2018-2019学年山西省太原市高三上期末数学试卷(理科)含答案详解

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资源描述

1、2018-2019 学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(理科)学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)目要求的) 1 (5 分)已知集合 AxN|0 x3,BxR|2x2,则 AB( ) A0,1 B1 C0,1 D0,2) 2 (5 分)设复数 z 满足(1+i) z1i,则 z( ) A1 Bi C1 Di 3 (5 分)已知 sin2cos0,则 tan2( ) A B C D

2、 4 (5 分)函数函数 f(x)|x|的大致图象为( ) A B C D 5 (5 分)设 , 为两个不同平面,m,n 为两条不同的直线,给出以下命题 (1)若 m,n,则 mn; (2)若 ,m,则 m; (3)若 ,m,n,则 mn; (4)若 mn,m,n,则 ; 则下列真命题个数为( ) A1 B2 C3 D4 6 (5 分)赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为周碑算经 一书作序时,介绍了 “勾 股圆方图” ,亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个 小正方形组成的)类比“赵爽弦图” ,赵爽弦图可类似地构造如图所示的

3、图形,它是由 3 个全等的三角形 与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设 DF2AF,若在大等边三角形中随机取一点, 则此点取自小等边三角形的概率是( ) A B C D 7 (5 分)将函数的图象向左平移个单位得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的一个对称中心是( ) A (,) B (,) C (,) D (,) 8 (5 分)设向量 , , 都是单位向量,且 2 ,则 , 的夹角为( ) A B C D 9 (5 分)已知实数 x,y 满足,若不等式 axy0 恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A (,) B (4,+) C (,4) D (,4) 10 (5 分

4、)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( ) A8 B4 或 C D 11 (5 分)已知数列an为等差数列,an1(nN*) ,a1+a20191,若,则 f(a1)f(a2) f(a2019)( ) A22019 B22020 C2 2017 D22018 12 (5 分)已知定义在 R 上的可导函数 f(x) ,对于任意实数 x 都有 f(x)f(x)2x 成立,且当 x (,0时,都有 f(x)2x+1 成立,若 f(2m)f(m1)+3m(m+1) ,则实数 m 的取值范围为 ( ) A (1,) B (1,0) C (,1) D (,+) 二、填空题(本大题共二、填空题(本

5、大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分,把答案填在题中横线上 )分,把答案填在题中横线上 ) 13 (5 分) 一串数字代码是 7 个 1 和 3 个 0 组成, 则这样的不同数字代码的个数为: (用数字作答) 14 (5 分)命题“x1,2,x+2a”是真命题,则实数 a 的取值范围为: 15 (5 分)在三棱锥 PABC 中,顶点 P 在底面 ABC 的投影 H 是ABC 的垂心,PBPCBC2,侧面 PBC 与底面 ABC 所成二面角的大小为 45,则三棱锥 PABC 的体积为: 16 (5 分)已知函数 f(x)alnxx2bx+(b+1) ,其中 a,bR,

6、若对于任意 x,+)不等式 f(x) 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 (12 分)已知等比数列an的公比 q1,a1+a2+a314,a2+1 是 a1,a3的等差中项,数列anbn的前 n 项和为 Snn2+n (1)求数列an的通项公式; (2)求数列bn的前 n 项和 Tn 18 (12 分)已知 a,b,c,分别是ABC 的内角 A,B,C,所对的边, (1)求角 B 的大小; (2)若ABC 的面积为,求ABC 周长的最小值 19 (12 分)为响应低碳绿色出行,某市

7、推出“新能源分时租赁汽车” ,其中一款新能源分时租赁汽车,每 次租车收费的标准由以下两部分组成:根据行驶里数按 1 元/公里计费;当租车时间不超过 40 分钟 时,按 0.12 元/分钟计费;当租车时间超过 40 分钟时,超出的部分按 0.20 元/分钟计费;租车时间不 足 1 分钟, 按 1 分钟计算 已知张先生从家里到公司的距离为 15 公里, 每天租用该款汽车上下班各一次, 且每次租车时间 t20,60(单位:分钟) 由于堵车,红绿灯等因素,每次路上租车时间 t 是一个随机 变量,现统计了他 50 次路上租车时间,整理后得到下表: 租车时间 t(分 钟) 20,30 (30,40 (40

