1、2018-2019 学年山西省五地市联考高三（上）期末数学试卷（文科）学年山西省五地市联考高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （5 分）若复数 z 满足1i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 Mx|2x2x30，Nx|x|（x2）0，全集 UR，则下列关于集合 M，N 叙 述正确的是（
2、 ） AMNM BMNN C （UM）N DN（UM） 3 （5 分）已知角 的终边与单位圆 x2+y21 交于 P（x0，） ，则 cos2 等于（ ） A B C D 4 （5 分）如图 1 是 2015 年2018 年国庆档日电影票房统计图，图 2 是 2018 年国庆档期单日电影大盘票 房统计图，下列对统计图理解错误的是（ ） A2016 年国庆档七天单日票房持续走低 B2017 年国庆档七天单日票房全部突破 3 亿 C2018 年国庆档七天单日票房仅有四天票房在 2.5 亿以上 D2018 年国庆档期第 2 日比第 1 日票房约下降 12% 5 （5 分） “a0”是“函数 f（x）
3、ax22x1 在（0，+）上单调递减”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分要也不必要条件 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 7 （5 分）已知实数 a2ln2，b2+2ln2，c（ln2）2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acab Bcba Cbac Dacb 8 （5 分）若数列an满足 a11，a21，an+2an+an+1，则称数列an为斐波那契数列，斐波那契螺旋线 是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的 经典黄金比例作图规则是在以斐波那契数为边的正方
4、形拼成的长方形中画一个圆心角为 90的扇形， 连起来的弧线就是斐波那契螺旋线， 如图所示的 7 个正方形的边长分别为 a1， a2， ， a7， 在长方形 ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ） A1 B1 C D 9 （5 分） 将函数 f （x） （24cos2x）向左平移个单位长度后得到函数 g （x） 的图象，则不等式 g（x）的解集为（ ） Ak+，k（kZ） B2k+，2k（kZ） Ck+，k+（kZ） Dk+，k（kZ） 10 （5 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，D，F 分别是棱 AB，AA1的中点，E 为棱 AC 上的动点，则DEF
5、的周长的最小值为（ ） A B C D 11 （5 分）若 x0既是函数 f（x）aexxka（a，kR）的一个零点也是一个极值点，则实数 k 的取值范 为（ ） A （，1 B （，0 C0，+） D1，+） 12 （5 分）已知抛物线 C：y28ax（a0）的焦点 F 与双曲线 D：（a0）的焦点重合，过 点 F 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，则|AF|+2|BF|的最小值为（ ） A3+4 B6+4 C7 D10 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量 （x，2） ， （2，1） ，
6、若 与 2 共线，则 14 （5 分）已知实数 x，y 满足，若 3xy 的最大值为 2，则 a 15 （5 分） 已知椭圆 C 的左右焦点分别为 F1、 F2， 过点 F2的直线与椭圆 C 交于点 A， B， 若|AF1|AB|5， |F1B|6，则椭圆 C 的离心率为 16 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 21cos2C，cos（B+C） 0，则的取值 范围为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 小题，共计小题，共计 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）设等
7、差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+2S677，a10a510 （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn满足：b11，bnbn1ann+1（n2） ，求数列的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图所示的多面体 ABCDEF 满足：正方形 ABCD 与正三角形 FBC 所在的两个平面互相垂直， FBAE 且 FB2EA （1）证明：平面 EFD平面 ABFE； （2）若 AB2，求多面体 ABCDEF 的体积 19 （12 分）最近几年汽车金融公司发展迅猛，主要受益于监管层面对消费进人门槛的降低，互联网信贷消 费的推广普及，以及汽车销售市场规模的扩张如图是 20132017 年汽
