1、 2018-2019 学年山东省青岛市局属四校七年级（下）期末数学试卷学年山东省青岛市局属四校七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）下列每小题都给出分）下列每小题都给出 A、B、C、D 四个结论，四个结论， 其中只有一个是正确的，每小题选对得分：不选、错选或选出的标号超过一个的不得分其中只有一个是正确的，每小题选对得分：不选、错选或选出的标号超过一个的不得分 1 （3 分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列算式正确的是（ ） Ax5+x5x10 B （a
2、b）7（ab）3a4b4 C （x5）5x25 D （x）5（x）5x10 3 （3 分）如图，直线 ab，1120，240，则3 等于（ ） A60 B70 C80 D90 4 （3 分）如图所示，在ABC 和DEC 中，ACDC若添加条件后使得ABCDEC，则在下列条件 中，添加不正确的是（ ） ABCEC，BCEDCA BBCEC，ABDE CBE，AD DABDE，BE 5 （3 分）在下列条件中，不能确定ABC 是直角三角形的条件是（ ） AABC BA2B3C CABC DA2B2C 6 （3 分）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如
3、 图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ） A从一装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 B掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率 C抛一枚硬币，出现正面的概率 D任意写一个整数，它能被 2 整除的概率 7 （3 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中剪去一个边长为 1 的小正方形 CEFG，动点 P 从点 A 出发， 沿 ADEFGB 的路线绕多边形的边匀速运动到点 B 时停止（不含点 A 和点 B） ，则ABP 的面 积 S 随着时间 t 变化的函数图象大致是（ ） A B C D 8 （3 分）如图所示，等腰 RtABC 中，C90，AD 平分CAB，交
4、 BC 于 D，过 D 作 DEAB 于 E， 若 CDb，BDa，那么 AB 的长度是（ ） Aa+b Ba+2b C2a+b D2a+2b 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9 （3 分）水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成了一个深为 0.0000048cm 的小洞，则数字 0.0000048 用科学记数法可表示 10 （3 分） 11 （3 分）任意写出一个两位数，个位上的数字恰好是 5 的概率的是 12（3 分） 一张纸条如图所示， BCDE， 将纸条沿着 BE 折叠， 若ABC38， 则DEF
5、的度数是 13 （3 分）已知，一副三角板如图所示摆放，此时ABC35，那么DEF 14 （3 分）如图所示，DE、FG 分别是ABC 两边 AB、AC 的中垂线，分别交 BC 于 E、G若 BC12， EG2，则AEG 的周长是 15 （3 分）已知整数 a1，a2，a3，a4满足下列条件：a10，a2|a1+1|，a3|a2+2|，a4|a3+3|， 依此类推，则 a2019的值为 16 （3 分）已知，等腰ABC 中，ABAC，E 是高 D 上任一点，F 是腰 AB 上任一点，腰 AC5，BD3， AD4，那么线段 BE+EF 的最小值是 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分
6、）分） 17 （4 分）已知线段 a 和1， 求作：等腰ABC，使腰 ABAC2a，底角等于1 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 7 道小题，满分道小题，满分 68 分）分） 18 （18 分）计算 （1） （2） （2x1）2（2x+1）2 （3） （1+a） （a1） （a2+1） （a41） （4）（x+2y）2（x+y） （3xy）5y2（x） ，其中 x2，y 19 （6 分）推理填空 已知，如图，ABCD，ADBC，BE 平分ABC 交 AD 于 E，DF 平分ADC 交 BC 于 F，求证：BE DF 证明：ADBC A+ 180（两直线平行，同旁内角互补） ABCD A
7、+ 180（两直线平行，同旁内角互补） （ ） 又BE 平分ABC ABC（角平分线定义） 又DF 平分ADC ADC（角平分线定义） ADBC AEB （两直线平行，内错角相等） （等量代换） BEDF（同位角相等，两直线平行） 20 （6 分）小明和小丽做游戏：一只蚂蚁在如图所示的方格纸上爬来爬去，并随意停留在某处，若蚂蚁停 留在阴影区域，小明胜，否则小丽胜这个游戏对双方公平吗？请说明理由 21 （8 分）小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下 给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立 即赶往学校