8、,50 (50,60 频数 2 18 20 10 将上述租车时间的频率视为概率 (1)写出张先生一次租车费用 y(元)与租车时间 t(分钟)的函数关系式; (2)公司规定,员工上下班可以免费乘坐公司接送车,若不乘坐公司接送车的每月(按 22 天计算)给 800 元车补从经济收入的角度分析,张先生上下班应该选择公司接送车,还是租用该款新能源汽车? (3) 若张先生一次租车时间不超过 40 分钟为 “路段畅通” , 设 表示 3 次租用新能源分时租赁汽车中 “路 段畅通” 的次数,求 的分布列和期望; 20 (12 分)如图(1) ,在ABC 中,AB3,DE2,AD2,BAC90,DEAB,将C

9、DE 沿 DE 折到如图(2)中C1DE 的位置,点 P 在 C1E 上 (1)求证:平面 PAB平面 ADC1; (2)若ADC160,且 AP 与平面 ABED 所成角的正弦值为,求二面角 PADB 的余弦值 21 (12 分)已知函数 f(x)lnx+2a+1,aR (I)讨论函数 f(x)的单调性; (II)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,求证:f(x1)+f(x2)0 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直曲线 C1的参数方程为(t 为参数 a0) ,以坐标 原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

10、曲线 C2的极坐标方程为 22cos+0,曲线 C1, C2有且只有一个公共点 (1)求 a 的值 (2)设点 M 的直角坐标为(a,0) ,若曲线 C1与 C3:( 为参数)的交点为 A,B 两个不 同的点,求|MA|MB|的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|xm|+|2x1|,xR (1)当 m1 时,解不等式 f(x)2; (2)若不等式 f(x)3x 对任意的 x0,1恒成立,求实数 m 的取值范围 2018-2019 学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(理科)学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析

11、一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)目要求的) 1 (5 分)已知集合 AxN|0 x3,BxR|2x2,则 AB( ) A0,1 B1 C0,1 D0,2) 【分析】可解出集合 A,然后进行交集的运算即可 【解答】解:A0,1,2,3,BxR|2x2; AB0,1 故选:A 【点评】考查描述法、列举法的定义,以及交集的运算 2 (5 分)设复数 z 满足(1+i) z1i,则 z( ) A1 Bi C1 Di 【分析】把已知等式

12、变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:由(1+i) z1i,得 z 故选:D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题 3 (5 分)已知 sin2cos0,则 tan2( ) A B C D 【分析】主要利用三角函数关系式的变换和倍角函数关系式求出结果 【解答】解:由于 sin2cos0, 故转换为 sin2cos, 整理得:tan2, 则:tan2, 故选:B 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,倍角公式的应用,主要考查学生的运算 能力和转化能力,属于基础题型 4 (5 分)函数函数 f(x)|x|的大致图象为( ) A B C D 【分

13、析】利用 x0 时,函数的单调性,以及 x0 时,函数值的符号进行排除即可 【解答】解:当 x0 时,f(x)x为增函数,排除 A,B, 当 x0 时,f(x)|x|0 恒成立,排除 C, 故选:D 【点评】 本题主要考查函数图象的识别和判断, 利用单调性和函数值的符号进行排除是解决本题的关键 5 (5 分)设 , 为两个不同平面,m,n 为两条不同的直线,给出以下命题 (1)若 m,n,则 mn; (2)若 ,m,则 m; (3)若 ,m,n,则 mn; (4)若 mn,m,n,则 ; 则下列真命题个数为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】由线面平行和垂直的性质可判断(1) ;由面面平行

