1、2019-2020 学年山西省大同市高三（上）学年山西省大同市高三（上）8 月调研数学试卷（理科）月调研数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1 （5 分）已知集合 AxR|0 x3，BxR|x24，则 AB（ ） Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|x2 或 2x3 DR 2 （5 分） 设 x， yR， i 为虚数单位， 且， 则 Zx+yi 的共轭复数在复平面内对应的点在 （ ） A第一象限 B第二象限 C
2、第三象限 D第四象限 3 （5 分）差数列an（nN*）中，若 a4+a5+a627，则 a1+a9等于（ ） A9 B27 C18 D54 4 （5 分）从 6 名大学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人，组成 4 人知识竞赛代表队，则不同 的选法共有（ ） A15 种 B180 种 C360 种 D90 种 5 （5 分）若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A210 B180 C160 D175 6 （5 分）已知函数 ysin（x+） （0，|）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别为（ ） A2， B2， C4， D4， 7 （5 分）已
3、知函数，且函数 h（x）f（x）+xa 有且只有一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，+） B （1，+） C （，1） D （，1 8 （5 分）函数 f（x）2xtanx 在（，）上的图象大致是（ ） A B C D 9 （5 分）三国时期吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明下面是赵爽的弦图及 注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小 正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2勾股+（股勾）24朱实 +黄实弦实，化简，得勾 2+股2弦2，设勾股中勾股比为 1： ，若向弦图内随机抛掷 1000
4、颗图钉 （大小忽略不计） ，则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（ ） （参考数据1.732，1.414） A130 B134 C138 D142 10 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A11 B C D16 11（5 分） 在直角三角形 ABC 中， AC3 取点 D， E， 使那么 （ ） A3 B6 C3 D6 12 （5 分）已知 F1、F2是双曲线 M：1 的焦点，yx 是双曲线 M 的一条渐近线，离心率 等于的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同，P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点，设|PF1|PF2|n，则 下列正确的是（ ） An12 Bn
5、24 Cn36 Dn12 且 n24 且 n36 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知，且，则 14 （5 分）已知 x，y 满足，则目标函数 z3x+y 的最小值是 15 （5 分）在ABC 中，B，BC 边上的高等于BC，则 sinA 16 （5 分）若函数在区间3，5上的最大值、最小值分别为 p、q，则 p+q 的 值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必
6、须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在数列an中，a13，an2an1+n2（n2，且 nN*） （1）求 a2，a3的值； （2）证明：数列an+n是等比数列，并求an的通项公式； （3）求数列an的前 n 项和 Sn 18 （12 分）在如图的多面体中，EF平面 AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3， AEBE2，G 是 BC 的中点 （）求证：AB平面 DEG； （）求二面角 CDFE 的余弦值 19 （12 分）某学校为了对教师教学水平和教师管理水
7、平进行评价，从该校学生中选出 300 人进行统计其 中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的 60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的 75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有 120 人 （1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的 22 列联表： 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满 意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满 意 合计 问：是否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、 （2）若将频率视为概率，有 4 人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随 机变量 X； 求对教师教学水平和
8、教师管理水平全好评的人数 X 的分布列（概率用组合数算式表示） ； 求 X 的数学期望和方差 P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （K2，其中 na+b+c+d） 20 （12 分）已知函数 f（x）2lnxx2+ax（aR） （）当 a2 时，求 f（x）的图象在 x1 处的切线方程； （）若函数 g（x）f（x）ax+m 在，e上有两个零点，求实数 m 的取值范围 21 （12 分）椭圆左右两焦点分别为 F1，F2，且离心率； （1）设 E 是直
9、线 yx+2 与椭圆的一个交点，求|EF1|+|EF2|取最小值时椭圆的方程； （2）已知 N（0，1） ，是否存在斜率为 k 的直线 l 与（1）中的椭圆交与不同的两点 A，B，使得点 N 在 线段 AB 的垂直平分线上，若存在，求出直线 l 在 y 轴上截距的范围；若不存在，说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作 答时请用答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 【选修铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 【选修 4-4：极坐标与
