1、2019-2020 学年山西省大同市高三（上）学年山西省大同市高三（上）8 月调研数学试卷（文科）月调研数学试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1 （5 分）设 Z，则 Z 的共轭复数为（ ） A1 B1 Ci Di 2 （5 分）已知集合 A 满足0，1A0，1，2，3，则集合 A 的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 3 （5 分）已知命题 p：xR，ex+e x2，命题 q：x 0（0，+） ， 则下列判
2、断正确的是（ ） Apq 是真命题 B （p）（q）是真命题 Cp（q）是真命题 D （p）q 是真命题 4 （5 分）设 a20.5，blog0.50.6，ctan，则（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 5 （5 分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A4 B8 C12 D6 6 （5 分） 已知双曲线1 （m0， n0） 的渐近线方程为 yx， 则此双曲线的离心率为 （ ） A B C D 7 （5 分）以下是解方程 12+22+n2（n+1） （+2）的程序框图，输出的 i 为（ ） A3 B4 C5 D6 8 （5 分）已知 sin+cos，（
3、0，） ，则（ ） A B C D 9 （5 分） 九章算术中，将如图所示的几何体称为刍薨，底面 ABCD 为矩形，且 EF底面 ABCD， EF 到平面 ABCD 的距离为 h，BCa，ABb，则 EFc 时，则时，（ ） A B C D1 10（5分） 若等差数列an的前 n 项和 Sn有最大值， 且1， 那么Sn取正值时项数 n 的最大值为 （ ） A15 B17 C19 D21 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为过 F1 的直线 L 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程（ ） A1
4、 B1 C1 D1 12 （5 分） 已知 f （x） ， 方程 f2（x） + （2a3） f （x） +a23a0 有三个根， 则 a 的取值范围为 （ ） A （3e，+） B （0，3e） C （，0） D3e，+） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知an是各项均为正数的等比数列，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6 14 （5 分）中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“米”字形方框叫做九官，取意后天八卦中的 九星方位图现有一张中国象棋棋盘如图所示若在该棋盘矩形区域内（其中楚河，汉
5、界宽度等于每个 小格的边长）随机地取一点，该点落在九宫内的概率是 15 （5 分）实数 x，y 满足不等式，则 z|x+2y4|的最大值为 16 （5 分）P 是 AB 的垂直平分线上一点，O 是平面上一点 ， ， ，且|3，|2， 则 （ ） 三、解答题：共三、解答题：共 10 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）如表提供了
6、某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对应数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出表中数据的散点图； （2）请求出 y 关于 x 的线性回归方程 a+bx； （3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测 生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 注：线性回归方程系数公式 b，a b 18 （12 分）已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列， （）求的值； （）设的值 19 （12 分）
7、如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的中点 （1）求证：ACBC1； （2）求证：AC1平面 CDB1； （3）求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值 20 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx+c，曲线 yf（x）在 x1 处的切线为 l：3xy+10，当 x时， yf（x）有极值 （1）求 a、b、c 的值； （2）求 yf（x）在3，1上的最大值和最小值 21 （12 分）已知半圆 x2+y24（y0） ，动圆与此半圆相切且与 x 轴相切 （1）求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形 （2）是否存在斜率为的直线 l，它
8、与（1）中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于 A、B、C、D 四点，且 满足|AD|2|BC|若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作 答时请用答时请用 B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分） 在直角坐标系中， 以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建极坐标系， 已知曲线 C： sin22acos （a0） ，
