1、2019-2020 学年山西省大同市高三（上）第一次联考数学试卷（理科）学年山西省大同市高三（上）第一次联考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ay|yln（x1），Bx|x240，则 AB（ ） Ax|x2 Bx|1x2 Cx|1x2 Dx|2x2 2 （5 分）欧拉公式 eixcosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义 域扩大到复
2、数， 建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复变函数论里占有非常重要的地位， 被誉为 “数 学中的天桥” ，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）将函数 ysin（2x+）的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（ ） A （，0） B （，0） C （，0） D （，0） 4 （5 分）如图，在ABC 中，P 是 BN 上一点，若t+，则实数 t 的值为（ ） A B C D 5 （5 分）函数 f（x）6|sinx|的图象大致为（ ） A B C D 6（5 分） 若 f （x） lnx 与 g （
3、x） x2+ax 两个函数的图象有一条与直线 yx 平行的公共切线， 则 a （ ） A1 B2 C3 D3 或1 7 （5 分）已知定义域为 R 的奇函数 f（x）满足 f（3x）+f（x）0，且当时，f（x）log2 （2x+7） ，则 f（2020）（ ） A2 Blog23 C3 Dlog25 8 （5 分）已知 a，b，c，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 9 （5 分）已知正实数 m，m 满足+4，则 m+n 的最小值是（ ） A2 B4 C9 D 10 （5 分）从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球，摸到红球、白球和黄球的 概率分别为，从
4、袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记下的颜色中有红 有白但没有黄的概率为（ ） A B C D 11 （5 分）已知 F 是双曲线1（a0，b0）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直 于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 （ ） A （1，2） B （2，1+） C （，1） D （1+，+） 12 （5 分）已知定义在 R 上的可导函数 f（x） ，对于任意实数 x 都有 f（x）f（x）2x 成立，且当 x （，0时，都有 f（x）2x+1 成立，若 f（2m）f（m1）+3m（m+1）
5、，则实数 m 的取值范围为 （ ） A （1，） B （1，0） C （，1） D （，+） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）命题 p：x0（0，+） ，x02x0+2，则p 是 14 （5 分）已知两个单位向量，满足，则 与 的夹角为 15（5分） 设数列an的前n项和， n1， 2， 3， ， 则an的通项公式为an 16（5 分） 已知函数 f （x） ， 若 f （x） 的两个零点分别为 x1， x2， 则|x1x2| 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或
6、演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题：60 分分 17 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且满足 cos（C+B）cos（CB）cos2A sinCsinB （1）求 A； （2）若 a3，求 b+2c 的最大值 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD，ABCD，BCD90，AB2BC2CD4，PAB 为等边三角 形，平面 PAB平面 ABCD，Q 为 PB
7、 中点 （1）求证：AQ平面 PBC； （2）求二面角 BPCD 的余弦值 19 （12 分）新高考改革后，国家只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别 放在每个学年的上、 下学期， 物理、 化学、 生物、 地理、 历史、 政治这六科则以该省的省会考成绩为准 考 生从中选择三科成绩，参加大学相关院系的录取 （1）若英语等级考试成绩有一次为优，即可达到某 211 院校的录取要求假设某个学生参加每次等级考 试事件是独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率都是，求该生在高二上学期的英语等级考试成 绩才为优的概率； （2） 据预测， 要想报考该 211 院校的相关院系， 省会考
8、的成绩至少在 90 分以上， 才有可能被该校录取 假 设该生在省会考六科的成绩，考到 90 分以上概率都是，设该生在省会考时考到 90 分以上的科目数为 ，求的分布列及数学期望 20 （12 分）已知椭圆 C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M， 点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2，椭圆 C 另一个焦点是 F1，且 （）求椭圆 C 的方程； （）直线 l 过点（1，0） ，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求F2PQ 的内切圆面积的最大值 21 （12 分）设函数 （）讨论 f（x）的单调性； （）若函数 f（x）存在极值，对于任意的 0
