1、2019-2020 学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 13 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1 （5 分）设集合 Ax|x2x60，Bx|x10，则 AB 的值是（ ） A （，1） B （2，1） C （3，1） D （3，+） 2 （5 分）若复数 z 满足 z（1+i）2i，则 的值是（ ） A1i B1+i C1i D1+i 3 （5 分）若方程|lnx|m 有
2、两个不等的实根 x1和 x2，则 x12+x22的取值范围是（ ） A （1，+） B C （2，+） D （0，1） 4 （5 分）随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车 的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如表： 记录时间 累计里程 （单位：公里） 平均耗电量（单位：kW h/公里） 剩余续航里程 （单位：公里） 2020 年 1 月 1 日 5000 0.125 380 2020 年 1 月 2 日 5100 0.126 246 （注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量， ） 下面对
3、该车在两次记录时间段内行驶 100 公里的耗电量估计正确的是（ ） A等于 12.5 B12.5 到 12.6 之间 C等于 12.6 D大于 12.6 5 （5 分）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合， 则的最小值是（ ） A B C D 6 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半， 竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出 的 n（ ） A5 B4 C3 D2 7 （5 分）函数在的图象大致为（ ） A B C D 8（5 分） 在ABC 中， tan A， AB2， A
4、C4， D 是线段 BC 上一点， 且 DB4DC， 则是 （ ） A8 B8 C D 9在ABC 中，BAC120，AB2，AC4，D 是边 BC 上一点，DB2DC，则是（ ） A8 B8 C D 10 （5 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 a1+a210，S1498，则（ ） Aann+11 Ban2n+22 CSnn27n DSn+14n 11 （5 分）设 P 是双曲线上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且 F1PF290，F1PF2的面积是 7，则 a+b 是（ ） A B C10 D16 12 （5 分）如图，在直角梯形 SABC 中，ABCBCS90，过点
5、 A 作 ADSC 交 SC 于点 D，以 AD 为折痕把SAD 折起，当几何体 SABCD 的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是（ ） ACSB AB平面 SCD SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 A4 B3 C2 D1 13 （5 分）已知 f（x）x（exe x） ，若不等式 f（ax1）f（x2）在 x3，4上有解，则实数 a 的取 值范围是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 14 （5 分）已知曲线
6、 yxlnx 在点（x0，y0）处的切线与直线 x+2y+10 垂直，则 x0 15 （5 分）若展开式中 x2的系数为 30，则 a 16 （5 分）已知 F 是抛物线 C：y212x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若， 则|FN| 17 （5 分）已知数列an满足 a1+3a2+（2n1）an2n，数列bn的前 n 项和 Snn2+2n，则数列 的前 n 项和 Tn 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18 （12 分）在ABC 中，角
7、A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinBcosA（2sinCsinA）cosB （1）求 B； （2）若 b5，且 AC 边上的中线长为 3，求ABC 的面积 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，2ABAD，侧面 PAD 为等边三角形且垂 直于底面 ABCD，E 是 PD 的中点 （1）在棱 BC 上取一点 F 使直线 EF平面 PAB 并证明； （2）在（1）的条件下，当 PF 上存在一点 M，使得直线 CM 与底面 ABCD 所成角为 45o时，求二面角 MCDA 的余弦值 20 （12 分）已知椭圆的两个焦点分别是 F1，F2，离心率，P
8、为椭圆上任 意一点，且F1PF2的面积最大值为 （1）求椭圆 C 的方程 （2）过焦点 F1的直线 l 与圆 O：x2+y21 相切于点 Q，交椭圆 G 于 A，B 两点，证明：|AQ|BF1| 21 （12 分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成 绩评定“合格” 、 “不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化： “合格”记 5 分， “不合格”记 0 分现 随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示： 等级 不合格 合格 得分 20，40） 40，60） 60， 80） 80， 100 频数 6 a 24 b （）求 a，b