8、车金融行业资产规模统计图（单 位：亿元） （1）以年份值 2013，2014，为横坐标，汽车金融行业资产规模（单位：亿元）为纵坐标，求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，预计 2018 年汽车金融行业资产规模（精确到亿元） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， （其中 ， 为样本平均值） 参考数据：4.620107，20154.619107 20 （12 分）已知圆 O1与圆 O：x2+y2r（r0）交于点 P（1，y0） 且关于直线 x+y1 对称 （1）求圆 O 及圆 O1的方程： （2） 在第一象限内 圆 O 上是否存在点 A， 过点 A 作直
9、线 l 与抛物线 y24x 交于点 B， 与 x 轴交于点 D， 且以点 D 为圆心的圆过点 O，A，B？若存在求出点 A 的坐标；若不存在说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）xex，g（x）a（lnx+x） （1）当 ae 时，求证：f（x）g（x）恒成立； （2）当 a0 时，求证：f（x）g（x）+1 恒有解 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy
10、中直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以坐标原点为极 点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）若曲线 C 关于直线 l 对称，求 a 的值； （2）若 A、B 为曲线 C 上两点且AOB，求|OA|+|OB|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2| （1）若 a1解不等式 f（x）x21； （2）若 a0，b0，c0且 f（x）的最小值为 4bc求证： 2018-2019 学年山西省五地市联考高三（上）期末数学试卷（文科）学年山西省五地市联考高三（上）期末数学
11、试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （5 分）若复数 z 满足1i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案 【解答】解：由题意可知， zi（1i）1+i， 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，1） ， 复数 z 在复平面内对应的点
12、在第一象限， 故选：A 【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 2 （5 分）已知集合 Mx|2x2x30，Nx|x|（x2）0，全集 UR，则下列关于集合 M，N 叙 述正确的是（ ） AMNM BMNN C （UM）N DN（UM） 【分析】可以求出集合 M，N，然后进行交集、并集和补集的运算，从而判断出每个选项的正误 【解答】解：，UR， ， （UM）Nx|x2N，N（UM） 故选：D 【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的混合运算，子集、空集的定义，考查了计算能 力，属于基础题 3 （5 分）已知角 的终边与单位圆 x2+y21 交于 P（x0，） ，则
13、cos2 等于（ ） A B C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角公式求得 cos2 的值 【解答】解：角 的终边与单位圆 x2+y21 交于 P（x0，） ，sin， 则 cos212sin212， 故选：B 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题 4 （5 分）如图 1 是 2015 年2018 年国庆档日电影票房统计图，图 2 是 2018 年国庆档期单日电影大盘票 房统计图，下列对统计图理解错误的是（ ） A2016 年国庆档七天单日票房持续走低 B2017 年国庆档七天单日票房全部突破 3 亿 C2018 年国庆档七天单日票房仅有
14、四天票房在 2.5 亿以上 D2018 年国庆档期第 2 日比第 1 日票房约下降 12% 【分析】通过仔细分析图表，判断是否正确 【解答】解：由图 1 和图 2 知选项 A，C 显然正确； 由图 2 知 2017 年国庆档七天单日票房前五天都突破 3 亿，而后两天没有，故 B 错； 对于选项 D， （3600031700）3600012%，故 D 正确， 故选：B 【点评】本题考试简单的合情推理，属于基础题 5 （5 分） “a0”是“函数 f（x）ax22x1 在（0，+）上单调递减”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分要也不必要条件 【分析】根据二次函数和
