1、2019-2020 学年山西省学年山西省太原市迎泽区太原市迎泽区高三（上）高三（上）11 月段考数学试卷（理科）月段考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项）分，每小题有且只有一个正确选项） 1 （5 分）已知集合 Ax|ylog2（x），By|y（）x，x0，则 AB（ ） A （1，+） B （0，） C ， （，+） D （，1） 2 （5 分）已知 是 z 的共轭复数，且|z| 1+3i，则 z 的模是（ ） A3 B4 C5 D 3 （5 分） 若 a， b， 2 （a， b0
2、） 可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 则 （a+1） （b+1） 的值为（ ） A10 B9 C8 D7 4 （5 分）函数 f（x）ln（x）+2，则 f（log23）+f（log3）（ ） A0 B2log23 C4 D1 5 （5 分）已知 alog85，blog2，c，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Cbca Dcab 6 （5 分）已知曲线 ysin（2x+）向左平移 （0）个单位，得到的曲线 yg（x）经过点（， 1） ，则（ ） A函数 yg（ x ） 的最小正周期 T B函数 yg（ x ） 在，上单调递增 C曲线 yg（ x ） 关
3、于直线 x对称 D曲线 yg（ x ） 关于点（ ，0）对称 7 （5 分）函数 y|x1|+|x2|+|x3|的最小值为（ ） A1 B2 C3 D6 8 （5 分）函数 f（x）x3ex的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）已知正数 a、b 满足+1，则+的最小值是（ ） A6 B12 C24 D36 10（5分） 平面 过棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线AB1， 且平面C1BD， 平面ADD1A1 AS，点 S 在直线 A1D1上，则 AS 的长度为（ ） A B C D1 11 （5 分）已知实数 a，b 满足 2a25lnab0，cR，则的最小值为（ ）
4、 A B C D 12 （5 分）如图，腰长为 4 的等腰三角形 ABC 中，A120，动圆 Q 的半径 R1，圆心 Q 在线段 BC （含端点）上运动，P 为圆 Q 上及其内部的动点，若m+n（m，nR） ，则 m+n 的取值范围为 （ ） A， B1， C，2 D2， 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组，则 z|x2y|的最小值为 14 （5 分）设当 x0，时，函数 f（x）sin2x+2cosx 的最大值为 15 （5 分）如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图
5、案，展现中国文化阴阳转化、对立统一的 哲学理念定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数” ，则下列 命题正确的是 （1）函数 f（x）sinx 可以同时是无数个圆的“太极函数” ； （2）函数 f（x）ln（|x|）可以是某个圆的“太极函数” ； （3）若函数 f（x）是某个圆的“太极函数” ，则函数 f（x）的图象一定是中心对称图形； （4）对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 16 （5 分）已知 nN*，集合 Mn， ， ，集合 Mn所有非空子集的最小元素之和为 Tn， 则使得 Tn180 的最小正整数 n 的值为 三、解答题（本大题三、解答题（本大题
6、5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC 中，D 是 BC 的中点，AB1，AC2，AD （1）求ABC 的面积 （2）若 E 为 BC 上一点，且（+） ，求 的值 18 （12 分）已知函数 f（x） （1）若 a且 x 是锐角，当 f（x），求 x 的取值 （2）若函数 f（x）在区间（，）上单调递增，求实数 a 的取值范围 19 （12 分）已知数列an满足 2anan132n 1，n2，且 3a 12a2 （1）求证：数列an2n是等比数列 （2）设 Sn为数列an的前 n 项的和
7、，记 Tn为数列的前 n 项和，若nN*，Tnm，mN*， 求 m 的最小值 20 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，顶点 A 在底面 BCD 上的投影 O 在棱 BD 上，ABAD，BC BD2，CBD90，E 为 CD 的中点 （1）求证：AD平面 ABC； （2）求二面角 BAEC 的余弦值； （3）已知点 Q 为 AE 的中点，在棱 BD 上是否存在点 P，使得 PQ平面 ABE，若存在，求的值；若 不存在，说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）2lnx+x2+x （1）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程 （2）若正实数 x1，x2满足 f（x1）+f
