1、 1 / 18 第第 4 章章 相似三角形单元测试相似三角形单元测试(A 卷基础篇）卷基础篇） 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） （2019 秋杭州期末）若 3x4y（y0） ，则（ ） A3x+4y0 B8x6y0 C3x+y4y+x D 【思路点拨】根据比例的性质两内项之积等于两外项之积即可得出答案 【答案】解：A、3x4y（y0） ，3x4y0，故本选项错误； B、3x4y（y0） ，6x8y0，故本选项错误； C、3x4y（y0） ，3x+y4y+y，故本选项错误； D、3x4y（
2、y0） ，故本选项正确； 故选：D 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质即两内项之积等于两外项之积是解题的关键 2 （3 分） （2020鹿城区校级二模）如图，直线 l1，l2被一组平行线所截，交点分别为点 A，B，C，及点 D， E，F，如果 DE2，DF5，BC4，则 AB 的长为（ ） A B C2 D6 【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案 【答案】解：ADBECF， ，即， 解得 AB 故选：B 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键 2 / 18 3 （3 分） （2019 秋嘉兴期末）下列说法正
3、确的是（ ） A所有菱形都相似 B所有矩形都相似 C所有正方形都相似 D所有平行四边形都相似 【思路点拨】根据相似多边形的定义一一判断即可 【答案】解：相似多边形的对应边成比例，对应角相等， 所有正方形都是相似多边形， 故选：C 【点睛】本题考查相似多边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 4 （3 分） （2019 秋鄞州区期中）如图，ABC 中A60，AB4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线 剪开，剪下的三角形与ABC 不相似的是（ ） A B C D 【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【答案】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等
4、，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键 5 （3 分） （2018 秋吴兴区期末）已知两个相似三角形的对应边之比为 1：3，则它们的周长比为（ ） 3 / 18 A1：9 B9：1 C1：6 D1：3 【思路点拨】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可 【答案】解：
5、两个相似三角形的相似比为 1：3， 它们对应周长的比为 1：3 故选：D 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比 6 （3 分） （2019 秋吴兴区期末）如图，矩形 ABCD矩形 BCFE，且 ADAE则 AB：AD 的值是（ ） A：1 B：1 C D 【思路点拨】根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案 【答案】解：矩形 ABCD矩形 BCFE， ，即， 整理得，AB2ADABAD20， ABAD， AB：AD， 故选：C 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键 7 （3 分） （2019 秋嘉兴期末）如图，小明在
6、打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高 AB15cm） ，且落 在对方区域桌子底线 C 处， 已知小明在自己桌子底线上方击球， 则他击球点距离桌面的高度 DE 为 （ ） A15cm B20cm C25cm D30cm 【思路点拨】证明CABCDE，然后利用相似比得到 DE 的长 【答案】解：ABDE， CABCDE， 4 / 18 ， 而 BCBE， DE2AB21530（cm） 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边 的比相等的性质求物体的高度 8 （3 分） （2018 秋滨江区期末）如图，在ABC 中，点 D，F 是 AB 的
7、三等分点，E，G 是 AC 的三等分 点，四边形 DFGE 和四边 FBCG 的面积分别是 S1和 S2，则 S1：S2为（ ） A3：5 B4：9 C3：4 D2：3 【思路点拨】由题意可知：DEFGBC，推出ADEAFGABC，设ADE 的面积为 m求出 S1，S2即可 【答案】解：点 D，F 是 AB 的三等分点，E，G 是 AC 的三等分点， DEFGBC， ADEAFGABC，设ADE 的面积为 m （）2， SAFG4m，同法可得：SABC9m， S13m，S25m， S1：S23：5， 故选：A 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常
8、考题型 9 （3 分） （2019 秋萧山区期末）如图，ACBBDC90要使ABCBCD，给出下列需要添加 的条件：ABCD；BC2ACCD；，其中正确的是（ ） 5 / 18 A B C D 【思路点拨】利用相似三角形的判定依次判断即可求解 【答案】解：若 ABCD， ABCBCD，且ACBBDC90， ABCBCD，故符合题意； 若 BC2ACCD， ，且ACBBDC90， 无法判定ABCBCD，故不符合题意； 若，且ACBBDC90， ABCBCD，故符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活掌握相似三角形的判定方法是本题的关键 10 （3 分） （2020德城区一模
9、）如图，在ABC 中，ABAC10，BC=16，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B，C 重合） ，ADEB，DE 交 AC 于点 E，下列给出的结论中，正确的有（ ） ADEACD；当 BD6 时，ABD 与DCE 全等； DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 12.5；0CE6.4 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【思路点拨】根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明 由 BD6，则 DC10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得 分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得 依据相似三角形对应边成比例即可求得 6 / 18 【答案】解：ABAC， BC， 又A
