1、2021 年福建省中考数学一轮复习诊断试卷年福建省中考数学一轮复习诊断试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 40 分）分） 13（ ） A3 B C2 D0 2如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 3下列运算正确的是（ ） Aaa2a3 Ba+a2a3 C （a 1）4a3 Da6a2a3 4下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A戴口罩讲卫生 B勤洗手勤通风 C有症状早就医 D少出门少聚集 5将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中 的度数是（ ） A45 B60 C75 D90 6九（1）班
2、 45 名同学一周参加体育锻炼的时间统计如表所示： 人数（人） 5 18 16 6 时间（小时） 6 7 9 10 那么该班 45 名同学一周参加体育锻炼时间的平均数、众数、中位数分别是（ ） A8，7，9 B7，18，9 C8，7，7 D7，7，8 7 九章算术中： “今有三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”其大意为：今有 3 人坐一辆车，有 2 辆车是空的；2 人坐一辆车，有 9 人需要步行问人与车各多少？设有 x 人，y 辆车， 则所列方程组正确的是（ ） A B C D 8 已 知 实 数a ， b 在 数 轴 上 对 应 点 的 位 置 如 图 所 示 ， 下 列 判
3、 断 正 确 的 是 （ ） Aa+b1 Bab1 C1 D1 9如图，已知ABC，O 为 AC 上一点，以 OB 为半径的圆经过点 A，且与 BC、OC 交于点 E、D，设C ，A，则（ ） A若 +70，则弧 DE 的度数为 20 B若 +70，则弧 DE 的度数为 40 C若 70，则弧 DE 的度数为 20 D若 70，则弧 DE 的度数为 40 10下列关于函数 yx26x+12 的四个命题： 当 x0 时，y 有最小值 12； n 为任意实数，x3+n 时的函数值大于 x3n 时的函数值； 若 n3，且 n 是整数，当 nxn+1 时，y 的整数值有（2n4）个； 若函数图象过点（
4、a，y0）和（b，y0+1） ，其中 a0，b0，则 ab 其中真命题的序号是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分）分） 11下列各式：x2+2x+1；x2+2x1；21；x26x+9能用完全平方公式进行因式分解的 是 （填序号即可） 12蓓蕾幼儿园举行庆祝“六一”儿童节游戏活动，在不透明的袋子中装有质地均匀的 3 个红球和 1 个白 球，从中随机摸出一球为红球的儿童可领取一本卡通连环画，摸出一球为白球的儿童可领取一套智力积 木，小朋友李明随机摸一球领到一本卡通连环画概率是 13如图：正方形 ABCD 的面积为 18cm2，
5、则 S扇形BCD 14如图，在直角坐标系中，ABCO 的顶点 B 的坐标为（6，m） ，C 的坐标为（2，n）则点 A 的坐标 为 （用字母 m，n 表示） 15已知 x，y 都是正整数，且 y，则 x+y 16如图，函数 y（k 为常数，k0）的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限 内双曲线上的动点（点 M 在点 A 的左侧） ，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F现有以下四个结论： ODM 与OCA 的面积相等； 若 BMAM 于点 M，则MBA30； 若 M 点的横坐标为 1，OAM 为等边三角形
6、，则 k2+； 若 MFMB，则 MD2MA 其中正确的结论的序号是 （只填序号） 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17 （8 分）解方程： 18 （8 分）化简：，并在 x1，0，2，选取一个合理的数求值 19 （8 分）在ABC 中，ABAC，BAC36，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 108得到ADE，点 B、 C 的对应点分别是 D、E连接 EC 交 AB 于点 G，求证：四边形 ADEG 是平行四边形 20 （8 分）如图，共边三角形 ABC 和三角形 ADC 中，ABCD，AB2CD，DE 是三角形 ADC 的边 AC 上 的中线 （1）用无刻度的直尺在图中作 CFAD