15、一次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：当 a0 时， f（x）1， 在（0，+）上单调递减， 当 a0 时，则 f（x）2x1 在（0，+）上单调递减， “a0”是“函数 f（x）ax22x1 在（0，+）上单调递减”的充分不必要条件 故选：A 【点评】 本题主要考查函数单调性的判断和应用， 利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键 本 题属于基础题 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【分析】根据三视图知该几何体可由一个大正四棱锥挖去一个小正四棱锥而得， 结合图中数据求出它的体积 【解答】解：根据三视图可知，
16、该几何体可由一个大正四棱锥挖去一个小正四棱锥而得， 其直观图如图所示， 则该几何体的体积为 故选：C 【点评】本题考查了利用几何体三视图求体积的应用问题，是基础题 7 （5 分）已知实数 a2ln2，b2+2ln2，c（ln2）2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acab Bcba Cbac Dacb 【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出 【解答】解：易知 12ln22，2+2ln22，0（ln2）21， cab 故选：A 【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8 （5 分）若数列an满足 a11，a21，an+2an+an+1，则称数列an
17、为斐波那契数列，斐波那契螺旋线 是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的 经典黄金比例作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为 90的扇形， 连起来的弧线就是斐波那契螺旋线， 如图所示的 7 个正方形的边长分别为 a1， a2， ， a7， 在长方形 ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ） A1 B1 C D 【分析】由题意求得数列an的前 8 项，求得长方形 ABCD 的面积，再求出 6 个扇形的面积和，由测度 比是面积比得答案 【解答】解：由题意可得，数列an的前 8 项依次为：1，1，2，3，
18、5，8，13，21 长方形 ABCD 的面积为 1321273 6 个扇形的面积之和为 所求概率 P1 故选：D 【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题 9 （5 分） 将函数 f （x） （24cos2x）向左平移个单位长度后得到函数 g （x） 的图象，则不等式 g（x）的解集为（ ） Ak+，k（kZ） B2k+，2k（kZ） Ck+，k+（kZ） Dk+，k（kZ） 【分析】首先把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的关系式的平移变换求出新的关 系式，进一步利用三角函数的不等式的应用求出结果 【解答】解：函数 f（x）（24cos2x） 把函数
19、的图象向左平移个单位长度后得到函数 g（x）的图象， 由于 g（x）， 所以，整理得（kZ） ， 解得（kZ） ， 所以函数的解集为：（kZ） ， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算 能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （5 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，D，F 分别是棱 AB，AA1的中点，E 为棱 AC 上的动点，则DEF 的周长的最小值为（ ） A B C D 【分析】由正三棱柱 A1B1C1ABC 的性质可得：AA1AB，AA1AC在 RtADF 中，利用勾股定理可 得 DF2因此只要求出
20、 DE+EF 的最小值即可得出， 把底面 ABC 展开与侧面 ACC1A1在同一个平面， 如图所示， 只有当三点 D， E， F 在同一条直线时， DE+EF 取得最小值利用余弦定理即可得出 【解答】解：由正三棱柱 A1B1C1ABC，可得 AA1底面 ABC，AA1AB，AA1AC 在 RtADF 中，DF2， 把底面 ABC 展开与侧面 ACC1A1在同一个平面，如图所示， 只有当三点 D，E，F 在同一条直线时，DE+EF 取得最小值 在ADF 中，DAF60+90150， 由余弦定理可得： DF， DEF 周长的最小值 故选：D 【点评】本题考查了空间几何位置关系、余弦定理、侧面展开图
21、，考查了转化能力、数形结合能力、推 理能力与计算能力，属于难题 11 （5 分）若 x0既是函数 f（x）aexxka（a，kR）的一个零点也是一个极值点，则实数 k 的取值范 为（ ） A （，1 B （，0 C0，+） D1，+） 【分析】因为 x0既是函数 f（x）aexxka（a，kR）的一个零点也是一个极值点，所以 f（x0）0 且 f（x0）0，得到 ke（1x0） ，令 k（x）ex（1x） ，利用导数得到函数 k（x）的极大值 k（1） 1，所以 k1 【解答】解：f（x）aex1， x0既是函数 f（x）aexxka（a，kR）的一个零点也是一个极值点， ，ae，ke（1x0