8、，妈妈沿原路返回，16min 时到家，假设小东始终以 100m/min 的速度步行，两人离家的距离 y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间 t（单位；min）之间的函数关系如图所示： （1）小东打电话时，他离家 m； （2）填上图中空格相应的数据 ； （3）小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为 m/min； （4） min 时，两人相距 750m 22（8 分） 已知等腰直角ABD 和等腰直角DFC 如图放置， BDAD， DFDC， ADBFDC90， 其中，B、D、C 在一条直线上，连接 BF 并延长交 AC 于 E （1）求证：BFAC； （2）BF 与 AC 有什么位置关系？说明理由
9、（3）若 ABBC，BF 与 AE 有什么数量关系？请说明理由 23 （10 分）对于一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b，总有 ab，我们把十位上的数与个位上的数 的平方和叫做这个两位数的 “平方和数” ， 把十位上的数与个位上的数的平方差叫做 “平方差数” 例如， 对两位数 43 来说，42+3225，42327，所以 25 和 7 分别是 43 的“平方和数”与“平方差数” （1）76 的“平方和数”是 ， “平方差数”是 （2）5 可以是 的“平方差数” （3）若一个数的“平方和数”是 10， “平方差数”是 8，则这个数是 （4）若一个数的“平方和数”与它的“平方差数”相等，那
10、么这个数满足什么特征？为什么？（写出说 明过程） （5） 若一个数的 “平方差数” 等于它十位上的数与个位上的数差的十倍， 此时， 我们把它叫做 “凑整数” ， 请你写出两个这样的凑整数 ， 24 （12 分）已知：如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC，ADBC，CDAB，点 E 沿着 BA 从 B 向 A 运 动，同时点 F 沿 AC 从 A 向 C 运动，E、F 两点速度相同，当 E 到达 A 时，两点停止运动 （1）图中有 对全等三角形请你找一对说明理由，写出过程 （2）在 E、F 运动过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？请说明理由 （3）当 CE 平分ACB 时，延长 DF 交
11、CE 于 G，试说明CGFB （4）在（3）的条件下，若ECAACD，请问此时 E 点和 G 点重合吗？为什么？ 2018-2019 学年山东省青岛市局属四校七年级（下）期末数学试卷学年山东省青岛市局属四校七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）下列每小题都给出分）下列每小题都给出 A、B、C、D 四个结论，四个结论， 其中只有一个是正确的，每小题选对得分：不选、错选或选出的标号超过一个的不得分其中只有一个是正确的，每小题选对得分：不选、错选或选出的标号超过一个的
12、不得分 1 （3 分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念 2 （3 分）下列算式正确的是（ ） Ax5+x5x10 B （ab）7（ab）3a4b4 C （x5）5x25 D （x）5（x）5x10 【分
13、析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方以及同底数幂的乘法法则化简即 可得出正确选项 【解答】解：x5+x52x5，故选项 A 错误； （ab）7（ab）3（ab）4，故选项 B 错误； （x5）5x25，故选项 C 正确； （x）5（x）5x10，故选项 D 错误 故选：C 【点评】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键 3 （3 分）如图，直线 ab，1120，240，则3 等于（ ） A60 B70 C80 D90 【分析】由 ab，根据平行线的性质得14120，再根据三角形外角性质得42+3，所 以34280 【解答】解：如图， ab， 1412
14、0， 42+3， 而240， 12040+3， 380 故选：C 【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等也考查了三角形外角性质 4 （3 分）如图所示，在ABC 和DEC 中，ACDC若添加条件后使得ABCDEC，则在下列条件 中，添加不正确的是（ ） ABCEC，BCEDCA BBCEC，ABDE CBE，AD DABDE，BE 【分析】直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而 SSA 是不能判定三角形全等 的 【解答】解：A、添加 BCEC，BCEDCA 可用 SAS 判定两个三角形全等，故 A 选项正确； B、添加 BCEC，ABDE 可用 SSS 判定
15、两个三角形全等，故 B 选项正确； C、添加BE，AD 可用 AAS 判定两个三角形全等，故 C 选项正确； D、添加 BCEC，AD 后是 SSA，无法证明三角形全等，故 D 选项错误 故选：D 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型 5 （3 分）在下列条件中，不能确定ABC 是直角三角形的条件是（ ） AABC BA2B3C CABC DA2B2C 【分析】根据三角形内角和定理，求出 A，B，C 即可判断 【解答】解：由ABC，易知A30，B60，C90，故选项 A 不符合题意， 由ABC，易知A45，B45，C90，故选项 B 不符合题意 由A2
