1、2021 年江苏省南京市鼓楼区中考数学一诊试卷年江苏省南京市鼓楼区中考数学一诊试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置上）目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置上） 1的值等于（ ） A3 B3 C3 D 2数轴上点 A、B 表示的数分别是 a、3，它们之间的距离可以表示为（ ） Aa+3 Ba3 C|a+3| D|a3| 3计算a2 （a2）3的结果是（ ） Aa8 Ba
2、8 Ca7 Da7 4PM2.5 是大气压中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为（ ） A0.2510 5 B0.2510 6 C2.510 6 D2.510 5 5如图是某家庭 2018 年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭 2018 年月交通费平均支出为 a 元，则下 列结论中正确的是（ ） A200a220 B220a240 C240a260 D260a280 6 如图， 在平面直角坐标系中， Q 是直线 yx+2 上的一个动点， 将 Q 绕点 P （1， 0） 顺时针旋转 90， 得到点 Q，连接 OQ，则 OQ的最小值为（ ）
3、A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分分.无需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相无需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相 应位置上）应位置上） 7若二次根式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 8分解因式：2x28x+8 9若一个反比例函数的图象经过点（3，2） ，则该反比例函数图象也经过点（1， ） 10计算+的结果是 11已知关于 x 的方程 x2+mx20 的两个根为 x1、x2，若 x1+x2x1x26，则 m 12现有一个圆心角为 90，半径为 8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（
4、接缝忽略不计） 该 圆锥底面圆的半径为 cm 13某校九年级（1）班 40 名同学期末考试成绩统计表如下 成绩 x（单位：分） 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 人数 4 14 16 6 下列结论：成绩的中位数在 80 x90；成绩的众数在 80 x90；成绩的平均数可能为 70； 成绩的极差可能为 40其中所有正确结论的序号是 14如图 1 是博物馆展出的古代车轮实物， 周礼考工记记载： “故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六 尺有三时寸”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型 如图 2 所示，在车轮上取 A、B 两点，设所在圆的圆心为 O，半径为 rcm作弦 A
5、B 的垂线 OC，D 为 垂足， 经测量，AB90cm，CD15cm，则 r cm通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸， 可验证此车轮为兵车之轮 15如图，点 A、B、C、D 在O 上，B 是的中点，过 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若AEC 80，则ADC 16如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为边 AB 上一点且 AE 长为 1，P 为射线 BC 上一点把EBP 沿 EP 折叠，点 B 落在点 B处若点 B到直线 AD 的距离为 3，则 BP 长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写
6、出文字说明、证明过程请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 17 （6 分）解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来 18 （6 分） （1）解方程 x2x10 （2）在实数范围内分解因式 x2x1 的结果为 19 （8 分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了 安全使用电瓶车专项宣传活动在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车 戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成统计图表 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表： 类别 人数 A 68 B 245 C 510 D 177 合计