22、） ， 令函数 k（x）ex（1x） ，k（x）ex（x） ， 由 k（x）0 得，x0， 当 x0 时，k（x）0，函数 k（x）单调递减；当 x0 时，k（x）0，函数 k（x）单调递增， k（x）k（1）e0（10）1，即 k1 故选：A 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的零点和最值，是中档题 12 （5 分）已知抛物线 C：y28ax（a0）的焦点 F 与双曲线 D：（a0）的焦点重合，过 点 F 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，则|AF|+2|BF|的最小值为（ ） A3+4 B6+4 C7 D10 【分析】由双曲线方程求出焦点坐标，设 AB 的方程为：xmy+2，联立直线
23、方程与抛物线方程，化为关 于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合基本不等式求|AF|+2|BF|的最小值 【解答】解：由题意得，解得 a1，则 F（2，0） ， 设 AB 的方程为：xmy+2， 联立，得 y28my160 设 A（） ，B（，y2） ，则 y1y216 |AF|+2|BF| 当且仅当，即或时取等号 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最 值，是中档题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量 （x，2） ， （
24、2，1） ，若 与 2 共线，则 【分析】根据平面向量共线定理列方程求出 x 的值，再计算的值 【解答】解：向量 （x，2） ， （2，1） ， 则 2 （2x+2，3） ， 又 与 2 共线， 所以 3x2（2x+2）0，x4， 所以 2 ，即 ， 所以 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题 14 （5 分）已知实数 x，y 满足，若 3xy 的最大值为 2，则 a 1 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【解答】解：由约束条件作出可行域，如图所示， 结合图象可知，A（a1，a） ，B（，a） ，C（0，1）
25、 ， 设 z3xy， 则直线 y3xz 经过 B 时，z 最大， 由可得，a1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握 目标函数的几何意义 15 （5 分） 已知椭圆 C 的左右焦点分别为 F1、 F2， 过点 F2的直线与椭圆 C 交于点 A， B， 若|AF1|AB|5， |F1B|6，则椭圆 C 的离心率为 【分析】设椭圆的长轴长为 2a，可得 4a|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|16即有 a4，|AF2|3，|BF2|2 在ABF1中，由余弦定理可得 cosF1BF2在BF1F2，中由余弦定理可得 2c，
26、即可求解 【解答】解：设椭圆的长轴长为 2a， |AF1|+|AF2|BF1|+|BF2|2a |AF1|AB|5，|F1B|6，4a|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|16 即有 a4，|AF2|3，|BF2|2 在ABF1中，由余弦定理可得 cosF1BF2 在BF1F2，中由余弦定理可得 2c 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属 于中档题 16 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 21cos2C，cos（B+C） 0，则的取值 范围为 （2，+） 【分析】由已知结合二倍角公式
27、及诱导公式可求 C，然后结合正弦定理及同角基本关系可求 【解答】解：21cos2C， 12cos2C， cos（A+B）2cos2C1， 即cosC2cos2C1， 整理可得， （2cosC1） （cosC+1）0， cosC1， cosC，C， cos（B+C）0， ， ， 由正弦定理可得， ， ， ， ，2， 故的范围（2，+） 故答案为： （2，+） 【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 小题，共计小题，共计 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算
