1、2018-2019 学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1 （5 分）已知集合 AxN|0 x3，BxR|2x2，则 AB（ ） A0，1 B1 C0，1 D0，2） 2 （5 分）设复数 z 满足（1+i） z1i，则 z（ ） A1 Bi C1 Di 3 （5 分）已知 sin2cos0，则 tan2（ ） A B C D
2、 4 （5 分）函数函数 f（x）|x|的大致图象为（ ） A B C D 5 （5 分）设 ， 为两个不同平面，m，n 为两条不同的直线，给出以下命题 （1）若 m，n，则 mn； （2）若 ，m，则 m； （3）若 ，m，n，则 mn； （4）若 mn，m，n，则 ； 则下列真命题个数为（ ） A1 B2 C3 D4 6 （5 分）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为周碑算经 一书作序时，介绍了 “勾 股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个 小正方形组成的）类比“赵爽弦图” ，赵爽弦图可类似地构造如图所示的
3、图形，它是由 3 个全等的三角形 与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设 DF2AF，若在大等边三角形中随机取一点， 则此点取自小等边三角形的概率是（ ） A B C D 7 （5 分）将函数的图象向左平移个单位得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的一个对称中心是（ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 8 （5 分）设向量 ， ， 都是单位向量，且 2 ，则 ， 的夹角为（ ） A B C D 9 （5 分）已知实数 x，y 满足，若不等式 axy0 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，） B （4，+） C （，4） D （，4） 10 （5 分
4、）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A8 B4 或 C D 11 （5 分）已知数列an为等差数列，an1（nN*） ，a1+a20191，若，则 f（a1）f（a2） f（a2019）（ ） A22019 B22020 C2 2017 D22018 12 （5 分）已知定义在 R 上的可导函数 f（x） ，对于任意实数 x 都有 f（x）f（x）2x 成立，且当 x （，0时，都有 f（x）2x+1 成立，若 f（2m）f（m1）+3m（m+1） ，则实数 m 的取值范围为 （ ） A （1，） B （1，0） C （，1） D （，+） 二、填空题（本大题共二、填空题（本
5、大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上 ）分，把答案填在题中横线上 ） 13 （5 分） 一串数字代码是 7 个 1 和 3 个 0 组成， 则这样的不同数字代码的个数为： （用数字作答） 14 （5 分）命题“x1，2，x+2a”是真命题，则实数 a 的取值范围为： 15 （5 分）在三棱锥 PABC 中，顶点 P 在底面 ABC 的投影 H 是ABC 的垂心，PBPCBC2，侧面 PBC 与底面 ABC 所成二面角的大小为 45，则三棱锥 PABC 的体积为： 16 （5 分）已知函数 f（x）alnxx2bx+（b+1） ，其中 a，bR，
6、若对于任意 x，+）不等式 f（x） 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知等比数列an的公比 q1，a1+a2+a314，a2+1 是 a1，a3的等差中项，数列anbn的前 n 项和为 Snn2+n （1）求数列an的通项公式； （2）求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）已知 a，b，c，分别是ABC 的内角 A，B，C，所对的边， （1）求角 B 的大小； （2）若ABC 的面积为，求ABC 周长的最小值 19 （12 分）为响应低碳绿色出行，某市
7、推出“新能源分时租赁汽车” ，其中一款新能源分时租赁汽车，每 次租车收费的标准由以下两部分组成：根据行驶里数按 1 元/公里计费；当租车时间不超过 40 分钟 时，按 0.12 元/分钟计费；当租车时间超过 40 分钟时，超出的部分按 0.20 元/分钟计费；租车时间不 足 1 分钟， 按 1 分钟计算 已知张先生从家里到公司的距离为 15 公里， 每天租用该款汽车上下班各一次， 且每次租车时间 t20，60（单位：分钟） 由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间 t 是一个随机 变量，现统计了他 50 次路上租车时间，整理后得到下表： 租车时间 t（分 钟） 20，30 （30，40 （40
