1、2019-2020 学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科） 一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 PxN|1x10，集合 QxR|x2+x60，则 PQ（ ） A1，2，3 B2，3 C1，2 D2 2 （5 分）复数 z的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 3 （5 分）若 x，y 满足，则 zx+y 的最大值为（ ） A B3 C D4 4 （5 分）已知向量 （，
2、3） ， （） ，则向量 与 2 的夹角是（ ） A B C D 5 （5 分）已知数列an为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前 n 项和，若 a424，且 a4+a36，则 S5 （ ） A31 B32 C30 D29 6 （5 分）程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作卷八 中第 33 问： “今有三角果一垛，底阔每面七个问该若干？”如图是解决该问题的程序框图执行该程 序框图，求得该垛果子的总数 S 为（ ） A120 B84 C56 D28 7 （5 分）若双曲线（a0）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A2 B4 C18 D36
3、8 （5 分）函数 f（x）ln|的大致图象为（ ） A B C D 9 （5 分）某几何体三视图如图，则该几何体体积为（ ） A B C1 D 10 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3acosC4csinA，已知ABC 的面积 S 10，b4，则 a 的值为（ ） A B C D 11 （5 分）关于函数 f（x）cos2x2sinxcosx，下列命题正确的个数是（ ） 若存在 x1，x2有 x1x2 时，f（x1）f（x2）成立； f（x）在区间，上是单调递增； 函数 f（x）的图象关于点（，0）成中心对称图象； 将函数 f（x）的图象向左平移个单位
4、后将与 y2sin2x 的图象重合 A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知函数 f（x）+mlnx 有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A （e，+） B （，+） C （0，e） D （0，） 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡上分，请将答案填在答题卡上. 13 （5 分）天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概 率，用骰子点数来产生随机数依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现 1 点和 2 点代表下雨；投 三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组得到的
5、 10 组随机数如下：613，265，114，236，561， 435，443，251，154，353则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是 ；三天中有 两天下雨的概率的近似值为 14 （5 分） 设函数 f （x） ， 若函数 f （x） 在 （a， a+1） 递增， 则 a 的取值范围是 15 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点是抛物线 C 上一点， 以点 M 为圆 心为半径的圆与直线交于 E，G 两点，若，则抛物线 C 的方程是 16 （5 分） 已知点 A， B， C， D 在同一个球的球面上， 若四面体 ABCD 的体积为， 球心 O 恰好在棱 D
6、A 上，则这个球的表面积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）数列an中，a1，（nN*） ，数列bn满足 bn2nan（nN*） （1）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式； （2）设 cnlog2，求数列的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAC 为正三角形，M 为棱 PA 的中点，ABAC，ACBC， 平面 PAB平面 PAC （1）求证：AB平面 PAC； （2）若 AC2，求三棱锥 PBMC 的体积 19
7、 （12 分）近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为 必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制” ，即原始分数不直接用，而是按照学生分数 在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定 A 省规定：选考科目按考生成绩从高到 低排列，按照占总体 15%、35%、35%、15%分别赋分 70 分、60 分、50 分、40 分，为了让学生们体验 “赋分制”计算成绩的方法，A 省某高中高一（1）班（共 40 人）举行了以此摸底考试（选考科目全考， 单料全班排名） ，知这次摸底考试中的物理成绩（满分 100 分）频率分布直方图，化学成绩