9、 x1x2，存在正实数 x0，使得 f（x1）f（x2）f（x0） （x1 x2） ，试判断 x1+x2与 2x0的大小关系并给出证明 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原 点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 （1）设点 M，N 分别为曲线 C1与曲线 C
10、2上的任意一点，求|MN|的最大值； （2）设直线 l：（t 为参数）与曲线 C1交于 P，Q 两点，且|PQ|1，求直线 l 的普通方 程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|+|x1| （1）当 a3 时，求不等式 f（x）x+9 的解集； （2）若 f（x）|x4|的解集包含0，2，求实数 a 的取值范围 2019-2020 学年山西省大同市高三（上）第一次联考数学试卷（理科）学年山西省大同市高三（上）第一次联考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分
11、，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ay|yln（x1），Bx|x240，则 AB（ ） Ax|x2 Bx|1x2 Cx|1x2 Dx|2x2 【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ay|yln（x1）y|yR， Bx|x240 x|2x2， ABx|2x2 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2 （5 分）欧拉公式 eixcosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将
12、指数函数的定义 域扩大到复数， 建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复变函数论里占有非常重要的地位， 被誉为 “数 学中的天桥” ，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】e2icos2+isin2，根据 2，即可判断出 【解答】解：e2icos2+isin2， 2， cos2（1，0） ，sin2（0，1） ， e2i表示的复数在复平面中位于第二象限 故选：B 【点评】本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题 3 （5 分）将函数 ysin（2x+）的图象向右平移个单位长
13、度后，所得图象的一个对称中心为（ ） A （，0） B （，0） C （，0） D （，0） 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论 【解答】解：将函数 ysin（2x+）的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 ysin（2x） ， 令 2xk，求得 x+，kZ，故函数的对称中心为（+，0） ，kZ， 故选：A 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题 4 （5 分）如图，在ABC 中，P 是 BN 上一点，若t+，则实数 t 的值为（ ） A B C D 【分析】由题意，可根据
14、向量运算法则得到+（1m），从而由向量分解的唯一性得出关 于 t 的方程，求出 t 的值 【解答】解：由题意及图， 又，所以，+（1m）， 又t+，所以，解得 m，t， 故选：C 【点评】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题 属于基础题难度较低， 5 （5 分）函数 f（x）6|sinx|的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据函数的对称性，以及函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可 【解答】解：f（x）f（x） ，则 f（x）为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 C， f（）10，排除 B， f（）664，排除 D， 故选：A 【点
15、评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数性质，结合排除法是解决本题的关键 6（5 分） 若 f （x） lnx 与 g （x） x2+ax 两个函数的图象有一条与直线 yx 平行的公共切线， 则 a （ ） A1 B2 C3 D3 或1 【分析】由题意可设公共切线的方程为 yx+t，t0，分别求得 f（x） ，g（x）的导数，可得切线的斜率， 求得切点坐标，可得切线方程，解 a 的方程可得所求值 【解答】解：由题意可设公共切线的方程为 yx+t，t0， 设与 f（x）的切点为（x1，y1） ，与 g（x）的切点为（x2，y2） ， 可得 f（x），切线斜率为，且 x11，y10， 切线方
