1、2018-2019 学年山东省临沂市莒南县七年级（下）期末数学试卷学年山东省临沂市莒南县七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 42 分分.） 1 （3 分）点 A（3，4）所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （3 分）解方程组时，把代入，得（ ） A2（3y2）5x10 B2y（3y2）10 C （3y2）5x10 D2y5（3y2）10 3 （3 分）要反映我县 2019 年 6 月 30 日7 月 6 日这一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（ ） A条形统计图 B扇形统计图 C折线统计图 D频数分布直方图 4
2、 （3 分）如图，直线 ab，ACAB，AC 交直线 b 于点 C，160，则2 的度数是（ ） A50 B45 C35 D30 5 （3 分）下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 ab，则 am2bm2 C若 ac2bc2，则 ab D若 mn，则 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7 （3 分）如图，直线 a、b 被直线 c 所截，下列说法正确的是（ ） A当12 时，一定有 ab B当 ab 时，一定有12 C当 ab 时，一定有1+290 D当1+2180时，一定有 ab 8 （3 分）已知|a+b1|+0，则（ba
3、）2019的值为（ ） A1 B1 C2019 D2019 9 （3 分）已知是二元一次方程组的解，则 ba 的值是（ ） A1 B2 C3 D4 10 （3 分）若关于 x 的不等式组无解，则 a 的取值范围是（ ） Aa3 Ba3 Ca3 Da3 11 （3 分）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球 的价格不同，但同一种气球的价格相同由于会场布置需要，购买时以一束（4 个气球）为单位，已知 第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ） A19 B18 C16 D15 12 （3 分）某校组织部分学参加安全知识竞赛，并将成绩整理后绘制
4、成直方图，图中从左至右前四组的百 分比分别是 4%，12%，40%，28%，第五组的频数是 8则： 参加本次竞赛的学生共有 100 人； 第五组的百分比为 16%； 成绩在 7080 分的人数最多； 80 分以上的学生有 14 名； 其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 13 （3 分）已知关于 x 的不等式组仅有三个整数解，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 14 （3 分）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用 1200 元购买篮球和排球，其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A
5、4 种 B3 种 C2 种 D1 种 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 15 （3 分）的立方根是 16 （3 分）如图，有一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果244，那么 1 的度数是 17 （3 分）若二元一次方程组的解为，则 ab 18 （3 分）已知关于 x 的不等式 3xm+10 的最小整数解为 2，则实数 m 的取值范围是 19 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（x，y）经过某种变换后得到点 P（y+1，x+2） ，我们把点 P （y+1，x+2）叫做点 P（x，y）的终结点已知点 P1的终结点为 P2，点 P2的终结
6、点为 P3，点 P3的终结 点为 P4， 这样依次得到 P1、 P2、 P3、 P4、 Pn、 ， 若点 P1的坐标为 （2， 0） ， 则点 P3的坐标为 三、解答题三、解答题 20 （15 分） （1）计算：； （2）解不等式 x，并把解集在数轴上表示出来； （3）解方程组： 21 （6 分）求不等式组的正整数解 22 （6 分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随 机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部 分如下： 课外阅读时间 （单位：小时） 频数（人数） 频率 0t2 2 0.04 2t4
7、 3 0.06 4t6 15 0.30 6t8 a 0.50 t8 5 b 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中的 a ，b ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在 8 小时以上的学生评为“阅读之星” ，请你估计该校 2000 名学生中评为 “阅读之星”的有多少人？ 23 （7 分）如图，DEF 是ABC 经过某种变换得到的图形，点 A 与点 D，点 B 与点 E，点 C 与点 F 分 别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点 A 与点 D，点 B 与点 E，点 C 与点 F 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； （2
8、）若点 P（a+3，4b）与点 Q（2a，2b3）也是通过上述变换得到的对应点，求 a、b 的值 24 （7 分）已知关于 x，y 的方程组的解满足不等式组，求满足条件的 m 的整 数值 25 （10 分）已知：如图，点 C 在AOB 的一边 OA 上，过点 C 的直线 DEOB，CF 平分ACD，CG CF 于 C （1）若O40，求ECF 的度数； （2）求证：CG 平分OCD； （3）当O 为多少度时，CD 平分OCF，并说明理由 26 （12 分）为培养学生自主意识，拓宽学生视野，促进学习与生活的深度融合我市某中学决定组织部分学 生去青少年综合实践基地进行综合实践活动在参加此次活动的师
9、生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生现有甲、乙两种大客车它们的 载客量和租金如表所示 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 学校计划此实践活动的租车总费用不超过 300 元，为了安全每辆客车上至少要有 2 名老师 （1）参加此次综合实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，租用客车总数为多少辆？ （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由 2018-2019 学年山东省临沂市莒南县