28、步骤） 17 （12 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+2S677，a10a510 （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn满足：b11，bnbn1ann+1（n2） ，求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）联立解方程组，得，求出通项公式即可； （2）求出 bn，利用裂项相消法求出数列的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+2S677，a10a510， ，得， 故 an2n1； （2）b11，bnbn1ann+1n（n2） ， bn（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1n+n1+2+1， 当 n1 时，显
29、然成立， ， 数列的前 n 项和 Tn8（）8（1） 【点评】考查等差数列求通项公式，裂项相消法和累加法求数列的和，中档题 18 （12 分）如图所示的多面体 ABCDEF 满足：正方形 ABCD 与正三角形 FBC 所在的两个平面互相垂直， FBAE 且 FB2EA （1）证明：平面 EFD平面 ABFE； （2）若 AB2，求多面体 ABCDEF 的体积 【分析】 （1）由已知求解三角形可得 EDAE，由面面垂直的性质可得 AB平面 BCF，证明平面 EAD 平面 FBC，则 AB平面 EAD，得到 ABED再由线面垂直的判定可得 DE平面 ABEF，从而得到 平面 EFD平面 ABFE；
30、 （2）连接 BD，则多面体 ABCDEF 分为四棱锥 DABFE 和三棱锥 DBCF分别求出四棱锥 DABFE 与 DBCF 的体积，则多面体 ABCDEF 的体积可求 【解答】 （1）证明：由题意可得，四边形 ABCD 是正方形且三角形 FBC 是正三角形， BCAD，BCAD，FBBC，FBC60， 又FBAE 且 FB2EA，EAD60， 在EAD 中，设 EAa，则 AD2a，又EAD60， 由余弦定理得： DE2+AE2AD2，EDAE， 平面 ABCD平面 FBC，ABBC，平面 ABCD平面 FBCBC，且 AB平面 ABCD， AB平面 BCF， BCAD，EAFB，FBBC
31、B，且 FB，BC平面 FBC， EA，AD平面 EAD，平面 EAD平面 FBC，则 AB平面 EAD 又ED平面 EAD，ABED 综上，EDAE，EDAB，EAABA，且 EA，AB平面 ABEF， DE平面 ABEF，又DE平面 DEF， 平面 EFD平面 ABFE； （2）连接 BD，则多面体 ABCDEF 分为四棱锥 DABFE 和三棱锥 DBCF 由（1）可得，ED平面 ABFE， 由（1）可得 AB平面 BCF，又 CDAB， CD平面 BCF， 综上， 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法， 是中档题 19 （12 分）最近
32、几年汽车金融公司发展迅猛，主要受益于监管层面对消费进人门槛的降低，互联网信贷消 费的推广普及，以及汽车销售市场规模的扩张如图是 20132017 年汽车金融行业资产规模统计图（单 位：亿元） （1）以年份值 2013，2014，为横坐标，汽车金融行业资产规模（单位：亿元）为纵坐标，求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，预计 2018 年汽车金融行业资产规模（精确到亿元） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， （其中 ， 为样本平均值） 参考数据：4.620107，20154.619107 【分析】 （1）由已知求得 与 的值，则线性回归方程可求； （
33、2）在（1）中求得的回归方程中，取 x2018 求得 y 值，则答案可求 【解答】解： （1）由已知得： 2015； （2）2+（1）2+02+12+2210； 5（4.6204.619）107104； b103； b 10320152.010104； 故所求的线性回归方程为：y103x2.010104； （2）当 x2018 时， 10320182.0101048000（亿元） ； 预计 2018 年汽车金融行业资产规模约为 8000（亿元） 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题，计算能力是这一类型题目考查的重 点 20 （12 分）已知圆 O1与圆 O：x2+y2r（
34、r0）交于点 P（1，y0） 且关于直线 x+y1 对称 （1）求圆 O 及圆 O1的方程： （2） 在第一象限内 圆 O 上是否存在点 A， 过点 A 作直线 l 与抛物线 y24x 交于点 B， 与 x 轴交于点 D， 且以点 D 为圆心的圆过点 O，A，B？若存在求出点 A 的坐标；若不存在说明理由 【分析】 （1）由题意可得 P 在直线 x+y1 上，可得 P 的坐标，进而得到圆 O 的方程；设（0，0）关于 直线 x+y1 的对称点为（a，b） ，由两直线垂直的条件和中点坐标公式可得 a，b，进而得到圆 O1的方 程； （2）假设在第一象限内圆 O 上存在点 A，且以点 D 为圆心的