16、B2C，易知A90，B45，C45，故选项 A 不符合题意 故选：B 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 6 （3 分）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如 图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ） A从一装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 B掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率 C抛一枚硬币，出现正面的概率 D任意写一个整数，它能被 2 整除的概率 【分析】分析四个选项中的概率，为 33%左右的符合条件 【解答】解：A、从一装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一
17、球，取到红球的概率是0.33； B、掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率是； C、抛一枚硬币，出现正面的概率； D、任意写一个整数，它能被 2 整除的概率，即为偶数的概率为 由用频率去估计概率的统计图可知当试验次数到 600 次时频率稳定在 33%左右，故符合条件的只有 A 故选：A 【点评】本题考查了概率的知识用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 7 （3 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中剪去一个边长为 1 的小正方形 CEFG，动点 P 从点 A 出发， 沿 ADEFGB 的路线绕多边形的边匀速运动到点 B 时停止（不含点 A 和点 B） ，则ABP 的面 积 S
18、 随着时间 t 变化的函数图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据点 P 在 AD、DE、EF、FG、GB 上时，ABP 的面积 S 与时间 t 的关系确定函数图象 【解答】解：当点 P 在 AD 上时，ABP 的底 AB 不变，高增大，所以ABP 的面积 S 随着时间 t 的增大 而增大； 当点 P 在 DE 上时，ABP 的底 AB 不变，高不变，所以ABP 的面积 S 不变； 当点 P 在 EF 上时，ABP 的底 AB 不变，高减小，所以ABP 的面积 S 随着时间 t 的减小而减小； 当点 P 在 FG 上时，ABP 的底 AB 不变，高不变，所以ABP 的面积 S 不变； 当
19、点 P 在 GB 上时，ABP 的底 AB 不变，高减小，所以ABP 的面积 S 随着时间 t 的减小而减小； 故选：B 【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点 P 在不同的线段上ABP 的面积 S 与时间 t 的 关系是解题的关键 8 （3 分）如图所示，等腰 RtABC 中，C90，AD 平分CAB，交 BC 于 D，过 D 作 DEAB 于 E， 若 CDb，BDa，那么 AB 的长度是（ ） Aa+b Ba+2b C2a+b D2a+2b 【分析】只要证明 ACAEBCa+b，CDDEBEb 即可解决问题 【解答】解：CACB，C90， B45， DEAB， DEB90，
20、EDBB45， EDEB， DA 平分CAB，DCAC，DEAB， CDDEEBb， DCDE，ADAD，CAED90， RtADCRtADE（HL） ， AEACBCa+b， ABAE+BEa+2b， 故选：B 【点评】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9 （3 分）水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成了一个深为 0.0000048cm 的小洞，则数字 0.000004
21、8 用科学记数法可表示 4.810 6 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00000484.810 6， 故答案为：4.810 6 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 10 （3 分） 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式+11 故答案为： 【点评】此题主要考查了零
22、指数幂的性质以及负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键 11 （3 分）任意写出一个两位数，个位上的数字恰好是 5 的概率的是 【分析】列举出个位数上数字的所有情况即可求得个位数字是 5 的概率 【解答】解：个位上的数字共 09 十种情况， 故 P（个位数字是5）， 故答案为：； 【点评】本题考查了概率的公式，属于概率的基本情况，比较简单 12（3分） 一张纸条如图所示， BCDE， 将纸条沿着BE折叠， 若ABC38， 则DEF的度数是 109 【分析】如图，延长 AB 交 DR 于 T想办法求出DEB 即可解决问题 【解答】解：如图，延长 AB 交 DR 于 T BCDE， ABCATR3
