1、2020-2021 学年福建省莆田市仙游县郊尾、枫亭七校九年级（上）第学年福建省莆田市仙游县郊尾、枫亭七校九年级（上）第 一次联考数学试卷一次联考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1 下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax+2y21 Bx22x1 Cx2+y23 D3+x5x 2 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ） Ax2x+10 Bx22x+30 Cx2+x10 Dx2+40 4 设 x1，x2是一元二次方程 x22x30 的两根，则 x1+x2（ ） A2 B2 C3 D
2、3 5 抛物线 y（x1）22 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 6 把抛物线 y3x2向右平移 1 个单位，然后向下平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） Ay3（x+1）2+3 By3（x1）2+3 Cy3（x1）23 Dy3（x+1）23 7 已知一元二次方程 x28x+150 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC 的周长为 （ ） A13 B11 或 13 C11 D12 8 正方形 ABCD 在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 180后，C 点的 坐标是（ ） A （
3、2，0） B （3，0） C （2，1） D （2，1） 9 二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：ac0；当 x1 时，y 随 x 的增大而减 小；2a+b0；b24ac0；4a2b+c0，其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 10 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P、Q 分别是 CD、AD 的中点，动点 E 从点 A 向点 B 运动，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 PDQ 运动，点 E、F 的运动速度相同设点 E 的运动路 程为 x，AEF 的面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） A B C D
4、二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11 一元二次方程 x290 的解是 12 若点 B 与点 A（2，3）关于原点对称，则点 B 的坐标为 13 一种药品原价每盒 25 元，两次降价后每盒 16 元设两次降价的百分率都为 x，可列方程 14 已知关于 x 的方程 x2+bx60 的一个根为 2，则 b 15 若二次函数 y（k2）x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 16 如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 A 顺时针旋转到AB1C1的位置，点 B、O 分别落在点 B1、 C1处， 点 B1在 x 轴上， 再将AB1C1绕点 B1顺时针旋
5、转到A1B1C2的位置， 点 C2在 x 轴上， 将A1B1C2 绕点 C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点 A2在 x 轴上，依次进行下去若点 A（，0） ，B（0，2） ， 则 B2的坐标为 ；点 B2016的坐标为 三、解答题（本题共 9 小题，共 86 分） 17 解下列一元二次方程 （1）x22x30 （2）2x2+13x 18 在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题： （1）分别写出 A、B 两点的坐标； （2）将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后的AB1C1 19 关于 x 的一元二次方程 x23xk0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围 （2）如果 k
6、2，求出方程的根 20 如图所示，把一个直角三角尺 ACB 绕着 30角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 与 CB 的延长线上的点 E 重合，连接 CD （1）试判断CBD 的形状，并说明理由； （2）求BDC 的度数 21 已知二次函数 yx22x+3 （1）将其配方成 ya（xk）2+h 的形式，并写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标 （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象，并观察图象，当 y0 时，x 的取值范围 22 已知关于 x 的一元二次方程 x2（m1）x2（m+3）0 （1）试证：无论 m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设 x1，x2为方程的两个实数根，且 x
7、12+x2216，求 m 的值 23 某件衣服的进价为每件 40 元，现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件 （1）请求出每星期售出商品的利润 y（单位：元）与每件降价 x（单位：元）之间的函数关系式，并直 接写出自变量 x 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 24 如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60的菱形纸片，将一个EDF60的三角形纸片的 一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转这个三角形纸片，使它的两边分别交 CB，BA（或它 们的延长线）于点 E，F；