9、过点 P（2，4）的直线 l 的参数方程为：，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N （1）写出曲线 C 和直线 L 的普通方程； （2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1， 证明： （1）ab+bc+ca； （2）+1 2019-2020 学年山西省大同市高三（上）学年山西省大同市高三（上）8 月调研数学试卷（文科）月调研数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题
10、给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1 （5 分）设 Z，则 Z 的共轭复数为（ ） A1 B1 Ci Di 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得 Z，再由共轭复数的概念得答案 【解答】解：， Zi21， Z 的共轭复数为1 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）已知集合 A 满足0，1A0，1，2，3，则集合 A 的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用子集的定义直接求解 【解答】解：集合 A 满足0，1A0，1，2，3， A 的可能取值为0，1，0
11、，1，2，0，1，3， 集合 A 的个数为 3 故选：C 【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，考查子集、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 3 （5 分）已知命题 p：xR，ex+e x2，命题 q：x 0（0，+） ， 则下列判断正确的是（ ） Apq 是真命题 B （p）（q）是真命题 Cp（q）是真命题 D （p）q 是真命题 【分析】根据条件判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可 【解答】解：ex+e x2 2，当且仅当 exe x，即 xx，x0 时取等号，即命题 p 是真命题 若得 x01（0，+） ，故命题 q 是假命题， 则 p（q）是真
12、命题，其余为假命题， 故选：C 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题 p，q 的真假是解决本题的关键比 较基础 4 （5 分）设 a20.5，blog0.50.6，ctan，则（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 【分析】由题意可得 a1，0b1，c0，即可求出 【解答】解：a20.51，0blog0.50.61，ctan0， 则 cba， 故选：B 【点评】本题考查了指数函数对数函数三角函数的图象和性质，属于基础题 5 （5 分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A4 B8 C12 D6 【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的
13、棱长，然后求出球的半径，即可求出球的体积 【解答】解：正方体体积为 8，可知其棱长为 2， 正方体的体对角线为2， 即为球的直径，所以半径为， 所以球的体积为：4 故选：A 【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题 6 （5 分） 已知双曲线1 （m0， n0） 的渐近线方程为 yx， 则此双曲线的离心率为 （ ） A B C D 【分析】结合双曲线的渐近线方程，得 3a2b，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率 【解答】解：双曲线1（m0，n0）的渐近线方程为 yx， am，bn， ， 2b3a，4c24a29a2， 双曲线的离心率 e 故选：B 【点评】
14、本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念 和简单几何性质等知识，属于基础题 7 （5 分）以下是解方程 12+22+n2（n+1） （+2）的程序框图，输出的 i 为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】 由已知中的程序语句可知： 该程序的功能是利用循环结构计算 S， N 的值并输出相应变量 i 的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 i1，S1，N6 不满足条件 SN，执行循环体，i2，S5，N12 不满足条件 SN，执行循环体，i3，S14，N20 不满足条件 SN，执行循环体，i4，
15、S30，N30 此时，满足条件 SN，退出循环，输出 i 的值为 4 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论， 是基础题 8 （5 分）已知 sin+cos，（0，） ，则（ ） A B C D 【分析】由条件求得 2sincos， 为钝角，从而求得 cossin 的值， 可得 的值 【解答】解：sin+cos，（0，） ，平方可得 1+2sincos，2sincos， 为钝角 cossin， ， 故选：B 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题 9 （5 分） 九章算术中，将如图所示的
16、几何体称为刍薨，底面 ABCD 为矩形，且 EF底面 ABCD， EF 到平面 ABCD 的距离为 h，BCa，ABb，则 EFc 时，则时，（ ） A B C D1 【分析】推导出 VEABDVFBCD，VBDEF，由此利用 ，能求出结果 【解答】解：由题意得 VEABDVFBCD， VBDEF， VBCDEFVBDEF+VBCDF， ，2， 解得 故选：D 【点评】本题考查两线段的比值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 10（5分） 若等差数列an的前 n 项和 Sn有最大值， 且1， 那么Sn取正值时项数 n 的