9、，c 的值； （）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行座谈现再 从这 10 人这任选 4 人，记所选 4 人的量化总分为 ，求 的分布列及数学期望 E（） ； （） 某评估机构以指标 M （M， 其中 D （） 表示 的方差） 来评估该校安全教育活动的成效 若 M0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案在（）的条件下， 判断该校是否应调整安全教育方案？ 22 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）设 g（x）exsinx，若 h（x）g（x） （f（x）2x）且 yh（x）有两个零点，求 a 的取
10、值范围 请考生在第请考生在第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计如果多做，则按所做的第一个题目计 分分.满分满分 10 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin （）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （）已知曲线 C3的极坐标方程为 ，0，R，点 A 是曲线 C3与 C1的交点，点 B 是曲线
11、C3与 C2的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|4，求实数 的值 24已知 f（x）|2x+2|+|x1|的最小值为 t （1）求 t 的值； （2）若实数 a，b 满足 2a2+2b2t，求的最小值 2019-2020 学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 13 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1 （5 分）设集合 Ax|x
12、2x60，Bx|x10，则 AB 的值是（ ） A （，1） B （2，1） C （3，1） D （3，+） 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x2x60 x|2x3， Bx|x10 x|x1， ABx|2x1（2，1） 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2 （5 分）若复数 z 满足 z（1+i）2i，则 的值是（ ） A1i B1+i C1i D1+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 z（1+i）2i，得 z， 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除
13、运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）若方程|lnx|m 有两个不等的实根 x1和 x2，则 x12+x22的取值范围是（ ） A （1，+） B C （2，+） D （0，1） 【分析】利用 y|lnx|的单调性判断 x1，x2的范围，根据对数的运算性质得出 x1x21，再利用基本不等 式即可得出答案 【解答】解：令 f（x）|lnx|， f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，且 f（1）0， 方程|lnx|m 有两个不等的实根 x1和 x2，不妨设 x1x2，则 0 x11x2， 且lnx1lnx2m， lnx1+lnx2lnx1x20， x1x21， x12
14、+x22（x1+x2）22x1x2（x1+）22422， 故选：C 【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，对数的运算性质和基本不等式的应用，属于中档题 4 （5 分）随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车 的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如表： 记录时间 累计里程 （单位：公里） 平均耗电量（单位：kW h/公里） 剩余续航里程 （单位：公里） 2020 年 1 月 1 日 5000 0.125 380 2020 年 1 月 2 日 5100 0.126 246 （注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出
15、厂开始累计消耗的电量， ） 下面对该车在两次记录时间段内行驶 100 公里的耗电量估计正确的是（ ） A等于 12.5 B12.5 到 12.6 之间 C等于 12.6 D大于 12.6 【分析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解 【解答】解：由题意可得：51000.12650000.125642.662517.6， 所以对该车在两次记录时间段内行驶 100 公里的耗电量估计为 17.6， 故选：D 【点评】本题主要考查了函数模型的应用，是基础题 5 （5 分）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合， 则的最小值是（ ） A B C D 【分析】直接利用函数的关系式的平移变换的应用和函