14、的性质定理可判断(2) ; 由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断(3) ;由线面平行、垂直的性质可判断(4) 【解答】解:, 为两个不同平面,m,n 为两条不同的直线, (1)若 m,n,由线面平行的性质可得,过 n 的平面与 交于 k, 可得 nk,由 mk,则 mn,故(1)正确; (2)若 ,m,由面面平行的性质可得 m,故(2)正确; (3)若 ,m,n,则 m,n 平行、相交或异面,故(3)错误; (4)若 mn,m,n,可得 , 可能平行或相交,故(4)错误 故选:B 【点评】本题考查空间线面和面面的位置关系的判断,主要是平行和垂直的判断和性质,考查转化思想 和推理能力,属于基础

15、题 6 (5 分)赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为周碑算经 一书作序时,介绍了 “勾 股圆方图” ,亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个 小正方形组成的)类比“赵爽弦图” ,赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形,它是由 3 个全等的三角形 与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设 DF2AF,若在大等边三角形中随机取一点, 则此点取自小等边三角形的概率是( ) A B C D 【分析】设 DF2AF2,由余弦定理求出 AC,由几何概型得:在大等边三角形中随机取一点, 则此点取自小等边三角形的概率是 p 【解答】

16、解:设 DF2AF2,则 AC, SDEF, 由几何概型得: 在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是: p 故选:B 【点评】本题考查概率的求法,考查余弦定理、几何概型等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 7 (5 分)将函数的图象向左平移个单位得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的一个对称中心是( ) A (,) B (,) C (,) D (,) 【分析】直接利用三角函数的关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用整体 思想求出函数的对称中心 【解答】解:函数, , +, 把函数的图象向左平移个单位, 得到函数 g(x)cos2x+的图象, 令

17、, 解得:x(kZ) , 当 k0 时,函数的对称中心为() 故选:A 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,函数的图象的平移变换和伸缩变换的应 用,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型 8 (5 分)设向量 , , 都是单位向量,且 2 ,则 , 的夹角为( ) A B C D 【分析】对式子 2 两边平方计算的值,从而求出向量的夹角 【解答】解:由 2 可得 2 , 34+4, | | | |1, 314+4, cos, , 的夹角为 故选:C 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,属于基础题 9 (5 分)已知实数 x,y 满足,若不

18、等式 axy0 恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A (,) B (4,+) C (,4) D (,4) 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识进行求解即可 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 若 axy0 恒成立即 yax 恒成立, 即平面区域在直线 yax 的下方即可 即 A(1,4)在 yax 的下方或在直线上即可, 即 a4, 故选:B 【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据条件 axy0 恒成立,得到平面区域 ABC 在直线 yax 的下方是解决本题的关键 10 (5 分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( ) A8 B4 或 C D 【

19、分析】画出几何体的直观图,利用正方体的棱长,转化求解几何体的体积即可 【解答】解:由题意可知几何体的直观图如图:两种情况, 是正方体的一部分,正方体的棱长为 2, 几何体的体积为:234 或 2334 故选:B 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积,考查空间想象能力以及计算能力 11 (5 分)已知数列an为等差数列,an1(nN*) ,a1+a20191,若,则 f(a1)f(a2) f(a2019)( ) A22019 B22020 C2 2017 D22018 【分析】根据等差数列的性质和函数的性质即可求出 【解答】解:a1+a20191, f(a1)f(a2019)44, 数列an为

20、等差数列,an1(nN*) ,a1+a20191, a1+a2019a2+a2018a3+a2017a1009+a10112a1010, a1010 f(a1)f(a2)f(a2019)41009(2)22019 故选:A 【点评】本题考查了等差数列的性质和函数的性质,考查了运算能力和转化能力,属于中档题 12 (5 分)已知定义在 R 上的可导函数 f(x) ,对于任意实数 x 都有 f(x)f(x)2x 成立,且当 x (,0时,都有 f(x)2x+1 成立,若 f(2m)f(m1)+3m(m+1) ,则实数 m 的取值范围为 ( ) A (1,) B (1,0) C (,1) D (,+