10、DEB ADEC， ADEACD； 故正确， 作 AGBC 于 G， BC16，BD6， DC10， ABDC， 在ABD 与DCE 中， ， ABDDCE（ASA） 故正确， 当AED90时，由可知：ADEACD， ADCAED， AED90， ADC90， 即 ADBC， ABAC， BDCD， BC10， BD8 当CDE90时，易CDEBAD， ， BD12.5 故正确 易证得CDEBAD，设 BDy，CEx， 7 / 18 ， ， 整理得：y216y+646410 x， 即（y8）26410 x， 0 x6.4 故正确 正确的有 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全
11、等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分） （2019 秋镇海区期末）如果在比例尺 1：100000 的滨海区地图上，招宝山风景区与郑氏十七房 的距离约是 19cm，则它们之间的实际距离约为 19 千米 【思路点拨】根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式即可求得它们之间的实际距离要注意统一 单位 【答案】解：设它们之间的实际距离为 xcm， 1：10000019：x， 解得 x1900000 1900000cm19 千米 所以它们之间的实际距离为 19 千米 故答案为 19 【点睛】考
12、查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换 12 （4 分） （2019 秋嘉兴期末）已知线段 a2，b3，则 a，b 的比例中项是 【思路点拨】根据比例中项的定义得到 a，b 的比例中项的平方ab，然后利用算术平方根的定义求 a， b 的比例中项的值 【答案】解：线段 a2，b3， a，b 的比例中项是 故答案为： 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比） 8 / 18 与另两条线段的比相等，如 a：bc：d（即 adbc） ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线 段 13 （4 分） （2020宁波模拟）如图，在ABC
13、 中，ABC90，ABC2C，BD 是ABC 的平分线， AB，BD2，则 AD 为 3 【思路点拨】根据角平分线的定义结合ABC2C，可得出ABDCBDC，利用等角对等边 可得出 CDBD2， 结合AA 可证出ABCADB， 再利用相似三角形的性质即可求出 AD 的长 【答案】解：BD 是ABC 的平分线， ABDCBDABCC， CDBD2 又AA， ABCADB， ，即， AD3 或 AD5（不合题意，舍去） 故答案为：3 【点睛】本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，利用相似三角 形的性质，找出关于 AD 长的方程是解题的关键 14 （4 分） （202
14、0浙江自主招生）如图，ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三 等分，则图中阴影部分的面积是ABC 的面积的 【思路点拨】根据题意，易证AEHAFGABC，利用相似比，可求出 SAEH、SAFG面积比，再 求出 SABC 9 / 18 【答案】解：AB 被截成三等分， AEHAFGABC， ， SAFG：SABC4：9， SAEH：SABC1：9， S阴影部分的面积SABCSABCSABC 故答案为 【点睛】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面 积，难度适中 15 （4 分） （2011 秋虹口区期中）如图，点 G 是AB
15、C 重心，GEBC，如果 BC6，那么线段 GE 的长 为 2 【思路点拨】由点 G 是ABC 重心，BC6，易得 CD3，AG：AD2：3，又由 GEBC，可证得 AEGACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段 GE 的长 【答案】解：点 G 是ABC 重心，BC6， CDBC3， GEBC， AEGACD， ， GE2 故答案为：2 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质此题难度不大，注意掌握数形结 合思想的应用 16 （4 分） （2020鹿城区校级模拟）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，点 F 在 BC 上，且 BF2FC， 10 /
16、18 AF 与 DE，DB 分别相交于点 G，H，则的值为 【思路点拨】如图，延长 DE 交 CB 的延长线于 T证明AEDBET（AAS） ，推出 ADBTBC，设 CFm，则 BF2m，ADBTBC3m，TF5m，设 AFa，利用平行线分线段成比例定理求出则 AG a，FHa，求出 GH 即可解决问题 【答案】解：如图，延长 DE 交 CB 的延长线于 T 四边形 ABCD 是矩形， ADCT， ADET， AEDBET，AEEB， AEDBET（AAS） ， ADBTBC，设 CFm，则 BF2m，ADBTBC3m，TF5m， ADTF， ， AGAF， ADBF， ， FHAF，设 A
17、Fa，则 AGa，FHa， 11 / 18 GHaaaa， ， 故答案为 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分） （2018 秋西湖区期末）已知 （1）求 （2）若 2a+b+2c30，求 a，b，c 的值 【思路点拨】 （1）设k，得出 a2k，b3k，c4k，再代入计算即可； （2）根据（1）先求出 k 的值，再代入 a2k，b3k，c4k，求出 a，b，c 的值即可 【