7、1000 活动后骑电瓶车戴安全帽情况统计图： （1）宣传活动前，在抽取的市民中 类别的人数最多，占抽取人数的比例为 （2）该市约有 30 万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数； （3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为 178，比活动前增加了 1 人，因此交警 部门开展的宣传活动没有效果小明分析数据的方法是否合理？请谈谈你的看法 20 （7 分）定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O且 AC 垂直平分 BD （1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质： 性质 1： ；性质
8、2： （2）若 ABCD，求证：四边形 ABCD 为菱形 21 （8 分）我市长途客运站每天 6：307：30 开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同小 张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序两人采用不同的乘车方案：小张 无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔 细观察车的舒适状况若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车， 他就上第三辆车若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？ （2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的
9、可能性大？为什么？ 22 （8 分）已知一次函数 y1kx2（k 为常数，k0）和 y22x+6 （1）当 k3 时，若 y1y2，求 x 的取值范围 （2）当 x1 时，y1y2结合图象，直接写出 k 的取值范围 23 （8 分） 如图， 在路边安装路灯， 灯柱 BC 高 15m， 与灯杆 AB 的夹角 ABC 为 120 路灯采用锥形灯罩， 照射范围 DE 长为 18.9m，从 D、E 两处测得路灯 A 的仰角分别为ADE80.5，AED45求灯 杆 AB 的长度 （参考数据：cos80.50.2，tan80.56.0） 24 （9 分） 【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，D 为
10、 AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB 【尝试应用】 （2）如图 2，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF 4，BE3，求 AD 的长 【拓展提高】 （3）如图 3，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，AC2EF，EDF BAD，AE2，DF5，则菱形 ABCD 的边长为 25 （9 分）已知抛物线 ya（xm）2+2m（m0）经过原点，其顶点为 P，与 x 轴的另一交点为 A （1）P 点坐标为 ，A 点坐标为 ； （用含 m 的代数式表示） （2）求出 a，m 之间的关系式； （3）当
11、m0 时，若抛物线 ya（xm）2+2m 向下平移 m 个单位长度后经过点（1，1） ，求此抛物线 的表达式； （4）若抛物线 ya（xm）2+2m 向下平移|m|个单位长度后与 x 轴所截的线段长，与平移前相比有什么 变化？请直接写出结果 26 （9 分）如图，在ABCD 中，连接 AC，O 是ABC 的外接圆，O 交 AD 于点 E （1）求证 CECD； （2）若ACBDCE 求证 CD 与O 相切； 若O 的半径为 5，BC 长为 4，则 AE 27 （10 分）如图 1，对于PMN 的顶点 P 及其对边 MN 上的一点 Q，给出如下定义：以 P 为圆心，PQ 为 半径的圆与直线 MN
12、 的公共点都在线段 MN 上，则称点 Q 为PMN 关于点 P 的内联点 在平面直角坐标系 xOy 中： （1）如图 2，已知点 A（7，0） ，点 B 在直线 yx+1 上 若点 B（3，4） ，点 C（3，0） ，则在点 O，C，A 中，点 是AOB 关于点 B 的内联点； 若AOB 关于点 B 的内联点存在，求点 B 纵坐标 n 的取值范围； （2）已知点 D（2，0） ，点 E（4，2） ，将点 D 绕原点 O 旋转得到点 F若EOF 关于点 E 的内联点存 在，直接写出点 F 横坐标 m 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6
13、小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置上）目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置上） 1的值等于（ ） A3 B3 C3 D 【分析】此题考查的是 9 的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数 【解答】解：3， 故选：A 2数轴上点 A、B 表示的数分别是 a、3，它们之间的距离可以表示为（ ） Aa+3 Ba3 C|a+3| D|a3| 【分析】根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案 【解答】解：点 A、B 在
