1、2021 年河南省许昌市中考数学一模试卷年河南省许昌市中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1下列各数中，比1 小的数是（ ） A0 B C1 D 2如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 3如图，ABCD，AECF，A50，则C（ ） A40 B50 C60 D70 4某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如图所示，则售出这种商品每斤利润最大的是（ ） A第一天 B第二天 C第三天 D第四天 5一元二次方程 x（2
2、x1）1 的根的情况为（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D无实数根 6已知 a，k 均为正整数，则（ ） A2ak Ba2+k Ca2k Da2k+1 7 已知某函数经过点 A （2， y1） ， B （1， y2） ， C （2， y3） ， 且 y1y3y2， 则这个函数的表达式可以是 （ ） Ay By Cyx2 Dyx2 8一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走 3km，平路每小时走 4km，下坡 每小时走 5km， 那么从甲地到乙地需 54min， 从乙地到甲地需 42min 甲地到乙地全程是多少？ 若设坡路
3、长 xkm，平路长 ykm，根据题意可列方程组（ ） A B C D 9如图，在 55 的网格中，每个格点小正方形的边长为 1，ABC 的三个顶点 A、B、C 都在网格格点的 位置上，则ABC 的边 AB 上的高为（ ） A B C D 10如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 坐标分别为（0，6） ， （6，0） ，连接 AB，分别以点 A，点 B 为圆 心，AB 长为半径画弧，两弧在第一象限交于点 C则点 C 的坐标为（ ） A （7，7） B （3+3，3+3） C （8，8） D （3+3，3+3） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11请写出一个
4、大于且小于的整数 12不等式组的解集是 13现有一个不透明的袋子，装有 4 个球，它们的编号分别为 1，3，4，5这些球除编号外完全相同从 袋子中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出球的编号之和为奇数 的概率是 14如图，在扇形 AOB 中，AOB90，点 C 是 OA 的中点，点 D 在上，CDOA，若 OA2，则图 中阴影部分的周长为 15如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，将BCD 沿射线 BD 平移长度 a（a0）得到BCD，连 接 AB，AD，则当ABD是直角三角形时，a 的长为 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 8 个小题，共个小题，共 7
5、5 分）分） 16 （8 分）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务 （） 第一步 （）第二步 第三步 第四步 第五步 1第六步 任务一：填空： 以上化简步骤中，第一步进行的运算是 A整式乘法 B因式分解 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请直接写出该分式化简的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请根据平时的经验，就分式的化简过程写出一条注意事项 17 （9 分） 小手拉大手， 共创文明城 某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况， 通过发放问卷进行测评，从中随机抽取 20 份答卷，并统计成绩（成绩得分用 x 表示，单位：分） ，收集 数据
6、如下： 90 82 99 86 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 100 96 92 100 整理数据： 80 x85 85x90 90 x95 95x100 3 4 a 8 分析数据： 平均分 中位数 众数 92 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中 a，b，c 的值； （2）该校有 1600 名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于 90 分的人数是多少？ （3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义 18 （9 分）曹魏古城是许昌的特色建筑之一，具有文化展示旅游休闲、商业服务、特色居住等主要功能某 数学
7、活动小组借助测角仪和皮尺测量曹魏古城南城门中间大门的高度如图，矩形 AEFB 是中间大门的 截面图，他们先在城门南侧点 C 处测得点 A 的仰角ACE 为 58，然后沿直线从点 C 处穿过城门到达 点 D，从点 D 处测得点 B 的仰角BDF 为 45，点 C 到点 D 的距离为 38 米，EF 的距离为 18 米，求 曹魏古城南城门中间大门 AE 的高度（结果精确到 1 米； 参考数据： sin580.85， cos580.53， tan58 1.60） 19 （9 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆 O 上异于 A，B 的一点，连接 BP，PBA 的平分线交 半圆 O 于点