18、答案】解： （1）设k， 则 a2k，b3k，c4k， 所以3； （2）由（1）得：22k+3k+24k30， 解得：k2， a4，b6，c8 【点睛】本题主要考查的是比例的性质，设出 a、b、c 的值是解题的关键 18 （8 分） （2019 秋镇海区校级期中）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形边长都是 1ABC 是格 点三角形（原点在方格顶点处） （1）在图 2 两格点A1B1C1使A1B1C1与ABC 相似，相似比为 2：1 （2）在图 3 画格点A2B2C2，使A2B2C2与ABC 相似，面积比为 2：1 12 / 18 【思路点拨】 （1）根据相似比进而得出各边扩大 2 倍得出答案
19、； （2）根据相似比进而得出各边扩大倍得出答案 【答案】解： （1）如图所示：A1B1C1即为所求： （2）如图所示：A2B2C2即为所求： 【点睛】此题主要考查了相似变换，根据题意得出对应边的长是解题关键 19 （8 分） （2019滨江区一模）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ACDB，DE BC （1）求证：ADEACD； （2）若 DE6，BC10，求线段 CD 的长 13 / 18 【思路点拨】 （1）由 DEBC 可得ADEB，ACDB，则ADEACD，结论得证； （2）可证CDEBCD，由比例线段可求出线段 CD 的长 【答案】 （1）证明：DEBC， A
20、DEB， ACDB， ADEACD， DAECAD， ADEACD； （2）解：DEBC， BCDEDC， BDCE， CDEBCD， ， ， CD2 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键 20 （10 分） （2018 秋德清县期末）如图，点 C，D 在线段 AB 上，CD2ACDB，且PCD 是等边三角形 （1）证明：ACPPDB； （2）求APB 的度数 【思路点拨】 （1）根据 PCPDCD，以及 CD2ACDB，可得，又ACPPDB，则ACP PDB； 14 / 18 （2）根据（1）的结论求出APC+BPD 度数，最后加上CPD 度数即可 【答案】
21、（本小题 8 分） 解： （1）PCD 是等边三角形， PCDPDC60， ACPPDB120， CD2ACDB，由 PCPDCD 可得：PCPDACDB， 即， ACPPDB； （2）ACPPDB， APCPBD PDB120， DPB+DBP60， APC+BPD60 APBCPD+APC+BPD120 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直 是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条 件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据 基本图形对图形
22、进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用， 有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可 21 （10 分） （2019 秋余杭区期末）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上且 AEABADAC， 连结 DE，BD （1）求证：ADEABC （2）若点 E 为 AB 中点，AD：AE6：5，ABC 的面积为 50，求BCD 的面积 【思路点拨】 （1）由已知得出 AE：ACAD：AB，由AA，即可得出：ADEABC 15 / 18 （2）设 AD6x，则 AE5x，AB10 x，由已知求出 ACx，得出 CDACAD
23、x，得 出，由三角形面积关系即可得出答案 【答案】 （1）证明：AEABADAC， AE：ACAD：AB， AA， ADEABC （2）解：点 E 为 AB 中点， AEBE， AD：AE6：5， 设 AD6x，则 AE5x，AB10 x， AEABADAC， ACx， CDACADx， ， ABC 的面积为 50， BCD 的面积5014 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与 性质是解题的关键 22 （10 分） （2019 秋余姚市期末）如图 1，ABC 内接于O，点 D 是的中点，且与点 C 位于 AB 的 异侧，CD 交 AB 于点
24、 E 16 / 18 （1）求证：ADECDA （2）如图 2，若O 的直径 AB4，CE2，求 AD 和 CD 的长 【思路点拨】 （1）点 D 是的中点，所以ACDBAD，从而可证ADECDA （2）连结 BD，先证明ADB90，由（1）得ADECDA，列出方程即 可求出 CD 的长度 【答案】解： （1）点 D 是的中点， ACDBAD， ADECDA ADECDA （2）连结 BD， 点 D 时的中点， ADBD AB 是O 的直径， ADB90， ADB 为等腰直角三角形， ， 由（1）得ADECDA， ，即 AD2CDED， ， CD22CD480，解得 CD8 或6 CD8 17
25、 / 18 【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定以及圆的相关性质， 本题属于中等题型 23 （12 分） （2018 秋江干区期末）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上（不与点 B、C 重合） ，连接 AE、BD 交于点 G （1）若 AGBG，AB4，BD6，求线段 DG 的长； （2）设 BCkBE，BGE 的面积为 S，AGD 和四边形 CDGE 的面积分别为 S1和 S2，把 S1和 S2分别 用 k、S 的代数式表示； （3）求的最大值 【思路点拨】 （1）证明BAGBDA，利用相似比可计算出 BG，从而得到 DG 的长； （2）先证
26、明ADGEBG，利用相似三角形的性质得（） 2k2， k，所以 S1k2S， 根据三角形面积公式得到 SABG，再利用菱形的性质得到 S2S1+Sk2S+kSS（k2+k1） S； （3）由于1+，然后根据二次函数的性质解决问题 【答案】解： （1）AGBG， BAGABG， 18 / 18 四边形 ABCD 为菱形， ABAD， ABDADB， BAGADB， BAGBDA， ，即， BG， DGBDBG6； （2）四边形 ABCD 为菱形， BCADkBE，ADBC， ADBE， DAEBEA，ADGBEG ADGEBG， （）2k2，k， S1k2S， k， SABG， ABD 的面积BDC 的面积， S2S1+Sk2S+kSS（k2+k1）S； （3）1+（）2+， 的最大值为 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似三角形注意相似三角形面积的比等于相似比的平方也考查了菱形的性质