21、) 【分析】令 g(x)f(x)x2x,可判断出函数 g(x)为 R 上偶函数当 x(,0时,都有 f (x)2x+1 成立,可得 g(x)f(x)2x10,可得函数 g(x)的单调性f(2m)f(m1) +3m(m+1) ,即 g(2m)g(m1) ,因此 g(|2m|)g(|m1|) ,利用单调性即可得出 【解答】解:令 g(x)f(x)x2x, 则 g(x)g(x)f(x)x2+xf(x)+x2+x0, g(x)g(x) ,函数 g(x)为 R 上的偶函数 当 x(,0时,都有 f(x)2x+1 成立, g(x)f(x)2x10, 函数 g(x)在 x(,0上单调递减,在0,+)上单调递

22、增 f(2m)f(m1)+3m(m+1) ,即 f(2m)4m22mf(m1)(m1)2(m1) , g(2m)g(m1) ,因此 g(|2m|)g(|m1|) , |2m|m1|, 化为:3m2+2m10, 解得 故选:A 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、方程与不等式的解法、构造法,考查 了推理能力与计算能力,属于难题 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分,把答案填在题中横线上 )分,把答案填在题中横线上 ) 13 (5 分) 一串数字代码是 7 个 1 和 3 个 0 组成, 则这样的不同数字代码的个数

23、为: 120 (用数字作答) 【分析】一串数字代码公有 10 个数字构成,则取 7 个位置来排 1,剩下的位置排 0,问题得以解决 【解答】解:依题意,一串数字代码公有 10 个数字构成,则取 7 个位置来排 1, 剩下的位置排 0,则这样的不同数字代码有 C107C103120 个, 故答案为:120 【点评】本题考查了简单的排列组合问题,属于基础题 14 (5 分)命题“x1,2,x+2a”是真命题,则实数 a 的取值范围为: (,) 【分析】题中条件: “ “x1,2,x+2a”为真命题”说明只要存在 x1,2,保证 x+2a 即可, 求出函数的最值,从而问题解决 【解答】解:设 f(x

24、)x+, 要使x1,2,使 x+0, 据函数在区间上是增函数, 可得 f(2), “x1,2,x+2a”是真命题, 2a, a 故答案为: (,) 【点评】本小题主要考查特称命题、特称命题的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 15 (5 分)在三棱锥 PABC 中,顶点 P 在底面 ABC 的投影 H 是ABC 的垂心,PBPCBC2,侧面 PBC 与底面 ABC 所成二面角的大小为 45,则三棱锥 PABC 的体积为: 【分析】利用 H 为垂心并结合三垂线定理得到二面角的平面角 PDH,从而求得 PH,DH,且易得 D 为 中点,再利

25、用角 CHD 与角 ABD 相等,结合正切值,求得 AD,进而可得体积 【解答】解:如图,H 为 P 在底面 ABC 内的投影, 连接 AH,CH 并延长分别角 BC,AB 于 D,E H 为垂心, ADBC,CEAB, BCBD(三垂线定理) , PDH 为二面角 PBCA 的平面角,为 45, PBBCPC2, DBDC1,PD, 在 RtPHD 中,可得 PHDH, tan, 易知 , 在 RtADB 中,ADBDtan, VPABCPH , 故答案为: 【点评】此题考查了三垂线定理,解三角形,三棱锥体积等,综合性较强,难度适中 16 (5 分)已知函数 f(x)alnxx2bx+(b+

26、1) ,其中 a,bR,若对于任意 x,+)不等式 f(x) 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 a2e 【分析】由 f(1)0,结合题意可得 x1 处取得极大值,且为最大值,求得 ba2,由极值的定义 可得 a 的范围 【解答】解:f(x)alnxx2bx+(b+1) ,x,+) , f(x)2xb, 由于 f(1)0,对于任意 x,+)不等式 f(x)0 恒成立, 可得 x1 为极大值点,且为最大值点, 即有 f(1)0,即 ba2, f(x), 当 a0,x1,f(x)0,x1,f(x)0,可得 f(x)的最大值为 f(1)0 成立; 当 a0 时,f(x)(x1)20,成立; 当 a