8、 C，过点 C 作半圆 O 的切线交射线 BP 于点 D，连接 CP，CA （1）求证：CDBD； （2）若 AB5，BD4，求 BC 的长度； （3）当PCBOCB 时，请直接写出线段 BP 与 DP 之间的数量关系 20 （9 分）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季某水果店以 2850 元购进两种不同 品种的盒装草莓若按标价出售可获毛利润 1500 元（毛利润售价进价） ，这两种盒装草莓的进价、 标价如表所示： 价格/品种 A 品种 B 品种 进价（元/盒） 45 60 标价（元/盒） 70 90 （1）求这两个品种的草莓各购进多少盒； （2）该店计划下周购进这两种品种的
9、草莓共 100 盒（每种品种至少进 1 盒） ，并在两天内将所进草莓全 部销售完毕（损耗忽略不计） 因 B 品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进 B 品种的盒数不低于 A 品种盒数的 2 倍，且 A 品种不少于 20 盒如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？ 21 （10 分）已知抛物线 ymx2+2mx+m22 （1）求此抛物线的对称轴； （2）若此抛物线的顶点在直线 y2x+6 上，求抛物线的解析式； （3）若点 A（a，yA）与点 B（3，yB）在此抛物线上，且 yAyB，求 a 的取值范围 22 （10 分）小明在学习过程中，遇到这样一个问题：如图 1，在菱形 ABCD
10、中，点 M，N 分别是边 BC， CD 的中点，点 P 是对角线 BD 上的动点，连接 PM，PN，MN，当PMN 是等腰三角形时，求线段 BP 的长度小明根据学习函数的经验，对此问题进行了以下探究，请补充完整 （1）对于点 P 在对角线 BD 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 BP，PM，PN 的长度的几组值， 如下表： BP/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 PM/cm 2.5 1.8 1.4 1.8 2.5 3.3 4.2 5.2 6.2 PN/cm 6.2 5.2 4.2 3.3 2.5 1.8 1.4 1.8 2.5 通过观察 （1） 中表
11、格， 可以得到菱形 ABCD的对角线 BD 长为 cm， 菱形ABCD 的边长为 cm； 在 BP，PM，PN 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是 这个自变量的函数； （2）在平面直角坐标系中画出（1）中确定的函数图象； （3）结合函数图象，当PMN 是等腰三角形时，线段 BP 长度为 （结果保留一位小数） 23 （11 分） 在 RtABC 与 RtECD 中， ABCECD90， ACBEDC30， AB2， CD3， 连接 BE，以 BE，AB 为邻边作平行四边形 ABEF，连接 BD，CF （1）如图 1，当点 E 在边 BC 上时，的值为 ，直线 FC 与
12、直线 BD 的位置关 系是 ； （2）将 RtECD 由图 1 的位置绕点 C 顺时针旋转一周 （1） 中的两个结论是否仍然成立？如果成立， 请仅就图 2 的情形进行证明； 如果不成立， 请说明理由； 当以点 B，C，D，E 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 FC 的长度 2021 年河南省许昌市中考数学一模试卷年河南省许昌市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1下列各数中，比1 小的数是（ ） A0 B
13、 C1 D 【分析】根据实数的大小比较法则比较即可 【解答】解：A01，故本选项不符合题意； B1，故本选项不符合题意； C11，故本选项不符合题意； D1，故本选项符合题意； 故选：D 2如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据简单几何体的主视图的画法，利用“长对正” ，从正面看到的图形 【解答】解：从正面看， “底座长方体”看到的图形是矩形， “上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形， 因此选项 C 的图形符合题意， 故选：C 3如图，ABCD，AECF，A50，则C（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】两直线平行，同位角相等 【解答
14、】解：如图， AECF，A50， 1A50， ABCD， C150， 故选：B 4某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如图所示，则售出这种商品每斤利润最大的是（ ） A第一天 B第二天 C第三天 D第四天 【分析】根据图象中的信息即可得到结论 【解答】解：由图象中的信息可知， 利润售价进价，利润最大的天数是第二天， 故选：B 5一元二次方程 x（2x1）1 的根的情况为（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D无实数根 【分析】整理后得出 2x2x10，求出90，再根据根的判别式的内容得出答案即可 【解答】解：x（2x1）1， 整理，得 2x2x10， （1）2