16、程为 yx1， g（x）2x+a，切线斜率为 2x2+a， 由 2x2+a1，x22+ax2x21， 解得 a3，x21；或 a1，x21， 故选：D 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，两直线平行的条件：斜率相等，考 查方程思想和运算能力，属于基础题 7 （5 分）已知定义域为 R 的奇函数 f（x）满足 f（3x）+f（x）0，且当时，f（x）log2 （2x+7） ，则 f（2020）（ ） A2 Blog23 C3 Dlog25 【分析】根据题意， 由 f（3x） +f（x） 0 变形可得 f （x）f（3x） ，结合函数的奇偶性可得 f（x+3） f（x） ，
17、进而可得 f（x+6）f（x+3）f（x） ，即函数 f（x）是周期为 6 的周期函数，据此可得 f （2020）f（4+3366）f（4） ，结合函数的解析式分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（3x）+f（x）0，即 f（x）f（3x） ， 又由函数 f（x）为奇函数，则f（x）f（x）f（3x） ，变形可得 f（x+3）f（x） ， 则有 f（x+6）f（x+3）f（x） ，即函数 f（x）是周期为 6 的周期函数， 则 f（2020）f（4+3366）f（4） ， 又由 f（3x）+f（x）0，则 f（34）+f（4）0，即 f（4）f（1）log25， 即 f（
18、2020）log25， 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题 8 （5 分）已知 a，b，c，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 【分析】根据幂函数的单调性即可求出 【解答】解：a，b，c， 则 a70235（25）7327（27）51285， b70514（52）7257， c70710（72）5495， abc， 故选：A 【点评】本题考查了不等式的大小比较，掌握幂函数的单调性是关键，属于基础题 9 （5 分）已知正实数 m，m 满足+4，则 m+n 的最小值是（ ） A2 B4 C9 D 【分析】由 m+n（m+n） （）
19、 ，展开后利用基本不等式即可求解 【解答】解：正实数 m，m 满足+4， 则 m+n（m+n） （）（5）， 当且仅当且+4，即 m，n时取得最小值， 故选：D 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑 10 （5 分）从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球，摸到红球、白球和黄球的 概率分别为，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记下的颜色中有红 有白但没有黄的概率为（ ） A B C D 【分析】记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2 红 1 白，1 红 2 白，由此能求出所求概率 【解答】解：从装有若干个大小
20、相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球， 摸到红球、白球和黄球的概率分别为， 从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次， 记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2 红 1 白，1 红 2 白， 则所求概率： p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发 生 k 次的概率计算公式的合理运用 11 （5 分）已知 F 是双曲线1（a0，b0）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直 于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 （ ） A
21、 （1，2） B （2，1+） C （，1） D （1+，+） 【分析】根据双曲线的对称性，得到等腰ABE 中，AEB 为锐角，可得|AF|EF|，将此式转化为关于 a、c 的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率 e 的取值范围 【解答】解：根据双曲线的对称性，得 ABE 中，|AE|BE|， ABE 是锐角三角形，即AEB 为锐角， 由此可得 RtAFE 中，AEF45， 得|AF|EF| |AF|，|EF|a+c， a+c，即 2a2+acc20， 两边都除以 a2，得 e2e20，解之得1e2， 双曲线的离心率 e1， 该双曲线的离心率 e 的取值范围是（1，2） 故选：A 【点评】
22、本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着 重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题 12 （5 分）已知定义在 R 上的可导函数 f（x） ，对于任意实数 x 都有 f（x）f（x）2x 成立，且当 x （，0时，都有 f（x）2x+1 成立，若 f（2m）f（m1）+3m（m+1） ，则实数 m 的取值范围为 （ ） A （1，） B （1，0） C （，1） D （，+） 【分析】令 g（x）f（x）x2x，可判断出函数 g（x）为 R 上偶函数当 x（，0时，都有 f （x）2x+1 成立，可得 g（x）f（x）2x10，可得函数
23、 g（x）的单调性f（2m）f（m1） +3m（m+1） ，即 g（2m）g（m1） ，因此 g（|2m|）g（|m1|） ，利用单调性即可得出 【解答】解：令 g（x）f（x）x2x， 则 g（x）g（x）f（x）x2+xf（x）+x2+x0， g（x）g（x） ，函数 g（x）为 R 上的偶函数 当 x（，0时，都有 f（x）2x+1 成立， g（x）f（x）2x10， 函数 g（x）在 x（，0上单调递减，在0，+）上单调递增 f（2m）f（m1）+3m（m+1） ，即 f（2m）4m22mf（m1）（m1）2（m1） ， g（2m）g（m1） ，因此 g（|2m|）g（|m1|） ，