10、七年级（下）期末数学试卷学年山东省临沂市莒南县七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 42 分分.） 1 （3 分）点 A（3，4）所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点 A 所在的象限 【解答】解：因为点 A（3，4）的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，所以点 A 在第二象限故选 B 【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一象限（+，+） ；第二象限 （，+） ；第三象限（，） ；第四象
11、限（+，） 2 （3 分）解方程组时，把代入，得（ ） A2（3y2）5x10 B2y（3y2）10 C （3y2）5x10 D2y5（3y2）10 【分析】根据二元一次方程组解法中的代入消元法求解 【解答】解：把代入得：2y5（3y2）10， 故选：D 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想 3 （3 分）要反映我县 2019 年 6 月 30 日7 月 6 日这一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（ ） A条形统计图 B扇形统计图 C折线统计图 D频数分布直方图 【分析】根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可 【解答】解：根据统计图的特点，知要反映我县
12、2019 年 6 月 30 日7 月 6 日这一周内每天的最高气温 的变化情况，最适合使用的统计图是折线统计图 故选：C 【点评】此题主要考查了统计图的选择根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在 总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况； 条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目 4 （3 分）如图，直线 ab，ACAB，AC 交直线 b 于点 C，160，则2 的度数是（ ） A50 B45 C35 D30 【分析】由条件可先求得B，再由平行线的性质可求得2 【解答】解： ACAB， BAC90， 160， B30， ab，
13、2B30， 故选：D 【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键 5 （3 分）下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 ab，则 am2bm2 C若 ac2bc2，则 ab D若 mn，则 【分析】利用不等式的性质和 c0 对 A 进行判断；利用不等式的性质和 m0 对 B 进行判断；利用不等 式的性质对 C、D 进行判断 【解答】解：A、若 acbc，则 c0，所以 ab，所以 A 选项错误； B、若 ab，m0，则 am2bm2不成立，所以 B 选项错误； C、若 ac2bc2，c20，则 ab，所以 C 选项正确； D、若 mn，
14、则mn，所以 D 选项错误 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母 的式子，不等号的方向不变等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式 的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x+1x，得：x1， 解不等式10，得：x2， 则不等式组的解集为1x2， 故选：A 【点评】本题考查的是解一元
15、一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 7 （3 分）如图，直线 a、b 被直线 c 所截，下列说法正确的是（ ） A当12 时，一定有 ab B当 ab 时，一定有12 C当 ab 时，一定有1+290 D当1+2180时，一定有 ab 【分析】根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可 【解答】解：A、若12 不符合 ab 的条件，故本选项错误； B、若 ab，则1+2180，1 不一定等于2，故本选项错误； C、若 ab，则1+2180，故本选项错误； D、如图，由于13，当3+2180时，
16、ab，所以当1+2180时，一定有 ab，故本 选项正确 故选：D 【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理与性质是解答此题的关键 8 （3 分）已知|a+b1|+0，则（ba）2019的值为（ ） A1 B1 C2019 D2019 【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到 a 与 b 的值，代入原式计算即可求出值 【解答】解：|a+b1|+0， ， 解得：， 则原式1， 故选：B 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 9 （3 分）已知是二元一次方程组的解，则 ba 的值是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】把 x 与 y
17、 的值代入方程组求出 a 与 b 的值，即可求出所求 【解答】解：把代入方程组得：， 解得：， 则 ba3+14， 故选：D 【点评】 此题考查了解二元一次方程组， 利用了消元的思想， 消元的方法有： 代入消元法与加减消元法 10 （3 分）若关于 x 的不等式组无解，则 a 的取值范围是（ ） Aa3 Ba3 Ca3 Da3 【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出 a 的范围即可 【解答】解：不等式组无解， a43a+2， 解得：a3， 故选：A 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键 11 （3 分）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典
18、礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球 的价格不同，但同一种气球的价格相同由于会场布置需要，购买时以一束（4 个气球）为单位，已知 第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ） A19 B18 C16 D15 【分析】设一个笑脸气球的单价为 x 元/个，一个爱心气球的单价为 y 元/个，根据前两束气球的价格，即 可得出关于 x、y 的方程组，用前两束气球的价格相加除以 2，即可求出第三束气球的价格 【解答】解：设一个笑脸气球的单价为 x 元/个，一个爱心气球的单价为 y 元/个， 根据题意得：， 方程（+）2，得：2x+2y18 故选：B 【点评】本题考查了二元一次方程