7、，CF 交 AB 于点 F； （2）若 BC6，求 DE 的长 21 （8 分）2020 年 1 月和 2 月上旬新型冠状病毒感染肺炎在全国蔓延，党中央号召全国人民群防群控，坚 决打赢这场无硝姻的战争，为此，排查新型冠状病毒感染肺炎的人群是件紧迫的工作，而依据症状进行 排查是最通用的方法，下列统计图中的扇形图是在已感染新型冠状病毒肺炎的初期病人中，较大多数人 所表现的各种症状，进行的统计，并对某区城已感染新型冠状病毒肺炎的病人所表现的各种症状制成直 方图，根据图中数据解答下列问题 （1）求已感染新型冠状病毒肺炎的病人所表现的发热症状的百分比； （2）求该区域已感染新型冠状病毒感染的病人数； （
8、3）补全直方图； （4）请你选择一种比较科学而又可行的排查方法，并说明理由 22 （10 分）如图，四边形 ABCD 是长方形，E 是边 CD 的中点，连接 AE 并延长交边 BC 的延长线于 F， 过点 E 作 AF 的垂线交边 BC 于 M，连接 AM （1）请说明ADEFCE； （2）试说明 AMBC+MC； （3）设 SAEMS1，SECMS2，SABMS3，试探究 S1，S2，S3，三者之间的等量关系，并说明理由 23 （10 分） “节能减排，低碳经济”是国策，环保节能设备生产企业为社会所需，某公司为保证公司的长 远规划发展，该种环保设备每月的产能要保持在一定的范围，每套产品的生产
9、成本不高于 80 万元，每套 产品的售价不低于 120 万元，已知这种设备的月产量 x（套）与每套的售价 y1（万元）之间满足关系式 y1170 x，月产量 x（套）与生产总成本 y2（万元）存在如图所示的函数关系 （1）求 y2与 x 之间的函数关系式； （2）确定月产量 x 的范围； （3）当月产量 x（套）为多少时，这种设备的利润 W（万元）最大？最大利润是多少？ 24 （12 分）如图，过O 外一点 P 作Q 的两条切线 PA 和 PB，PD 交O 于 D 和 C，E 在弦 DC 上且 DAEPBC （1）求证：ADCPAC； （2）求证：ADEBAC； （3）若 AD5，BC3，AC
10、4，试求 BD 的长 25 （14 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（0，3） ，C（2，n）两点，直线 l：yx+2 过 C 点，且与 y 轴交于点 B，抛物线上有一动点 E，过点 E 作直线 EFx 轴于点 F，交直线 BC 于点 D （1）求抛物线的解析式 （2）如图 1，当点 E 在直线 BC 上方的抛物线上运动时，连接 BE，BF，是否存在点 E 使直线 BC 将 BEF 的面积分为 2：3 两部分？若存在，求出点 E 的坐标，若不存在说明理由； （3）如图 2，若点 E 在 y 轴右侧的抛物线上运动，连接 AE，当AEDABC 时，直接写出此时点 E 的坐标 2021
11、年福建省中考数学一轮复习诊断试卷年福建省中考数学一轮复习诊断试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 40 分）分） 13（ ） A3 B C2 D0 【分析】根据合并同类二次根式的方法进行计算即可 【解答】解：3（31）2， 故选：B 2如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看是两个同心圆，内圆要画成实线 故选：C 3下列运算正确的是（ ） Aaa2a3 Ba+a2a3 C （a 1）4a3 Da6a2a3 【分析】分别根据同底数幂的乘