23、8 ATEC， CERATR38， DEBCEB（18038）71， DEF180DEB109， 故答案为 109 【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关 键 13 （3 分）已知，一副三角板如图所示摆放，此时ABC35，那么DEF 40 【分析】根据三角形内角和定理求出DFE 即可 【解答】解：如图，C90，ABC35， TAFCAB903555， T45， AFT180455580， DFEAFT80， D60， DEF180806040， 故答案为 40 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角板的内角的度数等知识，解题的关键是熟练掌握基
24、本知识， 属于中考常考题型 14 （3 分）如图所示，DE、FG 分别是ABC 两边 AB、AC 的中垂线，分别交 BC 于 E、G若 BC12， EG2，则AEG 的周长是 16 【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AEBE，CGAG，求出 AE+AGBE+CG12 即可解决问题 【解答】解：DE，FG 分别是ABC 的 AB，AC 边的垂直平分线， AEBE，CGAG， BC12，GE2， AE+AGBE+CG12+214， AGE 的周长是 AG+AE+EG14+216， 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，注意：线段 垂直平分线上的点到线段两
25、个端点的距离相等 15 （3 分）已知整数 a1，a2，a3，a4满足下列条件：a10，a2|a1+1|，a3|a2+2|，a4|a3+3|， 依此类推，则 a2019的值为 1009 【分析】根据条件求出前几个数的值，再分 n 是奇数时，结果等于（n1） ，n 是偶数时，结果等于 ，然后把 n 的值代入进行计算即可得解 【解答】解：a10， a2|a1+1|0+1|1， a3|a2+2|1+2|1， a4|a3+3|1+3|2， a5|a4+4|2+4|2， ， 所以，n 是奇数时，an（n1） ，n 是偶数时，an， a2019（20191）1009 故答案为：1009 【点评】此题主要考
26、查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出 n 为奇数与偶数时的结果的变化规律 是解题的关键 16 （3 分）已知，等腰ABC 中，ABAC，E 是高 D 上任一点，F 是腰 AB 上任一点，腰 AC5，BD3， AD4，那么线段 BE+EF 的最小值是 【分析】 如图作等 F 关于 AD 的对称点 F， 连接 EF 作 BHAC 于 H 根据垂线段最短可知， 当 B， E，F共线，且与 H 重合时，BE+EF 的值最小，最小值就是线段 BH 的长 【解答】解：如图作等 F 关于 AD 的对称点 F，连接 EF作 BHAC 于 H ABAC，ADBC， BDCD3， 点 F在 AC 上， BE+
27、EFBE+EF， 根据垂线段最短可知， 当 B， E， F共线， 且与 H 重合时， BE+EF 的值最小， 最小值就是线段 BH 的长 在 RtACD 中，AC5， BCADACBH， BH， BE+EF 的最小值为， 故答案为 【点评】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利 用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）分） 17 （4 分）已知线段 a 和1， 求作：等腰ABC，使腰 ABAC2a，底角等于1 【分析】先MBN1，在 BM 上截取 BA2a，然后以 A 点为圆心，BA 为半径画弧交 BN
28、 于 C，则 ABC 满足条件 【解答】解：ABC 为所作 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几 何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本 性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 7 道小题，满分道小题，满分 68 分）分） 18 （18 分）计算 （1） （2） （2x1）2（2x+1）2 （3） （1+a） （a1） （a2+1） （a41） （4）（x+2y）2（x+y） （3xy）5y2（x） ，其中 x2，y 【分析】 （1）原式利用幂的乘方与
29、积的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算即可求出 值； （2）原式利用积的乘方运算法则变形，再利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值； （3）原式利用平方差公式计算即可求出值； （4）原式中括号中利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项 式法则计算得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值 【解答】解： （1）原式x8y4（xy2）2x7y2； （2）原式（2x1） （2x+1）2（4x21）216x48x2+1； （3）原式（a21） （a2+1） （a4+1）（a41） （a4+1）a81； （4）原式（x2+4xy+4y23x2