8、（x2）4，求证：x1+x22 说明：请在说明：请在 22、23 题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（其中 t 为参数， 为 l 的倾斜 角，且 （0，） ，曲线 C2的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3的极坐标方程为 （R） （1）求曲线 C2的普通方程及曲线 C3的直角坐标方程； （2）已知点 P（2，0） ，曲线 C1与 C2交于 A，B
9、 两点，与 C3交于点 Q，且|PA|PB|PQ|2，求 l 的普 通方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且 a+b+c1，证明： （1）ab+bc+ac； （2）1 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项）分，每小题有且只有一个正确选项） 1 （5 分）已知集合 Ax|ylog2（x），By|y（）x，x0，则 AB（ ） A （1，+） B （0，） C ， （，+） D （，1） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交
10、集的运算即可 【解答】解：， AB（1，+） 故选：A 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，指数函数的单调性，交集的运算，考查 了计算能力，属于基础题 2 （5 分）已知 是 z 的共轭复数，且|z| 1+3i，则 z 的模是（ ） A3 B4 C5 D 【分析】设 za+bi，则由|z| 1+3i，可得，再由复数相等的条件列式求得 a， b 的值，则答案可求 【解答】解：设 za+bi，则由|z| 1+3i， 得， 则，解得 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分） 若 a， b， 2 （a， b0） 可适当排序后成等差
11、数列， 也可适当排序后成等比数列， 则 （a+1） （b+1） 的值为（ ） A10 B9 C8 D7 【分析】由题意可得 a，2，b 或 b，2，a 成等比数列，a，b 为等差中项，由中项性质解方程可得 a， b，可得所求值 【解答】解：若 a，b，2（a，b0）可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得 a，2，b 或 b，2，a 成等比数列，即有 ab4， 由 a0，b0，可得2 不为等差中项，只能 a，b 为等差中项， 可得 a22b 或 b22a， 解得 a4，b1 或 a1，b4， 可得（a+1） （b+1）10 故选：A 【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质
12、，考查方程思想和分类讨论思想，运算能力，属于基 础题 4 （5 分）函数 f（x）ln（x）+2，则 f（log23）+f（log3）（ ） A0 B2log23 C4 D1 【分析】根据题意，求出 f（x）的解析式，分析可得 f（x）+f（x）4，又由 f（log23）+f（log3） f（log23）+f（log23） ，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）ln（x）+2，则 f（x）ln（+x）+2， 则有 f（x）+f（x）4； 则 f（log23）+f（log3）f（log23）+f（log23）4； 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及对数的性质，
13、属于基础题 5 （5 分）已知 alog85，blog2，c，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Cbca Dcab 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 【解答】解：alog85log5log25，clog2； （）65225， （）63327； （）62416 ； blog2log85ac， a，b，c 的大小关系为 bac 故选：B 【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 6 （5 分）已知曲线 ysin（2x+）向左平移 （0）个单位，得到的曲线 yg（x）经过点（， 1） ，则（ ） A