12、法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则 逐一判断即可 【解答】解：Aaa2a3，故本选项符合题意； Ba 与 a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； C （a 1）4a4，故本选项不合题意； Da6a2a4，故本选项不合题意 故选：A 4下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A戴口罩讲卫生 B勤洗手勤通风 C有症状早就医 D少出门少聚集 【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是
13、中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C 5将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中 的度数是（ ） A45 B60 C75 D90 【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出1 的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和列式计算即可得解 【解答】解：如图，1906030， 所以，45+3075 故选：C 6九（1）班 45 名同学一周参加体育锻炼的时间统计如表所示： 人数（人） 5 18 16 6 时间（小时） 6 7 9 10 那么该班 45 名同学一周参加体育锻炼时间的平均数、众数、中位数分别
14、是（ ） A8，7，9 B7，18，9 C8，7，7 D7，7，8 【分析】根据平均数、众数、中位数的概念分别求得这组数据的平均数、众数、中位数 【解答】解：平均数： （65+718+916+106）458； 众数：7 出现次数最多，众数是 7； 中位数：排在第 23 位的是 7，故中位数是 7 故选：C 7 九章算术中： “今有三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”其大意为：今有 3 人坐一辆车，有 2 辆车是空的；2 人坐一辆车，有 9 人需要步行问人与车各多少？设有 x 人，y 辆车， 则所列方程组正确的是（ ） A B C D 【分析】设有 x 人，y 辆车，根据“如果每
15、 3 人坐一辆车，那么有 2 辆空车；如果每 2 人坐一辆车，那 么有 9 人需要步行” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解 【解答】解：设有 x 人，y 辆车， 依题意得： 故选：C 8 已 知 实 数a ， b 在 数 轴 上 对 应 点 的 位 置 如 图 所 示 ， 下 列 判 断 正 确 的 是 （ ） Aa+b1 Bab1 C1 D1 【分析】由数轴上的点得出 a 与 b 的正负及绝对值的大小，再结合运算法则进行判断即可 【解答】解：由数轴可知，3a2，1b2， a+b0，但无法判断与1 的大小关系，故 A 不符合题意； 2|a|3，1|b|2， 1|ab|6， 6
16、ab1，故 B 不符合题意； 由上知，|a|b|， |1， 10，故 C 符合题意，D 不符合题意 故选：C 9如图，已知ABC，O 为 AC 上一点，以 OB 为半径的圆经过点 A，且与 BC、OC 交于点 E、D，设C ，A，则（ ） A若 +70，则弧 DE 的度数为 20 B若 +70，则弧 DE 的度数为 40 C若 70，则弧 DE 的度数为 20 D若 70，则弧 DE 的度数为 40 【分析】连接 BD，根据圆周角定理求出ABD90，求出ADB90，再根据三角形外角性质 得出 90+x，求出的度数是 1802（+） ，再逐个判断即可 【解答】解：连接 BD， 设的度数是 x，
17、则DBCx， AC 过 O， ABD90， A， ADB90， C，ADBC+DBC， 90+x， 解得：x1802（+） ， 即的度数是 1802（+） ， A当 +70时，的度数是 18014040，故本选项不符合题意； B当 +70时，的度数是 18014040，故本选项符合题意； C当 70，即 70+ 时，的度数是 1802（70+）404 或 180（+ 70）2502，故本选项不符合题意； D当 70时，的度数是 404 或 2502，故本选项不符合题意； 故选：B 10下列关于函数 yx26x+12 的四个命题： 当 x0 时，y 有最小值 12； n 为任意实数，x3+n 时