30、2xy+y25y2）（x）（2x2+2xy）（x）4x4y， 当 x2，y时，原式8210 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19 （6 分）推理填空 已知，如图，ABCD，ADBC，BE 平分ABC 交 AD 于 E，DF 平分ADC 交 BC 于 F，求证：BE DF 证明：ADBC A+ ABC 180（两直线平行，同旁内角互补） ABCD A+ ADC 180（两直线平行，同旁内角互补） ABC ADC （ 同角的补角相等 ） 又BE 平分ABC EBF ABC（角平分线定义） 又DF 平分ADC ADF ADC（角平分线定义） ADF EBF
31、ADBC AEB EBF （两直线平行，内错角相等） ADF AEB （等量代换） BEDF（同位角相等，两直线平行） 【分析】根据平行线的性质得出A+ABC180，A+ADC180，求出ABCADC，根据 角平分线定义求出EBFADF，求出AEBADF 即可 【解答】证明：ADBC， A+ABC180（两直线平行，同旁内角互补） ， ABCD， A+ADC180（两直线平行，同旁内角互补） ABCADC（同角的补角相等） ， 又BE 平分ABC， EBFABC（角平分线定义） ， 又DF 平分ADC ADFADC（角平分线定义） ， EBFADF， ADBC， AEBEBF（两直线平行，内错
32、角相等） ， AEBADF（等量代换） ， BEDF（同位角相等，两直线平行） ， 故答案为：ABC，ADC，ABC，ADC，同角的补角相等，EBF，ADF，EBF，ADF， EBF，AEB，ADF 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键 20 （6 分）小明和小丽做游戏：一只蚂蚁在如图所示的方格纸上爬来爬去，并随意停留在某处，若蚂蚁停 留在阴影区域，小明胜，否则小丽胜这个游戏对双方公平吗？请说明理由 【分析】游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可 【解答】解：正方形的面积为 9，阴影部分的面积为 1+1143， ， 小明获胜的概率为，小丽获
33、胜的概率为 1， ， 不公平 【点评】 本题考查的是游戏公平性的判断 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率， 概率相等就公平， 否则就不公平用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21 （8 分）小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下 给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立 即赶往学校，妈妈沿原路返回，16min 时到家，假设小东始终以 100m/min 的速度步行，两人离家的距离 y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间 t（单位；min）之间的函数关系如图所示： （1）小东打电话时，他离家
34、 1400 m； （2）填上图中空格相应的数据 800，2400，2900 ； （3）小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为 50 m/min； （4） 或 11 min 时，两人相距 750m 【分析】 （1）根据函数图象可以直接得到小东打电话时，他离家的距离； （2）根据函数图象中的数据，可以算出图中空格中应填入的数据； （3）根据函数图象中的数据可以计算出小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度； （4）根据题意和图象中的数据，可以计算出两人相距 750m 对应的时间 【解答】解： （1）由图象可得， 小东打电话时，他离家 1400m， 故答案为：1400； （2）由图可得， 小东行驶 6min 对
35、应的 y 的值为：14006100800， 小东行驶到 22min 时对应的 y 值为： （14006100）+（226）1002400， 小东行驶到 27min 时对应的 y 值为： （14006100）+（276）1002900， 故答案为，800，2400，2900； （3）小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为：50（m/min） ， 故答案为：50； （4）设在 tmin 时，两人相距 750m， 相遇前相距 750m，t， 相遇后相距 750m，t6+11， 故答案为：或 11 【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 22（8 分） 已知等腰直角AB
36、D 和等腰直角DFC 如图放置， BDAD， DFDC， ADBFDC90， 其中，B、D、C 在一条直线上，连接 BF 并延长交 AC 于 E （1）求证：BFAC； （2）BF 与 AC 有什么位置关系？说明理由 （3）若 ABBC，BF 与 AE 有什么数量关系？请说明理由 【分析】 （1）利用 SAS 定理证明BDFADC，根据全等三角形的性质证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到DBFDAC，证明BEA90，根据垂直的定义证明； （3）根据等腰三角形的三线合一得到 AEAC，根据（1）中结论证明即可 【解答】 （1）证明：在BDF 和ADC 中， ， BDFADC（SAS） BF