14、数轴上分别表示有理数 a、3， A、B 两点之间的距离可以表示为：|a3| 故选：D 3计算a2 （a2）3的结果是（ ） Aa8 Ba8 Ca7 Da7 【分析】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可 【解答】解：a2 （a2）3a2a6a8 故选：B 4PM2.5 是大气压中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为（ ） A0.2510 5 B0.2510 6 C2.510 6 D2.510 5 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负
15、指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00000252.510 6， 故选：C 5如图是某家庭 2018 年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭 2018 年月交通费平均支出为 a 元，则下 列结论中正确的是（ ） A200a220 B220a240 C240a260 D260a280 【分析】首先根据条形统计图得出每个月交通费的取值范围，再根据平均数的定义求出 a 的范围即可 【解答】解：设 i 月份的交通费为 xi（1i12，且 i 为整数） 由图可知，240 x1250，260 x2270，280 x3300，280 x4290，260 x5
16、280，240 x6250， 240 x7260，230 x8240，180 x9190，200 x10210，240 x11250，270 x12280， 则（240+260+280+280+260+240+240+230+180+200+240+270）a （250+270+300+290+280+250+260+240+190+210+250+280） ， 解得 243a255， 综观各选项，只有 C 符合 故选：C 6 如图， 在平面直角坐标系中， Q 是直线 yx+2 上的一个动点， 将 Q 绕点 P （1， 0） 顺时针旋转 90， 得到点 Q，连接 OQ，则 OQ的最小值为（ ）
17、 A B C D 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后 Q的坐标，然后根据勾股定理并利用二次 函数的性质即可解决问题 【解答】解：作 QMx 轴于点 M，QNx 轴于 N， PMQPNQQPQ90， QPM+NPQPQN+NPQ， QPMPQN 在PQM 和QPN 中， PQMQPN（AAS） ， PNQM，QNPM， 设 Q（m，） ， PM|m1|，QM|m+2|， ON|3m|， Q（3m，1m） ， OQ2（3m）2+（1m）2m25m+10（m2）2+5， 当 m2 时，OQ2有最小值为 5， OQ的最小值为， 当 m2 时，OQ2有最小值为 5， 故选：B 二、填空
18、题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分分.无需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相无需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相 应位置上）应位置上） 7若二次根式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可 【解答】解：式子在实数范围内有意义， x10， 解得 x1 故答案为：x1 8分解因式：2x28x+8 2（x2）2 【分析】先提公因式 2，再用完全平方公式进行因式分解即可 【解答】解：原式2（x24x+4） 2（x2）2 故答案为 2（x2）2
19、 9若一个反比例函数的图象经过点（3，2） ，则该反比例函数图象也经过点（1， 6 ） 【分析】设反比例函数解析式为 y，则把（3，2）代入可求出 k 的值，从而得到反比例函数解析式， 然后计算自变量为1 所对应的函数值即可 【解答】解：设反比例函数解析式为 y， 把（3，2）代入得 k326， 所以反比例函数解析式为 y， 当 x1 时，y6 故答案为6 10计算+的结果是 3 【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可 【解答】解：原式2+ 2+ 3 故答案为 3 11已知关于 x 的方程 x2+mx20 的两个根为 x1、x2，若 x1+x2x1x26，则 m 4 【分析】
20、利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值 【解答】解：依题意得：x1+x2m，x1x22 所以 x1+x2x1x2m（2）6 所以 m4 故答案是：4 12现有一个圆心角为 90，半径为 8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计） 该 圆锥底面圆的半径为 2 cm 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根 据圆的周长公式即可求解 【解答】解：圆锥的底面周长是：4 设圆锥底面圆的半径是 r，则 2r4 解得：r2 故答案是：2 13某校九年级（1）班 40 名同学期末考试成绩统计表如下 成绩 x（