18、的函数值大于 x3n 时的函数值； 若 n3，且 n 是整数，当 nxn+1 时，y 的整数值有（2n4）个； 若函数图象过点（a，y0）和（b，y0+1） ，其中 a0，b0，则 ab 其中真命题的序号是（ ） A B C D 【分析】由对称轴为 x3，可求 y 的最小值是 3； 由 x3+n 与 x3n 关于 x3 对称，可得两点对应的函数值相等； 求出 xn+1 与 xn 时对应的函数值的差即可判断函数值的整数点个数； 由图象上点与对称轴距离之间的关系，采用举反例的方法，判断 a、b 的关系 【解答】解：yx26x+12（x3）2+3， 当 x3 时，y 有最小值 3， 不正确； 函数的
19、对称轴为 x3， x3+n 与 x3n 关于 x3 对称， x3+n 时的函数值等于 x3n 时的函数值， 不正确； 当 xn+1 时 y（n2）2+3， 当 xn 时，y（n3）2+3， （n2）2+3（n3）2+32n5， n3，且 n 是整数， nxn+1 时，y 的整数值有（2n4）个， 正确； 函数的对称轴为 x3， a0，b0， 当 0b3 时，a3 时， 只需点（a，y0）到 x3 的距离小于点（b，y0+1）到 x3 的距离，也可满足题意， 此时 ab， 不正确； 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分）分） 11下列各式：
20、x2+2x+1；x2+2x1；21；x26x+9能用完全平方公式进行因式分解的是 （填序号即可） 【分析】利用完全平方公式判断即可 【解答】解：x2+2x+1（x+1）2；x2+2x1；21；x26x+9（x3）2能用完全平方公式 进行因式分解的是， 故答案为： 12蓓蕾幼儿园举行庆祝“六一”儿童节游戏活动，在不透明的袋子中装有质地均匀的 3 个红球和 1 个白 球，从中随机摸出一球为红球的儿童可领取一本卡通连环画，摸出一球为白球的儿童可领取一套智力积 木，小朋友李明随机摸一球领到一本卡通连环画概率是 【分析】直接由概率公式求解即可 【解答】解：在不透明的袋子中装有质地均匀的 3 个红球和 1
21、 个白球 小朋友李明随机摸一球领到一本卡通连环画概率是， 故答案为： 13如图：正方形 ABCD 的面积为 18cm2，则 S扇形BCD 【分析】先根据正方形的面积得出其边长和BCD 度数，再根据扇形的面积公式计算可得 【解答】解：正方形 ABCD 的面积为 18cm2， BCD90，BCCD3， 则 S扇形BCD， 故答案为： 14 如图， 在直角坐标系中， ABCO 的顶点 B 的坐标为 （6， m） ， C 的坐标为 （2， n） 则点 A 的坐标为 （4， mn） （用字母 m，n 表示） 【分析】由平行四边形的性质得出 B、C 横坐标的差为 624，纵坐标的差为 mn，由 O（0，0
22、） ，即 可得出点 A 的坐标 【解答】解：ABCO 的顶点 B 的坐标为（6，m） ，C 的坐标为（2，n） ，OABC，OABC， B、C 横坐标的差为 624，纵坐标的差为 mn， O（0，0） ， 则点 A 的坐标为（4，mn） ； 故答案为： （4，mn） 15已知 x，y 都是正整数，且 y，则 x+y 8 【分析】先变形 y3，再根据正整数的定义求得 x6，进一步得到 y2，再代入计算可 求 x+y 【解答】解：y3， x，y 都是正整数， 为整数，且 x0，x+33， 9 的因数有 1，3，9， 其中大于 3 的因数只有 9， x+39， 解得 x6， y3312， 则 x+y
23、6+28 故答案为：8 16如图，函数 y（k 为常数，k0）的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限 内双曲线上的动点（点 M 在点 A 的左侧） ，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F现有以下四个结论： ODM 与OCA 的面积相等； 若 BMAM 于点 M，则MBA30； 若 M 点的横坐标为 1，OAM 为等边三角形，则 k2+； 若 MFMB，则 MD2MA 其中正确的结论的序号是 （只填序号） 【分析】设点 A（m，） ，M（n，） ，构建一次函数求出 C，D 坐标，利用三角形的面积公式计算