37、AC； （2）解：BFAC， 理由如下：BDFADC， DBFDAC， DBF+DFB90，DFBEFA， EFA+DAC90， BEA90， BFAC； （3）解：若 ABBC，BF2AE， 理由如下：ABBC，BFAC， AEAC， BFAC， BF2AE 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性 质定理是解题的关键 23 （10 分）对于一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b，总有 ab，我们把十位上的数与个位上的数 的平方和叫做这个两位数的 “平方和数” ， 把十位上的数与个位上的数的平方差叫做 “平方差数” 例如， 对两位数 43
38、 来说，42+3225，42327，所以 25 和 7 分别是 43 的“平方和数”与“平方差数” （1）76 的“平方和数”是 85 ， “平方差数”是 13 （2）5 可以是 32 的“平方差数” （3）若一个数的“平方和数”是 10， “平方差数”是 8，则这个数是 31 （4）若一个数的“平方和数”与它的“平方差数”相等，那么这个数满足什么特征？为什么？（写出说 明过程） （5） 若一个数的 “平方差数” 等于它十位上的数与个位上的数差的十倍， 此时， 我们把它叫做 “凑整数” ， 请你写出两个这样的凑整数 55 ， 91 【分析】 （1）根据“平方和数” ， “平方差数”的定义即可求
39、解； （2）找到两个平方数的差是 5 的数即可求解； （3）先把“平方和数”加上“平方差数” ，除以 2 后再求算术平方根可得十位上的数字，进一步可得个 位上的数字； （4）根据“平方和数” ， “平方差数”的定义，可得个位数字是 0，依此即可求解； （5）根据“凑整数”的定义列出方程，进一步得到满足条件的数即可求解 【解答】解： （1）76 的“平方和数”是 72+6285， “平方差数”是 726213 （2）因为 32225， 所以 5 可以是，32 的“平方差数” （3） （10+8）29， 3， 1 故这个数是 31 （4）若一个数的“平方和数”与它的“平方差数”相等，那么这个数满足
40、个位是 0 的特征， 因为 a2+b2a2b2， 解得 b0； （5）依题意有 a2b210（ab） ， （ab） （a+b10）0， ab0 或 a+b100 因为 ab， 则两个这样的凑整数 55，91 故答案为：85，13；32；31；55，91 【点评】考查了平方差公式，关键是熟练理解和掌握“平方和数”与“平方差数” ， “凑整数”的定义 24 （12 分）已知：如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC，ADBC，CDAB，点 E 沿着 BA 从 B 向 A 运 动，同时点 F 沿 AC 从 A 向 C 运动，E、F 两点速度相同，当 E 到达 A 时，两点停止运动 （1）图中有 3 对
41、全等三角形请你找一对说明理由，写出过程 （2）在 E、F 运动过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？请说明理由 （3）当 CE 平分ACB 时，延长 DF 交 CE 于 G，试说明CGFB （4）在（3）的条件下，若ECAACD，请问此时 E 点和 G 点重合吗？为什么？ 【分析】（1） 根据全等三角形的判定定理写出图中的所有全等三角形， 根据 SAS 定理证明ABCCDA； （2）证明BCEDAF，得到图中阴影部分的面积ABC 的面积； （3）利用 SAS 定理证明AECCFD，根据全等三角形的性质解答； （4）根据等腰三角形的判定定理得到 EAEC，根据BCEGCF 得到 BCGC，证明
42、 CBCE，证 明结论 【解答】解： （1）ABCCDA，BCEDAF，AECCFD， 证明ABCCDA， 证明：ADBC，CDAB， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，BADC， 在ABC 和CDA 中， ， ABCCDA（SAS） ， 故答案为：3； （2）在 E、F 运动过程中，图中阴影部分的面积不发生变化， 理由如下：由题意得，BEAF， ABAC， ABCACB， ADBC， DACACB， DACB， 在BCE 和DAF 中， ， BCEDAF（SAS） ， 图中阴影部分的面积ABC 的面积， 在 E、F 运动过程中，图中阴影部分的面积不发生变化； （3）BEAF， AECF， 在AEC 和CFD 中， ， AECCFD（SAS） AECDFC， BECGFC， BCEACE， CGFB （4）ABCD， BACACD， ECAACD， ECABAC， EAEC， CFAE， CFCE， 在BCE 和GCF 中， ， BCEGCF（AAS） BCGC， EACECA，BCEACE， BECACB， ACBB， BECB， CBCE，又 CBGC， E 点和 G 点重合 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质、平行四边形的性质，掌握全等 三角形的判定定理和性质定理是解题的关键