8、（满分 100 分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理 82 分，化学 70 多分 （1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分； （2）若小明的化学成绩最后得分为 60 分，求小明的原始成绩的可能值； （3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科 目包括化学的概率 20 （12 分）已知 F1（2，0） ，F2（2，0）是椭圆的两个焦点，M 是椭圆 C 上 一点，当 MF1F1F2时，有|MF2|3|MF1| （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 设过椭圆右焦点 F2的动直线 l 与椭圆交于 A， B 两点， 试问在 x 铀上是否存在与
9、 F2不重合的定点 T， 使得ATF2BTF2恒成立？若存在，求出定点 T 的坐标，若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）ex 1a（x1）+lnx（aR，e 是自然对数的底数） （）设 g（x）f（x） （其中 f（x）是 f（x）的导数） ，求 g（x）的极小值； （）若对 x1，+） ，都有 f（x）1 成立，求实数 a 的取值范围 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）
10、 ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin （）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （）已知曲线 C3的极坐标方程为 ，0，R，点 A 是曲线 C3与 C1的交点，点 B 是曲线 C3与 C2的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|4，求实数 的值 23已知 f（x）|2x+2|+|x1|的最小值为 t （1）求 t 的值； （2）若实数 a，b 满足 2a2+2b2t，求的最小值 2019-2020 学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试
11、题解析 一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 PxN|1x10，集合 QxR|x2+x60，则 PQ（ ） A1，2，3 B2，3 C1，2 D2 【分析】求出集合 PQ 的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可 【解答】解：PxN|1x101，2，3，4，5，6，7，8，9，10，集合 QxR|x2+x60 2，3， PQ2， 故选：D 【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键 2 （5 分
12、）复数 z的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则答案可求 【解答】解：z， 则复数 z的虚部为：1 故选：C 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）若 x，y 满足，则 zx+y 的最大值为（ ） A B3 C D4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图 由 zx+y 得 yx+y， 平移 yx+y， 由图象知当直线 yx+y 经过点 A 直线的截距最大， 此时 z 最大， 由得，即 A（1，3） ， 则 z+3，
13、 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此 类问题的基本方法 4 （5 分）已知向量 （，3） ， （） ，则向量 与 2 的夹角是（ ） A B C D 【分析】由平面向量的坐标运算及两向量的夹角得：2 （，1） ，设向量 与 2 的夹角是 ，则 cos，又 0，所以，得解 【解答】解：因为向量 （，3） ， （） ，则 2 （，1） ， 设向量 与 2 的夹角是 ， 则 cos， 又 0， 所以， 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算及两向量的夹角，属中档题 5 （5 分）已知数列an为各项均为正数的等比数列，Sn是它的
14、前 n 项和，若 a424，且 a4+a36，则 S5 （ ） A31 B32 C30 D29 【分析】结合已知可先求出公比 q 及首项 a1，然后根据等比数列的求和公式可求 【解答】解：由题意可得，a42，a34， 故公比 q，a116， 根据等比数列的求和公式可得，S5，31 故选：A 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 6 （5 分）程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作卷八 中第 33 问： “今有三角果一垛，底阔每面七个问该若干？”如图是解决该问题的程序框图执行该程 序框图，求得该垛果子的总数 S 为（ ）