24、即可判断 OMA 不一定是等边三角形，故结论不一定成立 设 M（1，k） ，由OAM 为等边三角形，推出 OAOMAM，可得 1+k2m2+，推出 mk，根据 OMAM，构建方程求出 k 即可判断 如图，作 MKOD 交 OA 于 K利用平行线分线段成比例定理解决问题即可 【解答】解：设点 A（m，） ，M（n，） ， 则直线 AC 的解析式为 yx+， C（m+n，0） ，D（0，） ， SODMn，SOCA（m+n）， ODM 与OCA 的面积相等，故正确； 反比例函数与正比例函数关于原点对称， O 是 AB 的中点， BMAM， OMOA， kmn， A（m，n） ，M（n，m） ， A
25、M（mn） ，OM， AM 不一定等于 OM， BAM 不一定是 60， MBA 不一定是 30故错误， M 点的横坐标为 1， 可以假设 M（1，k） ， OAM 为等边三角形， OAOMAM， 1+k2m2+， m0，k0， mk， OMAM， （1m）2+1+k2， k24k+10， k2， m1， k2+，故正确， 如图，作 MKOD 交 OA 于 K OFMK， ， ， OAOB， ， ， KMOD， 2， DM2AM，故正确 故答案为 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17 （8 分）解方程： 【分析】去分母把分式方程化为整式方程，求解整式方程后验根即可 【解答】解：原方
26、程化为：1， 两边同时乘（x+2） （x2）得，x28x24（x+2） ， 解得 x2， 经检验，当 x2 时， （x+2） （x2）0， 所以，x2 是原分式方程的增根，原分式方程无解 18 （8 分）化简：，并在 x1，0，2，选取一个合理的数求值 【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义求出 x0，再代入求出答案即 可 【解答】解： ， 要使分式有意义，必须 x+10 且 x20， x 不能为1，2， 取 x0， 当 x0 时，原式 19 （8 分）在ABC 中，ABAC，BAC36，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 108得到ADE，点 B、 C 的对应点分别是
27、D、E连接 EC 交 AB 于点 G，求证：四边形 ADEG 是平行四边形 【分析】 利用直角三角形斜边上的中线性质和含 30 度的直角三角形三边的关系以及旋转的性质即可得到 结论 【解答】证明：CAE108，AEAC， ACEAEC36， DAEAEC36， DAEG， BAC36， EAB1083672， AEDACB72， AEDEAB， DEAG， 四边形 ADEG 是平行四边形 20 （8 分）如图，共边三角形 ABC 和三角形 ADC 中，ABCD，AB2CD，DE 是三角形 ADC 的边 AC 上 的中线 （1）用无刻度的直尺在图中作 CFAD，CF 交 AB 于点 F； （2）
28、若 BC6，求 DE 的长 【分析】 （1）如图，连接 DE，并延长 DE 交 AB 于点 F，连接 CF，CFAD线段 CF 即为所求 （2）利用全等三角形的性质证明 EFDE，再证明四边形 BCDF 是平行四边形即可 【解答】解： （1）如图，连接 DE，并延长 DE 交 AB 于点 F，连接 CF，CFAD线段 CF 即为所求 （2）如图，AFCD，AEEC， AEFCED， FEED 四边形 AFCD 是平行四边形， AFCD， AB2CD， BFCD， BFCD 四边形 BCDF 是平行四边形， FDBC， 21 （8 分）2020 年 1 月和 2 月上旬新型冠状病毒感染肺炎在全国
29、蔓延，党中央号召全国人民群防群控，坚 决打赢这场无硝姻的战争，为此，排查新型冠状病毒感染肺炎的人群是件紧迫的工作，而依据症状进行 排查是最通用的方法，下列统计图中的扇形图是在已感染新型冠状病毒肺炎的初期病人中，较大多数人 所表现的各种症状，进行的统计，并对某区城已感染新型冠状病毒肺炎的病人所表现的各种症状制成直 方图，根据图中数据解答下列问题 （1）求已感染新型冠状病毒肺炎的病人所表现的发热症状的百分比； （2）求该区域已感染新型冠状病毒感染的病人数； （3）补全直方图； （4）请你选择一种比较科学而又可行的排查方法，并说明理由 【分析】 （1）根据已感染新型冠状病毒肺炎的病人所表现的所有症状