27、0 时,当1 即 a2 时,f(x)0,f(x)递减,舍去; 当1 即 0a2 时,0 x时,f(x)0,x1,f(x)0,x1,f(x) 0, 要使 f(x)0 恒成立,可得 f()0,即 2ea0; 当1 即 a2 时,0 x1 时,f(x)0,1x,f(x)0,x,f(x) 0, 此时 f(x)的最大值大于 0,舍去 故答案为:a2e 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法,注意运用转化思想和导数,确定 f(1)为最大值是解题的关 键,属于中档题 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 (12 分)已知等比数列an的公

28、比 q1,a1+a2+a314,a2+1 是 a1,a3的等差中项,数列anbn的前 n 项和为 Snn2+n (1)求数列an的通项公式; (2)求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 (1)运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,解方程可得首项和公比,即可得到所求 通项公式; (2)求得 anbn2n,bnn ()n 1,运用错位相减法求和和等比数列的求和公式,计算可得所求和 【解答】解: (1)等比数列an的公比 q1,a1+a2+a314,a2+1 是 a1,a3的等差中项, 可得 a1+a1q+a1q214,2(a2+1)a1+a3,即 2(1+a1q)a1+a1q2, 解得

29、q2(舍去) ,a12, 可得 an2n; (2)数列anbn的前 n 项和为 Snn2+n, 设 cnanbn,可得 c1S12;n2 时,cnSnSn1n2+n(n1)2(n1)2n, 即有 anbn2n,bnn ()n 1, 前 n 项和 Tn1 ()0+2 ()1+n ()n 1, Tn1 ()+2 ()2+n ()n, 两式相减可得Tn1+()+()n 1n ( )n n ()n, 化简可得 Tn4(n+2) ()n 1 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,化 简整理的运算能力,属于中档题 18 (12 分)已知 a,b,c,分别是

30、ABC 的内角 A,B,C,所对的边, (1)求角 B 的大小; (2)若ABC 的面积为,求ABC 周长的最小值 【分析】 (1)由正弦定理化简已知等式可得 c2+a2b2ac,根据余弦定理可求 cosB,结合范围 B (0,) ,可求 B 的值 (2)由已知利用三角形的面积公式可求 ac4,利用余弦定理,基本不等式,即可计算得解ABC 周长 的最小值 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1) 由正弦定理可得:整理可得:c2+a2b2ac,3 分 cosB, B(0,) , B6 分 (2)B, ABC 的面积为acsinBac,解得:ac4,8 分 b2,可得:a+c24, 对上述

31、两个不等式,当且仅当 ac2 时等号成立,此时ABC 周长取最小值为 612 分 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式在解三角形中的综合应 用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题 19 (12 分)为响应低碳绿色出行,某市推出“新能源分时租赁汽车” ,其中一款新能源分时租赁汽车,每 次租车收费的标准由以下两部分组成:根据行驶里数按 1 元/公里计费;当租车时间不超过 40 分钟 时,按 0.12 元/分钟计费;当租车时间超过 40 分钟时,超出的部分按 0.20 元/分钟计费;租车时间不 足 1 分钟, 按 1 分钟计算 已知张先生从家里到公司的距离为 15

32、 公里, 每天租用该款汽车上下班各一次, 且每次租车时间 t20,60(单位:分钟) 由于堵车,红绿灯等因素,每次路上租车时间 t 是一个随机 变量,现统计了他 50 次路上租车时间,整理后得到下表: 租车时间 t(分 钟) 20,30 (30,40 (40,50 (50,60 频数 2 18 20 10 将上述租车时间的频率视为概率 (1)写出张先生一次租车费用 y(元)与租车时间 t(分钟)的函数关系式; (2)公司规定,员工上下班可以免费乘坐公司接送车,若不乘坐公司接送车的每月(按 22 天计算)给 800 元车补从经济收入的角度分析,张先生上下班应该选择公司接送车,还是租用该款新能源汽