24、|2m|m1|， 化为：3m2+2m10， 解得 故选：A 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、方程与不等式的解法、构造法，考查 了推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）命题 p：x0（0，+） ，x02x0+2，则p 是 x（0，+） ，x2x+2 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 p：x0（0，+） ，x02x0+2，则p 是x （0，+） ，x2x+2 故答案为：x（0，+）
25、，x2x+2 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查 14 （5 分）已知两个单位向量，满足，则 与 的夹角为 【分析】根据是单位向量，即可对两边平方即可求出，从而得出 ，根据向量夹角的范围即可求出 ， 的夹角 【解答】解：是单位向量； 对两边平方可得：； ； ； 又； 与 的夹角为 故答案为： 【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围 15 （5 分）设数列an的前 n 项和，n1，2，3，则an的通项公式为 an 4n2n 【分析】通过数列an的前 n 项和，n2，推出 是等比数列，首项为 2，公比为 2，然后
26、求解数列的通项公式 【解答】解：数列an的前 n 项和， 所以，n2， 两式相减可得：an， 可得， 所以：， 可得， 所以是等比数列，首项为 2，公比为 2， 可得，an4n2n an的通项公式为：4n2n 故答案为：4n2n 【点评】 本题考查数列的递推关系式的应用， 通项公式的求法， 考查转化首项以及计算能力， 是中档题 16 （5 分） 已知函数 f （x） ， 若 f （x） 的两个零点分别为 x1， x2， 则|x1x2| 3 【分析】 换底公式得到， 然后令 f （x） 0， 从而得出 x3， x0， x+3， x0，然后画出直线 yx3，yx，yx+3 以及函数 y和 y的图象
27、，由图象可看出|x1 x2|为 A，B 两点距离的一半，从而求出|x1x2|的值 【解答】解：，令 f（x）0，则有 x3，x+3， 所以直线 yx3 和曲线 y的交点 C 横坐标为 x1，直线 yx+3 和曲线 y的交点 D 横 坐标为 x2， 如图，两曲线关于 yx 对称，两直线也关于 yx 对称， 所以 CDAD，CDCB， 所以|x1x2|3， 故答案为：3 【点评】考查函数零点的概念，函数的零点和直线与曲线交点的关系，互为反函数的两图象的对称性， 以及数形结合解题的方法 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算
28、步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题：60 分分 17 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且满足 cos（C+B）cos（CB）cos2A sinCsinB （1）求 A； （2）若 a3，求 b+2c 的最大值 【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围 0A，可求 A 的 值 （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 b+2c2sin（B+） ，由题意， ，利用正弦函数
29、的性质可求其最大值 【解答】解： （1）cos（C+B）cos（CB）cos2AsinCsinBcos2（C+B）sinCsinB， cos（C+B）cos（CB）cos（C+B）sinCsinB， 则cosA2sinCsinBsinCsinB， 可得， 0A， （2）由，得 ， 其中， 由，得， sin（B+）的最大值为 1， b+2c 的最大值为 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，正弦函数的性质，考查了计算能力和转 化思想，属于中档题 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD，ABCD，BCD90，AB2BC2CD4，PAB 为等边三角 形，平面 PAB平面 ABC
30、D，Q 为 PB 中点 （1）求证：AQ平面 PBC； （2）求二面角 BPCD 的余弦值 【分析】 （1）推导出 ABBC，从而 BC平面 PAB，进而 BCAQ，再求出 PBAQ，由此能证明 AQ 平面 PBC （2）取 AB 中点为 O，连接 PO，推导出 POAB，PO平面 ABCD，ODAB以 AB 中点 O 为坐标原 点，分别以 OD，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求出二 面角 BPCD 的余弦值 【解答】证明： （1）因为 ABCD，BCD90， 所以 ABBC， 又平面 PAB平面 ABCD，且平面 PAB平面 ABCDAB，