8、（1）当 CEAF 时，如图，DE 与 DF 的数量关系是 ； （2）继续旋转三角形纸片，当 CEAF 时，如图， （1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成 立，请说明理由； （3）再次旋转三角形纸片，当点 E，F 分别在 CB，BA 的延长线上时，如图，请直接写出 DE 与 DF 的数量关系 25 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+c 与 x 轴交 A（1，0） ，B 两点，与 y 轴交于点 C（0， 3） ，抛物线的顶点为点 E （1）求抛物线的解析式； （2）经过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一个动点，当点 P 运
9、动到点 E 时，求PCD 的面积； （3）点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在 x 轴上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N，C，B 为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年福建省莆田市仙游县郊尾、枫亭七校九学年福建省莆田市仙游县郊尾、枫亭七校九年级（上）第年级（上）第 一次联考数学试卷一次联考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1 下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax+2y21 Bx22x1 Cx2+y23 D3+x5x 【考点】一元二次方程的定义 【答案】
10、B 【分析】找到化简后只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，二次项系数不为 0 的整式方程的选项 即可 【解答】解：A、含有 2 个未知数，未知数的最高次数是 1，不符合题意，故错误； B、是只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，二次项系数不为 0 的整式方程，故正确； C、含有 2 个未知数，故错误； D、未知数的最高次数是 1，故错误 故选：B 2 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形；中心对称图形 【专题】平移、旋转与对称；几何直观 【答案】B 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A
11、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：B 3 下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ） Ax2x+10 Bx22x+30 Cx2+x10 Dx2+40 【考点】根的判别式 【答案】C 【分析】只要判断每个方程的根的判别式的值与零的关系就可以了 【解答】解：A、（1）241130，没有实数根； B、（2）241380，没有实数根； C、1221（1）30，有实数根； D、0414160，没有实数根 故选：C 4
12、 设 x1，x2是一元二次方程 x22x30 的两根，则 x1+x2（ ） A2 B2 C3 D3 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题；一元二次方程及应用 【答案】B 【分析】根据两根和与系数的关系，直接可得结论 【解答】解：根据根与系数的关系， x1+x22 故选：B 5 抛物线 y（x1）22 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【考点】二次函数的性质 【答案】D 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可 【解答】解：抛物线 y（x1）22 的顶点坐标是（1，2） 故选：D 6 把抛物线 y3x2向右平移 1 个单位，然后向下平移 3 个
13、单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） Ay3（x+1）2+3 By3（x1）2+3 Cy3（x1）23 Dy3（x+1）23 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识 【答案】C 【分析】抛物线向右平移 1 个单位，则对应的横坐标减 1，向下平移 3 个单位，则对应的纵坐标减 3，由 此可得 y3（x1）23 【解答】解：将抛物线 y3x2向右平移 1 个单位，得到 y3（x1）2， 再将 y3（x1）2向下平移 3 个单位，得到 y3（x1）23， 故选：C 7 已知一元二次方程 x28x+150 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC 的周长为
14、 （ ） A13 B11 或 13 C11 D12 【考点】解一元二次方程因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【答案】B 【分析】由一元二次方程 x28x+150 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，利用因式分解 法求解即可求得等腰ABC 的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为 3 和 5 时与当底边长和 腰长分别为 5 和 3 时去分析，即可求得答案 【解答】解：x28x+150， （x3） （x5）0， x30 或 x50， 即 x13，x25， 一元二次方程 x28x+150 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长， 当底边长和腰长分别为 5 和 3 时
15、，3+35， ABC 的周长为：3+3+511； 当底边长和腰长分别为 3 和 5 时，3+55， ABC 的周长为：3+5+513； ABC 的周长为：11 或 13 故选：B 8 正方形 ABCD 在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 180后，C 点的 坐标是（ ） A （2，0） B （3，0） C （2，1） D （2，1） 【考点】坐标与图形变化旋转 【专题】几何图形问题 【答案】B 【分析】正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 180后，C 点的对应点与 C 一定关于 A 对称，A 是对称 点连线的中点，据此即可求解 【解答】解：AC2