21、单位：分） 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 人数 4 14 16 6 下列结论：成绩的中位数在 80 x90；成绩的众数在 80 x90；成绩的平均数可能为 70； 成绩的极差可能为 40其中所有正确结论的序号是 【分析】根据中位数、众数、平均数和极差的概念分别进行解答，即可得出答案 【解答】解：共有 40 名同学，最中间的数是第 20 和 21 个数的平均数， 成绩的中位数在 80 x90， 故正确； 众数不一定在 80 x90， 故不正确； 这 40 名同学的平均成绩不能计算，故不正确； 成绩的极差可能为 1006040，故正确； 故答案为： 14如图 1 是博物
22、馆展出的古代车轮实物， 周礼考工记记载： “故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六 尺有三时寸”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型 如图 2 所示，在车轮上取 A、B 两点，设所在圆的圆心为 O，半径为 rcm作弦 AB 的垂线 OC，D 为 垂足，经测量，AB90cm，CD15cm，则 r 75 cm通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸， 可验证此车轮为兵车之轮 【分析】由垂径定理得 AD45cm，利用勾股定理得 r2452+（r15） 2，解得 r75，得直径为 150cm， 通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮 【解答】解：OCAB，AB90cm， AD
23、AB45（cm） ， 由题意得：OD（r15）cm， 在 RtOAD 中，由勾股定理得：r2452+（r15）2， 解得：r75， 即车轮半径为 75cm， 车轮直径为 150cm， 通过单位换算车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮 故答案为：75 15如图，点 A、B、C、D 在O 上，B 是的中点，过 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若AEC 80，则ADC （） 【分析】连接 BD、BC，根据圆周角定理得出BDCADBADC，根据圆内接四边形的性质得 出EBCADC，根据切线的性质得出BCEBDCADC，然后根据三角形内角和定理得出 80+ADC+ADC180，解得即
24、可 【解答】解：连接 BD、BC， B 是的中点， ， BDCADBADC， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， EBCADC， EC 是O 的切线，切点为 C， BCEBDCADC， AEC80，AEC+BCE+EBC180， 80+ADC+ADC180， ADC（） 故答案为： （） 16如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为边 AB 上一点且 AE 长为 1，P 为射线 BC 上一点把EBP 沿 EP 折叠，点 B 落在点 B处若点 B到直线 AD 的距离为 3，则 BP 长为 或 15 【分析】 过 B作 MNAB， 交 AD， BC 于点 M， N， 过 E 作 EHAD，
25、 交 MN 于 H， 进而得出四边形 ABNM 是矩形，四边形 AEHM 是矩形再分两种情况进行讨论：如图 1，若点 B在 AD 下方；如图 2，若 点 B在 AD 上方，分别根据 RtPBN 中，BP2PN2+BN2，即可得到 BP 的值 【解答】解：过 B作 MNAB，交 AD，BC 于点 M，N，过 E 作 EHAD，交 MN 于 H， ADBC，MNAB， 四边形 ABNM 是平行四边形， 又A90， 四边形 ABNM 是矩形 同理可得：四边形 AEHM 是矩形 如图： 若点 B在 AD 下方，则 BM3cm，BN3cm， MHAE1（cm） ， BH2（cm） ， 由折叠可得，EBE
26、B5（cm） ， RtEBH 中，EH（cm） ， BNAMEH（cm） ， 设 BPtcm， PBtcm，PN（t） cm RtPBN 中，BP2PN2+BN2， t2（t）2+32， 解得：t 如图： 若点 B在 AD 上方，则 BM3cm，BN9cm， 同理可得，EH3cm， 设 BPtcm， BPtcm，PN（t3）cm， RtPBN 中，BP2PN2+BN2， t2（t3）2+92， 解得：t15 综上所述，BP 的值为或 15 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程请在答题卷指定区域内作
27、答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 17 （6 分）解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可 【解答】解： 由得：x3， 由得：x3， 不等式组的解集为：3x3， 在数轴上表示不等式组的解集为： 18 （6 分） （1）解方程 x2x10 （2）在实数范围内分解因式 x2x1 的结果为 （x） （x） 【分析】 （1）先求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可； （2）根据（1）中方程的解分解即可 【解答】解： （1）x2x10， b24ac（1）241（1）5， x， x1，x2； （