35、圆过点 O，A，B，则 OAOB，D 为 AB 的中点，设出 OA，OB 的方程，分别联立圆 O 的方程和抛物线的方程，求得 A，B 的坐标，再由中点坐 标公式，解方程即可判断存在性 【解答】解： （1）圆 O1与圆 O：x2+y2r（r0）交于点 P（1，y0） 且关于直线 x+y1 对称， 可得 P 在直线 x+y1 上，即有1+y01，即 y02，P（1，2） ， 可得 r1+45，则圆 O 的方程为 x2+y25； 设（0，0）关于直线 x+y1 的对称点为（a，b） ，可得 ab，a+b2， 解得 ab1，可得圆 O1的方程为（x1）2+（y1）25； （2）假设在第一象限内圆 O
36、上存在点 A，且以点 D 为圆心的圆过点 O，A，B， 则 OAOB， D 为 AB 的中点， 由题意可得直线 OA 的斜率存在且大于 0， 设 OA 的方程为 ykx （k0） ， OB：yx， 由解得 x，即有 A（，k） ， 由可得 x4k2，即有 B（4k2，4k） ， 由 D 为 AB 的中点，可得 k4k0， 化为 16k2+110，方程无实数解， 则符合条件的 k 不存在，所以满足条件的 A 不存在 【点评】 本题考查圆的方程和抛物线的方程的运用， 直线和圆的方程、 直线和抛物线方程联立， 求交点， 考查方程思想和化简运算能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）xe
37、x，g（x）a（lnx+x） （1）当 ae 时，求证：f（x）g（x）恒成立； （2）当 a0 时，求证：f（x）g（x）+1 恒有解 【分析】 （1）令 h（x）f（x）g（x）xexe（lnx+x） ，x0，求导后即可得证； （2）利用导数直接证明即可 【解答】证明： （1）当 ae 时，令 h（x）f（x）g（x）xexe（lnx+x） ，x0，则 ， 由 h（x）0 得 x1，当 x1 时，h（x）0，当 0 x1 时，h（x）0， 当 x1 时，h（x）取得最小值，即 h（x）h（1）0， f（x）g（x） ； （2）令 h（x）f（x）g（x）xexa（lnx+x） ，则， 令
38、m（x）xexa（x0） ，则 m（x）（x+1）ex0， m（x）在（0，+）上单调递增， a0， m（0）a0，m（a）aeaa0， 因此存在 x0（0，a） ，使得， 当 x（0，x0）时，m（x）0，h（x）0，当 x（x0，+）时，m（x）0，h（x）0， 当x x0时 ， h （ x ） 取 最 小 值 ， ， 令 s（a）a（1lna） ，a0，s（a）lna，当 a1 时，s（a）0，当 0a1 时，s（a） 0， 所以当 a1 时，s（a）取得最大值，即 s（a）s（1）1， f（x）g（x）+1 恒有解 【点评】本题考查利用导数证明不等式，考查不等式的恒成立问题，考查推理论
39、证能力及运算能力，属 于中档题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以坐标原点为极 点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）若曲线 C 关于直线 l 对称，求 a 的值； （2）若 A、B 为曲线 C 上两点且AOB，求|OA|+|OB|的最大值 【分析】 （1）直接利用转换关系式
40、，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及极径的应用求出结果 【解答】 解：（1） 直线 l 的参数方程为（t 为参数） 转换为直角坐标方程为 x+ 曲线 C 的极坐标方程为 2cos，整理得 22cos，转换为直角坐标方程为 x2+y22x，转换为（x 1）2+y21 由于曲线关于直线 l 对称，所以圆心（1，0）在直线 l 上， 故 a0 （2）由点 A、B 在圆 2cos 上，且AOB， 所以设AOx， 则：|OA|+|OB|2cos，当且仅当时，等号成立 故 OA|+|OB|的最大值为 2 【点评】本题考查的知识要点：
41、参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的 恒等变换，正弦型函数性质的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2| （1）若 a1解不等式 f（x）x21； （2）若 a0，b0，c0且 f（x）的最小值为 4bc求证： 【分析】 （1）对绝对值函数进行分段讨论，解不等式即可； （2）求出 f（x）的最小值，得到 a+b+c2，利用柯西不等式证明即可 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）|x1|+|x+2|， 当 x2 时，2x1x21，得 x2+2x0，所以 x2； 当2x1 时，3x21，得 x24，所以； 当 x1 时，由 2x+1x21，得 x22x20，得 x1+， 综上，不等式的解集为x|x2 或 x1+； （2）证明：因为 f（x）|xa|+|x+2|xax2|a+2|a+24bc， 得 a+b+c2， 所以（2，当且仅当 a+bc1 时成立， 故原命题得证 【点评】考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，中档题