15、42（1）90， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A 6已知 a，k 均为正整数，则（ ） A2ak Ba2+k Ca2k Da2k+1 【分析】根据 a 个 a 相加a2，再利用幂的乘方运算法则计算得出答案 【解答】解：（a2）ka2k 故选：C 7 已知某函数经过点 A （2， y1） ， B （1， y2） ， C （2， y3） ， 且 y1y3y2， 则这个函数的表达式可以是 （ ） Ay By Cyx2 Dyx2 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象上点的坐标特征即可判断 【解答】解：A、若反比例函数 y的图象经过点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）时， k8
16、0， 图象在一三象限，且在每个象限 y 随 x 的增大而减小， A（2，y1）在第三象限，B（1，y2） ，C（2，y3）在第一象限， y2y3y1，故 A 错误； B、若反比例函数 y的图象经过点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）时， k80， 图象在二四象限，且在每个象限 y 随 x 的增大而增大， A（2，y1）在第二象限，B（1，y2） ，C（2，y3）在第四象限， y1y3y2，故 B 正确； C、若二次函数 yx2的图象经过点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）时， a10， 抛物线开口向上，对称轴为 y 轴， A（2，y1） ，C（2，y3）到对
17、称轴的距离相等，且 B（1，y2）到对称轴的距离最短， y1y3y2，故 C 错误； D、若二次函数 yx2的图象经过点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）时， a10， 抛物线开口向下，对称轴为 y 轴， A（2，y1） ，C（2，y3）到对称轴的距离相等，且 B（1，y2）到对称轴的距离最短， y2y1y3，故 D 错误； 故选：B 8一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走 3km，平路每小时走 4km，下坡 每小时走 5km， 那么从甲地到乙地需 54min， 从乙地到甲地需 42min 甲地到乙地全程是多少？ 若设坡路长 xkm，平
18、路长 ykm，根据题意可列方程组（ ） A B C D 【分析】 去乙地时的路程和回来时是相同的， 不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反， 平路不变， 已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组 【解答】解：设坡路长 xkm；平路长 ykm， 由题意得： 故选：A 9如图，在 55 的网格中，每个格点小正方形的边长为 1，ABC 的三个顶点 A、B、C 都在网格格点的 位置上，则ABC 的边 AB 上的高为（ ） A B C D 【分析】根据勾股定理可求 AB 的长度，由三角形面积公式可求ABC 的面积，根据三角形面积公式可 求边 AB 上的高 【解答】解：AB，
19、 SABC222， ABC 的边 AB 上的高为 故选：C 10如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 坐标分别为（0，6） ， （6，0） ，连接 AB，分别以点 A，点 B 为圆 心，AB 长为半径画弧，两弧在第一象限交于点 C则点 C 的坐标为（ ） A （7，7） B （3+3，3+3） C （8，8） D （3+3，3+3） 【分析】 根据角平分线的性质， 等腰直角和等边三角形的性质及第一象限内点的坐标特点即可得出结论 【解答】解：A（0，6） ，B（6，0） ， AB， 由题意可知，点 C 在AOB 的平分线上， ABC 为等边三角形， OD3，CD3， OC3+3， 点 C 的坐标
20、为（3+3，3+3） 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11请写出一个大于且小于的整数 2（或 3） 【分析】根据无理数的估算，找出大于且小于的整数，任选一个即可 【解答】解：因为 12，34， 所以大于且小于的整数有 2，3 故答案为：2（或 3） 12不等式组的解集是 3x1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 找不到确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 x+30，得：x3， 解不等式 x10，得：x1， 则不等式组的解集为3x1， 故答案为：3x1 13现有一个不透明的袋子，装有
21、4 个球，它们的编号分别为 1，3，4，5这些球除编号外完全相同从 袋子中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出球的编号之和为奇数 的概率是 【分析】画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为奇数的结果数，然 后根据概率公式求解 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 16 种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为奇数的有 6 种， 则两次摸出的球的编号之和为奇数的概率是 故答案为： 14如图，在扇形 AOB 中，AOB90，点 C 是 OA 的中点，点 D 在上，CDOA，若 OA2，则图 中阴影部分的周长为 1+ 【分析】如图，连接