8、，50 （50，60 频数 2 18 20 10 将上述租车时间的频率视为概率 （1）写出张先生一次租车费用 y（元）与租车时间 t（分钟）的函数关系式； （2）公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月（按 22 天计算）给 800 元车补从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车？ （3） 若张先生一次租车时间不超过 40 分钟为 “路段畅通” ， 设 表示 3 次租用新能源分时租赁汽车中 “路 段畅通” 的次数，求 的分布列和期望； 20 （12 分）如图（1） ，在ABC 中，AB3，DE2，AD2，BAC90，DEAB，将C
9、DE 沿 DE 折到如图（2）中C1DE 的位置，点 P 在 C1E 上 （1）求证：平面 PAB平面 ADC1； （2）若ADC160，且 AP 与平面 ABED 所成角的正弦值为，求二面角 PADB 的余弦值 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+2a+1，aR （I）讨论函数 f（x）的单调性； （II）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）0 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直曲线 C1的参数方程为（t 为参数 a0） ，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
10、曲线 C2的极坐标方程为 22cos+0，曲线 C1， C2有且只有一个公共点 （1）求 a 的值 （2）设点 M 的直角坐标为（a，0） ，若曲线 C1与 C3：（ 为参数）的交点为 A，B 两个不 同的点，求|MA|MB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|+|2x1|，xR （1）当 m1 时，解不等式 f（x）2； （2）若不等式 f（x）3x 对任意的 x0，1恒成立，求实数 m 的取值范围 2018-2019 学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
11、一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1 （5 分）已知集合 AxN|0 x3，BxR|2x2，则 AB（ ） A0，1 B1 C0，1 D0，2） 【分析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可 【解答】解：A0，1，2，3，BxR|2x2； AB0，1 故选：A 【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算 2 （5 分）设复数 z 满足（1+i） z1i，则 z（ ） A1 Bi C1 Di 【分析】把已知等式
12、变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（1+i） z1i，得 z 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 3 （5 分）已知 sin2cos0，则 tan2（ ） A B C D 【分析】主要利用三角函数关系式的变换和倍角函数关系式求出结果 【解答】解：由于 sin2cos0， 故转换为 sin2cos， 整理得：tan2， 则：tan2， 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算 能力和转化能力，属于基础题型 4 （5 分）函数函数 f（x）|x|的大致图象为（ ） A B C D 【分
13、析】利用 x0 时，函数的单调性，以及 x0 时，函数值的符号进行排除即可 【解答】解：当 x0 时，f（x）x为增函数，排除 A，B， 当 x0 时，f（x）|x|0 恒成立，排除 C， 故选：D 【点评】 本题主要考查函数图象的识别和判断， 利用单调性和函数值的符号进行排除是解决本题的关键 5 （5 分）设 ， 为两个不同平面，m，n 为两条不同的直线，给出以下命题 （1）若 m，n，则 mn； （2）若 ，m，则 m； （3）若 ，m，n，则 mn； （4）若 mn，m，n，则 ； 则下列真命题个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由线面平行和垂直的性质可判断（1） ；由面面平行
14、的性质定理可判断（2） ； 由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断（3） ；由线面平行、垂直的性质可判断（4） 【解答】解：， 为两个不同平面，m，n 为两条不同的直线， （1）若 m，n，由线面平行的性质可得，过 n 的平面与 交于 k， 可得 nk，由 mk，则 mn，故（1）正确； （2）若 ，m，由面面平行的性质可得 m，故（2）正确； （3）若 ，m，n，则 m，n 平行、相交或异面，故（3）错误； （4）若 mn，m，n，可得 ， 可能平行或相交，故（4）错误 故选：B 【点评】本题考查空间线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的判断和性质，考查转化思想 和推理能力，属于基础