14、函数 yg（ x ） 的最小正周期 T B函数 yg（ x ） 在，上单调递增 C曲线 yg（ x ） 关于直线 x对称 D曲线 yg（ x ） 关于点（ ，0）对称 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性 值质，可得结论 【解答】解：把曲线 ysin（2x+）向左平移 （0）个单位，得到的曲线 yg（x）sin（2x+2+ ） ， 由于所得曲线经过点（，1） ， sin（+2+）sin21，yg（x）sin（2x+）cos（2x+） ， 故 g（x）cos（2x+） 的最小正周期为，故 A 错误； 在，上，2x+2，故函数 yg（
15、x ） 在，上单调递减，故 B 错 误； 当 x时，g（x）0，故 g（x）的图象关于点（，0）对称，故 C 错误； 当 x时，g（x）0，故 g（x）的图象关于点（，0）对称，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题 7 （5 分）函数 y|x1|+|x2|+|x3|的最小值为（ ） A1 B2 C3 D6 【分析】去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解最小值即可 【解答】解：函数 y|x1|+|x2|+|x3|， 考查函数的图象如图： 函数的最小值为：2 故选：B 【点评】本题考查函数的最值的求法，考查数形结合以
16、及计算能力，是中档题 8 （5 分）函数 f（x）x3ex的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由 x0 时 x3ex0 排除 B；由 f（1）e1 排除 D；求出函数在 x0 处的切线方程排除 A 【解答】解：当 x0 时，x3ex0，故排除 B；f（1）e1，故排除 D； f（x）（x3+2x2）ex，令 f（x）0，得 x0 或 x2 当 x（，2）时，f（x）0，当 x（2，0）时，f（x）0，当 x（0，+）时，f（x） 0， f（x）在（，2）上单调递减，在（2，0） ， （0，+）上单调递增， 又 f（0）0，故 f（x）在 x0 的切线为 x 轴，故排除 A 故选：C 【
17、点评】本题考查函数的图象及图象判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题 9 （5 分）已知正数 a、b 满足+1，则+的最小值是（ ） A6 B12 C24 D36 【分析】根据题意可以将+1 转化成 a+bab，再将+通分转化即可得到 9b+4a13，最后 利用基本不等式求出 9b+4a 的最小值即可 【解答】解：a，b 为正数，且+1； a+bab； +9b+4a13； 9b+4a（9b+4a）1 （9b+4a）（+） 25； 当且仅当时取等号 +9b+4a1312 故选：B 【点评】本题考查了基本不等式，考查了学生的分析能力，计算能力，转化能力，属于中档题 10（5分） 平面 过棱长
18、为1的正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线AB1， 且平面C1BD， 平面ADD1A1 AS，点 S 在直线 A1D1上，则 AS 的长度为（ ） A B C D1 【分析】画出平面 ，根据图象求出 AS 【解答】解：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， BDAC1，BDAA1，ACAA1A， BD平面 AA1C， 又 A1C平面 AA1C，A1CBD， 同理，A1CBC1，又 BDBC1B，A1C平面 C1BD， 以 A1A 为侧棱补作一个正方体 AEFGA1PQR， 使得侧面 AQRA1与平面 ADD1A1共面， 连结 AQ，则 AQA1C，连结 B1Q，交 A1R 于点 S，
19、 则侧面 AQB1即为平面 ，AS 即为平面 与平面 ADD1A1的交线， AQA1C，AQ平面 C1BD， 又 AQ，平面 平面 C1BD， 因为 A1S，AA11， 所以 AS， 故选：C 【点评】考查平面与平面的位置关系，线面垂直等，中档题 11 （5 分）已知实数 a，b 满足 2a25lnab0，cR，则的最小值为（ ） A B C D 【分析】x 代换 a，y 代换 b，则 x，y 满足：2x25lnxy0，即 y2x25lnx（x0） ，以 x 代换 c，可 得点（x，x） ，满足 y+x0因此求的最小值即为求曲线 y2x25lnx 上的点到直 线 y+x0 的距离的最小值利用导
20、数的几何意义，研究曲线与直线 y+x0 平行的切线性质即可得出 【解答】解：x 代换 a，y 代换 b，则 x，y 满足：2x25lnxy0，即 y2x25lnx（x0） ， 以 x 代换 c，可得点（x，x） ，满足 y+x0 因此求的最小值即为求曲线 y2x25lnx 上的点到直线 y+x0 的距离的最小值 设直线 y+x+m0 与曲线 y2x25lnxf（x）相切于点 P（x0，y0） ， f（x）4x，则 f（x0）1，解得 x01，切点为 P（1，2） 点 P 到直线 y+x0 的距离 d 则的最小值为 故选：C 【点评】 本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、 点到直线的距离公式，