33、车? (3) 若张先生一次租车时间不超过 40 分钟为 “路段畅通” , 设 表示 3 次租用新能源分时租赁汽车中 “路 段畅通” 的次数,求 的分布列和期望; 【分析】 (1)根据题意,利用分段函数写出 y 关于 t 的函数关系式; (2)计算租赁一次该款汽车上下班的平均费用和一个月的租车费用,比较即可; (3)由题意知 B(3,) ,计算对应的概率值,写出分布列,求出数学期望值 【解答】解: (1)根据题意知,当 20t40 时,y0.12t+15, 当 40t60 时,y400.12+0.2(t40)+150.2t+11.8, y 与 t 的函数关系式为 y; (2)由题意知,租赁一次该

34、款汽车上下班的平均费用估计值为 (250.12+15)+(350.12+15)+(450.2+11.8)+(550.2+11.8)20.512; 则一个月上下班租车费用约为 20.512222902.528, 由 902.528800,从经济收入的角度分析,上下班应该选择公司接送车; (3)由题意知上下班一次“路段畅通”的概率为 P, 且 B(3,) ,计算 P(0), P(1), P(2) (1), P(3); 的分布列为, 0 1 2 3 P 数学期望为 E()31.2 【点评】本题考查了分段函数模型的应用问题,也考查了离散型随机变量的应用问题,是中档题 20 (12 分)如图(1) ,在

35、ABC 中,AB3,DE2,AD2,BAC90,DEAB,将CDE 沿 DE 折到如图(2)中C1DE 的位置,点 P 在 C1E 上 (1)求证:平面 PAB平面 ADC1; (2)若ADC160,且 AP 与平面 ABED 所成角的正弦值为,求二面角 PADB 的余弦值 【分析】 (1)易证 DE平面 ADC1,再利用 DEAB,得 AB平面 ADC1,得证; (2)通过计算结合勾股定理可得 AC1AD,进而借助三线垂直建立空间坐标系,设 C1PC1E,表示 出,由线面所成角列方程求得 ,得到 P 点坐标,即向量,再由二面角的求法确定 PADB 的余 弦值 【解答】解: (1)证明: 在A

36、BC 中,BAC90, ABAC, DEAB, DEAD,DECD, DE平面 ADC1, AB平面 ADC1, 平面 PAB平面 ADC1; (2)由(1)知 AB平面 ADC1, ABAD,ABAC1, DEAB, , AB3,DE2,AD2, CDC1D4, ADC160, 由余弦定理得 AC12, C1D2AC12+AD2, AC1AD, 以 A 为原点, 建立空间坐标系如图, 则 A(0,0,0) ,B(0,3,0) ,D(2,0,0) ,C1(0,02) ,E(2,2,0) , 设(01) , 则(01) , 则, 易知是平面 ABED 的一个法向量, 则 cos , 解得, P(

37、) , 设 (x,y,z)是平面 PAD 的一个法向量, 则, , 得, 令 z1,则, , 二面角 PADB 的余弦值为 【点评】此题考查了线面垂直,面面垂直,线面所成角,二面角等,综合性强,难度适中 21 (12 分)已知函数 f(x)lnx+2a+1,aR (I)讨论函数 f(x)的单调性; (II)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,求证:f(x1)+f(x2)0 【分析】 (I)函数 f(x)lnx+2a+1,aRx(0,+) f(x)1, 14a对 a 分类讨论,即可得出单调性 (II)函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,由(I)可知:且 x1+x21,x1x2a可得 f