22、AD，DO首先证明AOD 是等边三角形，求出的长，CD，可得结论 【解答】解：如图，连接 AD，DO ACCO，CDAO， DADO， OAOD， OAD 是等边三角形， AOD60， 的长， CD， 阴影部分的周长为 1+ 故答案为：1+ 15如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，将BCD 沿射线 BD 平移长度 a（a0）得到BCD，连 接 AB，AD，则当ABD是直角三角形时，a 的长为 或 【分析】分两种情况： 如图 1，DAB90，如图 2，ABD90，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相 似列比例式可得对应 a 的值 【解答】解：分两种情况： 如图 1，DAB90，延长
23、 CB交 AB 于 G，过点 D作 DHAB，交 BA 的延长线于 H， HAGBBGB90， 四边形 ABCD 是矩形， BADC90，ADBC3， tanABD，即， 设 BG3x，BG4x， BBa5x， 由平移得：DDBB5x， DH3+3x，AHBG4x， AGABBG44x， DABHAD+BAB90， ADH+HAD90， ADHGAB， HAGB90， DHAAGB， ，即， x， a5； 如图 2，ABD90，延长 CB交 AB 于 M，则 CMAB， AMB90， 由平移得：BCBC3， 同理设 BM3m，BM4m，则 BBa5m， AM44m， ABM+DBC90，MAB
24、+ABM90， DBCMAB， CAMB90， DCBBMA， ，即， m， a5m5； 综上，a 的值是或 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16 （8 分）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务 （） 第一步 （）第二步 第三步 第四步 第五步 1第六步 任务一：填空： 以上化简步骤中，第一步进行的运算是 A整式乘法 B因式分解 第 三 步开始出现错误，这一步错误的原因是 分式相加时，没有对“1”通分 任务二：请直接写出该分式化简的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请根据平时的经验，就分式的化简过程写出一条注意事项 【分
25、析】任务一：观察第一步过程，确定出运算即可； 观察解题过程，找出出错步骤，分析原因即可； 任务二：写出分式化简的正确结果即可； 任务三：写出分式化简时注意的事项即可 【解答】解：任务一：以上化简步骤中，第一步进行的运算是 B； 第三步开始出现错误，这一步错误的原因是分式相加时，没有对“1”通分； 故答案为：B；三，分式相加时，没有对“1”通分； 任务二：2； 任务三：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一） 17 （9 分） 小手拉大手， 共创文明城 某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况， 通过发放问卷进行测评，从中随机抽取 20 份答卷，并统计成绩（成绩得分用 x 表
26、示，单位：分） ，收集 数据如下： 90 82 99 86 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 100 96 92 100 整理数据： 80 x85 85x90 90 x95 95x100 3 4 a 8 分析数据： 平均分 中位数 众数 92 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中 a，b，c 的值； （2）该校有 1600 名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于 90 分的人数是多少？ （3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义 【分析】 （1）将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的概念求解可得；
27、（2）用总人数乘以样本中不低于 90 分的人数占被调查人数的比例即可得； （3）从众数和中位数的意义求解可得 【解答】解： （1）将这组数据重新排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96， 96，98，99，100，100，100，100， a5，b91，c100； （2）估计成绩不低于 90 分的人数是 16001040（人） ； （3）中位数， 在被调查的 20 名家长中，中位数为 91 分，有一半的人分数都是在 91 分以上 18 （9 分）曹魏古城是许昌的特色建筑之一，具有文化展示旅游休闲、商业服务、特色居住等主要功能某 数学活动小组借助测角仪
28、和皮尺测量曹魏古城南城门中间大门的高度如图，矩形 AEFB 是中间大门的 截面图，他们先在城门南侧点 C 处测得点 A 的仰角ACE 为 58，然后沿直线从点 C 处穿过城门到达 点 D，从点 D 处测得点 B 的仰角BDF 为 45，点 C 到点 D 的距离为 38 米，EF 的距离为 18 米，求 曹魏古城南城门中间大门 AE 的高度（结果精确到 1 米； 参考数据： sin580.85， cos580.53， tan58 1.60） 【分析】在 RtBDF 中，BFD90，BDF45，可得 DFBF，再在 RtACE 中，由于ACE 58，根据锐角三角函数的意义可表示出 CE，设未知数，