17、最大值为 （ ） A15 B17 C19 D21 【分析】推导出 d0，a110，a100，S1919a100，a10+a110，从而 S2010（a10+a11）0 由此 能求出 Sn取正值时项数 n 的最大值 【解答】解：等差数列an的前 n 项和 Sn有最大值， d0， 等差数列an的前 n 项和 Sn有最大值，且1， a110，a100， S1919a100， a11a10，a10+a110， S2010（a10+a11）0 Sn取正值时项数 n 的最大值为 19 故选：C 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和取最大正值时项数的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考 查运算求解能力，
18、是基础题 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为过 F1 的直线 L 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程（ ） A1 B1 C1 D1 【分析】根据题意，ABF2的周长为 16，即 BF2+AF2+BF1+AF116，结合椭圆的定义，有 4a16，即 可得 a 的值；又由椭圆的离心率，可得 c 的值，进而可得 b 的值；由椭圆的焦点在 x 轴上，可得椭圆的 方程 【解答】解：根据题意，ABF2的周长为 16，即 BF2+AF2+BF1+AF116； 根据椭圆的性质，有 4a16，即 a4；
19、椭圆的离心率为，即，则 ac， 将 ac，代入可得，c2，则 b2a2c28； 则椭圆的方程为1； 故选：D 【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本 几何性质解题即可 12 （5 分） 已知 f （x） ， 方程 f2（x） + （2a3） f （x） +a23a0 有三个根， 则 a 的取值范围为 （ ） A （3e，+） B （0，3e） C （，0） D3e，+） 【分析】易知 f（x）a 或 f（x）3a，作出函数 f（x）的图象，观察图象建立关于 a 的不等式组 即可得解 【解答】解：方程 f2（x）+（2a3）f（x）+a23a0
20、 的解为 f（x）a 或 f（x）3a， 函数 f（x）的定义域为x|x0 且 x1，令 f（x）0，解得 xe， 易知，当 x（0，1）及 x（1，e）时，f（x）0，f（x）单调递减；当 x（e，+）时，f（x） 0，f（x）单调递增， 作函数 f（x）的图象如下： 由图可知，要使方程 f2（x）+（2a3）f（x）+a23a0 有三个根，则需，解得 0a3e， 故选：B 【点评】本题考查导数的综合运用，旨在考查数形结合思想，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知an是各项均为正数的等比数列，a1
21、a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6 5 【分析】由数列an是等比数列，则有 a1a2a355a235；a7a8a910a8310 【解答】解：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以 故答案为 【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转 化与化归的数学思想 14 （5 分）中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“米”字形方框叫做九官，取意后天八卦中的 九星方位图现有一张中国象棋棋盘如图所示若在该棋盘矩形区域内（其中楚河，汉界宽度等于每个 小格的边长）随机地取一点，该点落在九宫内的概率是 【分析】
22、基本事件总数所占面积为 S8972，该点落在九宫内的包含的基本事件所占面积为 S8 18，由此能求出该点落在九宫内的概率 【解答】解：在该棋盘矩形区域内（其中楚河，汉界宽度等于每个小格的边长）随机地取一点， 基本事件总数所占面积为 S8972， 该点落在九宫内的包含的基本事件所占面积为 S818， 该点落在九宫内的概率是 P 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 15 （5 分）实数 x，y 满足不等式，则 z|x+2y4|的最大值为 21 【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再设目标函数为 ux+2y4，将其赋予几何意义，数形结 合求
23、得目标函数 u 的范围，最后即可得 z 的最大值 【解答】解：实数 x，y 满足不等式组，对应的平面区域如图： 三角形 ABC 的三边及其内部部分： 联立，解得：C（3，1） 联立，解得：A（7，9） 设 ux+2y4，则 u 可看作是一条斜率为的动直线， 由图数形结合可知，当直线过点 A（7，9）时，u 最大为 7+29421， 当直线过点 C（3，1）时，u 最小为 3+2141 1u21， 1z|u|21， z|x+2y4|的最大值为 21， 故答案为：21 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是中档题 16 （5 分）P 是 AB 的垂直平分线上一点，O 是平面上一
24、点 ， ， ，且|3，|2， 则 （ ） 【分析】 由平面向量数量积的运算及线性运算可得： 取 AB 的中点为 C， 则 （） （） （） （）+ （）（），得解 【解答】解：设 AB 的中点为 C，因为 P 是 AB 的垂直平分线上一点， O 是平面上一点 ， ， ，且|3，|2， 则（） （） （） （）+ （）（）， 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算及线性运算，属中档题 三、解答题：共三、解答题：共 10 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答第生都必须作