15、题 6 （5 分）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为周碑算经 一书作序时，介绍了 “勾 股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个 小正方形组成的）类比“赵爽弦图” ，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形 与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设 DF2AF，若在大等边三角形中随机取一点， 则此点取自小等边三角形的概率是（ ） A B C D 【分析】设 DF2AF2，由余弦定理求出 AC，由几何概型得：在大等边三角形中随机取一点， 则此点取自小等边三角形的概率是 p 【解答】
16、解：设 DF2AF2，则 AC， SDEF， 由几何概型得： 在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是： p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 7 （5 分）将函数的图象向左平移个单位得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的一个对称中心是（ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 【分析】直接利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体 思想求出函数的对称中心 【解答】解：函数， ， +， 把函数的图象向左平移个单位， 得到函数 g（x）cos2x+的图象， 令
17、， 解得：x（kZ） ， 当 k0 时，函数的对称中心为（） 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应 用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 8 （5 分）设向量 ， ， 都是单位向量，且 2 ，则 ， 的夹角为（ ） A B C D 【分析】对式子 2 两边平方计算的值，从而求出向量的夹角 【解答】解：由 2 可得 2 ， 34+4， | | | |1， 314+4， cos， ， 的夹角为 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题 9 （5 分）已知实数 x，y 满足，若不
18、等式 axy0 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，） B （4，+） C （，4） D （，4） 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 若 axy0 恒成立即 yax 恒成立， 即平面区域在直线 yax 的下方即可 即 A（1，4）在 yax 的下方或在直线上即可， 即 a4， 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件 axy0 恒成立，得到平面区域 ABC 在直线 yax 的下方是解决本题的关键 10 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A8 B4 或 C D 【
19、分析】画出几何体的直观图，利用正方体的棱长，转化求解几何体的体积即可 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：两种情况， 是正方体的一部分，正方体的棱长为 2， 几何体的体积为：234 或 2334 故选：B 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力 11 （5 分）已知数列an为等差数列，an1（nN*） ，a1+a20191，若，则 f（a1）f（a2） f（a2019）（ ） A22019 B22020 C2 2017 D22018 【分析】根据等差数列的性质和函数的性质即可求出 【解答】解：a1+a20191， f（a1）f（a2019）44， 数列an为
20、等差数列，an1（nN*） ，a1+a20191， a1+a2019a2+a2018a3+a2017a1009+a10112a1010， a1010 f（a1）f（a2）f（a2019）41009（2）22019 故选：A 【点评】本题考查了等差数列的性质和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题 12 （5 分）已知定义在 R 上的可导函数 f（x） ，对于任意实数 x 都有 f（x）f（x）2x 成立，且当 x （，0时，都有 f（x）2x+1 成立，若 f（2m）f（m1）+3m（m+1） ，则实数 m 的取值范围为 （ ） A （1，） B （1，0） C （，1） D （，+
21、） 【分析】令 g（x）f（x）x2x，可判断出函数 g（x）为 R 上偶函数当 x（，0时，都有 f （x）2x+1 成立，可得 g（x）f（x）2x10，可得函数 g（x）的单调性f（2m）f（m1） +3m（m+1） ，即 g（2m）g（m1） ，因此 g（|2m|）g（|m1|） ，利用单调性即可得出 【解答】解：令 g（x）f（x）x2x， 则 g（x）g（x）f（x）x2+xf（x）+x2+x0， g（x）g（x） ，函数 g（x）为 R 上的偶函数 当 x（，0时，都有 f（x）2x+1 成立， g（x）f（x）2x10， 函数 g（x）在 x（，0上单调递减，在0，+）上单调递