29、利用 CE+EF+FDCD 列方程求解即可 【解答】解：设 AExm，则 BFAExm， 在 RtBDF 中，BFD90，BDF45， DFBFxm， 在 RtACE 中，BFD90，ACE58， CE（m） ， CE+EF+FDCD， +18+x38， 解得 x12（m） ， 答：曹魏古城南城门中间大门 AE 的高度约为 12m 19 （9 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆 O 上异于 A，B 的一点，连接 BP，PBA 的平分线交 半圆 O 于点 C，过点 C 作半圆 O 的切线交射线 BP 于点 D，连接 CP，CA （1）求证：CDBD； （2）若 AB5，BD4，求
30、 BC 的长度； （3）当PCBOCB 时，请直接写出线段 BP 与 DP 之间的数量关系 【分析】 （1）连接 OC，由 CD 为切线，可得 OCCD，由 OO，可得OCBOB，BC 平分 P，证得OCBPBC 即可； （2） 由 AB 为直径， 可得ACB90， 可证ABCCBD， 可得 CB2ABDB， 即可得 CB 2； （3）连接 OP，由PCBOCB，可证四边形 OBPC 为菱形，再证OBP 为等边三角形，可得PBO 60，可求BPC120，可得DCP30，CDP90，即可证得 BP2DP 【解答】 （1）证明：如图，连接 OC， CD 为切线， OCCD， OCO， OCBOB，
31、 BC 平分ABP， CBOPBC， OCBPBC， OCP， CDP， 即 CDBD； （2）解：AB 为直径， ACB90， ACBBDC90， ABCCBD， ABCCD， ， CB2ABDB， AB5，BD4， CB2； （3）解：BP2DP，理由如下： 连接 OP， PCBOCB， CPCO，PBOB， BOCO， CPPBBOOC， 四边形 OBPC 为菱形， OPOBPB， OBP 为等边三角形， PBO60， BPC180PBO120， DCPCPBCDP1209030， CDP90， CP2DP， BP2DP 20 （9 分）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺
32、季某水果店以 2850 元购进两种不同 品种的盒装草莓若按标价出售可获毛利润 1500 元（毛利润售价进价） ，这两种盒装草莓的进价、 标价如表所示： 价格/品种 A 品种 B 品种 进价（元/盒） 45 60 标价（元/盒） 70 90 （1）求这两个品种的草莓各购进多少盒； （2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共 100 盒（每种品种至少进 1 盒） ，并在两天内将所进草莓全 部销售完毕（损耗忽略不计） 因 B 品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进 B 品种的盒数不低于 A 品种盒数的 2 倍，且 A 品种不少于 20 盒如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？ 【分析】 （
33、1）根据某水果店以 2850 元购进两种不同品种的盒装草莓，按标价出售可获毛利润 1500 元和 表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出毛利润和购买 A 种草莓数量的函数关系式，然后根据水果店计划购进 B 品种 的盒数不低于 A 品种盒数的 2 倍，且 A 品种不少于 20 盒，可以得到相应的不等式，求出 A 种草莓数量 的取值范围， 再根据一次函数的性质， 即可得到如何安排进货， 才能使毛利润最大， 最大毛利润是多少 【解答】解： （1）设 A 品种的草莓购进 x 盒，B 品种的草莓购进 y 盒， 由题意可得， 解得， 答：A 品种的草莓购进 3
34、0 盒，B 品种的草莓购进 25 盒； （2）设 A 品种的草莓购进 a 盒，则 B 品种的草莓购进（100a）盒，毛利润为 w 元， 由题意可得，w（7045）a+（9060）（100a）5a+3000， k50， w 随 a 的增大而减小， 水果店计划购进 B 品种的盒数不低于 A 品种盒数的 2 倍，且 A 品种不少于 20 盒， ， 解得 20a33， 当 a20 时，w 取得最大值，此时 w520+30002900，100a80， 答： 当 A 品种的草莓购进 20 盒， B 品种的草莓购进 80 盒时， 才能使毛利润最大， 最大毛利润是 2900 元 21 （10 分）已知抛物线
35、ymx2+2mx+m22 （1）求此抛物线的对称轴； （2）若此抛物线的顶点在直线 y2x+6 上，求抛物线的解析式； （3）若点 A（a，yA）与点 B（3，yB）在此抛物线上，且 yAyB，求 a 的取值范围 【分析】 （1）利用对称轴公式代入计算即可； （2）把 x1 代入 y2x+6 即可求得抛物线的顶点，代入顶点坐标公式解得 m 的值，即可求得抛物线 解析式； （3）分 m0 和 m0 两种情况，结合二次函数的增减性进行讨论，即可得到 a 的取值范围 【解答】解：x， 抛物线的对称轴为直线 x1； （2）抛物线的顶点在直线 y2x+6 上， 把 x1 代入得 y2（1）+64， 将（