15、A120 B84 C56 D28 【分析】根据流程图一步一步走，直至跳出循环结束 【解答】解析：初始值 i0，n0，S0， 第一次循环，i1，n1，S1； 第二次循环，i2，n3，S4； 第三次循环，i3，n6，S10； 第四次循环，i4，n10，S20； 第五次循环，i5，n15，S35； 第六次循环，i6，n21，S56； 第七次循环，i7，n28，S84； 此时退出循环，输出 S84 故选：B 【点评】本题考查程序框图，属于基础题 7 （5 分）若双曲线（a0）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A2 B4 C18 D36 【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线垂直，求出
16、a，然后求解双曲线的实轴长 【解答】解：双曲线（a0）的一条渐近线与直线垂直， 双曲线的渐近线方程为 3yax ，得 a9，2a18 故选：C 【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质 等知识，属于基础题 8 （5 分）函数 f（x）ln|的大致图象为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的值域判断函数的图象即可 【解答】解：函数 f（x）ln|， 可知 f（x）ln|ln|f（x） ，函数是奇函数，排除选项 A，C， 当 x0 时，|1，ln|0， 对应点在第四象限，排除 D 故选：B 【点评】本题考查函数的图象的判断，函
17、数与方程的应用，考查计算能力 9 （5 分）某几何体三视图如图，则该几何体体积为（ ） A B C1 D 【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥放入棱长为 2 的正方体中，由此求出它的体积 【解答】解：由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥放入棱长为 2 的正方体中，如图所示； 则该三棱锥的体积为 VSABCh212 故选：B 【点评】本题考查了三视图与直观图的应用问题，也考查了空间想象能力与转化能力，是基础题 10 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3acosC4csinA，已知ABC 的面积 S 10，b4，则 a 的值为（ ） A B C D 【
18、分析】由正弦定理化简已知，结合 sinA0，可求 cosCsinC，利用同角三角函数基本关系式可求 sinC，进而利用三角形的面积公式即可解得 a 的值 【解答】解：3acosC4csinA， 由正弦定理可得 3sinAcosC4sinCsinA， sinA0， 3cosC4sinC，即 cosCsinC， sin2C+cos2Csin2C+sin2Csin2C1，解得：sinC， b4，ABC 的面积 S10absinCa4， 解得 a 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合 应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 11 （5
19、 分）关于函数 f（x）cos2x2sinxcosx，下列命题正确的个数是（ ） 若存在 x1，x2有 x1x2 时，f（x1）f（x2）成立； f（x）在区间，上是单调递增； 函数 f（x）的图象关于点（，0）成中心对称图象； 将函数 f（x）的图象向左平移个单位后将与 y2sin2x 的图象重合 A1 B2 C3 D4 【分析】将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质依次判断命题的对错即可得到答案 【解答】解：由 f（x）cos2x2sinxcosx， f（x）cos2xsin2x f（x）2sin（2x） f（x）的周期 T，则有 f（x1）f（+x1） ， 当 x1x2 时，f（x1）
20、f（x2）成立故对 由 sinx 函数的图象和性质，可得：f（x）的单调递增区间为k， （kZ） ， 区间，k，kZ，故不对 函数 f（x）的图象的中心对称为（，0） ， （kZ） ，经考查（，0）不是对称中心故不对 由 f（x）2sin（2x）向左平移个单位后得到：2sin2（x+）+化简得：2sin2x，与 y2sin2x 的图象不重合故不对 综上所述：对，不对 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的化简能力和计算能力，以及三角函数的图象和性质的运用能力综合性 比较强，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）+mlnx 有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A （e，+） B
21、（，+） C （0，e） D （0，） 【分析】函数 f（x）+mlnx 的定义域为（0，+） ，利用导数研究其单调性，可得其最小值，由最小 值小于 0，构造关于 m 的函数，再由导数求 m 的取值范围 【解答】解：函数 f（x）+mlnx 的定义域为（0，+） ， f（x）， 函数 f（x）+mlnx 有两个零点，m0 由 f（x）0，解得 x， 则当 x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增 当 x时，f（x）有极小值也是最小值为 f（）m+mlnmmlnm 则 mmlnm0 令 g（m）mmlnm，g（m）1lnm1lnm， 则 m（0