22、增 f（2m）f（m1）+3m（m+1） ，即 f（2m）4m22mf（m1）（m1）2（m1） ， g（2m）g（m1） ，因此 g（|2m|）g（|m1|） ， |2m|m1|， 化为：3m2+2m10， 解得 故选：A 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、方程与不等式的解法、构造法，考查 了推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上 ）分，把答案填在题中横线上 ） 13 （5 分） 一串数字代码是 7 个 1 和 3 个 0 组成， 则这样的不同数字代码的个数
23、为： 120 （用数字作答） 【分析】一串数字代码公有 10 个数字构成，则取 7 个位置来排 1，剩下的位置排 0，问题得以解决 【解答】解：依题意，一串数字代码公有 10 个数字构成，则取 7 个位置来排 1， 剩下的位置排 0，则这样的不同数字代码有 C107C103120 个， 故答案为：120 【点评】本题考查了简单的排列组合问题，属于基础题 14 （5 分）命题“x1，2，x+2a”是真命题，则实数 a 的取值范围为： （，） 【分析】题中条件： “ “x1，2，x+2a”为真命题”说明只要存在 x1，2，保证 x+2a 即可， 求出函数的最值，从而问题解决 【解答】解：设 f（x
24、）x+， 要使x1，2，使 x+0， 据函数在区间上是增函数， 可得 f（2）， “x1，2，x+2a”是真命题， 2a， a 故答案为： （，） 【点评】本小题主要考查特称命题、特称命题的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 15 （5 分）在三棱锥 PABC 中，顶点 P 在底面 ABC 的投影 H 是ABC 的垂心，PBPCBC2，侧面 PBC 与底面 ABC 所成二面角的大小为 45，则三棱锥 PABC 的体积为： 【分析】利用 H 为垂心并结合三垂线定理得到二面角的平面角 PDH，从而求得 PH，DH，且易得 D 为 中点，再利
25、用角 CHD 与角 ABD 相等，结合正切值，求得 AD，进而可得体积 【解答】解：如图，H 为 P 在底面 ABC 内的投影， 连接 AH，CH 并延长分别角 BC，AB 于 D，E H 为垂心， ADBC，CEAB， BCBD（三垂线定理） ， PDH 为二面角 PBCA 的平面角，为 45， PBBCPC2， DBDC1，PD， 在 RtPHD 中，可得 PHDH， tan， 易知 ， 在 RtADB 中，ADBDtan， VPABCPH ， 故答案为： 【点评】此题考查了三垂线定理，解三角形，三棱锥体积等，综合性较强，难度适中 16 （5 分）已知函数 f（x）alnxx2bx+（b+
26、1） ，其中 a，bR，若对于任意 x，+）不等式 f（x） 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 a2e 【分析】由 f（1）0，结合题意可得 x1 处取得极大值，且为最大值，求得 ba2，由极值的定义 可得 a 的范围 【解答】解：f（x）alnxx2bx+（b+1） ，x，+） ， f（x）2xb， 由于 f（1）0，对于任意 x，+）不等式 f（x）0 恒成立， 可得 x1 为极大值点，且为最大值点， 即有 f（1）0，即 ba2， f（x）， 当 a0，x1，f（x）0，x1，f（x）0，可得 f（x）的最大值为 f（1）0 成立； 当 a0 时，f（x）（x1）20，成立； 当 a
27、0 时，当1 即 a2 时，f（x）0，f（x）递减，舍去； 当1 即 0a2 时，0 x时，f（x）0，x1，f（x）0，x1，f（x） 0， 要使 f（x）0 恒成立，可得 f（）0，即 2ea0； 当1 即 a2 时，0 x1 时，f（x）0，1x，f（x）0，x，f（x） 0， 此时 f（x）的最大值大于 0，舍去 故答案为：a2e 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和导数，确定 f（1）为最大值是解题的关 键，属于中档题 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知等比数列an的公
28、比 q1，a1+a2+a314，a2+1 是 a1，a3的等差中项，数列anbn的前 n 项和为 Snn2+n （1）求数列an的通项公式； （2）求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，即可得到所求 通项公式； （2）求得 anbn2n，bnn （）n 1，运用错位相减法求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （1）等比数列an的公比 q1，a1+a2+a314，a2+1 是 a1，a3的等差中项， 可得 a1+a1q+a1q214，2（a2+1）a1+a3，即 2（1+a1q）a1+a1q2， 解得
29、q2（舍去） ，a12， 可得 an2n； （2）数列anbn的前 n 项和为 Snn2+n， 设 cnanbn，可得 c1S12；n2 时，cnSnSn1n2+n（n1）2（n1）2n， 即有 anbn2n，bnn （）n 1， 前 n 项和 Tn1 （）0+2 （）1+n （）n 1， Tn1 （）+2 （）2+n （）n， 两式相减可得Tn1+（）+（）n 1n （ ）n n （）n， 化简可得 Tn4（n+2） （）n 1 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化 简整理的运算能力，属于中档题 18 （12 分）已知 a，b，c，分别是