31、 所以 BC平面 PAB， （1 分） 又 AQ平面 PAB，所以 BCAQ， （2 分） 因为 Q 为 PB 中点，且PAB 为等边三角形，所以 PBAQ， （3 分） 又 PBBCB，所以 AQ平面 PBC （4 分） 解： （2）取 AB 中点为 O，连接 PO， 因为PAB 为等边三角形，所以 POAB， 由平面 PAB平面 ABCD，因为 PO平面 PAB， 所以 PO平面 ABCD， （5 分） 所以 POOD，由 AB2BC2CD4，ABC90， 可知 ODBC，所以 ODAB 以 AB 中点 O 为坐标原点，分别以 OD，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴， 建立如图所示的
32、空间直角坐标系 Oxyz （6 分） 所以 A（0，2，0） ，D（2，0，0） ，C（2，2，0） ，P（0，0，2） ，B（0，2，0） ， 则（2，2，0） ，（2，0，2） ，（0，2，0） ， 因为 Q 为 PB 中点，所以 Q（0，1，） ， 由 （1）知，平面 PBC 的一个法向量为（0，3，） ， （7 分） 设平面 PCD 的法向量为 （x，y，z） ， 由，取 z1，得 （） ， （9 分） 由 cos （11 分） 因为二面角 BPCD 为钝角， 所以，二面角 BPCD 的余弦值为 （12 分） 【点评】该题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线
33、面、面面间的位 置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19 （12 分）新高考改革后，国家只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别 放在每个学年的上、 下学期， 物理、 化学、 生物、 地理、 历史、 政治这六科则以该省的省会考成绩为准 考 生从中选择三科成绩，参加大学相关院系的录取 （1）若英语等级考试成绩有一次为优，即可达到某 211 院校的录取要求假设某个学生参加每次等级考 试事件是独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率都是，求该生在高二上学期的英语等级考试成 绩才为优的概率； （2） 据预测， 要想报考该 211 院校的相关院系， 省会考的成绩
34、至少在 90 分以上， 才有可能被该校录取 假 设该生在省会考六科的成绩，考到 90 分以上概率都是，设该生在省会考时考到 90 分以上的科目数为 ，求的分布列及数学期望 【分析】 （1）记该生“英语等级考试成绩为优”为事件 A，概率为，则该生“英语等级考试成 绩不为优”为事件 ，概率为，由此能求出该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为 优的概率 （2）法一：由题意知的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列及数学期望 法二：依题意得B（6，） ，由此能求出的分布列及数学期望 【解答】解： （1）记该生“英语等级考试成绩为优”为事件 A，概率为， 则该
35、生“英语等级考试成绩不为优”为事件 ，概率为， 则该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率为： （2）解法一：由题意知的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6 则， ， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 P 解法二：依题意得B（6，） ， ，k0，1，2，3，4，5，6 ， ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 P 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概 率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C 中心在原点，焦点在坐标轴
36、上，直线与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M， 点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2，椭圆 C 另一个焦点是 F1，且 （）求椭圆 C 的方程； （）直线 l 过点（1，0） ，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求F2PQ 的内切圆面积的最大值 【分析】 （）根据直线与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2，可知焦点在 x 轴上且 M 点坐标（c，） F1（c，0） ，F2（c，0） 利用， 可得 c1，设椭圆 C 方程 M 点代入椭圆 C 方程，即可求得椭圆 C 方程； （）要使F2PQ 的内切圆面积最大，即使F2PQ
37、 的面积最大，根据 F2F1为定长，可得当且仅当直线 L 过（1，0） ，与 x 轴垂直时F2PQ 的面积最大 【解答】解： （）根据直线与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭 圆 C 的右焦点 F2， 可知焦点在 x 轴上且 M 点坐标（c，） F1（c，0） ，F2（c，0） ， ，c1设椭圆 C 方程： M 点坐标（1，）代入椭圆 C 方程得， c1， a2，b 椭圆 C 方程为 （）直线 l 过点（1，0） ，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点， 则F2PQ 的周长为 4a8，则4ar（r 为三角形内切圆半径） ， 要使F2PQ 的内切圆面积最大，即使F