22、，1）时，g（m）0，当 m（1，+）时，g（m）0， g（m）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减 而 g（1）1，当 m0+时，g（m）0，g（e）0， 当 m（e，+）时，g（m）0 实数 m 的取值范围是（e，+） 故选：A 【点评】 本题考查函数零点与方程根的关系， 考查利用导数研究函数的单调性， 训练了利用导数求最值， 是中档题 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡上分，请将答案填在答题卡上. 13 （5 分）天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概 率
23、，用骰子点数来产生随机数依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现 1 点和 2 点代表下雨；投 三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组得到的 10 组随机数如下：613，265，114，236，561， 435，443，251，154，353则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是 ；三天中有两 天下雨的概率的近似值为 【分析】 先找出 10 组数据中有几组表示 3 天中有 2 天下雨， 再利用古典概型的概率公式即可求出结果 【解答】解：每个骰子有 6 个点数，出现 1 或 2 为下雨天，则每天下雨的概率为， 10 组数据中，114，251，表示 3 天中有 2 天下雨， 从得到的
24、10组随机数来看， 3天中有2 天下雨的有2组， 则3天中有2天下雨的概率近似值为：， 故答案为： 【点评】本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题 14 （5 分）设函数 f（x），若函数 f（x）在（a，a+1）递增，则 a 的取值范围是 （ ，14，+） 【分析】求出分段函数各段的单调性，再由条件可得 a+12 或 a4，解出即可 【解答】解：当 x4 时，yx2+4x（x2）2+4，则在（，2上递增， （2，4上递减； 当 x4 时，ylog2x 在（4，+）上递增 由于函数 f（x）在（a，a+1）递增， 则 a+12 或 a4，解得 a4 或 a1， 故答案为： （，14，
25、+） 【点评】本题考查分段函数的单调性及运用，注意各段的单调性，考查运算能力，属于基础题 15 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点是抛物线 C 上一点， 以点 M 为圆 心为半径的圆与直线交于 E，G 两点，若，则抛物线 C 的方程是 y24x 【分析】根据题意，利用勾股定理求得 M 点坐标，代入抛物线方程，即可求得 p，求得抛物线方程 【解答】解：由题意可知，过 M 作 MN交于点 N， 由题意可知：|MN|2|ME|2|NE|2，所以|MN|1， 则 M（1+，2） ，代入抛物线 y22px，即 82p（1+） ， 整理得 p2+2p80，解得 p2， 所以抛物线
26、得方程为 y24x， 故答案为 y24x 【点评】本题考查抛物线得标准方程，考查垂径定理得应用，考查计算能力，属于基础题 16 （5 分） 已知点 A， B， C， D 在同一个球的球面上， 若四面体 ABCD 的体积为， 球心 O 恰好在棱 DA 上，则这个球的表面积为 16 【分析】 确定ABC 外接圆直径为 AC， 由四面体 ABCD 中球心 O 恰好在侧棱 DA 上， V ，可得 D 到面 ABC 的距离为 2， 即可得球半径 RAO即可 【解答】解：点 A，B，C，D 在同一个球的球面上，ABBC，AC2， AB2+BC2AC2，ABBC，ABC 外接圆直径为 AC， 圆心 O1是
27、AC 中点， 四面体 ABCD 中球心 O 恰好在侧棱 DA 上， 四面体 ABCD 的体积为，V， h2， 即 D 到面 ABC 的距离为 2，球心 O 到面 ABC 的距离为 球半径 RAO， 这个球的表面积 S4R242216 故答案为：16 【点评】本题考查球的表面积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力， 数形结合思想，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）数列an中，a1，（nN*） ，数列bn满足 bn2nan（n
28、N*） （1）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式； （2）设 cnlog2，求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）由等差数列的定义和通项公式可得所求； （2）由数列的裂项相消求和，计算可得所求和 【解答】解： （1）证明：a1，（nN*） ， 即有 2nan2n+1an+11，即 bn+1bn1， 可得数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列，可得 bnn，an， （2）cnlog2n，2（） ， 可得前 n 项和 Tn2（1+）2（1） 【点评】 本题考查等差数列的定义和通项公式， 考查数列的裂项相消求和， 化简运算能力， 属于基础题 18 （12 分）如图，在三棱锥 P