21、 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 12 （5 分）如图，腰长为 4 的等腰三角形 ABC 中，A120，动圆 Q 的半径 R1，圆心 Q 在线段 BC （含端点）上运动，P 为圆 Q 上及其内部的动点，若m+n（m，nR） ，则 m+n 的取值范围为 （ ） A， B1， C，2 D2， 【分析】取特殊点，结合选项，运用排除法即可得到正确选项 【解答】解：当点 P 取圆 Q 与 BC 交线上的点时，由平面向量基本定理可知，m+n1，故排除 C，D； 当点 Q 与点 B 重合， 且点 P 取圆 Q 与 AB 的交线上最靠近 A 的点时， 此时， 则， 故排除 B 故选：A 【点评】本题考
22、查平面向量基本定理的运用，作为选择题，取特殊点验证选项可快速得到答案，属于中 档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组，则 z|x2y|的最小值为 3 【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出 z 的最小值 【解答】解：画出实数 x，y 满足不等式组表示的平面区域，如图所示； 平移目标函数 ux2y 知， 当目标函数过点 A 时，u 取得最小值， 由，解得 A（0，3） ， u 的最小值为 0236 解得 B（1，2） ， 当目标函数过点 B 时，u
23、取得最大值， 1223， 则 z|x2y|的最小值为 3 故答案为：3 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是基础题 14 （5 分）设当 x0，时，函数 f（x）sin2x+2cosx 的最大值为 【分析】直接利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的最大值 【解答】解：f（x）sin2x+2cosx，所以 f（x）2cos2x2sinx，2（12sin2x）2sinx4sin2x 2sinx+2 令 f（x）0， 解得 sinx或 sinx1， 所以（，+）单调递减， （1，）单调递增， 由于 x0，所以故 sinx时，函数取得最大值 故 f（x）的最大值为 故答案为： 【点评】
24、本题考查的知识要点：函数的导数的应用，三角函数的关系式的应用，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题型 15 （5 分）如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现中国文化阴阳转化、对立统一的 哲学理念定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数” ，则下列 命题正确的是 （1） （4） （1）函数 f（x）sinx 可以同时是无数个圆的“太极函数” ； （2）函数 f（x）ln（|x|）可以是某个圆的“太极函数” ； （3）若函数 f（x）是某个圆的“太极函数” ，则函数 f（x）的图象一定是中心对称图形； （4）对于任意一个圆，其“太
25、极函数”有无数个 【分析】直接利用定义性函数的性质的应用和函数的图象的特点求出结果 【解答】解：定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数” ， 根据定义得：函数 f（x）sinx 可以看作一个以原点为圆心以半个周期和一个周期的整数倍为半径的无 数个圆，故正确 对于（2）由于函数 ln（|x|）的图象呈现不对称，故错误 对于（3）函数的图象不一定一定是中心对称图形，故错误 对于（4）任意一个圆，其“太极函数”有无数个，只要关于圆心对称即可，故正确 故选： （1） （4） 【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用，函数的图象的应用，主要考查学生的思维能力，属 于
26、中档题型 16 （5 分）已知 nN*，集合 Mn， ， ，集合 Mn所有非空子集的最小元素之和为 Tn， 则使得 Tn180 的最小正整数 n 的值为 19 【分析】求出 Mn的所有非空子集中的最小元素的和 Tn，利用 Tn180，即可求出最小正整数 n 的值 【解答】解：当 n2 时，Mn的所有非空子集为：，所以 Tn+， 当 n3 时，Tn4+1+24， 当 n4 时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有 n1 个元素，共有 2n 11 个非空 子集， S1，当最小值为，不含，含，共 n2 个元素，有 2n 21 非空子集， S2， TnS1+S2+S3+Sn+2+， 由 Tn1