30、的百分比之和为 1 即可解决； （2）根据咳嗽的人有 187 人，所占百分比为 18.7%即可求出该区域已感染新型冠状病毒感染的病人数； （3）求出该区城已感染新型冠状病毒肺炎的病人所表现的发热症状的人数，即可补全直方图； （4）根据已感染新型冠状病毒肺炎的病人所表现的症状中发热症状的百分比最高即可解决 【解答】解： （1）已感染新型冠状病毒肺炎的病人所表现的发热症状的百分比为 100% （3.9%+18.7%+11.0%+7.1%+3.3%+2.6%+2.6%+2.0%+2.0%）46.8%； （2）由图象可知，咳嗽的人有 187 人，所占百分比为 18.7%， 18718.7%1000 （
31、人） ， 答：该区城已感染新型冠状病毒的病人数为 1000 人； （3）该区城已感染新型冠状病毒肺炎的病人所表现的发热症状的人数为 100046.8%468 人，如图： 即为补全的直方图； （4） 比较科学而又可行的排查方法是量体温因为已感染新型冠状病毒肺炎的病人所表现的症状中发热 症状的百分比最高，所以量体温是比较科学而又可行的排查方法 22 （10 分）如图，四边形 ABCD 是长方形，E 是边 CD 的中点，连接 AE 并延长交边 BC 的延长线于 F， 过点 E 作 AF 的垂线交边 BC 于 M，连接 AM （1）请说明ADEFCE； （2）试说明 AMBC+MC； （3）设 SAE
32、MS1，SECMS2，SABMS3，试探究 S1，S2，S3，三者之间的等量关系，并说明理由 【分析】 （1）由“AAS”可证ADEFCE； （2）由全等三角形的性质可得 AEEF，ADCFBC，由线段的垂直平分线的性质可得 AMFM，可 得结论； （3）由面积的和差关系可求解 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是长方形， ADBC， DAEF， E 是边 CD 的中点， DECE， 在ADE 和FCE 中， ， ADEFCE（AAS） ； （2）ADEFCE， AEEF，ADCFBC， 又MEAF， AMFM， FMMC+CF， AMBC+CM； （3）S32S14S2， 理由如下：S
33、ABMAB（BCCM）ABBCABCM， S3ABBCABCM， SAMFAB（MC+CF）ABMC+ABBC， SAEMSAMFS1ABMC+ABBC， SEMCCMEC， S2CMABABCM， S32S14S2 23 （10 分） “节能减排，低碳经济”是国策，环保节能设备生产企业为社会所需，某公司为保证公司的长 远规划发展，该种环保设备每月的产能要保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于 80 万元，每套 产品的售价不低于 120 万元，已知这种设备的月产量 x（套）与每套的售价 y1（万元）之间满足关系式 y1170 x，月产量 x（套）与生产总成本 y2（万元）存在如图所示的函数
34、关系 （1）求 y2与 x 之间的函数关系式； （2）确定月产量 x 的范围； （3）当月产量 x（套）为多少时，这种设备的利润 W（万元）最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）设函数关系式为 y2kx+b，把（30，2400） （40，2700）代入求解即可； （2）根据题中条件“每套产品的生产成本不高于 80 万元，每套产品的售价不低于 120 万元”列出不等 式组求解月产量 x 的范围； （3）根据等量关系“设备的利润每台的售价月产量生产总成本”列出函数关系式求得最大值 【解答】解： （1）设 y2kx+b，将（30，2400） ， （40，2700）代入，得 ， 解得：， y2与 x
35、 之间的函数关系式为 y230 x+1500； （2）依题意，得， 解得：30 x50， 月产量 x 的范围 30 x50； （3）由题意，得 W（170 x）x（30 x+1500）x2+140 x1500（x70）2+3400， 10， 30 x50，y 随 x 的增大而增大， 当 x50 时，y 有最大值，最大值（5070）2+3400400+34003000（万元） ， 当月产量为 50 套时，这种设备的利润 W（万元）最大，最大利润是 3000 万元 24 （12 分）如图，过O 外一点 P 作Q 的两条切线 PA 和 PB，PD 交O 于 D 和 C，E 在弦 DC 上且 DAEP
