
2、证明两三角形相似 热度：90%4 如图 4424 所示，给出下列条件：BACD；ADCACB； ；AC 2ADAB .其中单独能够判定ABCACD 的有( )ACCD ABBC图 4424A1 个 B2 个C3 个 D4 个方法点拨已知两个三角形有一组相等的角，只要再找一组角相等或夹这个角的两条对应边成比例，即可判定两个三角形相似解题时要注意图形中隐含的公共角5要做两个形状为三角形的框架，其中一个三角形框架的三边长分别为 4，5，6，另一个三角形框架的一边长为 2，欲使这两个三角形相似，该三角形框架的另两边长可以是_6 如图 4425，已知 ，求证：BAD CAE.ABAD BCDE ACAE
3、图 4425模型建立相似三角形中的基本模型：旋转型：图 4426平行型：图 44277如图 4428，已知：ABAB， ， .BCBC OBOB ACAC OAOA试说明：ABCABC.图 44288 如图 4429 所示，在矩形 ABCD 中，BC3AB，E，F 是 BC 边的三等分点，连接 AE，AF，AC.请问：图中是否存在非全等的相似三角形？若存在，请指出图 4429解题突破三等分点是什么意思？你能利用它表示出其他线段的长吗？命题点 2 网格与相似 热度： 87%9 如图 4430，在 44 的正方形网格中，是相似三角形的是( )图 4430A和 B和 C 和 D和方法点拨解决网格相似
4、题常用的策略：(1)找特殊角，即利用网格的直观性 ，从中发现一些特殊的角，如 45，90，135角，再检验夹等角的两组对应边是否成比例；(2)利用勾股定理计算三边的长，再检验三组对应边是否成比例10在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形如图 4431，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 55 的网格中，以 A，B 为顶点作格点三角形，使其与OAB 相似(相似比不能为 1)，则另一个顶点 C 的坐标为_图 443111 如图 4432，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，ABC 和DEF 的顶点都在方格纸的格点上(1)判断ABC 和DEF 是否相似 ，并说明
5、理由；(2)P1， P2，P 3，P 4，P 5，D，F 是DEF 边上的 7 个格点，请在这 7 个格点中选取 3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与ABC 相似( 要求写出 2 个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)图 4432方法点拨在解正方形网格中的相似三角形问题时，一般把网格的边长看作单位 1，借助勾股定理可得三角形的三边长，再检验两个三角形的三边是否胜成比例12 一个钢筋三角架的三边长分别是 20 cm，50 cm，60 cm，再做一个与其相似的钢筋三角架，现在只有长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋， 要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余
6、料)作为另外两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案 ，并说明理由解题突破是否可以把 30 cm 长的钢筋截成两段？当把 50 cm 长的钢筋截成两段时，30 cm 长的钢筋与原三角架的边有几种对应情况？13 如图 4433，在 Rt ABC 中，ACB90，AC8，BC6，CDAB 于点 D.点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到点 C 时，两点都停止运动设运动时间为 t 秒(1)求线段 CD 的长(2)设CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数表达式
7、，并确定在运动过程中是否存在某一时刻 t，使得 SCPQ S ABC9100？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由(3)当 t 为何值时，CPQ 为等腰三角形？图 4433解题突破(1)应用等积法求线段长；(2)假设存在，利用方程求解；(3)应用分类讨论思想，注意分类要不重复、不遗漏详解详析【关键问答】判定三角形相似的方法：条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组对应边成比例；条件中若有两组对应边成比例，可找它们的夹角相等或考虑三组对应边成比例1D 解析 ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，ABC 与ABC的三边对应成比例，ABCA B C，BB. 故选 D
8、.23 3证明：设网格中每个小正方形的边长均为 1.由勾股定理，得A1B1 ，A 1C1 ，A 2B2 ，B 2C2 .12 22 5 12 32 10 12 12 2 12 32 10又知 B1C15，A 2C22， ，A1B1A2B2 52 102 ， ，A1C1A2C2 102 B1C1B2C2 510 102 ，A1B1A2B2 A1C1A2C2 B1C1B2C2A 1B1C1 A2B2C2.4C 解析 可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；中A 不是已知的比例线段的夹角，不正确；可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个
