1、重庆卷（压轴8道+变式训练32道）说明：本专辑精选了2021年重庆卷失分较多和难度较大的题目8道，分别是第11题不等式组与方程含参问题、第12题反比例函数图象与性质综合问题、第17题三角形与折叠综合问题、第18题方程（组）综合应用问题、第22题函数图象与性质综合阅读问题、第24题新定义阅读材料题、第25题二次函数综合问题、第26题几何综合探究压轴问题，每道题精讲精析，配有变式练习各4道，重庆模拟变式训练题共32道，本试题解析共84页.【压轴一】不等式组与方程含参问题【真题再现】（2021重庆A卷第11题）若关于x的一元一次不等式组3x-22(x+2)a-2x-5的解集为x6，且关于y的分式方程
2、y+2ay-1+3y-81-y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A5B8C12D15【思路点拨】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可【详析详解】解：3x-22(x+2)a-2x-5，解不等式得：x6，解不等式得：xa+52，不等式组的解集为x6，a+526，a7；分式方程两边都乘（y1）得：y+2a3y+82（y1），解得：y=a+52，方程的解
3、是正整数，a+520，a5；y10，a+521，a3，5a7，且a3，能使a+52是正整数的a是：1，1，3，5，和为8，故选：B【方法小结】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，注意解分式方程一定要检验【变式训练】【变式1.1】（2021重庆实验外国语学校九年级一模）若整数a使关于x的不等式组有解且至多有四个整数解，且使关于y的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有a的值之和为（ ）A63B67C68D72【答案】A【分析】观察本题，可通过解不等式组找到的取值范围，结合至多四个整数解和分式方程的解的特点确定的取值范围再取整数解求和即可【详解】解：不等式组解得：，解得：，且至多有四个整数解
4、，解关于的分式方程得，分式方程有解且为非负数，即且，且，综上整数可取：6，7，8，9，10，11，12，和为：，故选：A【点睛】本题考查不等式组的解法以及分式方程的解法，综合性较强，需要注意分式方程产生增根的特殊性，从而确定的取值范围再取整数解求和即可【变式1.2】（2021重庆八中九年级一模）若关于的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】先解不等式组，根据不等式组有且只有4个整数解，列出不等式，求得a的取值范围；再解分式方程，检验增根，最后根据a为整数，x为整数，得到a的值【详解】解：解不等式得：x7
5、，解不等式得：x，不等式组的解集为：x7，不等式组有且只有4个整数解，34，解得：10a14；分式方程两边都乘以（x-2）得：ax-5-15=12（x-2），解得：x=，x-20，2，a10，10a14，且a12a为整数，且x为整数，符合条件的a只有11，13故选：B【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组，分式方程的解法，考核学生的计算能力，解分式方程要注意检验【变式1.3】（2021重庆九年级一模）关于的不等式组有且仅有三个整数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数的个数为（ ）A3B2C1D0【答案】C【分析】由题意先求出不等式组的解集，然后再根据分式方程的解，进而根据不等式及方程
6、的解都为整数进行求解即可【详解】解：由的不等式组可得：，不等式组的解集有且仅有三个整数解，解得：，a的值为，由关于的分式方程可得：，该方程的解是整数，3是的倍数，且，a的值为0，2，-2，综上所述：符合条件的整数a的值为-2，共1个；故选C【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式组的解法是解题的关键【变式1.4】（2021重庆九年级二模）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数不经过第三象限，则所有满足条件的整数的值之和是（）ABC0D1【答案】C【分析】根据关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据
7、一次函数不经过第三象限，可以得到a的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a的取值范围，从而可以写出满足条件的a的整数值，然后相加即可【详解】解：由不等式组，得，关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，解得-3a1，一次函数y=（a-2）x+a+1不经过第三象限，a-20且a+10，-1a2，又-3a1，-1a1，整数a的值是-1，0，1，所有满足条件的整数a的值之和是：-1+0+1=0，故选：C【点睛】本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围，利用一次函数的性质和不等式的性质解答【压轴二】反比例函数图象与性质综合问题【真题再现】（20