10、参数方程】：极坐标与参数方程】 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C：sin2 2acos（a0） ，过点 P（2，4）的直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，l 与 C 分别交于 M，N （1）写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程； （2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求 a 的值 【选修【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1， 证明： （1）ab+bc+ca； （2）+1 2019-2020 学年山西省大同市高三（上）学年山西省大同市高三（上）8 月调研数
11、学试卷（理科）月调研数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1 （5 分）已知集合 AxR|0 x3，BxR|x24，则 AB（ ） Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|x2 或 2x3 DR 【分析】求出集合 B 中的一元二次不等式的解集确定出集合 B，然后求出集合 A 和集合 B 的交集即可 【解答】解：集合 B 中的不等式 x24， 移项并分解因式得： （x+2） （x2
12、）0， 可化为：或， 解得：x2 或 x2， 所以集合 Bx|x2 或 x2，又集合 Ax|0 x3， 则 ABx|2x3 故选：B 【点评】此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了交集的运算，是一道基础题 2 （5 分） 设 x， yR， i 为虚数单位， 且， 则 Zx+yi 的共轭复数在复平面内对应的点在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】 由条件可得 3+4i （1+2i） （x+yi） ， 根据两个复数相等的充要条件求出 x 和 y 的值， 即得 Zx+yi 的共轭复数， 从而得到 Zx+yi 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标，从而得到结果 【解答
13、】解：由 可得，3+4i（1+2i） （x+yi） ，即 3+4ix2y+（2x+y）i， x2y3，2x+y4，x，y，故 Zx+yi 的共轭复数为 i， 故 Zx+yi 的共轭复数在复平面内对应的点为（） ， 故选：A 【点评】 本题考查复数代数形式的运算， 两个复数相等的充要条件， 复数与复平面内对应点之间的关系， 得到 Zx+yi 的共轭复数为 i，是解题的关键 3 （5 分）差数列an（nN*）中，若 a4+a5+a627，则 a1+a9等于（ ） A9 B27 C18 D54 【分析】因为数列an是等差数列，利用等差中项的概念结合已知条件可求 a5，同样利用等差中项的概 念求得 a
14、1+a9 【解答】解：因为数列an是等差数列，所以 a4+a62a5， 由 a4+a5+a627 得 3a527，所以，a59 又 a1+a92a5， 所以，a1+a92a52918 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差中项概念，在等差数列中，若 p、q、m、n、tN*， 且 m+np+q2t，则 am+anap+aq2at，此题是基础题 4 （5 分）从 6 名大学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人，组成 4 人知识竞赛代表队，则不同 的选法共有（ ） A15 种 B180 种 C360 种 D90 种 【分析】先现从 6 名大学生中选出队长 1 人
15、，副队长 1 人，再从剩下的 4 人选 2 人，问题得以解决 【解答】解：先现从 6 名大学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，再从剩下的 4 人选 2 人，故有 A62C42 180 种， 故选：B 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先选取，再进行排列 5 （5 分）若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A210 B180 C160 D175 【分析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中的常 数项 【解答】解：若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，故 n10， 则展开式的通项公式为 Tr+1 （2）r，令
16、50，求得 r2， 可得展开式中的常数项为 （2）2180， 故选：B 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题 6 （5 分）已知函数 ysin（x+） （0，|）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别为（ ） A2， B2， C4， D4， 【分析】首先由函数图象求得函数的半周期，进一步得到周期，则 可求，再结合五点作图的第二点可 求 的值 【解答】解：由图可知， T， 则， 2 又据五点法可得，解得： 故选：A 【点评】 本题考查由 yAsin （x+） 的部分图象确定函数解析式， 该类问题往往周期易求， 则 可求， 关键是求 时正确运用五点
17、作图的特殊点，是中档题 7 （5 分）已知函数，且函数 h（x）f（x）+xa 有且只有一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，+） B （1，+） C （，1） D （，1 【分析】利用数形结合画出函数 yf（x）的图象，通过函数 h（x）f（x）+xa 有且只有一个零点， 求出 a 的范围 【解答】解：函数 h（x）f（x）+xa 有且只有一个零点， 就是 yf（x）的图象与 yax 的图象有且只有一个交点， 如图：显然当 a1 时，两个函数有且只有一个交点， 故选：B 【点评】本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，考查分析问题解决问题的能力 8 （5 分）函数 f（x）2xt