16、， 则正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 180后 C 的对应点设是 C，则 ACAC2， 则 OC3， 故 C的坐标是（3，0） 故选：B 9 二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：ac0；当 x1 时，y 随 x 的增大而减 小；2a+b0；b24ac0；4a2b+c0，其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点 【专题】函数及其图象 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向及与 y 轴交点的位置，即可得出 a0、c0，进而可得出 ac0，结论 错误；由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当 x1 时，
17、y 随 x 的增大而增大，结论错误；由 抛物线对称轴为直线 x1，即可得出 b2a，进而可得出 2a+b0，结论正确；由 a0、c0、b 2a，可得出 b23ac4a23aca（4a3c）0，结论错误；由当 x2 时，y0 可得出 4a 2b+c0，结论正确综上即可得出结论 【解答】解：抛物线开口向上，且与 y 轴交于负半轴， a0，c0， ac0，结论错误； 抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，结论错误； 抛物线对称轴为直线 x1， 1， b2a， 2a+b0，结论正确； a0，c0，b2a， b23ac4a23aca（4a3c）0，结论错误
18、； 当 x2 时，y0， 4a2b+c0，结论正确 故选：B 10 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P、Q 分别是 CD、AD 的中点，动点 E 从点 A 向点 B 运动，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 PDQ 运动，点 E、F 的运动速度相同设点 E 的运动路 程为 x，AEF 的面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象；二次函数的图象 【专题】应用题；压轴题 【答案】A 【分析】分 F 在线段 PD 上，以及线段 DQ 上两种情况，表示出 y 与 x 的函数解析式，即可做出判断 【解答】解：
19、当 F 在 PD 上运动时，AEF 的面积为 yAEAD2x（0 x2） ， 当 F 在 AD 上运动时，AEF 的面积为 yAEAFx（6x）x2+3x（2x4） ， 图象为： 故选：A 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11 一元二次方程 x290 的解是 【考点】解一元二次方程直接开平方法 【答案】见试题解答内容 【分析】利用直接开平方法解方程得出即可 【解答】解：x290， x29， 解得：x13，x23 故答案为：x13，x23 12 若点 B 与点 A（2，3）关于原点对称，则点 B 的坐标为 【考点】关于原点对称的点的坐标 【答案】见试题解答内容 【分析
20、】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数解答 【解答】解：点 B 与点 A（2，3）关于原点对称， 点 B 的坐标为（2，3） 故答案为： （2，3） 13 一种药品原价每盒 25 元，两次降价后每盒 16 元设两次降价的百分率都为 x，可列方程 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】常规题型 【答案】见试题解答内容 【分析】由两次降价的百分率都为 x 结合原价及两次降价后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程， 此题得解 【解答】解：设两次降价的百分率都为 x，根据题意，得 25（1x）216 故答案为：25（1x）216 14 已知关于 x 的方程 x2+bx60 的一个根为
21、 2，则 b 【考点】一元二次方程的解 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【答案】1 【分析】将 x2 代入方程 x2+bx60 即可求 b 的值 【解答】解：2 是方程 x2+bx60 的一个根， 4+2b60， b1， 故答案为 1 15 若二次函数 y（k2）x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次函数图象与 x 轴有交点可得出关于 x 的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次 项系数非零即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论 【解答】解：二次函数 y（k2）x2+2
22、x+1 的图象与 x 轴有交点， 一元二次方程（k2）x2+2x+10 有解， ， 解得：k3 且 k2 故答案为：k3 且 k2 16 如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 A 顺时针旋转到AB1C1的位置，点 B、O 分别落在点 B1、 C1处， 点 B1在 x 轴上， 再将AB1C1绕点 B1顺时针旋转到A1B1C2的位置， 点 C2在 x 轴上， 将A1B1C2 绕点 C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点 A2在 x 轴上，依次进行下去若点 A（，0） ，B（0，2） ， 则 B2的坐标为 ；点 B2016的坐标为 【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化旋转 【答案】见试题解答