16、数的关系式的应用求出结果 【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合 整理得 x+（kZ） ，整理得2k（kZ） ， 当 k1 时，解得 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换和关系式的应用，主要考查学生的运算能力 和转换能力及思维能力，属于基础题型 6 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半， 竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出 的 n（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n
17、的值，模拟程序的 运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当 n1 时，a，b4，满足进行循环的条件， 当 n2 时，a，b8 满足进行循环的条件， 当 n3 时，a，b16 满足进行循环的条件， 当 n4 时，a，b32 不满足进行循环的条件， 故输出的 n 值为 4， 故选：B 【点评】 本题考查的知识点是程序框图， 当循环的次数不多， 或有规律时， 常采用模拟循环的方法解答 7 （5 分）函数在的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性可排除 BD，再由函数的零点与的距离即可得出正确选项 【解答】解：， 故 f（x）在定义域上为奇函数，其图象关于原点
18、对称，故排除 BD； 且 f（1）0，而，则，故排除 A； 故选：C 【点评】本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题 8（5 分） 在ABC 中， tan A， AB2， AC4， D 是线段 BC 上一点， 且 DB4DC， 则是 （ ） A8 B8 C D 【分析】可画出图形，根据 DB4DC 即可得出，进而得出，而根据 tanA 即可求出，然后根据进行数量积的运算即可 【解答】解：如图， DB4DC， ， ， ，且 cosA0， 解得，且 AB2，AC4， 故选：D 【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，弦化切公式和 sin2x+co
19、s2x1 的运用，考查了计算能力，属于基础题 9在ABC 中，BAC120，AB2，AC4，D 是边 BC 上一点，DB2DC，则是（ ） A8 B8 C D 【分析】根据题意，由平面向量基本定理可得+和，进而由数量积的计 算公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，在ABC 中，BAC120，AB2，AC4，则24cos120 4； 又由 D 是边 BC 上一点，DB2DC，则+， 又由， 则（+） （） 2 2 ； 故选：C 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及平面向量基本定理，属于基础题 10 （5 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 a1+a210，S1498，则（ ） Aa
20、nn+11 Ban2n+22 CSnn27n DSn+14n 【分析】结合等差数列的通项公式及求和公式可求公差 d 及首项，然后结合等差数列的通项公式即可求 解 【解答】解：a1+a210，S1498， 所以， 解可得，d2，a120， 故 an202（n1）222n 21nn2 故选：B 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 11 （5 分）设 P 是双曲线上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且 F1PF290，F1PF2的面积是 7，则 a+b 是（ ） A B C10 D16 【分析】根据双曲线的离心率是，且F1PF290，若F1PF2的面积
21、为 7，结合双曲线的定义，构 建方程组，即可求得几何量，从而求出 a+b 的值 【解答】解：由题意，不妨设点 P 是右支上的一点，|PF1|m，|PF2|n，则 ， a3，c4 b a+b3+ 故选：A 【点评】本题以双曲线的性质为载体，考查双曲线的标准方程，解题的关键是利用焦点三角形，利用双 曲线的定义构建方程组 12 （5 分）如图，在直角梯形 SABC 中，ABCBCS90，过点 A 作 ADSC 交 SC 于点 D，以 AD 为折痕把SAD 折起，当几何体 SABCD 的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是（ ） ACSB AB平面 SCD SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC
22、与平面 SBD 所成的角 AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 A4 B3 C2 D1 【分析】当几何体 SABCD 的的体积最大时，平面 SAD平面 ABCD由已知 ADSD，ADCD，四 边形 ABCD 为矩形可得 SD底面 ABCD利用矩形的性质、异面直线所成的角、线面平行的判定定理 等基础知识即可判断出正误 【解答】解：当几何体 SABCD 的的体积最大时，平面 SAD平面 ABCD 由已知 ADSD，ADCD，四边形 ABCD 为矩形可得 SD底面 ABCD 由上述可得：由四边形 ABCD 为矩形，可得 AC 与 BD 不一定垂直，因此不正确 ABCD，AB平面 S