18、anx 在（，）上的图象大致是（ ） A B C D 【分析】先看函数是否具备奇偶性，可排除一些选项；再取一些特殊值验证求得结果 【解答】解：定义域（，）关于原点对称， 因为 f（x）2x+tanx（2xtanx）f（x） ，所以函数 f（x）为定义域内的奇函数，可排除 B， C； 因为 f（）tan0，而 f（）tan（）（2+）0，可排 除 A 故选：D 【点评】本题考查函数图象的识别求解这类问题一般先研究函数的奇偶性、单调性，如果借助函数的 这些性质还不能够区分图象时，不妨考虑取特殊点（或局部范围）使问题求解得到突破 9 （5 分）三国时期吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙
19、证明下面是赵爽的弦图及 注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小 正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2勾股+（股勾）24朱实 +黄实弦实，化简，得勾 2+股2弦2，设勾股中勾股比为 1： ，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉 （大小忽略不计） ，则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（ ） （参考数据1.732，1.414） A130 B134 C138 D142 【分析】设勾为 a，则股为，弦为 2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在 黄色图形内的概率，乘以 1000 得答案 【解答】解：如图， 设
20、勾为 a，则股为，弦为 2a， 则图中大四边形的面积为 4a2，小四边形的面积为（）a2， 则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为 落在黄色图形内的图钉数大约为 1000134 故选：B 【点评】本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题 10 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A11 B C D16 【分析】由三视图可知该几何体为三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，确定外接 球球心的位置，并求出球的半径，利用球的表面积公式求解 【解答】解由三视图可知该几何体为如图所示的三棱锥 PABC， 且 PA平面 ABC，A
21、BC 是正三角形，且 PA2，ABBCAC2， O是正三角形的中心，O 为球心，OO1，AO，则 PO， 所以几何体的外接球的表面积 S4R2， 故选：C 【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体以及正确确定外接球球心 的位置是解题的关键，考查空间想象能力 11（5 分） 在直角三角形 ABC 中， AC3 取点 D， E， 使那么 （ ） A3 B6 C3 D6 【分析】由向量的线性运算法则，算出且，从而算出 （） ，再将和3 代入进行计算，可得答案 【解答】解：，化简得 同理可得， ，可得0， +|23 故选：A 【点评】本题给出直角三角形 ABC 斜边 AB
22、上满足条件的两点 D、E，求向量的数量积着重考查了向 量的线性运算法则、平面向量数量积公式及其运算性质等知识，属于中档题 12 （5 分）已知 F1、F2是双曲线 M：1 的焦点，yx 是双曲线 M 的一条渐近线，离心率 等于的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同，P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点，设|PF1|PF2|n，则 下列正确的是（ ） An12 Bn24 Cn36 Dn12 且 n24 且 n36 【分析】利用 F1、F2是双曲线 M：1 的焦点，yx 是双曲线 M 的一条渐近线，离心率 等于的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同，求出椭圆的长轴长，再利用椭圆、双曲线的定义，即
23、可得出结 论 【解答】解：由题意，m， 双曲线 M：， F1（0，3） ，F2（0，3） ， 离心率等于的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同， c3，a4，b， P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点， |PF1|+|PF2|8，|PF1|PF2|4， |PF1|PF2|12， 故选：A 【点评】本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生的计算能力，确定椭圆的长轴长是关键 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知，且，则 1 【分析】由题意求出 的值，可得的值 【解答】解：已知，且，（，） ， ， 则cos01， 故答
24、案为：1 【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题 14 （5 分）已知 x，y 满足，则目标函数 z3x+y 的最小值是 6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组 求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由 x，y 满足作出可行域如图， 联立，解得 A（2，0） ， 化目标函数 z3x+y 为 y3x+z， 由图可知，当直线 y3x+z 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 6 故答案为：6 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15 （5 分）在ABC 中，
25、B，BC 边上的高等于BC，则 sinA 【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出 AB，AC，再由三角形面积公式，可得 sinA 【解答】解：在ABC 中，B，BC 边上的高等于BC， ABBC， 由余弦定理得：AC BC， 故BCBCABACsinA， sinA 故答案为： 【点评】 本题考查三角形中的几何计算， 熟练掌握余弦定理和三角形面积公式是解题的关键， 是基础题 16 （5 分）若函数在区间3，5上的最大值、最小值分别为 p、q，则 p+q 的 值为 6 【分析】直接利用函数的单调性和函数的奇偶性的应用求出结果 【解答】解：函数3 由于 x3，5，令 tx1， 故， 则 f（t