36、BC （1）求证：ADCPAC； （2）求证：ADEBAC； （3）若 AD5，BC3，AC4，试求 BD 的长 【分析】 （1）过点 A 作直径 AF，连接 FC，根据圆周角定理和切线的性质可得ACFPAF90， 则AFCPAC，由ADCAFC 即可证明； （2）过点 B 作直径 BG，连接 GC，由（1）同理可得BACCBP，由DAEPBC，得DAE BAC 即可证明； （3）过 A 作 ANPD 于点 N，过 B 作 BMPD 于 M，则 ANADsinADC，BMBDsinBDC，用 两种方法表示 SPAC和 SPBC，由（1）知ADCPAC，BDCPBC，可得，代入计算即 可 【解答
37、】 （1）证明：如图，过点 A 作直径 AF，连接 FC， 则ACF90， PA 是O 的切线， FAC+PAC90， AFC+FAC90， AFCPAC， ADCAFC， ADCPAC， （2）如图，过点 B 作直径 BG，连接 GC， 则GCB90， G+GBC90， PB 是O 的切线，GBC+CBP90， GCBP，又GBAC， BACCBP， DAEPBC， DAEBAC， ADEABC， ADEBAC， （3） 如图， 过 A 作 ANPD 于点 N， 过 B 作 BMPD 于 M， 则 ANADsinADC， BMBDsinBDC， ， 又SPAC，SPBC， ， PA，PB 是
38、O 的切线， PAPB， ， ， 由（1）知：ADCPAC，BDCPBC， ， ， BD 25 （14 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（0，3） ，C（2，n）两点，直线 l：yx+2 过 C 点，且与 y 轴交于点 B，抛物线上有一动点 E，过点 E 作直线 EFx 轴于点 F，交直线 BC 于点 D （1）求抛物线的解析式 （2）如图 1，当点 E 在直线 BC 上方的抛物线上运动时，连接 BE，BF，是否存在点 E 使直线 BC 将 BEF 的面积分为 2：3 两部分？若存在，求出点 E 的坐标，若不存在说明理由； （3）如图 2，若点 E 在 y 轴右侧的抛物线上运动，连
39、接 AE，当AEDABC 时，直接写出此时点 E 的坐标 【分析】 （1）直线 l：yx+2 过 C 点，则点 C（2，3） ，yx+2 过 C 点，且与 y 轴交于点 B，则点 B （0，2） ，即可求解； （2）或，即可求解； （3）分当点 E 在直线 BC 上方、点 E 在直线 BC 的下方两种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）直线 l：yx+2 过 C 点，则点 C（2，3） ，yx+2 过 C 点，且与 y 轴交于点 B，则 点 B（0，2） ， 将点 A、C 的坐标代入二次函数表达式并解得：b2，c3， 故抛物线的表达式为：yx2+2x+3； （2）设点 E（m，m2+2m+
40、3） ，则点 D（m，m+2） ， 则 DEm2+m+1，DFm+2， 或， 解得：m或， 故点 E（，）或（，） ； （3）由（2）知：E（m，m2+2m+3） ，则点 D（m，m+2） ， DEm2+m+1，DFm+2， 如图 2，当点 E 在直线 BC 上方时， ABEF，ABD+EDB180， AEDABC， AED+EDB180， AECD， 四边形 ABDE 为平行四边形， ABDE1m2+m+1， 解得：m0 或（舍去 0） ； 如图 3，当点 E 在直线 BC 的下方时， 设 AE、BD 交于点 N，作点 N 作 x 轴的平行线交 DE 于点 M ABDE，ABNNDE，而AEDABC， ABNNDEAEDABC， NAB、DEN 都是以点 N 为顶点的等腰三角形， 故点 M 的纵坐标和 AB 中点的坐标同为， 由中点公式得：（m2+2m+3+m+2）， 解得：m0 或（舍去 0） ， 综上，点 E（，）或（，）