25、答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对应数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出表中数据的散点图； （2）请求出 y 关于 x 的线性回归方程 a+bx； （3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测 生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 注：线性回归方程系数公式 b，a b 【
26、分析】 （1）利用表中数据描点，画图； （2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数 b 的公式，求得结果，再 把样本中心点代入，求出 a 的值，得到线性回归方程 （3）根据上一问所求的线性回归方程，把 x100 代入线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能 耗比技改前降低标准煤的数量 【解答】 （1）画出散点图 解： （2）由对照数据，计算得86， 4.5， 3.5， 66.5，4 63，481， b0.7，a3.50.74.50.35， 所求线性回归方程为 0.7x+0.35 （3）由（2）求出的线性回归方程， 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前
27、降低标准煤数量为： 90（0.7100+0.35）19.65（吨标准煤吨） 【点评】本题考查线性回归方程的求法与应用，本题是考查此类问题的典型题目，要注意掌握此类题目 的解法 18 （12 分）已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列， （）求的值； （）设的值 【分析】 （）由 cosB 的值和 B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值，又 a，b，c 成 等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数 间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和 sinB 的值
28、代入即可求出值； （）根据平面向量的数量积得运算法则及 cosB 的值化简，即可得到 ac 的值，进而得到 b2 的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由 b2和 ac 及 cosB 的值，即可得到 a+c 的值 【解答】解： （）由， 由 b2ac 及正弦定理得 sin2BsinAsinC 于是 （6 分） （）由 由余弦定理：b2a2+c22accosB，又 b2ac2，cosB， 得 a2+c2b2+2accosB2+45， 则（a+c）2a2+c2+2ac5+49，解得：a+c3 （12 分） 【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵 活
29、运用余弦定理及等比数列的性质化简求值，是一道中档题 19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的中点 （1）求证：ACBC1； （2）求证：AC1平面 CDB1； （3）求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值 【分析】 （1）推导出 ACCC1，ACBC，从而 AC平面 BCC1B1，由此能证明 ACBC1 （2）设 B1CBC1O，连结 OD，则 ODAC1，由此能证明 AC1平面 CDB1 （3）由 ODAC1，得COD 是异面直线 AC1与 B1C 所成角（或所成角的补角） ，由此能求出异面直线 AC1与 B1C
30、所成角的余弦值 【解答】证明： （1）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的 中点 ACCC1，AC2+BC2AB2，ACBC， BCCC1C，AC平面 BCC1B1， BC1平面 BCC1B1，ACBC1 （2）设 B1CBC1O，连结 OD， 直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCC1B1是矩形，O 是 BC1中点， 点 D 是 AB 的中点，ODAC1， OD平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1平面 CDB1 解： （3）ODAC1， COD 是异面直线 AC1与 B1C 所成角（或所成角的补角） ， OC2，OD， CD， cos
31、COD 异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题 20 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx+c，曲线 yf（x）在 x1 处的切线为 l：3xy+10，当 x时， yf（x）有极值 （1）求 a、b、c 的值； （2）求 yf（x）在3，1上的最大值和最小值 【分析】 （1）先对函数 f（x）进行求导，根据 f（1）3，f0，f（1）4 可求出 a，b，c 的值， 得到答案 （2）由（1）可
32、知函数 f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于 0，再根据导函数的正负判断函数 在3，1上的单调性，最后可求出最值 【解答】解： （1）由 f（x）x3+ax2+bx+c，得 f（x）3x2+2ax+b 当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a+b0 当 x时，yf（x）有极值，则 f0， 可得 4a+3b+40 由、解得 a2，b4 由于 l 上的切点的横坐标为 x1， f（1）41+a+b+c4 c5 （2）由（1）可得 f（x）x3+2x24x+5， f（x）3x2+4x4 令 f（x）0，得 x2，或 x f（x）在 x2 处取得极大值 f（2）13 在 x处取得极小值 f