26、）3，令 h（t）， 由于 t4，4，函数所在的区间关于原点对称， 所以 h（t）h（t） ， 所以函数 h（t）为奇函数 故 h（t）max+h（t）min0， 所以 f（t）max+f（t）minp+q6， 故答案为：6 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，函数的奇偶性的应用，主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力，属于基础题型 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
27、答 （）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在数列an中，a13，an2an1+n2（n2，且 nN*） （1）求 a2，a3的值； （2）证明：数列an+n是等比数列，并求an的通项公式； （3）求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由题设条件，分别取 n2，3，能够得到 a2，a3的值； （2）由，知数列 an+n 是首项为 a1+14，公比为 2 的等比数列由此能求出an的通项公式； （3）由 an的通项公式为 an2n+1n（nN+） ，知 Sn（22+23+24+2n+1）（1+2+3+n） ，从而得 到数列an的前 n 项
28、和 Sn 【解答】 （1）解：a13，an2an1+n2（n2，且 nN+） a22a1+226（2 分） a32a2+3213（4 分） （2）证明： 数列 an+n 是首项为 a1+14， 公比为 2 的等比数列 （7 分） an+n4 2n 12n+1， 即 an2n+1n an的通项公式为 an2n+1n（nN+） （9 分） （3）解：an的通项公式为 an2n+1n（nN+） Sn（22+23+24+2n+1）（1+2+3+n） （11 分） （13 分） 【点评】本题考查数更的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用 18 （12 分）在如图的多面体中，EF平面 AEB，
29、AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3， AEBE2，G 是 BC 的中点 （）求证：AB平面 DEG； （）求二面角 CDFE 的余弦值 【分析】 （）由 ADEF，EFBC，知 ADBC由 BC2AD，G 是 BC 的中点，知四边形 ADGB 是 平行四边形，由此能证明 AB平面 DEG （）由 EF平面 AEB，AE平面 AEB，BE平面 AEB，知 EFAE，EFBE，由 AEEB，知 EB， EF，EA 两两垂直以点 E 为坐标原点，EB，EF，EA 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量 法能够求出二面角 CDFE 的余弦值 【解答】 （）证明：ADEF，E
30、FBC， ADBC 又BC2AD，G 是 BC 的中点， ， 四边形 ADGB 是平行四边形，ABDG AB平面 DEG，DG平面 DEG， AB平面 DEG（6 分） （）解：EF平面 AEB，AE平面 AEB，BE平面 AEB， EFAE，EFBE， 又AEEB，EB，EF，EA 两两垂直（7 分） 以点 E 为坐标原点，EB，EF，EA 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 由已知得 A（0，0，2） ，B（2，0，0） ，C（2，4，0） ，F（0，3，0） ，D（0，2，2） ，G（2，2，0） ， 由已知得（2，0，0）是平面 EFDA 的法向量， 设平面 DCF 的法向量
31、（x，y，z） ， （0，1，2） ，（2，1，0） ， ，解得 （1，2，1） 设二面角 CDFE 的平面角为 ， 则 coscos ， 二面角 CDFE 的余弦值为 【点评】 本题考查直线与平面平行的证明， 考查二面角的余弦值的求法， 解题时要认真审题， 仔细解答， 注意向量法的合理运用 19 （12 分）某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出 300 人进行统计其 中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的 60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的 75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有 120 人 （1）填写教师教学水平和教师管理水平评
32、价的 22 列联表： 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满 意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满 意 合计 问：是否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、 （2）若将频率视为概率，有 4 人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随 机变量 X； 求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数 X 的分布列（概率用组合数算式表示） ； 求 X 的数学期望和方差 P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7
33、.879 10.828 （K2，其中 na+b+c+d） 【分析】 （1）根据题意，可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的 22 列联表，计算 K2，验证 K2 是否大于 10.828，即可得出结论； （2）分别求出 X 所有可能取值的概率，得出 X 的分布列； 由于 XB（4，） ，即可计算数学期望和方差 【解答】解： （1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的 22 列联表： 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满 意 合计 对教师教学水平好评 120 60 180 对教师教学水平不满 意 105 15 120 合计 225 75 300 2 分 ， 可以在犯错误概率不超过 0
34、.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关； 5 分 （2）对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且 X 的取值可以是 0，1，2，3，4，其中 ； ，8 分 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 10 分 由于 XB（4，） ，则， 12 分 【点评】本题考查了独立性检验的应用，随机变量的分布列和数学期望，正确求出概率是关键，属于中 档题 20 （12 分）已知函数 f（x）2lnxx2+ax（aR） （）当 a2 时，求 f（x）的图象在 x1 处的切线方程； （）若函数 g（x）f（x）ax+m 在，e上有两个零点，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）求函