23、内容 【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4每偶数之间的 B 相差 6 个单位长度，根据这个规律可以求得 B2016的坐标 【解答】解：A（，0） ，B（0，2） ， RtAOB 中，AB， OA+AB1+B1C2+2+6， B2的横坐标为：6，且 B2C22，即 B2（6，2） ， B4的横坐标为：2612， 点 B2016的横坐标为：2016266048，点 B2016的纵坐标为：2， 即 B2016的坐标是（6048，2） 故答案为： （6，2） ， （6048，2） 三、解答题（本题共 9 小题，共 86 分） 17 解下列一元二次方程 （1）x22x
24、30 （2）2x2+13x 【考点】解一元二次方程因式分解法 【专题】计算题；配方法；因式分解；运算能力 【答案】 （1）x13，x21 （2）x1，x21 【分析】 （1）根据配方法即可求出答案； （2）根据因式分解法即可求出答案 【解答】解： （1）x22x3， x22x+13+1， 即（x1）24， x12， 即 x13，x21 （2）2x23x+10， （2x1） （x1）0， 2x10 或 x10， 即 x1，x21 18 在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题： （1）分别写出 A、B 两点的坐标； （2）将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后的AB1C1 【考点】作图旋
25、转变换 【专题】探究型 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）直接根据点 A、B 在坐标系中的位置写出其坐标即可； （2）根据图形旋转的性质画出旋转后的AB1C1即可； 【解答】解： （1）由点 A、B 在坐标系中的位置可知：A（2，0） ，B（1，4） ； （2）如图所示： 19 关于 x 的一元二次方程 x23xk0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围 （2）如果 k2，求出方程的根 【考点】解一元二次方程因式分解法；根的判别式 【专题】计算题 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据判别式的意义得到（3）24（k）0，然后解不等式即可； （2）当 k2，原方程变形为 x
26、23x+20，然后了因式分解法解方程 【解答】解： （1）根据题意得（3）24（k）0， 解得 k； （2）当 k2，原方程变形为 x23x+20， （x1） （x2）0， 所以 x11，x22 20 如图所示，把一个直角三角尺 ACB 绕着 30角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 与 CB 的延长线上的点 E 重合，连接 CD （1）试判断CBD 的形状，并说明理由； （2）求BDC 的度数 【考点】旋转的性质 【专题】三角形；平移、旋转与对称 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据图形旋转不变性的性质得出ABCEBD，故可得出 BCBD，由此即可得出结论； （2） 根据图形选旋转不
27、变性的性质求出EBD 的度数， 再由等腰三角形的性质即可得出BDC 的度数 【解答】解： （1）EBD 由ABC 旋转而成， ABCEBD， BCBD， CBD 是等腰三角形 （3）ABCEBD， EBDABC30， DBC18030150， CBD 是等腰三角形， BDC15 21 已知二次函数 yx22x+3 （1）将其配方成 ya（xk）2+h 的形式，并写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标 （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象，并观察图象，当 y0 时，x 的取值范围 【考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式；抛物线与 x 轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质 【答案】见试题解答内
28、容 【分析】 （1）根据题目中的函数解析式，利用配方法可以将题目中的函数解析式化为 ya（xk）2+h 的形式，并写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）根据题目中的函数解析式可以画出函数的图象，并直接写出当 y0 时，x 的取值范围 【解答】解： （1）二次函数 yx22x+3（x+1）2+4， 故该函数的开口向下，对称轴是直线 x1，顶点坐标为（1，4） ； （2）当 y0 时，0 x22x+3，得 x3 或 x1， 故该函数的图象如右图所示， 当 y0 时，x 的取值范围是3x1 22 已知关于 x 的一元二次方程 x2（m1）x2（m+3）0 （1）试证：无论 m 取任何实数，方程
29、都有两个不相等的实数根； （2）设 x1，x2为方程的两个实数根，且 x12+x2216，求 m 的值 【考点】根的判别式；根与系数的关系 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式b24ac，即可得出（m+3）2+16，结合（m+3）2 0 可得出0，进而可证出：无论 m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系可得出 x1+x2m1，x1x22（m+3） ，结合 x12+x2216 可得出关于 m 的 一元二次方程，解之即可得出 m 的值 【解答】 （1）证明：a1，b（m1） ，c2（m+
30、3） b24ac（m1）2412（m+3）m2+6m+25（m+3）2+16 （m+3）20， （m+3）2+160，即0， 无论 m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：x1，x2为方程 x2（m1）x2（m+3）0 的两个实数根， x1+x2m1，x1x22（m+3） ， x12+x22（x1+x2）22x1x216， （m1）222（m+3）16， m2+2m30， m13，m21 23 某件衣服的进价为每件 40 元，现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件 （1）请求出每星期售出商品的利润 y（单位：元