38、(x1) +f(x2)ln(x1x2)+(x1+x2)4a+2lna4a+2令 g(a)lna4a+2, 4利用导数研究函数的单调性即可得出 【解答】 (I)解:函数 f(x)lnx+2a+1,aRx(0,+) f(x)1, 14a 0 时,解得 a时,f(x)0, 函数 f(x)在 x(0,+)上单调递减 0 时,解得 a时,令 f(x)0,解得 x1,x2 f(x), 时,0 x1x2 可得函数 f(x)在(0,x1) , (x2,+)上单调递减;在(x1,x2)上单调递增 a0 时,x10 x2可得函数 f(x)在(0,x2)上单调递增,在(x2,+)上单调递减 综上可得:a时,函数 f

39、(x)在 x(0,+)上单调递减 时,函数 f(x)在(0,x1) , (x2,+)上单调递减;在(x1,x2)上单调递增 a0 时,函数 f(x)在(0,x2)上单调递增,在(x2,+)上单调递减 (II)证明:函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,由(I)可知: 且 x1+x21,x1x2a f(x1)+f(x2)lnx1+x12a+1+lnx2+x22a+1 ln(x1x2)+(x1+x2)4a+2lna4a+2 令 g(a)lna4a+2,4 g(a)40,函数 g(a)在上单调递增 g(a)ln4+10, f(x1)+f(x2)0 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最

40、值、方程与不等式的解法、分类讨论方法,考 查了推理能力与计算能力,属于难题 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直曲线 C1的参数方程为(t 为参数 a0) ,以坐标 原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 22cos+0,曲线 C1, C2有且只有一个公共点 (1)求 a 的值 (2)设点 M 的直角坐标为(a,0) ,若曲线 C1与 C3:( 为参数)的交点为 A,B 两个不 同的点,求|MA|MB|的值 【分析】 (1)求出曲线 C1的直角坐标方程为 y(xa) ,曲线 C2的直角坐标方

41、程为(x1)2+y2 ,由曲线 C1,C2有且只有一个公共点,得曲线 C1,C2相切,由此能求出 a (2)求出 M(2,0) ,C3的普通方程为:1,求出曲线 C1的参数方程,且曲线 C1是过 M(2, 0)的直线,把 C1的参数方程代入曲线 C3的普通方程,得:7t2+2t50,由此能求出|MA|MB| 【解答】解: (1)曲线 C1的参数方程为(t 为参数 a0) , 曲线 C1的直角坐标方程为 y(xa) , 曲线 C2的极坐标方程为 22cos+0, 曲线 C2的直角坐标方程为(x1)2+y2, 曲线 C1,C2有且只有一个公共点,曲线 C1,C2相切, 圆心 C2(1,0)到直线

42、C1的距离 d, 解得 a2 或 a0(舍) 综上,a2 (2)由(1)得 M(2,0) , C3:( 为参数) ,C3的普通方程为:1, 曲线 C1的参数方程为, (t 为参数) , 曲线 C1是过 M(2,0)的直线, 把 C1的参数方程代入曲线 C3的普通方程,得:7t2+2t50, |MA|MB|t1t2| 【点评】本题考查实数值的求法,考查两线段乘积的求法,考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程 的互化等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|xm|+|2x1|,xR (1)当 m1 时,解不等式 f(x)2; (2)若

43、不等式 f(x)3x 对任意的 x0,1恒成立,求实数 m 的取值范围 【分析】 (1)去绝对值后分区间解不等式再相并; (2)转化为|xm|3x|2x1|对任意的 x0,1恒成立后再构造函数,利用函数的图象可得 【解答】解: (1)当 m1 时,f(x)|x1|+|2x1|, 所以 f(x), 或或, 解得 0 x 所以不等式 f(x)2 的解集为x|0 (2)由题意 f(x)3x 对任意的 x0,1恒成立, 即|xm|3x|2x1|对任意的 x0,1恒成立, 令 g(x)3x|2x1|, 所以函数 y|xm|的图象应该恒在 g(x)的下方,数形结合可得 0m2 【点评】本题考查了函数恒成立问题,属难题

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