8、21重庆A卷第12题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，ABx轴，AOAD，AOAD过点A作AECD，垂足为E，DE4CE反比例函数y=kx（x0）的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF若SEOF=118，则k的值为（）A73B214C7D212【思路点拨】延长EA交x轴于点G，过点F作FHx轴于点H，ABx轴，AECD，ABCD，可得AGx轴；利用AOAD，AOAD可得ADEOAG，得到DEAG，AEOG；利用DE4CE，四边形ABCD是菱形，可得ADCD=54DE设DE4a，则ADOA5a，由勾股定理可得EA3a，EGAE+AG
9、7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k21a2由于AGHF为矩形，FHAG4a，可得点F的坐标为（214a，4a），这样OH=214a，GHOHOG=94a；利用SOEFSOEG+S梯形EGHFSOFH，列出关于a的方程，求得a的值，k的值可求【详析详解】解：延长EA交x轴于点G，过点F作FHx轴于点H，如图，ABx轴，AECD，ABCD，AGx轴AOAD，DAE+OAG90AECD，DAE+D90DOAG在DAE和AOG中，DEA=AGO=90D=OAGAD=OADAEAOG（AAS）DEAG，AEOG四边形ABCD是菱形，DE4CE，ADCD=54DE设DE4a，则ADOA5aOGAE
10、=AD2-DE2=3aEGAE+AG7aE（3a，7a）反比例函数y=kx（x0）的图象经过点E，k21a2AGGH，AHGH，AFAG，四边形AGHF为矩形HFAG4a点F在反比例函数y=kx（x0）的图象上，y=21a24a=214aF（214a，4a）OH=214aGHOHOG=94aSOEFSOEG+S梯形EGHFSOFH，SEOF=118，12OGEG+12(EG+FH)GH-12OHHF=1181221a2+127a94a-1221a2=118解得：a2=19k21a22119=73故选：A【方法小结】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的
11、特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键【变式训练】【变式2.1】（2021重庆巴蜀中学九年级二模）如图，已知直线与坐标轴交于点和点，与反比例函数的图象交于点，以为边向上作平行四边形，D点刚好在反比例图象上，连接，若轴，四边形面积为10，则的值为（ ）A10BC9D【答案】B【分析】先求得A(3，0)，B (0，)，设点D的坐标为(，)，根据平移的性质，得到点E的坐标为(，)，求得点C的坐标为(，)，由点C在反比例函数的图象上，得到，再根据列式计算即可求解【详解】解：直线与坐标轴交于A点和B点，令，则；
12、令，则；A(3，0)，B (0，)，设点D的坐标为(，)，四边形ABED是平行四边形，根据平移的性质，点E的坐标为(，)，点C的纵坐标为，点C在直线上，点C的坐标为(，)，又点C在反比例函数的图象上，整理得：，过D作DNEC于N，延长CG交轴于G，整理得，解得：，故选：B【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合题，平行四边形的性质以及平移的性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及反比例函数图象的特征【变式2.2】（2021重庆南开中学九年级二模）如图，、是关于的函数图象的两点，过、分别做，轴的垂线，垂足分别为、过点的直线交坐标轴于、，且点恰好为线段的中点，则的值为（ ）AB2C4D
13、5【答案】C【分析】设D（a，），C（b，），求出A，B坐标，再证明ABCD，得到四边形ABDG是平行四边形，根据D是线段的中点，求出，再根据k的几何意义即可求出的值【详解】如图，设D（a，），C（b，），作DMx轴，交x轴于H点，CMy轴，交于M点，A（b，0），B（0，），M（a，），BO=，AO=-b，DM=-，CM=a-btanBAO=，tanDCM=BAO=DCMABCDBDAG四边形ABDG是平行四边形，AB=DG又BAO=DCM，AOB=GHD=90AOBGHDSAOB=SGHDD是线段的中点，BDOF，FOE=90BF=BO，OD=DEAB是AOF的中线，DH是ODE的中线=，
14、=3-1=2k0k=4故选C【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知解直角三角形的性质、中线的性质及反比例函数k的几何意义的应用【变式2.3】（2021重庆实验外国语学校九年级一模）如图所示，点AB是反比例函数y图象在第三象限内的点，连接AO并延长与y在第一象限的图象交于点C，连接OB，并以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC（点D在第四象限内）作AEx轴于点E，AE5，以AE为边作菱形AGFE，使得点F、G分别在y轴的正、负半轴上，连按AB若OEOG2，SAOB15，OEOF，另一反比例函数y的图象经过点D，则k的值为（ ）A10B12C13D15【答案】A【分析】先设为，