36、1，4）代入抛物线得：4m2m+m22， 解得：m3 或 m2， 抛物线的解析式为：y3x2+6x+7 或 y2x24x+2； （3）点 B（3，yB）关于直线 x1 的对称点为（5，yB） ， 当 m0 时，若 yAyB，则5a3， 当 m0 时，若 yAyB，则 a5 或 a3 22 （10 分）小明在学习过程中，遇到这样一个问题：如图 1，在菱形 ABCD 中，点 M，N 分别是边 BC， CD 的中点，点 P 是对角线 BD 上的动点，连接 PM，PN，MN，当PMN 是等腰三角形时，求线段 BP 的长度小明根据学习函数的经验，对此问题进行了以下探究，请补充完整 （1）对于点 P 在对
37、角线 BD 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 BP，PM，PN 的长度的几组值， 如下表： BP/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 PM/cm 2.5 1.8 1.4 1.8 2.5 3.3 4.2 5.2 6.2 PN/cm 6.2 5.2 4.2 3.3 2.5 1.8 1.4 1.8 2.5 通过观察（1）中表格，可以得到菱形 ABCD 的对角线 BD 长为 8 cm，菱形 ABCD 的边长为 5 cm； 在 BP，PM，PN 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， PM 的长度和 的长度都 是这个自变量的函数； （2）在平面直角坐标系中画出
38、（1）中确定的函数图象； （3）结合函数图象，当PMN 是等腰三角形时，线段 BP 长度为 4.0cm 或 2.3cm 或 5.7cm （结果 保留一位小数） 【分析】 （1）由 BP0 时，P 与 B 重合，可得 BC2BM5，而 BP0，P 与 B 重合时，PM2.5， PN6.2，且 BP8 时，PN2.5，PM6.2，根据菱形的对称性知，BP8 时，P 与 D 重合，即得 BD 8； 由表格可知，PM、PN 的长度随 BP 长度的变化而变化，即得 BP 的长度是自变量，PM、PN 的长度是 BP 长度的函数； （2）根据表格，描点、连线即可； （3）由图观察，即可得到答案：若 PNMN
39、4，则 BP2.3，若 PMMN4，则 BP5.7，若 PMPN，则 BP4.0， 【解答】解： （1）BP0 时，P 与 B 重合， 此时 PMBM2.5， M 是 BC 中点， BC2BM5，即菱形 ABCD 的边长为 5， BP0，P 与 B 重合时，PM2.5，PN6.2， BP8 时，PN2.5，PM6.2， 由菱形的对称性知，BP8 时，P 与 D 重合， BD8， 故答案为：8，5； 由表格可知，PM、PN 的长度随 BP 长度的变化而变化， BP 的长度是自变量，PM、PN 的长度是 BP 长度的函数， 故答案为：BP，PM，PN； （2）如图： 实线为 PM 的函数图象，虚线
40、为 PN 的函数图象； （3）如图： 由图可得： 当 MN4 时，若 PNMN4，则 BP2.3， 若 PMMN4，则 BP5.7， 若 PMPN，则 BP4.0， 故答案为：4.0cm 或 2.3cm 或 5.7cm 23 （11 分） 在 RtABC 与 RtECD 中， ABCECD90， ACBEDC30， AB2， CD3， 连接 BE，以 BE，AB 为邻边作平行四边形 ABEF，连接 BD，CF （1） 如图 1， 当点E 在边 BC 上时，的值为 ， 直线FC与直线 BD 的位置关系是 FCBD ； （2）将 RtECD 由图 1 的位置绕点 C 顺时针旋转一周 （1） 中的两
41、个结论是否仍然成立？如果成立， 请仅就图 2 的情形进行证明； 如果不成立， 请说明理由； 当以点 B，C，D，E 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 FC 的长度 【分析】 （1）通过证明DBCCFE，可得，DBCEFC，由余角的性质可证 FC BD； （2） 如图 2， 延长 FE 交 BC 于点 G， 通过证明CEFDCB， 可得， DBCCFE， 由余角的性质可证 FCBD； 分两种情况讨论，利用平行四边形的性质和勾股定理可求解 【解答】解： （1）ABCECD90，ACBEDC30，AB2，CD3， AC2AB4，BCBA2，EC，DE2EC2， 四边形 ABEF 是平行四边形
42、， ABEF2，ABEF， ABCFEC90BCD， ， ， DBCCFE， ，DBCEFC， EFC+FCE90DBC+FCE， FCBD， 故答案为：，FCBD； （2）（1）的结论仍然成立，理由如下： 如图 2，延长 FE 交 BC 于点 G， 四边形 ABEF 是平行四边形， EFAB，EFAB， FGCABC90， 在 RtABC 和 RtEDC 中，ACBEDC30， ， ， FECEGC+ECG90+ECG，DCBECG+DCE90+ECG， FECDCB， CEFDCB， ，DBCCFE， DBC+BCFCFE+BCF90， FCBD； （3）如图 3，当 DE 在 BC 的上方时，延长 FE 交 BC 于 N， 四边形 BEDC 是平行四边形， BECD3，EBND30， 四边形 ABEF 是平行四边形， EFAB2，ABEF， ABCFNC90， ENBE，BN， NC，FN， FC； 如图 4，当 DE 在 BC 的下方时，延长 BC 交 EF 于 H， 四边形 BCED 是平行四边形， BDCE，BCDCDE30， ECH60， 四边形 ABEF 是平行四边形， EFAB2，ABEF， ABCBHE90， CEH30， CHCE，HECH， FH， CF1， 综上所述：CF 的长为 1 或