28、2）方程 x2x10 的解 x1，x2； x2x1（x） （x） ， 故答案为： （x） （x） 19 （8 分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了 安全使用电瓶车专项宣传活动在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车 戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成统计图表 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表： 类别 人数 A 68 B 245 C 510 D 177 合计 1000 活动后骑电瓶车戴安全帽情况统计图： （1）宣传活动前，在抽取的市民中 C 类别的人数最多，占抽取人数的比例为 51% （2）该市约有 30 万人使用电
29、瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数； （3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为 178，比活动前增加了 1 人，因此交警 部门开展的宣传活动没有效果小明分析数据的方法是否合理？请谈谈你的看法 【分析】 （1）根据图表给出的数据得出“偶尔戴” （或 C 类）的人数最多，用“偶尔戴”的人数除以总 人数即可得出答案； （2）用该市的总人数乘以“都不戴”安全帽的人数所占的百分比即可； （3）分别求出宣传活动前后骑电瓶车“都不戴”安全帽所占的百分比，再进行比较，即可得出小明的分 析不合理 【解答】解： （1）宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴” （或 C 类）的人数
30、最多， 占抽取人数的百分比为100%51%， 故答案为：C，51%； （2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数为 305.31（万人） ； （3）小明的分析不合理 宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽所占的百分比为100%8.9%， 活动前“都不戴”安全帽所占的百分比为100%17.7%， 由于 8.9%17.7%， 因此交警部门开展的宣传活动有效果 20 （7 分）定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O且 AC 垂直平分 BD （1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质： 性质 1： 对角线互相垂直 ；性质
31、 2： 轴对称图形 （2）若 ABCD，求证：四边形 ABCD 为菱形 【分析】 （1）由筝形的定义即可得出结论； （2）由垂直平分线的性质得出 ABAD，BODO，同理：BCDC，由 AS 证明AOBCDO，得出 ABCD，因此 ABCDBCAD，即可得出四边形 ABCD 为菱形 【解答】 （1）解：由筝形的定义得：对角线互相垂直，即 ACBD；是轴对称图形，对称轴为 AC； 故答案为：对角线互相垂直，是轴对称图形； （2）证明：AC 垂直平分 BD， ABAD，BODO， 同理：BCDC， ABCD， ABOODC， 在ABO 和CDO 中， AOBCDO（ASA） ， ABCD， ABC
32、DBCAD， 四边形 ABCD 为菱形 21 （8 分）我市长途客运站每天 6：307：30 开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同小 张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序两人采用不同的乘车方案：小张 无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔 细观察车的舒适状况若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车， 他就上第三辆车若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？ （2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
33、 【分析】 （1）采用列举法比较简单，但是解题时要注意做到不重不漏； （2）考查了学生对表格的分析能力，解题的关键是理解题意，列得适宜的表格 【解答】解： （1）三辆车按开来的先后顺序为：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优； 差、优、中；差、中、优，共 6 种可能 （3 分） （2）根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表： 顺序 优，中，差 优，差，中 中，优，差 中，差，优 差，优，中 差，中，优 小张 优 优 中 中 差 差 小王 差 中 优 优 优 中 （6 分） 由表格可知：小张乘坐优等车的概率是，而小王乘坐优等车的概率是 所以小王的乘车方案乘坐优等车