15、通过勾股定理及求出点及点坐标，再设点坐标为，通过水平宽与铅锤高求，求出点坐标后再根据点与点坐标求点坐标【详解】解：四边形为菱形，设为，则，或当时，当时，设横坐标为，则点坐标为，作平行于轴交于点设直线解析式为，将代入解得，将代入得，所以点坐标为，解得或（舍点坐标为，点坐标为，点坐标为，设点坐标为，则，故选：A【点睛】本题考查反比例函数与平行四边形的综合应用，解题关键是掌握平行四边形在坐标系内点的关系【变式2.4】（2021重庆九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，斜边中点与原点重合，点是平面内第二象限内一点，且平分，连接，反比例函数的图象经过两点已知两点横坐标分别为的面积为，则的值为（ ）ABC
16、D【答案】B【分析】连接OD，延长AD交x轴于点H，由题意易得，则，进而可得，然后可得，设，则可得直线AD的解析式为，即有点，最后根据面积可进行求解【详解】解：连接OD，延长AD交x轴于点H，如图所示：斜边中点与原点重合，平分，设，设直线AD的解析式为，把点A、D坐标代入得：，解得：，直线AD的解析式为，令y=0时，则有，解得：，点，解得：；故选B【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数、几何的综合，熟练掌握反比例函数的性质及几何的性质是解题的关键【压轴三】三角形与折叠综合问题【真题再现】（2021重庆A卷第17题）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF4，CF
17、6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合若DEBC，AFEF，则四边形ADFE的面积为【思路点拨】由沿直线DE翻折，点A与点F重合可知：DE垂直平分AF，因为DEBC，所以DE为ABC的中位线，DE=12BC5；由折叠可得AEEF，因为AFEF，可得AEF为等边三角形，FAC60；在RtAFC中，解直角三角形可得AF的长，四边形ADFE的面积为12DEAF，结论可得【详析详解】解：纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，DE垂直平分AFADDF，AEEFDEBC，DE为ABC的中位线DE=12BC=12（BF+CF）=12（4+6）5AFEF，AEF为等边三角形FAC60在RtAFC中，tan
18、FAC=FCAF，AF=FCtan60=23四边形ADFE的面积为：12DEAF=12523=53故答案为：53【方法小结】本题主要考查了折叠问题，三角形的中位线，平行线的性质，三角形的面积，解直角三角形利用中点的性质得到对应的部分相等是解题的关键【变式训练】【变式3.1】（2021重庆巴蜀中学九年级二模）如图，点在矩形边上，将沿翻折，点恰好落在上的点处，若，连接，与交于点，连接，则点到的距离为_【答案】【分析】在RtEFC中和在RtABF中，分别利用勾股定理求得DE、AD的长，再利用三角形公式即可求解【详解】解：根据折叠的性质知：AD=AF=BC，DE=EF，AE是线段DF的垂直平分线，H是
19、DF的中点，设DE=EF=x，则DC=AB=x+3，FC=AB=，在RtEFC中，即，解得：(负值已舍)，DC=AB=8，FC=，设AD=AF=BC=y，则BF=y-4，在RtABF中，即，解得：，BF=6，过H作HNBC于N，过F作FMBH于M，四边形ABCD是矩形，C=90，HNCD，HN=CD=4，FN=FC=2，BN=BF+FN=8，由勾股定理得BH=，FM=故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题时根据是正确作出辅助线，学会利用此时构建方程组解决问题【变式3.2】（2021重庆八中九年级一模）如图，在矩形中，分别在边，上，将四边形沿翻折，得到四边形，使得
20、点的对应点落到边的延长线上，且，连接，交于点，延长交于点，则_【答案】【分析】设DG=DE=x，根据矩形的性质可得AD=，可得AE=AD-DE=9-x=EH，根据题意得，EHG为直角三角形，HG=AB=，根据勾股定理可得x=4，根据相似三角形的判定可得DMGCMB，可得，从而得到DM=，根据相似三角形的判定可得NGDEGH，所以，可得ND=，根据MN=DM+ND即可得出答案【详解】解：设DG=DE=x，四边形ABCD为矩形，AD=，AE=AD-DE=9-x=EH，四边形沿翻折，得到四边形，EHG为直角三角形，HG=AB=，HG2+EH2=EG2，即，解得x=4或x=-10（舍去），DG=DE=