30、ABC 的内角 A，B，C，所对的边， （1）求角 B 的大小； （2）若ABC 的面积为，求ABC 周长的最小值 【分析】 （1）由正弦定理化简已知等式可得 c2+a2b2ac，根据余弦定理可求 cosB，结合范围 B （0，） ，可求 B 的值 （2）由已知利用三角形的面积公式可求 ac4，利用余弦定理，基本不等式，即可计算得解ABC 周长 的最小值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1） 由正弦定理可得：整理可得：c2+a2b2ac，3 分 cosB， B（0，） ， B6 分 （2）B， ABC 的面积为acsinBac，解得：ac4，8 分 b2，可得：a+c24， 对上述
31、两个不等式，当且仅当 ac2 时等号成立，此时ABC 周长取最小值为 612 分 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应 用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19 （12 分）为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车” ，其中一款新能源分时租赁汽车，每 次租车收费的标准由以下两部分组成：根据行驶里数按 1 元/公里计费；当租车时间不超过 40 分钟 时，按 0.12 元/分钟计费；当租车时间超过 40 分钟时，超出的部分按 0.20 元/分钟计费；租车时间不 足 1 分钟， 按 1 分钟计算 已知张先生从家里到公司的距离为 15
32、 公里， 每天租用该款汽车上下班各一次， 且每次租车时间 t20，60（单位：分钟） 由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间 t 是一个随机 变量，现统计了他 50 次路上租车时间，整理后得到下表： 租车时间 t（分 钟） 20，30 （30，40 （40，50 （50，60 频数 2 18 20 10 将上述租车时间的频率视为概率 （1）写出张先生一次租车费用 y（元）与租车时间 t（分钟）的函数关系式； （2）公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月（按 22 天计算）给 800 元车补从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽
33、车？ （3） 若张先生一次租车时间不超过 40 分钟为 “路段畅通” ， 设 表示 3 次租用新能源分时租赁汽车中 “路 段畅通” 的次数，求 的分布列和期望； 【分析】 （1）根据题意，利用分段函数写出 y 关于 t 的函数关系式； （2）计算租赁一次该款汽车上下班的平均费用和一个月的租车费用，比较即可； （3）由题意知 B（3，） ，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值 【解答】解： （1）根据题意知，当 20t40 时，y0.12t+15， 当 40t60 时，y400.12+0.2（t40）+150.2t+11.8， y 与 t 的函数关系式为 y； （2）由题意知，租赁一次该
34、款汽车上下班的平均费用估计值为 （250.12+15）+（350.12+15）+（450.2+11.8）+（550.2+11.8）20.512； 则一个月上下班租车费用约为 20.512222902.528， 由 902.528800，从经济收入的角度分析，上下班应该选择公司接送车； （3）由题意知上下班一次“路段畅通”的概率为 P， 且 B（3，） ，计算 P（0）， P（1）， P（2） （1）， P（3）； 的分布列为， 0 1 2 3 P 数学期望为 E（）31.2 【点评】本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了离散型随机变量的应用问题，是中档题 20 （12 分）如图（1） ，在
35、ABC 中，AB3，DE2，AD2，BAC90，DEAB，将CDE 沿 DE 折到如图（2）中C1DE 的位置，点 P 在 C1E 上 （1）求证：平面 PAB平面 ADC1； （2）若ADC160，且 AP 与平面 ABED 所成角的正弦值为，求二面角 PADB 的余弦值 【分析】 （1）易证 DE平面 ADC1，再利用 DEAB，得 AB平面 ADC1，得证； （2）通过计算结合勾股定理可得 AC1AD，进而借助三线垂直建立空间坐标系，设 C1PC1E，表示 出，由线面所成角列方程求得 ，得到 P 点坐标，即向量，再由二面角的求法确定 PADB 的余 弦值 【解答】解： （1）证明： 在A
36、BC 中，BAC90， ABAC， DEAB， DEAD，DECD， DE平面 ADC1， AB平面 ADC1， 平面 PAB平面 ADC1； （2）由（1）知 AB平面 ADC1， ABAD，ABAC1， DEAB， ， AB3，DE2，AD2， CDC1D4， ADC160， 由余弦定理得 AC12， C1D2AC12+AD2， AC1AD， 以 A 为原点， 建立空间坐标系如图， 则 A（0，0，0） ，B（0，3，0） ，D（2，0，0） ，C1（0，02） ，E（2，2，0） ， 设（01） ， 则（01） ， 则， 易知是平面 ABED 的一个法向量， 则 cos ， 解得， P（