19、组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键 12 （3 分）某校组织部分学参加安全知识竞赛，并将成绩整理后绘制成直方图，图中从左至右前四组的百 分比分别是 4%，12%，40%，28%，第五组的频数是 8则： 参加本次竞赛的学生共有 100 人； 第五组的百分比为 16%； 成绩在 7080 分的人数最多； 80 分以上的学生有 14 名； 其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据条形统计图逐项分析即可 【解答】解：参加本次竞赛的学生共有 8（14%12%40%28%）50（人） ，此项错误； 第五组的百分比为 14%12%40%28%16%
20、，此项正确； 成绩在 7080 分的人数最多，此项正确； 80 分以上的学生有 50（28%+16%）22（名） ，此项错误； 故选：B 【点评】 本题考查的是条形统计图， 读懂统计图， 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条 形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 13 （3 分）已知关于 x 的不等式组仅有三个整数解，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案 【解答】解：由 x2a3， 由 2x3（x2）+5，解得：2a3x1， 由关于 x 的不等式组仅有三个整数： 解得：22a31，
21、解得a1， 故选：A 【点评】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于 a 的不等式是解题关键 14 （3 分）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用 1200 元购买篮球和排球，其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A4 种 B3 种 C2 种 D1 种 【分析】 设购买篮球 x 个， 排球 y 个， 根据 “购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数1200” 列出关于 x、 y 的方程，由 x、y 均为非负整数即可得 【解答】解：设购买篮球 x 个，排球 y 个， 根据题意可得 120 x+90y1200， 则 y， x、y
22、 均为非负整数， x1、y12；x4、y8；x7、y4；x10、y0 所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有 4 种， 故选：A 【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 15 （3 分）的立方根是 2 【分析】根据算术平方根的定义先求出，再根据立方根的定义即可得出答案 【解答】解：8， 的立方根是 2； 故答案为：2 【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立 方由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根注意一个数的立
23、方根与原数的性质 符号相同 16 （3 分）如图，有一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果244，那么 1 的度数是 16 【分析】依据ABC60，244，即可得到EBC16，再根据 BECD，即可得出1 EBC16 【解答】解：如图，ABC60，244， EBC16， BECD， 1EBC16， 故答案为：16 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等 17 （3 分）若二元一次方程组的解为，则 ab 【分析】把 x、y 的值代入方程组，再将两式相加即可求出 ab 的值 【解答】解：将代入方程组，得：， +，得：4a4b7， 则 ab， 故答
24、案为： 【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出 ab 的值，本题属 于基础题型 18 （3 分）已知关于 x 的不等式 3xm+10 的最小整数解为 2，则实数 m 的取值范围是 4m7 【分析】 先解出不等式， 然后根据最小整数解为 2 得出关于 m 的不等式组， 解之即可求得 m 的取值范围 【解答】解：解不等式 3xm+10，得：x， 不等式有最小整数解 2， 12， 解得：4m7， 故答案为 4m7 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键解不等式 应根据不等式的基本性质 19 （3 分）在平面直角坐标系中，点
25、 P（x，y）经过某种变换后得到点 P（y+1，x+2） ，我们把点 P （y+1，x+2）叫做点 P（x，y）的终结点已知点 P1的终结点为 P2，点 P2的终结点为 P3，点 P3的终结 点为 P4，这样依次得到 P1、P2、P3、P4、Pn、，若点 P1的坐标为（2，0） ，则点 P3的坐标为 （ 3，3） 【分析】根据坐标变换的定义，求出 P3即可 【解答】解：根据题意得点 P1的坐标为（2，0） ，则点 P2的坐标为（1，4） ，点 P3的坐标为（3，3） ， 故答案为（3，3） 【点评】本题考查了几何变换：四种变换方式：对称、平移、旋转、位似掌握在直角坐标系中各种变 换的对应的坐标
26、变化规律，是解决问题的关键 三、解答题三、解答题 20 （15 分） （1）计算：； （2）解不等式 x，并把解集在数轴上表示出来； （3）解方程组： 【分析】 （1）先计算立方根、算术平方根和绝对值，再计算加减可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得 （3）利用加减消元法求解可得 【解答】解： （1）原式54+1； （2）去分母，得 6x3（x+2）2（2x） ， 去括号，得 6x3x642x， 移项，合并得 5x10， 系数化为 1，得 x2， 不等式的解集在数轴上表示如下： （3）6 得：6x2y10， +得：11x11，即 x1，
27、 将 x1 代入，得 y2， 则方程组的解为 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要 注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 21 （6 分）求不等式组的正整数解 【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的正整数解即可 【解答】解： 解不等式得：x1， 解不等式得：x3， 不等式组的解集为1x3， 不等式组的正整数解为 1、2、3 【点评】 本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解， 能求出不等式组的解集是解此题的关键 22 （6 分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随