21、4，四边形ABCD是矩形，ADBC，DMGCMB，解得DM=，在DNG中，NGD=90，NGD=EGH，EHG=90，NGDEGH，ND=，MN=DM+ND=+=故答案为【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，翻折的性质等知识掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键【变式3.3】（2021重庆一中九年级一模）如图，在ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DEAC交BC于点E，将BDE沿DE翻折，得到BDE，若点C恰好在线段BD上，若BCD90，DC：CB3：2，AB16则CE的长度为_【答案】【分析】设DC3x，CB2x，则DB5x，由折叠的性质得出DBDB，BDE
22、BDE，BEBE，由勾股定理求出BC8，设CEa，则BE8aBE，由勾股定理得出方程求出a的值，则可得出答案【详解】解：设DC3x，CB2x，则DB5x，将BDE沿DE翻折，得到BDE，DBDB，BDEBDE，BEBE，DEAC，ABDE，ACDCDE，AACD，CDAD3x，ABADDB8x16，x2，CD6，BD10，BC4，BC，设CEa，则BE8aBE，CE2BC2BE2，解得a3，CE3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了翻转折叠的知识点，利用勾股定理进行计算是解题的关键【变式3.4】（2021重庆八中九年级二模）如图，在平行四边形ABCD中，A60，AB10，BC12，点E、F分别
23、在边CD、BC上，将CEF沿EF翻折得到若点C的对应点恰好落在AD边上，且满足，则点E到BC边的距离为_【答案】【分析】过点E作EHBC，垂足为点H，过点作GCD，交CD的延长线于点G，根据DG30，在Rt中，设ECEx，则GEGDCDEC12x，根据，可得，进而可求得，最后在RtECH中，利用勾股定理即可求得答案【详解】解：如图，过点E作EHBC，垂足为点H，过点作GCD，交CD的延长线于点G，则EHCGD90，在平行四边形ABCD中，AB10，BC12，A60，ABCD10，BCAD12，AC60，A60，ADGA60，DG30，在Rt中，翻折，ECE，设ECEx，则GEGDCDEC12x
24、，解得：，EHC90，C60，HEC30，在RtECH中，点E到BC边的距离为，故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，含30的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解决本题的关键【压轴四】方程（组）综合应用问题【真题再现】（2021重庆A卷第18题）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的115，B、C饮料增加的销售额之比为2：1六月份A饮料单价上调20
25、%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为【思路点拨】根据三种饮料的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即五月份A、B、C三种饮料的销售的数量和单价分别为3a、2a、4a；b、2b、b可以表示出五月份各种饮料的销售额和总销售额因问题中涉及到A的五月销售数量，因此可以设六月份A的销售量为x，再根据A六月份的单价求出六月份A的销售额，和B的销售额可以根据饮料增加的销售额占六月份销售总额比，用未知数列出等式关键即可求解出【详析详解】解：由题意可设五月份A、B、C三种饮料的销售的数量为3a、2a、4a，单价为b、2b、b；六月份A的销售量为x
26、A饮料的六月销售额为b（1+20%）x1.2bx，B饮料的六月销售额为1.2bx231.8bxA、B饮料增加的销售额为分别1.2bx3ab，1.8bx4ab又B、C饮料增加的销售额之比为2：1，C饮料增加的销售额为（1.8bx4ab）20.9bx2ab，C饮料六月的销售额为0.9bx2ab+4ab0.9bx+2abA饮料增加的销售额占六月份销售总额的115，（1.2bx3ab）115=1.2bx+1.8bx+0.9bx+2ab，18bx45ab3.9bx+2ab，b0，18x45a3.9x+2a，14.1x47a，3a=910x，3ax=910即A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比
27、为9：10故答案为9：10【方法小结】此题考查的是二元一次方程的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键【变式训练】【变式4.1】（2021重庆八中九年级二模）端午将至，吃粽子是中华民族的传统粽子馅料有很多品种，比如素馅，肉馅，甜味馅去年某商人抓住商机，购进素馅，肉馅，甜味馅三种粽子已知销售每袋素馅粽子的利润率为10%，每袋肉馅粽子的利润率为20%，每袋甜味馅粽子的利润率为30%，当售出的三种馅料粽子的袋数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的三种馅料粽子的袋数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%，那么当售出的三种馅料粽子的袋数之比为2：3：4时，这个商