29、ABC 中，PAC 为正三角形，M 为棱 PA 的中点，ABAC，ACBC， 平面 PAB平面 PAC （1）求证：AB平面 PAC； （2）若 AC2，求三棱锥 PBMC 的体积 【分析】 （1）由已知证明 CMAB，结合 ABAC，利用线面垂直的判定可得 AB平面 PAC； （2）由已知求得 AB，再由等积法求三棱锥 PBMC 的体积 【解答】 （1）证明：在正三角形 PAC 中，M 为棱 PA 的中点，CMPA， 平面 PAB平面 PAC，平面 PAB平面 PACPA，CM平面 PAC， CM平面 PAB，得 CMAB， 又 ABAC，ACCMC，AB平面 PAC； （2）解：在 RtB
30、AC 中，AC2，ACBC， BC4，则 AB ， 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体 的体积，是中档题 19 （12 分）近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为 必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制” ，即原始分数不直接用，而是按照学生分数 在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定 A 省规定：选考科目按考生成绩从高到 低排列，按照占总体 15%、35%、35%、15%分别赋分 70 分、60 分、50 分、40 分，为了让学生们体验 “赋分制”计算成绩的方法
31、，A 省某高中高一（1）班（共 40 人）举行了以此摸底考试（选考科目全考， 单料全班排名） ，知这次摸底考试中的物理成绩（满分 100 分）频率分布直方图，化学成绩（满分 100 分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理 82 分，化学 70 多分 （1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分； （2）若小明的化学成绩最后得分为 60 分，求小明的原始成绩的可能值； （3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科 目包括化学的概率 【分析】 （1）由频率分布直方图能求出小明的物理成绩的最后得分 （2）40 名学生中，赋分 70 分的有 6 人
32、，这六人成绩分别为 89，91，92，93，93，96，赋分 60 分的有 4035%14 人，其中包含 80 多分的共有 10 人，70 多分的有 4 人，分数分别为 76，77，78，79，小明 的化学成绩最后得分为 60 分，且小明化学 70 多分，由此能求出小明的原始成绩的可能值 （3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为 A，a，b，c，d，e，利用列举法能求出小明选物 理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率 【解答】解： （1）0.1， 100.0050.05， 此次考试物理落在（80，90， （90，100内的频率依次为 0.1，0.05，概率之和为 0.1
33、5， 小明的物理成绩为 82 分，大于 80 分， 小明的物理成绩的最后得分为 70 分 （2）40 名学生中，赋分 70 分的有 415%6 人， 这六人成绩分别为 89，91，92，93，93，96， 赋分 60 分的有 4035%14 人，其中包含 80 多分的共有 10 人， 70 多分的有 4 人，分数分别为 76，77，78，79， 小明的化学成绩最后得分为 60 分，且小明化学 70 多分， 小明的原始成绩的可能值为 76，77，78，79 （3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为 A，a，b，c，d，e， 小明的所有可能选法有 10 种，分别为： （A，a，b） ， （
34、A，a，c） ， （A，a，d） ， （A，a，e） ， （A，b，c） ， （A，b，d） ， （A，b，e） ， （A，c，d） ， （A，c，e） ， （A，d，e） ， 其中包含化学的有： （A，a，b） ， （A，a，c） ， （A，a，d） ， （A，a，e） ，共 4 种， 若小明选物理，其他两科在剩下的五科中任选， 所选科目包括化学的概率 p 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 20 （12 分）已知 F1（2，0） ，F2（2，0）是椭圆的两个焦点，M 是椭圆 C 上 一点，当 MF1F1F2时，有|MF2|3|MF1| （
35、1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 设过椭圆右焦点 F2的动直线 l 与椭圆交于 A， B 两点， 试问在 x 铀上是否存在与 F2不重合的定点 T， 使得ATF2BTF2恒成立？若存在，求出定点 T 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】本题第（1）题由题意，c2故 a2b2+4然后设点 M 坐标为（2，yM） ，代入椭圆方程， 联立椭圆定义|MF2|+|MF1|2a，进一步计算可得椭圆 C 的标准方程；第（2）题假设存在与 F2不重合的 定点 T，使得ATF2BTF2恒成立，则 kTA+kTB0，设出 A、B、T 点坐标代入 kTA+kTB0 计算，可 得 xT然后设直线 l：xmy+2