28、机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部 分如下： 课外阅读时间 （单位：小时） 频数（人数） 频率 0t2 2 0.04 2t4 3 0.06 4t6 15 0.30 6t8 a 0.50 t8 5 b 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中的 a 25 ，b 0.10 ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在 8 小时以上的学生评为“阅读之星” ，请你估计该校 2000 名学生中评为 “阅读之星”的有多少人？ 【分析】 （1）由阅读时间为 0t2 的频数除以频率求出总人数，确定出 a 与 b 的值即可；
29、 （2）补全条形统计图即可； （3）由阅读时间在 8 小时以上的百分比乘以 2000 即可得到结果 【解答】解： （1）根据题意得：20.0450（人） ， 则 a50（2+3+15+5）25；b5500.10； 故答案为：25；0.10； （2）阅读时间为 6t8 的学生有 25 人，补全条形统计图，如图所示： （3）根据题意得：20000.10200（人） ， 则该校 2000 名学生中评为“阅读之星”的有 200 人 【点评】此题考查了频率（数）分布表，条形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题 的关键 23 （7 分）如图，DEF 是ABC 经过某种变换得到的图形，点 A
30、与点 D，点 B 与点 E，点 C 与点 F 分 别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点 A 与点 D，点 B 与点 E，点 C 与点 F 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； （2）若点 P（a+3，4b）与点 Q（2a，2b3）也是通过上述变换得到的对应点，求 a、b 的值 【分析】 （1）根据点的位置，直接写出点的坐标； （2）根据（1）中发现的规律，两点的横坐标、纵坐标都互为相反数，即横坐标的和为 0，纵坐标的和 为 0，列方程，求 a、b 的值 【解答】解： （1）由图象可知，点 A（2，3） ，点 D（2，3） ，点 B（1，2） ，点 E（1，
31、2） ，点 C （3，1） ， 点 F（3，1） ； 对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数； （2）由（1）可知，a+3+2a0，4b+2b30，解得 a1，b1 【点评】本题考查了坐标系中点的坐标确定方法，对应点的坐标特征关键是通过观察发现规律，列方 程求解 24 （7 分）已知关于 x，y 的方程组的解满足不等式组，求满足条件的 m 的整 数值 【分析】首先根据方程组可得，再解不等式组，确定出整数解即可 【解答】解：+得：3x+y3m+4， 得：x+5ym+4， 不等式组， ， 解不等式组得：4m， 则 m3，2 【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，关键是用含 m 的
32、式子表示 x、y 25 （10 分）已知：如图，点 C 在AOB 的一边 OA 上，过点 C 的直线 DEOB，CF 平分ACD，CG CF 于 C （1）若O40，求ECF 的度数； （2）求证：CG 平分OCD； （3）当O 为多少度时，CD 平分OCF，并说明理由 【分析】 （1）根据平行线的性质，得到ACE40，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到 ACF70，进而得出ECF 的度数； （2）根据DCG+DCF90，GCO+FCA90，以及ACFDCF，运用等角的余角相等， 即可得到GCOGCD，即 CG 平分OCD； （3）当O60时，根据平行线的性质，得出DCOO60，再根据
33、角平分线的定义，即可得 到DCF60，据此可得DCODCF 【解答】解： （1）DEOB， OACE， （两直线平行，同位角相等） O40， ACE40， ACD+ACE180， （平角定义） ACD140， 又CF 平分ACD， ACF70， （角平分线定义） ECF70+40110； （2）证明：CGCF， FCG90， DCG+DCF90， 又AOC180， （平角定义） GCO+FCA90， ACFDCF， GCOGCD， （等角的余角相等） 即 CG 平分OCD （3）结论：当O60时，CD 平分OCF 当O60时， DEOB， DCOO60 ACD120 又CF 平分ACD， DC
34、F60， DCODCF， 即 CD 平分OCF 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等， 内错角相等 26 （12 分）为培养学生自主意识，拓宽学生视野，促进学习与生活的深度融合我市某中学决定组织部分学 生去青少年综合实践基地进行综合实践活动在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生现有甲、乙两种大客车它们的 载客量和租金如表所示 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 学校计划此实践活动的租车总费用不超过 30
35、0 元，为了安全每辆客车上至少要有 2 名老师 （1）参加此次综合实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，租用客车总数为多少辆？ （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由 【分析】 （1）设老师有 x 名，学生有 y 名，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可； （2）根据每辆客车上至少要有 2 名老师和每名学生和老师必须有座位求出即可； （3，根据题意列出不等式组，求出不等式组的正整数解即可 【解答】解： （1）设老师有 x 名，学生有 y 名 依题意，列方程组为， 解之得：， 答：老师有 16
36、名，学生有 284 名； （2）每辆客车上至少要有 2 名老师， 汽车总数不能大于 8 辆； 又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为 8）辆， 综合起来可知汽车总数为 8 辆； （3）设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为（8x）辆， 车总费用不超过 3100 元， 400 x+300（8x）3100， 解得：x7， 为使 300 名师生都有座， 42x+30（8x）300， 解得：x5， 5x7（x 为整数） ， 共有 3 种租车方案： 方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2900 元； 方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3000 元； 方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3100 元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆 【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组的应用，能根据题意列出方程组或不等式 组是解此题的关键