37、） ， 设 （x，y，z）是平面 PAD 的一个法向量， 则， ， 得， 令 z1，则， ， 二面角 PADB 的余弦值为 【点评】此题考查了线面垂直，面面垂直，线面所成角，二面角等，综合性强，难度适中 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+2a+1，aR （I）讨论函数 f（x）的单调性； （II）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）0 【分析】 （I）函数 f（x）lnx+2a+1，aRx（0，+） f（x）1， 14a对 a 分类讨论，即可得出单调性 （II）函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，由（I）可知：且 x1+x21，x1x2a可得 f
38、（x1） +f（x2）ln（x1x2）+（x1+x2）4a+2lna4a+2令 g（a）lna4a+2， 4利用导数研究函数的单调性即可得出 【解答】 （I）解：函数 f（x）lnx+2a+1，aRx（0，+） f（x）1， 14a 0 时，解得 a时，f（x）0， 函数 f（x）在 x（0，+）上单调递减 0 时，解得 a时，令 f（x）0，解得 x1，x2 f（x）， 时，0 x1x2 可得函数 f（x）在（0，x1） ， （x2，+）上单调递减；在（x1，x2）上单调递增 a0 时，x10 x2可得函数 f（x）在（0，x2）上单调递增，在（x2，+）上单调递减 综上可得：a时，函数 f
39、（x）在 x（0，+）上单调递减 时，函数 f（x）在（0，x1） ， （x2，+）上单调递减；在（x1，x2）上单调递增 a0 时，函数 f（x）在（0，x2）上单调递增，在（x2，+）上单调递减 （II）证明：函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，由（I）可知： 且 x1+x21，x1x2a f（x1）+f（x2）lnx1+x12a+1+lnx2+x22a+1 ln（x1x2）+（x1+x2）4a+2lna4a+2 令 g（a）lna4a+2，4 g（a）40，函数 g（a）在上单调递增 g（a）ln4+10， f（x1）+f（x2）0 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最
40、值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考 查了推理能力与计算能力，属于难题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直曲线 C1的参数方程为（t 为参数 a0） ，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22cos+0，曲线 C1， C2有且只有一个公共点 （1）求 a 的值 （2）设点 M 的直角坐标为（a，0） ，若曲线 C1与 C3：（ 为参数）的交点为 A，B 两个不 同的点，求|MA|MB|的值 【分析】 （1）求出曲线 C1的直角坐标方程为 y（xa） ，曲线 C2的直角坐标方
41、程为（x1）2+y2 ，由曲线 C1，C2有且只有一个公共点，得曲线 C1，C2相切，由此能求出 a （2）求出 M（2，0） ，C3的普通方程为：1，求出曲线 C1的参数方程，且曲线 C1是过 M（2， 0）的直线，把 C1的参数方程代入曲线 C3的普通方程，得：7t2+2t50，由此能求出|MA|MB| 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为（t 为参数 a0） ， 曲线 C1的直角坐标方程为 y（xa） ， 曲线 C2的极坐标方程为 22cos+0， 曲线 C2的直角坐标方程为（x1）2+y2， 曲线 C1，C2有且只有一个公共点，曲线 C1，C2相切， 圆心 C2（1，0）到直线
42、C1的距离 d， 解得 a2 或 a0（舍） 综上，a2 （2）由（1）得 M（2，0） ， C3：（ 为参数） ，C3的普通方程为：1， 曲线 C1的参数方程为， （t 为参数） ， 曲线 C1是过 M（2，0）的直线， 把 C1的参数方程代入曲线 C3的普通方程，得：7t2+2t50， |MA|MB|t1t2| 【点评】本题考查实数值的求法，考查两线段乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程 的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|+|2x1|，xR （1）当 m1 时，解不等式 f（x）2； （2）若
43、不等式 f（x）3x 对任意的 x0，1恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）去绝对值后分区间解不等式再相并； （2）转化为|xm|3x|2x1|对任意的 x0，1恒成立后再构造函数，利用函数的图象可得 【解答】解： （1）当 m1 时，f（x）|x1|+|2x1|， 所以 f（x）， 或或， 解得 0 x 所以不等式 f（x）2 的解集为x|0 （2）由题意 f（x）3x 对任意的 x0，1恒成立， 即|xm|3x|2x1|对任意的 x0，1恒成立， 令 g（x）3x|2x1|， 所以函数 y|xm|的图象应该恒在 g（x）的下方，数形结合可得 0m2 【点评】本题考查了函数恒成立问题，属难题