35、数的导数，利用导数的几何意义即可求 f（x）的图象在 x1 处的切线方程； （）利用导数求出函数的在，e上的极值和最值，即可得到结论 【解答】解： （）当 a2 时，f（x）2lnxx2+2x， 则 f（x）2x+2，切点坐标为（1，1） ， 切线斜率 kf（1）2， 则函数 f（x）的图象在 x1 处的切线方程为 y12（x1） ， 即 y2x1； （）g（x）f（x）ax+m2lnxx2+m， 则 g（x）2x， x，e， 由 g（x）0，得 x1， 当x1 时，g（x）0，此时函数单调递增， 当 1xe 时，g（x）0，此时函数单调递减， 故当 x1 时，函数 g（x）取得极大值 g（1
36、）m1， g（）m2，g（e）m+2e2， g（e）g（）4e2+0， 则 g（e）g（） ， g（x）f（x）ax+m 在，e上最小值为 g（e） ， 要使 g（x）f（x）ax+m 在，e上有两个零点， 则满足， 解得 1m2+， 故实数 m 的取值范围是（1，2+ 【点评】 本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值和最值问题， 考查学生的计算能力 21 （12 分）椭圆左右两焦点分别为 F1，F2，且离心率； （1）设 E 是直线 yx+2 与椭圆的一个交点，求|EF1|+|EF2|取最小值时椭圆的方程； （2）已知 N（0，1） ，是否存在斜率为 k 的直线 l 与（1）中
37、的椭圆交与不同的两点 A，B，使得点 N 在 线段 AB 的垂直平分线上，若存在，求出直线 l 在 y 轴上截距的范围；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由于，可得，椭圆方程可化为与直线方程 yx+2 联立，消去 y 化简得：4x2+12bx+123b20，又由0，解得 b21，此时|EF1|+|EF2|2b，当且仅当 b 1 时取等号，此时|EF1|+|EF2|取最小值即可得到椭圆方程 （2）设直线 l 的方程为 ykx+t，代入椭圆方程可得到一元二次方程，0 即根与系数的关系，利用中 点坐标公式可得线段 AB 的中点 M 坐标公式，利用 kMNk1 可得 k 与 t 的关系，结合0 进而
38、得出 t 的取值范围当 k0 时，容易得出 【解答】解： （1）， ，椭圆方程可化为 联立，消去 y 化简得：4x2+12bx+123b20， 又由144b216（123b2）0，解得 b21， 此时|EF1|+|EF2|2b，当且仅当 b1 时取等号，此时|EF1|+|EF2|取最小值 椭圆方程为 （2）设直线 l 的方程为 ykx+t，代入椭圆方程并消去 y 得到： （1+3k2）x2+6ktx+3t230， 直线 l 与椭圆有两个不同的交点， （6kt）24（1+3k2） （3t23）0化为 1+3k2t2 ， 线段 AB 的中点 M， k1，化为 1+3k22t 2tt2， 解得2t0
39、； 又2t1+3k21，t0.5 故2t0.5 当 k0 时，1t1 综上可知：k0 时，2t0.5；当 k0 时，1t1 【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到0 及 根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线的斜率之间的关系、分类讨论的思想方法等基础知识 与基本技能方法，属于难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作 答时请用答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 【选修铅笔在答题卡上将所选
40、题号后的方框涂黑 【选修 4-4：极坐标与参数方程】：极坐标与参数方程】 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C：sin2 2acos（a0） ，过点 P（2，4）的直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，l 与 C 分别交于 M，N （1）写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程； （2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求 a 的值 【分析】 （1）利用极坐标与普通方程的关系式，可得 C 为抛物线方程，消去参数 t，可得直线 l 的方程； （2）由|PM|t1|，|MN|t1t2|，|PN|t2|成等比数列，可转化为关
41、于 a 的等量关系求解 【解答】解： （）曲线 C：sin22acos，可得 2sin22acos，它的直角坐标方程为 y22ax（a 0） ； ，消去 t，可得 xy20， 直线 l 的普通方程为 xy20 4 分 （）将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立，得 t22（4+a）t+8（4+a）0 （*） 8a（4+a）0 设点 M，N 分别对应参数 t1，t2，恰为上述方程的根 则|PM|t1|，|PN|t2|，|MN|t1t2| 由题设得（t1t2）2|t1t2|，即（t1+t2）24t1t2|t1t2| 由（*）得 t1+t22（4+a），t1t28（4+a）0，则有 （4+
42、a）25（4+a）0，得 a1，或 a4 因为 a0，所以 a1 10 分 【点评】本题考查参数方程与极坐标的应用，基本知识的考查 【选修【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1， 证明： （1）ab+bc+ca； （2）+1 【分析】 （1）a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证； （2）+b2a，+c2b，+a2c，运用累加法和条件 a+b+c1，即可得证 【解答】证明： （1）由 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca， 可得 a2+b2+c2ab+bc+ca， （当且仅当 abc 取得等号） 由题设可得（a+b+c）21，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca1， 即有 3（ab+bc+ca）1，则 ab+bc+ca； （2）+b2a，+c2b，+a2c， 故+（a+b+c）2（a+b+c） ， 即有+a+b+c （当且仅当 abc 取得等号） 故+1 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法证明，考查推理能力，属于中档题