31、）与每件降价 x（单位：元）之间的函数关系式，并直 接写出自变量 x 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用 【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识 【答案】 （1）y20 x2+100 x+6000（0 x20） ； （2）降价 2.5 元时，利润最大且为 6125 元 【分析】 （1）设降价 x 元，表示出销售量和利润即可，注意准确写出自变量范围； （2）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案 【解答】解： （1）每降价 1 元，每星期要多卖出 20 件， 每星期实际可卖出（300+20 x）件， y（6040 x） （300+2
32、0 x） 20 x2+100 x+6000（0 x20） ； （2）由（1）知 y20 x2+100 x+600010（x）2+6125， a100， 当 x2.5 时，y 有最大值 6125 元， 答：当降价 2.5 元时，利润最大且为 6125 元 24 如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60的菱形纸片，将一个EDF60的三角形纸片的 一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转这个三角形纸片，使它的两边分别交 CB，BA（或它 们的延长线）于点 E，F； （1）当 CEAF 时，如图，DE 与 DF 的数量关系是 ； （2）继续旋转三角形纸片，当 CEAF 时，如图
33、， （1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成 立，请说明理由； （3）再次旋转三角形纸片，当点 E，F 分别在 CB，BA 的延长线上时，如图，请直接写出 DE 与 DF 的数量关系 【考点】四边形综合题 【专题】几何综合题 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）证明DAFDCE（SAS）即可判断； （2）由菱形的性质得到ABD 是等边三角形，再证明ADFBDE 即可； （3）由菱形的性质得到ABD 是等边三角形，再证明ADFBDE 即可； 【解答】解： （1）DEDF； 理由：四边形 ABCD 是菱形， DADC，AC， AFCE， DAFDCE（SAS） ， DEDF （2）成立
34、理由：连接 BD 四边形 ABCD 是菱形， ADAB 又DAB60， ABD 是等边三角形， ADBD，ADB60， DBEDAF60 EDF60， ADBEDF60， ADFBDE， ADFBDE（ASA） ， DEDF （3）结论：DFDE 理由：如图 3，连接 BD 四边形 ABCD 是菱形， ADAB 又A60， ABD 是等边三角形， ADBD，ADB60，同法可证DBC60， DBEDAF120 EDFADB60， ADFBDE， ADFBDE（ASA） ， DFDE； 25 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+c 与 x 轴交 A（1，0） ，B 两点，与 y 轴
35、交于点 C（0， 3） ，抛物线的顶点为点 E （1）求抛物线的解析式； （2）经过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一个动点，当点 P 运动到点 E 时，求PCD 的面积； （3）点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在 x 轴上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N，C，B 为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】函数的综合应用 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）由点 A，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）利用二次
36、函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，利用配方法可求出顶点 E 的坐标，由点 B， C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 D 的 坐标，再利用三角形的面积公式即可求出当点 P 运动到点 E 时PCD 的面积； （3）设点 M 的坐标为（m，0） ，点 N 的坐标为（1，n） ，分四边形 CBMN 为平行四边形、四边形 CMNB 为平行四边形及四边形 CMBN 为平行四边形三种情况， 利用平行四边形的性质找出关于 m 的一元一次方 程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）将 A（1，0） ，C（0，3）代入 yax2+2x+c，得：
37、 ，解得：， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 （2）当 y0 时，有x2+2x+30， 解得：x11，x23， 点 B 的坐标为（3，0） yx2+2x+3（x1）2+4， 点 E 的坐标为（1，4） 设过 B，C 两点的直线解析式为 ykx+b（k0） ， 将 B（3，0） ，C（0，3）代入 ykx+b，得： ，解得：， 直线 BC 的解析式为 yx+3 点 D 是直线与抛物线对称轴的交点， 点 D 的坐标为（1，2） ， DE2， 当点 P 运动到点 E 时，PCD 的面积211 （3）设点 M 的坐标为（m，0） ，点 N 的坐标为（1，n） 分三种情况考虑： 当四边形 CBMN 为平行四边形时，有 10m3， 解得：m4， 此时点 M 的坐标为（4，0） ； 当四边形 CMNB 为平行四边形时，有 m103， 解得：m2， 此时点 M 的坐标为（2，0） ； 当四边形 CMBN 为平行四边形时，有 01m3， 解得：m2， 此时点 M 的坐标为（2，0） 综上所述：存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N，C，B 为顶点的四边形是平行四边形，点 M 的坐标为 （4，0）或（2，0）或（2，0）