28、人得到的总利润率为_【答案】25%【分析】设每袋素馅粽子的成本是a元，售价是A元；每袋肉馅粽子的成本是b元，售价是B元；每袋甜味馅粽子的成本是c元，售价是C元；根据题意得：A1.1a，B1.2b，C1.3c，设最后一种情况的利润率是x，根据条件建立方程组，解方程组即可【详解】解：设每袋素馅粽子的成本是a元，售价是A元；每袋肉馅粽子的成本是b元，售价是B元；每袋甜味馅粽子的成本是c元，售价是C元；根据题意得：A1.1a，B1.2b，C1.3c，设最后一种情况的利润率是x，得到，将条件代入方程组可以解得，解得：x0.2525%；故答案为：25%【点睛】本题主要考查分式方程的应用及三元一次方程组的应
29、用，熟练掌握分式方程的应用及三元一次方程组的应用是解题的关键【变式4.2】（2021重庆实验外国语学校九年级一模）为了支持新疆棉花，商店购进一批由新疆最出名的长绒棉所制成的某国产品牌的毛巾、方巾和浴巾等棉制品进行混装，推出了A、B两种盒装礼盒，每盒礼盒的总成本是盒中毛巾、方巾和浴巾三种棉制品的成本之和（盒子成本忽略不计）A礼盒每盒装有3条毛巾、1条方巾和1条浴巾；B礼盒每盒装有1条毛巾、2条方巾和2条浴巾每盒A礼盒的成本正好是1条毛巾成本的倍，而每盒A礼盒的售价则是在A礼盒成本的基础上增长了，每盒B礼盒的利润率为20%当该店销售这两种盒装礼盒的总利润率为22%，且销售A礼盒的总利润是3000元
30、时，这两种盒装礼盒的总销售额是_元【答案】73200【分析】设礼盒的总利润元，分别表示出、礼盒的总成本和总利润，通过题干的已知条件找到等量关系列出方程即可进行求解【详解】解：设礼盒的总利润元，由礼盒的利润率为可知，的总成本为，礼盒的总利润是3000元，由每盒礼盒的售价则是在礼盒成本的基础上增长了可知，的总成本为元，由该店销售这两种盒装礼盒的总利润率为可列方程：，解得：总销售额总成本总利润元故答案为：73200【点睛】本题考查分式方程的应用，学会利用已知条件进行相互转化是解本题的关键，综合性较强，有一定难度【变式4.3】（2021重庆九年级一模）为了迎接中秋佳节，沁园在9月30日以及10月1日两
31、天对“阖家悦”“吉如意”“福满圆”三种型号的月饼进行降价促销经计算，结果发现10月1日“阖家悦”“吉如意”“福满圆”三种月饼销量分别在9月30日的基础上减少了30%，64%，40%，且这三种月饼的总销量是9月30日的，10月1日“阖家悦”“福满圆”两种型号月饼的销量之和是9月30日“阖家悦”“福满圆”两种型号月饼的销量之和的，那么10月1日“吉如意”月饼的销量与这两天的总销量之比为_【答案】【分析】设9月30日“阖家悦”“吉如意”“福满圆”三种型号月饼的销量分别为、，则10月1日“阖家悦”“吉如意”“福满圆”三种型号月饼的销量分别为、，进而根据题意可得，然后求解即可【详解】解：设9月30日“阖
32、家悦”“吉如意”“福满圆”三种型号月饼的销量分别为、，则10月1日“阖家悦”“吉如意”“福满圆”三种型号月饼的销量分别为、，由题意得：，解得：，10月1日“吉如意”月饼的销量与这两天的总销量之比为；故答案为【点睛】本题主要考查三元一次方程的应用及分式的性质，熟练掌握三元一次方程的应用、分式的性质及消元思想是解题的关键【变式4.4】（2021重庆八中九年级一模）我校学生社团开展以来全校师生积极参与，为了了解同学们参与的意向，卢老师在全年级进行了随机抽样调查（被抽到的同学都填了意向表，且只选择了一个意向社团），统计后发现共、四个社团榜上有名其中选的人数比选的少6人；选的人数是选的人数的整数倍；选与
33、选的人数之和是选与选的人数之和的9倍；选与选的人数之和比选与选的人数之和多56人则本次参加调查问卷的学生有_人【答案】80【分析】根据题意解设方程组，再根据实际问题中人数为整数对值进行适当的取舍即可【详解】解：设选D的人为x,则选C的(x-6)人,设选A的为ax人，则选B的为y人-得：把代入得a=5.43（舍去，非整数）把代入得a=7把代入得a=12.5（舍去，非整数）x=9，y=5，a=7总人数为：故答案为：80【点睛】本题考查二元一次方程组的实际问题，根据已知条件寻找等量关系是关键，根据解为整数进行取舍是难点【压轴五】函数图象与性质综合阅读问题【真题再现】（2021重庆A卷第22题）在初中
34、阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程以下是我们研究函数y=4-x2x2+1的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；x54321012345y=4-x2x2+1-2126 -1217 -12 032 40（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的条性质；（3）已知函数y=-32x+3的图象如图所示根据函数图象，直接写出不等式-32x+34-x2x2+1的解集（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）【思路点拨】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可