23、CD，CD平面 SCD，AB平面 SCD，正确； 由四边形 ABCD 为矩形可得：SA 与平面 SBD 所成的角与 SC 与平面 SBD 所成的角不一定相等，因此 不正确 ABCD，AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角，正确 综上可得：正确的有 故选：C 【点评】本题考查了正方形的性质、异面直线所成的角、线面平行的判定定理、面面垂直的判定性质定 理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 13 （5 分）已知 f（x）x（exe x） ，若不等式 f（ax1）f（x2）在 x3，4上有解，则实数 a 的取 值范围是（ ） A B C D 【分析】先判断函数为
24、偶函数，再判断函数的单调性，得到|ax1|x2|x2，在 x3，4上有解， 参数分离，求出 a 的范围 【解答】解：由 f（x）x（e xex）x（exex）f（x） ，定义域为 R， 所以 f（x）为偶函数， x0 时，f（x）exe x+x（ex+ex）0，f（x）在（0，+）递增， 不等式 f（ax1）f（x2）在 x3，4上有解， |ax1|x2|x2，在 x3，4上有解， 即 ax1x2 或者 ax1（x2） ， a1或者 a1+， x3，4上有解， 所以 a或者 a0， 故选：A 【点评】考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，考查绝对值不等式的解法，中档题 二、填空题（本大题共二、
25、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 14 （5 分）已知曲线 yxlnx 在点（x0，y0）处的切线与直线 x+2y+10 垂直，则 x0 e 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在切点处的导数值，结合题意列式得答案 【解答】解：由 yxlnx，得 ylnx+1， ， 由曲线 yxlnx 在点（x0，y0）处的切线与直线 x+2y+10 垂直， 得 lnx0+12，即 x0e 故答案为：e 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题 15 （5 分）若展开式中 x2的系数为 30，则 a 1 【分析】把（1+x）6按照二项式定理
26、展开，可得展开式中 x2的系数，再根据 展开式中 x2的系数为 30，求得 a 的值 【解答】解：若（a+） （1+6x+15x2+20 x3+15x4+6x5+x6） 的展开式中 x2的系数 为 15a+15a30， 则 a1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题 16 （5 分）已知 F 是抛物线 C：y212x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若， 则|FN| 6 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可 【解答】 解： 抛物线 C： y212x 的焦点 F （3， 0） ， M 是 C 上一点，
27、 FM 的延长线交 y 轴于点 N， 若 M 为 FN 的一个三等分点， 可知 M 的横坐标为：1，则 FM4， 则， 则|FN|4+26， 故答案为：6 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力 17 （5 分）已知数列an满足 a1+3a2+（2n1）an2n，数列bn的前 n 项和 Snn2+2n，则数列 的前 n 项和 Tn 【分析】运用数列的递推式可得 an，bn，再由数列的裂项相消求和，可得所求和 【解答】 解： 前 n 项和 Snn2+2n， 可得 b1S13， n2 时 bnSnSn12n+1， 则 bn2n+1 （nN*） ； a1+3a2+（2n1）an2n，可
28、得 a12；n2 时，a1+3a2+（2n3）an12n2， 又 a1+3a2+（2n1）an2n，相减可得（2n1）an2，即有 an，对 n1 也成立， 则， 可得 Tn1+1 故答案为： 【点评】本题考查数列的递推式的运用，数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinBcosA（2sinCsinA）cosB （1）求 B； （2）若 b5，且 A
29、C 边上的中线长为 3，求ABC 的面积 【分析】 （1） 利用两角和的正弦函数公式， 三角形内角和定理， 诱导公式化简已知等式， 结合 sinC0 可 得 cosB，结合范围 B（0，） ，可求 B 的值 （2）由题意可得|b5，由 AC 边上的中线长为 3，得|+|6，利用平面向量数量 积的运算可求解得，可求|的值，进而根据三角形的面积公式即可求解 【解答】解： （1）sinBcosA（2sinCsinA）cosB， sinBcosA+sinAcosB2sinCcosB，可得 sin（A+B）sinC2sinCcosB， sinC0 cosB， B（0，） ， B （2）由 b5，得|b5
30、， 又由 AC 边上的中线长为 3，得|+|6，； 由组成方程组，解得， |， ABC 的面积为 S|sin 【点评】本题考查了正弦定理，平面向量的运算，考查了解三角形和平面向量的数量积运算问题，考查 了计算能力和转化思想，是综合性题目 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，2ABAD，侧面 PAD 为等边三角形且垂 直于底面 ABCD，E 是 PD 的中点 （1）在棱 BC 上取一点 F 使直线 EF平面 PAB 并证明； （2）在（1）的条件下，当 PF 上存在一点 M，使得直线 CM 与底面 ABCD 所成角为 45o时，求二面角 MCDA 的余弦值