38、2PQ 的面积最大， F2F1为定长，F2PQ 的面积为2|y1y2|， （y1，y2分别为 P，Q 的纵坐标） ， 可设直线 l 的方程为 xmy1，代入椭圆方程可得（4+3m2）y26my90， y1+y2，y1y2， |y1y2|2（y1+y2）24y1y2， 显然 m0 上式取得最大值， 当且仅当直线 L 过（1，0） ，与 x 轴垂直时F2PQ 的面积最大 此时 P（1，） ，Q（1，） |F2P|F2Q|，|PQ|3 设F2PQ 的内切圆半径为 r，则 r，其面积 S 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的内切圆的面积，考查学生分析解决问题的能力，综合 性强 21 （12 分
39、）设函数 （）讨论 f（x）的单调性； （）若函数 f（x）存在极值，对于任意的 0 x1x2，存在正实数 x0，使得 f（x1）f（x2）f（x0） （x1 x2） ，试判断 x1+x2与 2x0的大小关系并给出证明 【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可； （）分别计算 f（x0）和 f（） ，作差得到 f（x0）f（）， 设 t，则 t1，得到关于 t 的函数，根据函数的单调性判断即可 【解答】解： （）f（x）的定义域为（0，+） ， f（x）ax+（4a）， 当 a0 时，则 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增 当 a0 时，则由 f（x）0
40、 得，x，x1（舍去） ； 当 x（0，）时，f（x）0，当 x（，+）时，f（x）0； f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减； 综上所述，当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增 当 a0 时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减 （）由（）知，当 a0 时，f（x）存在极值 f（x1）f（x2）4（lnx1lnx2）a（x1+x2） （x1x2）+（4a） （x1x2） ， 由题设得 f（x0）a（x1+x2）+（4a） ， 又 f（）a+4a， f（x0）f（）a（x1+x2）+（4a）a+4 a ， 设 t，则 t1，则lnt（t1） ， 令 g（t）l
41、nt（t1） ，则 g（t）0， g（t）在（1，+）上单调递增， g（t）g（1）0，故0， 又x2x10，因此 f（x0）f（）0，即 f（）f（x0） ， 又由 f（x）ax+（4a）知 f（x）在（0，+）上单调递减， x0，即 x1+x22x0 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查计算能力，是一道综 合题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10
42、分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原 点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 （1）设点 M，N 分别为曲线 C1与曲线 C2上的任意一点，求|MN|的最大值； （2）设直线 l：（t 为参数）与曲线 C1交于 P，Q 两点，且|PQ|1，求直线 l 的普通方 程 【分析】 （1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果 （2）利用直线和曲线的位置关系的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）由题意知，曲线 C1的普通方程为（x3）2+y24，圆心 C1（
43、3，0） ，半径 r12 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y24，圆心 C2（0，0） ，半径 r22 |MN|max|C1C2|+r1+r23+2+27 （2）将直线 l 的参数方程代入（x3）2+y24 中，得（tcos4）2+（ tsin）24， 整理得 t28tcos+120， 64cos2480 设 P，Q 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1+t28cos，t1t212 由|PQ|1 及参数 t 的几何意义， 得， 解得，满足0， 直线 l 的斜率为， 直线 l 的方程为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用，一元二次方程 根和系数关
44、系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|+|x1| （1）当 a3 时，求不等式 f（x）x+9 的解集； （2）若 f（x）|x4|的解集包含0，2，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）分段去绝对值解不等式即可； （2）f（x）|x4|等价于|x+a|x4|x1|，由 x0，2，分情况讨论去绝对值，转化为恒成立问题， 列不等式求解即可 【解答】解： （1）当 a3 时， 当 x3 时，由2x2x+9，得； 当3x1 时，由 4x+9，得 x5，无解； 当 x1 时，由 2x+2x+9，得 x7 综上，f（x）x+9 的解集为 （2）f（x）|x4|等价于|x+a|x4|x1| 当 x0，1时，|x+a|x4|x1|3， 3ax3a， 则有3a0，3a1，得3a2 当 x（1，2时，|x+a|x4|x1|52x， 2x5x+a52x， 对任意的 x（1，2恒成立， 得3a1 综上，实数 a 的取值范围为3，1 【点评】本题考查绝对值不等式的解法、含参不等式恒成立求参数的取值范围问题，考查分类讨论思想 及运算求解能力，属于基础题