35、；（2）观察图象可知当x0时，y随x值的增大而增大；（3）利用图象即可解决问题【详析详解】（1）把下表补充完整如下：x54321012345y=4-x2x2+1-2126 -1217 -12 032 432 0-12 -1217 2126 函数y=4-x2x2+1的图象如图所示：（2）该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当x0时，函数取得最大值4；当x0时，y随x的增大而增大：当x0时，y随x的增大而减（以上三条性质写出一条即可）；（3）由图象可知，不等式-32x+34-x2x2+1的解集为x0.3或1x2【方法小结】【变式训练】【变式5.1】（2021
36、重庆八中九年级三模）某“数学兴趣小组”根据学生函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：034560（1）_，_；（2）同学们先找到与的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系中，描出各对应值为坐标的点请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：_（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集为_【答案】（1），；（2）见解析；（3）当时，函数有最大值为2；（4）或【分析】（1）把x=0和x=5分别代入函数解释式即可得m和n的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）根据函数图象得到函数的最高点；当x1时，y随x的增大而增大；（4
37、）根据函数的图象即可得到不等式的解集【详解】解：（1）当x=0时，m=，当x=5时，m=，故答案为：，；（2）当x=1时，y=，根据表格数据描点连线绘制函数图象如下所示：（3）当时，函数有最大值为2；故答案为：当时，函数有最大值为2；（4）根据函数图象，不等式的解集为或故答案为：或【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键【变式5.2】（2021重庆八中九年级一模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题（1）补全下
38、表6542101235610（2）在平面直角坐标系中，补全函数图象，根据函数图象，写出这个函数的一条性质：_；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关于的方程的近似解（保留1位小数，误差不超过0.2）【答案】（1）3，4，1，1，1；（2）见解析；（3）【分析】（1）将对应的值代入函数解析式计算即可（2）根据图像写出图像对称的性质即可（3）通过观察图像的交点估计横坐标点的值即可【详解】解：（1）654321012345611011（2）函数图象关于轴对称（3）通过观察两图像的交点得：【点睛】本题考查函数的图像的画法，自变量与函数值一一对应的关系，熟练掌握函数的定义是解题的
39、关键【变式5.3】（2021重庆实验外国语学校九年级一模）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式画函数图象利用函数图象研究函数性质的性质利用图象解决问题”的学习过程以下是我们研究函数y1的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题：（1）列表：如表为变量x与y1的几组对应数值：x210123456y14001420根据表格中的数据求y1与x的函数解析式及并写出对应的自变暈x的取值范围；（2）描点、连线：在右侧的平面直角坐标中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质 ；（3）观察函数图像：当方程y1c1有且仅有三个不等的实数根时，根据函数图象直接写出c的取值范围 【答案】（1）；（2）见
40、解析；（3）【分析】（1）根据的取值范围内选一点代入对应函数关系式，即可求出，的值；（2）按照步骤完成图象，数形结合，对图象增减性或对称性或最值进行总结；（3）画出一条平行于轴的直线，平移直线，观察与图象仅有三个交点时的取值范围【详解】解（1）当时，把，代入得，当时，把，代入得，解得，；（2）如图所示即是所画的函数图象，性质：当或0.5时函数图象对应点最低，此时函数值最小，最小值为（答案不唯一），故答案为：当或0.5时函数图象对应点最低，此时函数值最小，最小值为（答案不唯一）；（3）画出直线的图象，上下平移此图象，方程有且仅有三个不等的实数根时，即图象与直线有且仅有三个交点，得，故答案为：【点睛】本题考查了分段函数关系式的求法，图象的画法及其性质，数形结合思想，关键是要注意分段函数的取值范围【变式5.4】（2021重庆九年级一模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题