31、【分析】 （1）取 BC 中点 F，连结 EF，取 AD 中点 G，连结 GF、EG，推导出 EGPA，GFAB，从而 平面 PAB平面 EGF，由此能证明直线 EF平面 PAB （2）PG、GF、GD 两两垂直，以 G 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 MCD A 的余弦值 【解答】解： （1）取 BC 中点 F，连结 EF，则直线 EF平面 PAB 证明如下： 取 AD 中点 G，连结 GF、EG， E 是 PD 的中点，EGPA，GFAB， EGGFG，PAABA， 平面 PAB平面 EGF， EF平面 EGF，直线 EF平面 PAB （2）在四棱锥 PABCD 中，底
32、面 ABCD 为矩形，2ABAD， 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PD 的中点， PG、GF、GD 两两垂直，以 G 为原点，建立空间直角坐标系，如图， 设 2ABAD2，则 P（0，0，） ，F（1，0，0） ，C（1，1，0） ，D（0，1，0） ，A（0，1，0） ， 设 M（a，b，c） ，01，则（a，b，c）（，0，） ， a，b0，c，M（） ， 平面 ABCD 的法向量 （0，0，1） ，（1，1，） ， 直线 CM 与底面 ABCD 所成角为 45o时， sin45， 由 0，1，解得M（1，0，） ， （1，0，0） ，（，1，） ， 设平面 C
33、DM 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （0，1） ， 设二面角 MCDA 的平面角为 ， 则 cos 二面角 MCDA 的余弦值为 【点评】本题考查满足线面 平等的点的位置的判断与证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆的两个焦点分别是 F1，F2，离心率，P 为椭圆上任 意一点，且F1PF2的面积最大值为 （1）求椭圆 C 的方程 （2）过焦点 F1的直线 l 与圆 O：x2+y21 相切于点 Q，交椭圆 G 于 A，B 两点，证明：|AQ|BF1| 【分析】 （1）根据椭圆的离
34、心率及面积最大值即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （2）根据题意求得直线 l 的方程，分类讨论，代入椭圆椭圆方程，利用中点坐标公式即可求得 AB 及 BF1 的中点，即可判断得线段 AB，F1Q 中点重合，即可证明：|AQ|BF1| 【解答】解： （1）由椭圆性质知，e， 2cb， 解得 a2，c，b1， 所以椭圆 C 的方程为； （2）证明：由（1）可得 l 的斜率存在，故 l 的方程可设为 因为直线 l 与圆 x2+y21 相切， 所以圆心（0，0）到 l：的距离，解得k， 当 k时，直线 l 的方程为， 联立方程组，整理得，显然，0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）
35、，则 x1+x2所以， 设 Q（x0，y0） ，由可得，又， 所以由此可得线段 AB，F1Q 中点重合，故：|AQ|BF1| 同理当时也有|AQ|BF1| 综上可得：|AQ|BF1| 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考 查计算能力，属于中档题 21 （12 分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成 绩评定“合格” 、 “不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化： “合格”记 5 分， “不合格”记 0 分现 随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示： 等级 不合格 合格
36、得分 20，40） 40，60） 60， 80） 80， 100 频数 6 a 24 b （）求 a，b，c 的值； （）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行座谈现再 从这 10 人这任选 4 人，记所选 4 人的量化总分为 ，求 的分布列及数学期望 E（） ； （） 某评估机构以指标 M （M， 其中 D （） 表示 的方差） 来评估该校安全教育活动的成效 若 M0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案在（）的条件下， 判断该校是否应调整安全教育方案？ 【分析】 （I）利用频率分布直方图的性质即可得出 （II）从评定
37、等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行座谈，其中“不合格”的学生数 104，则“合格”的学生数6由题意可得 0，5，10，15，20利用“超几何分布列”的 计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望 （III）利用 D 计算公式即可得出，可得 M，即可得出结论 【解答】解： （I）样本容量60b60（0.0120）12， a606122418组距为 20， 在频率分布直方图中，各个长方形的面积的和等于 1 20（0.005+0.01+c+0.02）1 解得 c0.015 （II）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行座谈，其中“不合格”的学生数 1