34、的可能性大 （8 分） 22 （8 分）已知一次函数 y1kx2（k 为常数，k0）和 y22x+6 （1）当 k3 时，若 y1y2，求 x 的取值范围 （2）当 x1 时，y1y2结合图象，直接写出 k 的取值范围 【分析】 （1）将 k3 代入解析式然后求不等式 （2）把 x1 代入 y22x+6 求出交点坐标然后作图，通过观察图像求解 【解答】解： （1）当 k3 时，y13x2，y22x+6 当 y1y2时，3x22x+6， 解得 x8 （2）由题意得，两直线交点横坐标为 1， 把 x1 代入 y22x+6 得 y4， 即交点坐标为（1，4） 把（1，4）代入 y1kx2 得 k6，
35、 y16x2 如图， y1过定点（0，2） ， 0k6 满足条件 当 k2 时，直线 y1与 y2互相平行， 2k0 时也满足题意 综上所述，2k6 且 k0 23 （8 分） 如图， 在路边安装路灯， 灯柱 BC 高 15m， 与灯杆 AB 的夹角 ABC 为 120 路灯采用锥形灯罩， 照射范围 DE 长为 18.9m，从 D、E 两处测得路灯 A 的仰角分别为ADE80.5，AED45求灯 杆 AB 的长度 （参考数据：cos80.50.2，tan80.56.0） 【分析】过点 A 作 AFCE，点 B 作 BGAF，根据正切的概念求出 DF，列方程求出 AF，根据正弦的 概念计算即可
36、【解答】解：过点 A 作 AFCE，交 CE 于点 F 设 AF 的长度为 xm AED45， AEF 是等腰直角三角形 EFAFx 在 RtADF 中，tanADF， DF DE18.9， +x18.9， 解得 x16.2， 过点 B 作 BGAF，交 AF 于点 G， 则 BCGF15，CBG90 AGAFGF16.2151.2， ABC120， ABGABCCBG1209030 在 RtABG 中， sinABG， AB2.4， 答：灯杆 AB 的长度为 2.4 m 24 （9 分） 【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB 【尝试应
37、用】 （2）如图 2，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF 4，BE3，求 AD 的长 【拓展提高】 （3）如图 3，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，AC2EF，EDF BAD，AE2，DF5，则菱形 ABCD 的边长为 52 【分析】 （1）证明ADCACB，得出，则可得出结论； （2）证明BFEBCF，得出比例线段，则 BF2BEBC，求出 BC，则可求出 AD （3）分别延长 EF，DC 相交于点 G，证得四边形 AEGC 为平行四边形，得出 ACEG，CGAE，EAC G，证明EDFE
38、GD，得出比例线段，则 DEEF，可求出 DG，则答案可求出 【解答】 （1）证明：ACDB，AA， ADCACB AC2ADAB （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AC， 又BFEA， BFEC 又FBECBF， BFEBCF BF2BEBC BC AD （3）解：如图，分别延长 EF，DC 相交于点 G， 四边形 ABCD 是菱形， ABDC，BACBAD， ACEF， 四边形 AEGC 为平行四边形， ACEG，CGAE，EACG， EDFBAD， EDFBAC EDFG 又DEFGED， EDFEGD DE2EFEG 又EGAC2EF， DE22EF2 DEEF 又
39、， DGDF5 DCDGCG52 故答案是：52 25 （9 分）已知抛物线 ya（xm）2+2m（m0）经过原点，其顶点为 P，与 x 轴的另一交点为 A （1）P 点坐标为 （m，2m） ，A 点坐标为 （2m，0） ； （用含 m 的代数式表示） （2）求出 a，m 之间的关系式； （3）当 m0 时，若抛物线 ya（xm）2+2m 向下平移 m 个单位长度后经过点（1，1） ，求此抛物线 的表达式； （4）若抛物线 ya（xm）2+2m 向下平移|m|个单位长度后与 x 轴所截的线段长，与平移前相比有什么 变化？请直接写出结果 【分析】 （1）根据抛物线的顶点式即可求得 P 的坐标，得
40、出对称轴为 xm，然后根据抛物线的对称性求 得 A 的坐标； （2）将 x0，y0 代入 ya（xm）2+2m，化简即可求得 a，m 之间的关系式； （3）先表示出当 m0 时，抛物线 ya（xm）2+2m 向下平移 m 个单位长度后的解析式，再将点（1， 1）代入，结合（2）中 a 和 m 的关系式，解得 a 和 m 的值，即可得出此抛物线的表达式； （4）分两种情况：a，m0，a0，m0，a0，a，分别得出平移后的抛物线与坐 标轴的交点，然后用含 m 的式子表示出与 x 轴所截的线段长，两者相比即可求得答案 【解答】解： （1）抛物线 ya（xm）2+2m（m0） ， P（m，2m） ，
41、对称轴为直线 xm， 抛物线 ya（xm）2+2m（m0）经过原点， A（2m，0） 故答案为： （m，2m） ， （2m，0） ； （2）将 x0，y0 代入 ya（xm）2+2m，得 am2+2m0，m0， am+20 am2， a； （3）当 m0 时，抛物线 ya（xm）2+2m 向下平移 m 个单位长度后，得 ya（xm）2+m 抛物线经过点（1，1） ， a（1m）2+m1， am22am+a+m1 又am2， am3 把 am3 代入 am2， 解得 a11，m12 或 a22，m21 此抛物线的表达式为 y（x2）2+4 或 y2（x1）2+2； （4）a， 当 m0 时，a0