27、80，得180，解得 n2361，即 n19 所以满足条件的最小正整数 n 的值为 19 故答案为：19 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和的求法，是难题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分 类讨论思想的灵活运用 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC 中，D 是 BC 的中点，AB1，AC2，AD （1）求ABC 的面积 （2）若 E 为 BC 上一点，且（+） ，求 的值 【分析】 （1）根据题意，两边平方即可求出， 从而可求出 cosB
28、AC， 进而求出，然后根据三角形的面积公式即可求出ABC 的面积； （2）可以得出，然后根据 B，E，C 三点共线即可得出，解出 即可 【解答】解： （1）D 是 BC 中点，且 AB1，AC2，AD， ， ， ， ， ； （2），且 B，E，C 三点共线， ，解得 【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，三角形的 面积公式，三点 A，B，C 共线时，由得出 +1，考查了计算能力，属于基础题 18 （12 分）已知函数 f（x） （1）若 a且 x 是锐角，当 f（x），求 x 的取值 （2）若函数 f（x）在区间（，）上单调递增，求实数 a 的取值范
29、围 【分析】 （1）根据条件建立方程，结合辅助角公式进行化简求解即可 （2） 根据函数的单调性和导数之间的关系， 转化为 f （x） 0 恒成立， 利用参数分离法进行求解即可 【解答】解： （1）当 a且 x 是锐角，由 f（x），得， 得：sinxcosx，即sinx+cosx2sin（x+） ，即 sin（x+）， 又 x 为锐角，所以 x （2）因为函数 f（x）在区间（，）上单调递增 所以 f（x）0 在区间（，）恒成立， f（x）， 因为 cos2x0，所以由 f（x）0 得 asinx10 在区间（，）恒成立， 即 a， sinx，2， a2， 即实数 a 的取值范围是 a2 【点
30、评】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题的求解，利用函数单调性和导数 之间的关系进行转化是解决本题的关键难度中等 19 （12 分）已知数列an满足 2anan132n 1，n2，且 3a 12a2 （1）求证：数列an2n是等比数列 （2）设 Sn为数列an的前 n 项的和，记 Tn为数列的前 n 项和，若nN*，Tnm，mN*， 求 m 的最小值 【分析】 （1）由已知递推式解方程可得 a1，a2，将已知递推式变形，运用等比数列的定义，即可得证； （2）运用等比数列的通项公式和求和公式、数列的分组求和，结合不等式的性质和不等式恒成立问题解 法，可得所求最小值 【解答】解：
31、 （1）证明：由 2anan132n 1，n2， 可得 2a2a16，且 3a12a2，解得 a13，a2， 由 2anan132n 1，n2， 得 2（an2n）an12n 1， 所以， 则数列an2n是以 1 为首项，为公比的等比数列； （2）由上可知 an2n（）n 1，即 a n2n+（ ）n 1， Sn（2+4+2n）+（+）+2n+1（）n 1， 所以，故， nN*，Tnm，mN*，即有 m， 可得 m 的最小值为 1 【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及数列不得 好死恒成立问题解法，化简运算能力，属于中档题 20 （12 分）如图，在
32、三棱锥 ABCD 中，顶点 A 在底面 BCD 上的投影 O 在棱 BD 上，ABAD，BC BD2，CBD90，E 为 CD 的中点 （1）求证：AD平面 ABC； （2）求二面角 BAEC 的余弦值； （3）已知点 Q 为 AE 的中点，在棱 BD 上是否存在点 P，使得 PQ平面 ABE，若存在，求的值；若 不存在，说明理由 【分析】 （1）只需证明 BCAD 及 ADAB，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解； （3）设出点 P 的坐标，依题意，进而求解 【解答】解： （1）因为顶点 A 在底面 BCD 上的投影 O 在棱 BD 上， 所以 AO平
33、面 BCD， 因为 AO平面 ABD， 所以平面 ABD平面 BCD， 因为CBD90， 所以 BCBD， 因为平面 ABD平面 BCDBD，BC平面 BCD， 所以 BC平面 ABD， 又 AD平面 ABD， 所以 BCAD， 由，BD2，得 BD2AB2+AD2， 所以 ADAB， 因为 ABBCB 且 AD平面 ABC，AB平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 AD平面 ABC （2）连接 OE，因为 O 为 BD 的中点，E 为 CD 的中点，OEBC，所以 OEBD， 如图，以 O 为坐标原点，分别以 OE，OD，OA 为 x 轴，y 轴，z 轴为正方向，建立空间直角坐标系， 则