36、联立直线与椭圆方程，消去 x 整理可得一元二次方程， 根据韦达定理有 y1+y2，y1y2然后代入 xT进行计算可判断是否是定 值，即可得到结论 【解答】解： （1）由题意，c2故 a2b2+4 可设点 M 坐标为（2，yM） ，则 +1，解得|yM|，即|MF1| 2a|MF2|+|MF1|4|MF1|4，解得 a24b2 a28，b24 椭圆 C 的标准方程为+1 （2）由题意，假设存在与 F2不重合的定点 T，使得ATF2BTF2恒成立， 设 T（xT，0） ，且 xT2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 kTA，kTB ATF2BTF2， kTA+kTB0，即+0 整理，得
37、xT 设直线 l：xmy+2 联立， 消去 x，整理得（m2+2）y2+4my40 y1+y2，y1y2 x1y2+x2y1（my1+2）y2+（my2+2）y1 2my1y2+2（y1+y2） xT 2m+22m+2 2m+24 存在与 F2不重合的定点 T，使得ATF2BTF2恒成立，且点 T 坐标为（4，0） 【点评】本题主要考查椭圆的基础知识，及直线与椭圆的综合问题，考查了方程思想和转化思想，设而 不求法的应用，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ex 1a（x1）+lnx（aR，e 是自然对数的底数） （）设 g（x）f（x） （其中 f（x）
38、是 f（x）的导数） ，求 g（x）的极小值； （）若对 x1，+） ，都有 f（x）1 成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极小值即可； （）通过讨论 a 的范围，求出导函数的单调性，从而判断函数的单调性，确定 a 的范围即可 【解答】解： （）， 令， g（x）在（0，+）上为增函数，g（1）0 当 x（0，1）时，g（x）0；当 x（1，+）时，g（x）0， g（x）的单调递减区间为（0，1） ，单调递增区间为（1，+） ， g（x）极小g（1）2a（5 分） （）由（）知，f（x）在（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减， f（x
39、）f（1）2a 当 a2 时，f（x）0，f（x）在1，+）上单调递增，f（x）f（1）1，满足条件； 当 a2 时，f（1）2a0 又，x0（1，lna+1） ，使得 f（x0）0， 此时，x（1，x0） ，f（x）0；x（x0，lna+1） ，f（x）0， f（x）在（1，x0）上单调递减，x（1，x0） ，都有 f（x）f（1）1，不符合题意 综上所述，实数 a 的取值范围为（，2（12 分） 【点评】 本题考查了函数的单调性问题， 考查导数的应用以及分类讨论思想， 转化思想， 是一道综合题 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，按
40、所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin （）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （）已知曲线 C3的极坐标方程为 ，0，R，点 A 是曲线 C3与 C1的交点，点 B 是曲线 C3与 C2的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|4，求实数 的值 【分析】 （）由曲线 C1的参数方程消去参数能求出曲线 C1的普通方程；曲线 C2的极坐标方程化为 2 4sin，由此能求出 C2的直角坐
41、标方程 （）曲线 C1化为极坐标方程为 4cos，设 A（1，1） ，B（2，2） ，从而得到|AB|12|4sin 4cos|4|sin（）|4，进而 sin（）1，由此能求出结果 【解答】解： （）由曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 消去参数得曲线 C1的普通方程为（x2）2+y24 曲线 C2的极坐标方程为 4sin， 24sin， C2的直角坐标方程为 x2+y24y，整理，得 x2+（y2）24 （）曲线 C1： （x2）2+y24 化为极坐标方程为 4cos， 设 A（1，1） ，B（2，2） ， 曲线 C3的极坐标方程为 ，0，R，点 A 是曲线 C3与 C1的交点， 点
42、B 是曲线 C3与 C2的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|4， |AB|12|4sin4cos|4|sin（）|4， sin（）1， 0， ，解得 【点评】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐 标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想， 是中档题 23已知 f（x）|2x+2|+|x1|的最小值为 t （1）求 t 的值； （2）若实数 a，b 满足 2a2+2b2t，求的最小值 【分析】 （1）将 f（x）去绝对值后写为分段函数的形式，然后判断 f（x）的单调性，根据单调性确定 f （x）的最小值，从而得到 t 的值； （2）由（1）可得 t2，则 a2+b21，根据，展开后利用基本不等式可 得的最小值 【解答】解（1）f（x）|2x+2|+|x1|， f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， f（x）minf（1）2，t2； （2）由（1）可知 2a2+2b22，则 a2+b21， ， 当且仅当，即 a2，b2时取等号， 故的最小值为 9 【点评】本题考查了求绝对值不等式的最小值和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力， 属中档题