38、04，则“合格”的学生数1046 由题意可得 0，5，10，15，20 则 P （0） ， P （5） ， P （10） ， P （15） ，P（20）， 的分布列为： 0 5 10 15 20 P E0+5+10+15+2012 （III）D（012）2+（1012）2+（1512）2+（2012）2 16 M0.750.7，则认定教育活动是有效的；在（）的条件下，判断该校不用调整安全 教育方案 【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）设 g（x）ex
39、sinx，若 h（x）g（x） （f（x）2x）且 yh（x）有两个零点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对 a 进行分类讨论，结合二次函数的性质即可 求解； （2）结合题意分析可知，原问题可转化为 F（x）在 x0 时有两个零点，结合导数与单调性 关系及零点判定定理可求 【解答】解： （1）f（x）2+，x0，a28， 当a280 即2时，f（x）0 恒成立，故 f（x）在（0，+）上单调递增， 当a280 时，即 a2或 a2时，方程 2x2ax+10 的两根分布为 x1， x2， （i）当 a2时，x10，x20， 结合二次函数的性质可知，x（0
40、，）时，f（x）0，函数单调递增， x（ ，）时，f（x）0，函数单调递减， 当 x（，+）时，f（x）0，函数单调递增， （ii）a2时，x10，x20， 结合二次函数的性质可知，x（ 0，+）时，f（x）0，函数单调递增， （2）因为 g（x）exsinx，则 g（x）excosx， 当 x0 时，ex1，cosx1，则 g（x）excosx0，即 g（x）在（0，+）上单调递增且 g（0） 10， 故 g（x）在（0，+）上没有零点， 因为 h（x）g（x） （f（x）2x）g（x） （）有两个零点， 所以 F（x）在 x0 时有两个零点， F（x），x0， 当 a0 时，F（x）0，故
41、 F（x）在（0，+）上单调递减，最多 1 个零点，不合题意； 当 a0 时，易得，函数 F（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增， 又 x0 时，F（x），x+时，F（x）+， 故 F（）aalna0， 解可得，ae 综上可得，a 的范围（e，+） 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及零点，体现了转化思想及分类讨论思想的应用 请考生在第请考生在第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计如果多做，则按所做的第一个题目计 分分.满分满分 10 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方
42、程：坐标系与参数方程 23 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin （）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （）已知曲线 C3的极坐标方程为 ，0，R，点 A 是曲线 C3与 C1的交点，点 B 是曲线 C3与 C2的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|4，求实数 的值 【分析】 （）由曲线 C1的参数方程消去参数能求出曲线 C1的普通方程；曲线 C2的极坐标方程化为 2 4sin，由此能求出 C2的直角坐标方程 （）曲线 C1化为极坐标方程为 4
43、cos，设 A（1，1） ，B（2，2） ，从而得到|AB|12|4sin 4cos|4|sin（）|4，进而 sin（）1，由此能求出结果 【解答】解： （）由曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 消去参数得曲线 C1的普通方程为（x2）2+y24 曲线 C2的极坐标方程为 4sin， 24sin， C2的直角坐标方程为 x2+y24y，整理，得 x2+（y2）24 （）曲线 C1： （x2）2+y24 化为极坐标方程为 4cos， 设 A（1，1） ，B（2，2） ， 曲线 C3的极坐标方程为 ，0，R，点 A 是曲线 C3与 C1的交点， 点 B 是曲线 C3与 C2的交点，且 A，B
44、 均异于原点 O，且|AB|4， |AB|12|4sin4cos|4|sin（）|4， sin（）1， 0， ，解得 【点评】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐 标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想， 是中档题 24已知 f（x）|2x+2|+|x1|的最小值为 t （1）求 t 的值； （2）若实数 a，b 满足 2a2+2b2t，求的最小值 【分析】 （1）将 f（x）去绝对值后写为分段函数的形式，然后判断 f（x）的单调性，根据单调性确定 f （x）的最小值，从而得到 t 的值； （2）由（1）可得 t2，则 a2+b21，根据，展开后利用基本不等式可 得的最小值 【解答】解（1）f（x）|2x+2|+|x1|， f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， f（x）minf（1）2，t2； （2）由（1）可知 2a2+2b22，则 a2+b21， ， 当且仅当，即 a2，b2时取等号， 故的最小值为 9 【点评】本题考查了求绝对值不等式的最小值和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力， 属中档题