42、， 抛物线 ya（xm）2+2m（m0）经过原点， yax22amx 向下平移 m 个单位后为 yax22amxm， 平移前 d2m， 平移后：令 ax22amxm0 得： a（xm）2am2+m， 化简得： （xm）2m2， xm+， dm， ； 当 m0 时，a0，a， 原抛物线为 yax22amx，向下平移|m|个单位后为 yax22amx+m， 平移前 d2m， 平移后：令 ax22amx+m0 得： a（xm）2am2+m， 化简得： （xm）2m2 解得：xmm， dm， ， 综上所述，与 x 轴所截的线段长，与平移前相比是原来的或倍 26 （9 分）如图，在ABCD 中，连接 A
43、C，O 是ABC 的外接圆，O 交 AD 于点 E （1）求证 CECD； （2）若ACBDCE 求证 CD 与O 相切； 若O 的半径为 5，BC 长为 4，则 AE 【分析】 （1）利用平行四边形的性质得到BD，利用圆内接四边形的性质证得DECB，即可 得到DECD，进一步可推出结论； （2）连接 CO 并延长，交O 于 M，连接 EM，先证明DCEDAC，进一步证明MDCE， 即可证明DCM90，可推出结论； 先证明 COAB，推出ABC 为等腰三角形，设 CM 与O 交于点 H，过点 O 作 ONBC 于点 N，求 出 ON 的长度，再证CON 与CBH 相似，求出 AB 的长度，最后
44、证CAB 与CDE 相似，通过相似比 求出 DE 的长度，进一步求出 AE 的长度 【解答】解： （1）四边形 ABCD 为平行四边形， BD， DEC+AEC180，B+AEC180， DECB， DECD， CECD； （2）如图 1，连接 CO 并延长，交O 于 M，连接 EM， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，ADBC， DACACB， ACBDCE， DACDCE， DACM， DCEM， CM 为O 直径， MEC90， M+ECM90， DCE+ECM90， CDCM， CD 与O 相切； 如图 2，设 CM 与O 交于点 H， 四边形 ABCD 为平行四边形， AB
45、CD，ABCD， BHCDCM90， CHAB， AHBH， CACB， 过点 O 作 ONBC 于点 N， 则 CNBNCB2， 在 RtONC 中， OH， OCNBCH，ONCCHB90， CONCBH， ，即， BH4， AB2BH8， CDCE8， 1，DCEACB， DCEACB， ， ， DE， ADBC4， AEADDE， 故答案为： 27 （10 分）如图 1，对于PMN 的顶点 P 及其对边 MN 上的一点 Q，给出如下定义：以 P 为圆心，PQ 为 半径的圆与直线 MN 的公共点都在线段 MN 上，则称点 Q 为PMN 关于点 P 的内联点 在平面直角坐标系 xOy 中：
46、 （1）如图 2，已知点 A（7，0） ，点 B 在直线 yx+1 上 若点 B（3，4） ，点 C（3，0） ，则在点 O，C，A 中，点 O，C 是AOB 关于点 B 的内联点； 若AOB 关于点 B 的内联点存在，求点 B 纵坐标 n 的取值范围； （2）已知点 D（2，0） ，点 E（4，2） ，将点 D 绕原点 O 旋转得到点 F若EOF 关于点 E 的内联点存 在，直接写出点 F 横坐标 m 的取值范围 【分析】 （1）分别以 B 为圆心，BO，BCBA 为半径作圆，观察图像根据线段 OA 与圆的交点的位置， 可得结论 如图 2 中，当点 B（0，1）时，此时以 OB 为半径的圆与
47、线段 OA 有唯一的公共点，此时点 O 是AOB 关于点 B 的内联点，当点 B（7，8）时，以 AB 为半径的圆，与线段 OA 有公共点，此时点 A 是AOB 关于点 B 的内联点，利用图像法即可解决问题 （2）如图 3 中，过点 E 作 EHx 轴于 H，根点 F 作 FNy 轴于 N利用相似三角形的性质求出点 F 的 坐标， 再根据对称性求出 F的坐标， 当 OFEF时， 设 OH 交 FE 于 P， 想办法求出 F的坐标， 结合图像法可得结论 【解答】解： （1）如图 1 中，根据点 Q 为PMN 关于点 P 的内联点的定义，观察图像可知，点 O， 点 C 是是AOB 关于点 B 的内
48、联点 故答案为：O，C 如图 2 中，当点 B（0，1）时，此时以 OB 为半径的圆与线段 OA 有唯一的公共点，此时点 O 是AOB 关于点 B 的内联点， 当点 B（7，8）时，以 AB 为半径的圆，与线段 OA 有公共点，此时点 A 是AOB 关于点 B 的内联点， 观察图像可知，满足条件的 N 的值为 1n8 （2）如图 3 中，过点 E 作 EHx 轴于 H，根点 F 作 FNy 轴于 N E（4，2） ， OH4，EH2， OE2， 当 OFOE 时，点 O 是OEF 关于点 E 的内联点， EOFNOH90， FONEOH， FNOOHE90， FNOEHO， ， ， FN，ON， F（，） ， 观察图像可知当m0 时，满足条件 作点 F 关于点 O 的对称点 F（，） ， 当 OFEF时，设 OH 交 FE 于 P， EFOEHO90，OEEO，EHOF， RtOHEEFO（HL） ， EOHOEF， PEOP，s3PEOPt， 在 RtPEH 中，则有 t222+（4t）2， 解得 t， OP，PHPF， 可得 F（，） ， 观察图像可知，当m 综上所述，满足条件的 m 的值为m0 或m