9、三角形相似来判定故选 C.5. ，3 或 ， 或 ，52 85 125 43 53解析 题中没有指明长为 2 的边与原三角形的哪条边对应 ，所以应分情况讨论：(1)若长为 2 的边与长为 4 的边相对应，则另两边长为 和 3；52(2)若长为 2 的边与长为 5 的边相对应，则另两边长为 和 ；85 125(3)若长为 2 的边与长为 6 的边相对应，则另两边长为 和 .43 53故三角形框架的另两边长可以是 ，3 或 ， 或 ， .52 85 125 43 536证明： ，ABAD BCDE ACAEABCADE，BACDAE，BACDACDAEDAC，即BADCAE.7解：ABA B，OA
10、BOAB， .A BAB OBOB OAOA ， ，BCBC OBOB ACAC OAOA ，ABAB BCBC ACACABCAB C .8解：图中存在非全等的相似三角形，EAFECA .理由如下：因为四边形 ABCD 是矩形，所以B90.设 ABk，则 BC3AB3k .因为 E，F 是 BC 边的三等分点，所以 BEEFFC BCk.13由勾股定理，得 AE k，AF k，AC AB2 BE2 2 AB2 BF2 5 AB2 BC2k.10在EAF 与ECA 中，因为 ， ，AECE 2k2k 22 AFCA 5k10k 22 ，所以 ，EFEA k2k 22 AECE AFCA EFE
11、A所以EAF ECA.9C 解析 设每个小正方形的边长为 1.由勾股定理求出中三角形的各边长分别为2， ， ；中三角形的各边长分别为 2 ，2，2 .2 10 2 5 ， ，22 2 22 102 5 22即 ，22 22 2 102 5与中两三角形的三边对应成比例，和是相似三角形，故选 C.10(5，2) 或(4，4) 解析 OA 2，OB1，AB ，5当 AB 与 AC 对应时，有 或 ，ABAC OAAB ABAC OBABAC 或 AC5.52点 C 在格点上，AC 不合题意，则 AC5，52点 C 的坐标为(5，2)同理，当 AB 与 BC 对应时，可求得 BC 或 BC5，也是只有
12、后者符合题意 ，此时52点 C 的坐标为(4，4)点 C 的坐标为(5，2)或(4，4)11解：(1)ABC 和DEF 相似理由：根据勾股定理，得 AB2 ，AC ，BC5；DE4 ，DF2 ，EF25 5 2 2，10 ， ， ， ，ABDE 2 54 2 104 ACDF 52 2 104 BCEF 5210 104 ABDE ACDF BCEFABCDEF.(2)答案不唯一，下面 6 个三角形中的任意 2 个均可P 2P5D，P 4P5F，P2P4D，P 4P5D，P 2P4P5， P 1FD.图略12解：有两种设计方案：从 50 cm 长的钢筋上截下 12 cm 与 36 cm 的两部
13、分；从 50 cm 长的钢筋上截下 10 cm 与 25 cm 的两部分理由如下：由相似三角形的对应边成比例，可知只能将 30 cm 长的钢筋作为一边，将50 cm 长的钢筋截成两段设从 50 cm 长的钢筋上截下的两段分别长 x cm，y cm，且 xy.当 30 cm 长的边对应 20 cm 长的边时，有 ，解得 x75，y90.2030 50x 60y因为 xy50，所以此种情况不成立；当 30 cm 长的边对应 50 cm 长的边时，有 ，解得 x12，y36.20x 5030 60y因为 xy4850，所以此种情况成立；当 30 cm 长的边对应 60 cm 长的边时，有 ，解得 x
14、10，y25.20x 50y 6030因为 xy3550，所以此种情况成立综上可知，有两种设计方案：从 50 cm 长的钢筋上截下 12 cm 与 36 cm 的两部分；从 50 cm 长的钢筋上截下 10 cm 和 25 cm 的两部分13解析 (1)利用勾股定理可求出 AB 的长，再用等积法可求出线段 CD 的长(2)过点 P 作 PHAC，垂足为 H，通过三角形相似即可用含 t 的代数式表示 PH，从而可以求出 SCPQ 与 t 之间的函数表达式；利用 SCPQ S ABC9100 建立关于 t 的方程，解方程即可解决问题(3)可分三种情况进行讨论：由 CQPC 可建立关于 t 的方程，
15、从而求出 t；由 PQPC或 CQ PQ 不能直接得到关于 t 的方程，可借助等腰三角形三线合一及三角形相似的性质，建立关于 t 的方程，从而求出 t.解：(1)如图，ACB90，AC8，BC 6，AB10.CDAB ，S ABC BCAC ABCD，12 12CD 4.8.BCACAB 6810线段 CD 的长为 4.8.(2)过点 P 作 PHAC，垂足为 H，如图所示由题可知 DPt，CQt，则 PC4.8t.ACBCDB90，HCP90DCBB.PHAC，CHP90，CHPACB，CHPBCA ， ，即 ，PH t.PHAC PCAB PH8 4.8 t10 9625 45S CPQ
16、CQPH t( t) t2 t.12 129625 45 25 4825存在某一时刻 t，使得 SCPQ S ABC 9100.S ABC 6824，且 SCPQ S ABC 9100，12( t2 t)249100.25 4825整理，得 5t224t270，即(5t9)(t3)0，解得 t 或 t3.950t4.8，当 t 或 t3 时，S CPQ S ABC 9100.95(3)若 CQPC，则 t4.8t，解得 t2.4；若 PQPC，过点 P 作 PHAC 于点 H，PQPC，PHQC，QHCH CQ .12 t2CHPBCA， ，CHBC CPAB即 ，解得 t ；t26 4.8 t10 14455若 CQPQ，过点 Q 作 QECP ，垂足为 E，如图.CQPQ，CEEP CP .12 4.8 t2ACDB，QECACB，QECACB， ，CEBC QCAB即 ，解得 t .12（4.8 t）6 t10 2411综上所述，当 t 为 2.4 或 或 时，CPQ 为等腰三角形14455 2411