34、O（0，0，0） ，A（0，0，1） ，B（0，1，0） ，C（2，1，0） ，D（0，1，0） ，E（1，0，0） ， ， 设平面 ABE 的一个法向量， 则，即，取 x1，得， 设平面 ACE 的一个法向量， 则，即，取 c1，则， 设二面角 BAEC 的平面角为 ，则， 所以二面角 BAEC 的余弦值为 （3）设， 因为 PQ平面 ABE， 所以，则， 所以， 所以 【点评】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能 力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）2lnx+x2+x （1）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程
35、（2）若正实数 x1，x2满足 f（x1）+f（x2）4，求证：x1+x22 【分析】 （1）求出切线的斜率，代入即可； （2）求出 f（x）的单调性，构造函数 F（x） ，证明 F（x1）0，即 4f（x1）f（2x1） ，所以 f（x2） f（2x1） ，根据 f（x）单调递增，得 x22x1，最后得出结论 【解答】解： （1）f（x）2lnx+x2+x，x0，f（x）， f（1）1+12，f（1）5，故曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y25（x1） ， 即 5xy30； （2）证明：因为 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增 由 f（1）2，正实数 x1，x2
36、满足 f（x1）+f（x2）4， 所以不妨设 0 x11x2， 记 F（x）f（x）+f（2x）4，0 x1， F（x），F（x）在（0，1上单调递增 因为 x1（0，1，F（1）0， 所以 F（x1）0，即 4f（x1）f（2x1） ， 所以 f（x2）f（2x1） ，根据 f（x）单调递增，得 x22x1， 即原命题成立 【点评】考查利用导数求曲线的切线方程，和利用导数解决不等式问题，注意巧妙的构造函数 F（x） ， 中档题 说明：请在说明：请在 22、23 题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分选修选修 4-4：坐标系
37、与：坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（其中 t 为参数， 为 l 的倾斜 角，且 （0，） ，曲线 C2的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3的极坐标方程为 （R） （1）求曲线 C2的普通方程及曲线 C3的直角坐标方程； （2）已知点 P（2，0） ，曲线 C1与 C2交于 A，B 两点，与 C3交于点 Q，且|PA|PB|PQ|2，求 l 的普 通方程 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应
38、用和三角函数关系式的变换的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C3的极坐标方程为 （R）转换为直角坐标方程为 x0 曲线 C2的参数方程为（t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 x2y21 （2）由直线 l 的参数方程为为（其中 t 为参数， 为 l 的倾斜角，且 （0，） ， 则点 Q 对应的参数值为，即 代入 x2y21，得（2+tcos）2（tsin）21， 整理得： （cos2sin2）t24tcos+30， 设 A、B 对应的参数值分别为 t1和 t2， 则， 因为|PA|PB|PQ|2，所以或， 解得， 故 l 的普通方程为或 y 【点评】本题考察知识要点：三角函数关系式的恒等
39、变换，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的 转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且 a+b+c1，证明： （1）ab+bc+ac； （2）1 【分析】 （1）由 a2+b22ab，b2+c22bc，a2+c22ac 结合已知条件，即可得证； （2） 运用分析法， 只需证明 8a2b2c2 （a+b）（b+c）（a+c） ， 而 （a+b）（b+c）（c+a） 8abc， 8abc8a2b2c2， 由此得证 【解答】证明： （1）已知 a，b，c 为正数，且 a+b+c1， （a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac1 由 a2+b22ab，b2+c22bc，a2+c22ac，左右相加得：a2+b2+c2ab+bc+ca， 故 3（ab+bc+ca）1， 即 ab+bc+ac； （2）证明：a，b，c 为正数，且 a+b+c1， ，即， 8a2b2c28abc， 而要证1 成立，只需证明 8a2b2c2（a+b） （b+c） （a+c） ， 又， 而 8abc8a2b2c2，故 8a2b2c2（a+b） （b+c） （a+c） ，即得证 【点评】本题考查基本不等式的运用，考查分析法及综合法的运用，属于基础题