33、 又 f（3）8，f（1）4 f（x）在3，1上的最大值为 13，最小值为 【点评】本题主要考查导数的几何意义、函数在闭区间上的最值导数是高等数学下放到高中的内容， 是高考的热点问题，每年必考，要给予重视 21 （12 分）已知半圆 x2+y24（y0） ，动圆与此半圆相切且与 x 轴相切 （1）求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形 （2）是否存在斜率为的直线 l，它与（1）中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于 A、B、C、D 四点，且 满足|AD|2|BC|若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 【分析】 （1）设出动圆圆心 M 的坐标，且过圆心作 x 轴的垂线 MN，垂足为 N，当两圆外切
34、时，根据两 圆外切时两圆心的距离等于两半径相加，可得|MO|等于|MN|+2，利用两点间的距离公式化简可得动圆的 轨迹方程；当两圆内切时，根据两圆心之间的距离等于两半径相减可得，|MO|等于 2|MN|，利用两点间 的距离公式可得动圆的轨迹方程，分别根据求出的轨迹方程在平面直角坐标系中画出相应的图象即可； （2）根据已知直线的斜率设出直线的方程，联立所设直线与圆的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方 程，根据|AD2|BC|，利用韦达定理化简即可求出点 A 和点 D 的横坐标，根据动圆方程轨迹方程可得曲 线横坐标范围，可得这样的直线不存在 【解答】解： （1）设动圆圆心为 M（x，y）
35、，做 MNx 轴交 x 轴于 N 若两圆外切，|MO|MN|+2， 所以， 化简得 x24（y+1） （y0） ； 若两圆内切，|MO|2|MN|， 所以， 化简得 x24（y1） （y0） 综上，动圆圆心的轨迹方程为 x24（y+1） （y0）及 x24（y1） （y0） ， 其图象是两条抛物线位于 x 轴上方的部分，作简图如图： （2）设直线 l 存在其方程可设为， 依题意，它与曲线 x24（y+1） （y0）交于 A，D， 与曲线 x24（y1） （y0）交于 B，C 由与 得 3x24x12b120 及 3x2+4x+12b120， |xDxA|2|xBxC| 即 解得， 将代入方程
36、3x24x12b120 得 因为曲线 x24（y+1）中横坐标范围为（，2）（2，+） ， 所以这样的直线不存在 【点评】此题考查学生掌握圆与圆的位置关系所满足的条件，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化 简求值，是一道中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作 答时请用答时请用 B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分） 在直角坐标系中， 以原点
37、为极点， x 轴的正半轴为极轴建极坐标系， 已知曲线 C： sin22acos （a0） ，过点 P（2，4）的直线 l 的参数方程为：，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N （1）写出曲线 C 和直线 L 的普通方程； （2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值 【分析】 （1）把极坐标方程两边同时乘以 后，代入极坐标与直角坐标的互化公式得答案；由直线的参 数方程可得直线经过的定点和直线的倾斜角，求出斜率后直接写出直线的点斜式方程； （2）把直线的参数方程代入抛物线方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，借助于直线方程的参数的几 何意义列式求解 a 的值 【解答】
38、解： （1）由 sin22acos，得 2sin22acos， 即 y22ax； 由，可知直线过（2，4） ，且倾斜角为， 直线的斜率等于 1，直线方程为 y+4x+2，即 yx2； （2）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 代入 y22ax 得到， 则有， 因为|MN|2|PM|PN|， 所以， 即 8（4+a）258（4+a） 解得 a1 【点评】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，训练了等比数列性质的应用，是 中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1， 证明： （1）ab+bc+ca； （2）+1 【分析】
39、（1）a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证； （2）+b2a，+c2b，+a2c，运用累加法和条件 a+b+c1，即可得证 【解答】证明： （1）由 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca， 可得 a2+b2+c2ab+bc+ca， （当且仅当 abc 取得等号） 由题设可得（a+b+c）21，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca1， 即有 3（ab+bc+ca）1，则 ab+bc+ca； （2）+b2a，+c2b，+a2c， 故+（a+b+c）2（a+b+c） ， 即有+a+b+c （当且仅当 abc 取得等号） 故+1 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法证明，考查推理能力，属于中档题
