1、2020-2021 学年广东省茂名市茂南区九年级（上）第三次统测数学试卷学年广东省茂名市茂南区九年级（上）第三次统测数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题给出四个答案，其中只有一个 是正确的，请你把正确的答案填入 II 卷中的第一题的表格内）. 1计算|2|的结果是（ ） A2 B2 C2 D 2ABC 在下列条件下，不是直角三角形的是（ ） Ab2a2c2 BA：B：C3：4：5 CCAB Da：b：c1： 3抛掷一枚硬币，正面向上的概率为（ ） A1 B C D 4数据 3，3，5，8，11 的众数是（ ） A3 B4 C5 D6 5国有银行，是指
2、由国家（财政部、中央汇金公司）直接管控的大型银行下面是我国其中五个国有银行 的图标，其中轴对称图形有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 6下列根式中是最简二次根式的是（ ） A B C D 7如图，将边长为 2cm 的正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，则点 C 的坐标为（ ） A （） B （2，1） C （1，） D （1，） 8如图，四边形 ABCD 内接于O，连接 OA，若AOC：ADC2：3，则ABC 的度数为（ ） A30 B40 C45 D50 9如图，在矩形 ABCD 中，点 E，BC 边的中点，连接 EF，AB1，则矩形 ABCD 的面积为（ ）
3、A1 B C D2 10已知二次函数 yax2+bx+c+2 的图象如图所示，顶点为（1，0） ，下列结论：abc024ac0； a2；方程 ax2+bx+c2 的根为 x1x21；若点 B（，y1） ，C（，y2）为函数图象 上的两点，则 y2y1，其中正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分.请把答案填在横线上） 11分解因式：ab2a 12如果，那么 13如图，已知 ABCD，A55，则P 度 14若|a+b+1|与互为相反数，则（a+b）2021 15如图，AB 是O 的直径，AB13，则 tanADC 16如图，甲楼的高
4、度 AB 为 20m，自甲楼楼顶 A 处，测得乙楼底部 D 处的俯角为 30，则乙楼的高度 CD 为 m 17如图，一段抛物线：yx（x3） （0 x3） ，记为 C1，它与 x 轴交于两点 O，A1；将 C1绕 A1旋转 180得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180得到 C3，交 x 轴于 A3，过抛物线 C1，C3顶点的直 线与 C1、C2、C3围成的如图中的阴影部分，那么该面积为 三解答题三解答题（共（共 62 分）分） 18计算： （2）2+（1）0+6sin60 19如图，AB 为O 的直径，弦 AC 的长为 8cm （1）尺规作图：过圆心 O 作弦 AC 的垂
5、线 DE，交弦 AC 于点 D，交优弧； （保留作图痕迹，不要求写作法） ； （2）若 DE 的长为 8cm，求直径 AB 的长 20如图，在矩形 ABCD 中，AB4，M 是 BC 的中点，DEAM 于点 E （1）求证：ADEMAB； （2）求 DE 的长 21为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学生，调查了他们平均 每天的睡眠时间（单位：h） 9，8，10.5，7，9，8，10，8，9，9.5，7.5，9，8.5，7.5，9.5，8，9，7，9.5，9，7，9，9，7.5，8.5， 9，8，7.5，9.5，9.5，8.5，9，8 在对这些数据整
6、理后，绘制了如图的统计图表： 睡眠时间分组统计表 组别 睡眠时间分组 人数（频数） 1 7t8 m 2 8t9 11 3 9t10 n 4 10t11 4 请根据以上信息，解答下列问题： （1）m ，n ，a ，b ； （2）抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 组（填组别） ；在扇形统计图中，第 4 组 所在扇形的圆心角是 度； （3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于 9h请估计该校学生中睡眠时间符合要求 的人数 22如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，交过点 A 的直线于点 D，且DBAC （1）求证：AD 是半圆 O 的切线； （2）若
7、BC2，AC2，求 AD 的长度 23我市某水产养殖中心，2020 年鱼塘饲养鱼苗 10 千尾，平均每千尾鱼的产量为 103千克，2021 年计划继 续向鱼塘投放鱼苗，每多投放鱼苗 1 千尾，每千尾的产量将减少 50 千克 （1）2021 应投放鱼苗多少千尾，可以使总产量达到 10450 千克？ （2）该水产养殖中心今年应投放鱼苗多少千尾，可以达到最大总产量？最大总产量是多少千克？ 24如图，直线 y2x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，A（3，0）关于 AC 的对称点，反比例函数 y （1）求证：四边形 ABCD 为菱形； （2）求反比例函数的解析式； （3）已知在 y的图象（x0）上
8、一点 N，且四边形 ABMN 是平行四边形，求点 M 的坐标 25如图 1，抛物线 yax2+bx3 经过 A、B、C 三点，已知点 A（3，0） 、C（1，0） （1）求此抛物线的解析式 （2）点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与 A、B 重合） ， 过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，交直线 AB 于点 E，PE 最大，求出此时 P 点的坐标 如图 2，连接 AP以 AP 为边作图示一侧的正方形 APMN，当它恰好有一个顶点落在抛物线对称轴上 时 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1计算|2|的结果是（ ） A2 B2 C2
9、 D 【分析】根据绝对值的性质即可求解 【解答】解：|2|2 故选：A 2ABC 在下列条件下，不是直角三角形的是（ ） Ab2a2c2 BA：B：C3：4：5 CCAB Da：b：c1： 【分析】利用勾股定理的逆定理判断 A、D 选项，用直角三角形各角之间的关系判断 B、C 选项 【解答】解：A、b2a2c2，b2+c2a3，故本选项正确； B、A：B：C3：4：2，则B4x， A+B+C180，即 3x+5x+5x180，x15， 5x3157590，故本选项错误 C、ABC， A+B+C180，2（A+C）180，故本选项正确； D、a2：b6：c21：4：2，令 a2x，则 b52x，
10、c25x， x+2x3x，a2+c2b2，故本选项正确； 故选：B 3抛掷一枚硬币，正面向上的概率为（ ） A1 B C D 【分析】因为出现正反的可能性是相同，所以正面向上的概率为 【解答】解：P（正面向上）故选：B 4数据 3，3，5，8，11 的众数是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据众数的定义求解即可 【解答】解：这组数据中数据 3 出现 2 次，次数最多， 所以这组数据的众数为 7， 故选：A 5国有银行，是指由国家（财政部、中央汇金公司）直接管控的大型银行下面是我国其中五个国有银行 的图标，其中轴对称图形有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】 根据如果
11、一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴进行分析可得答案 【解答】解：第一个图形、第三个图形，共 3 个， 故选：B 6下列根式中是最简二次根式的是（ ） A B C D 【分析】直接根据最简二次根式的概念： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式判断即可 【解答】解：A.，不是最简二次根式； B.是最简二次根式； C.6； D.，不是最简二次根式； 故选：B 7如图，将边长为 2cm 的正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，则点 C 的坐标为（ ） A （） B （2，1） C （1，）
12、 D （1，） 【分析】作 ADy 轴于 D，作 CEy 轴于 E，则ADOOEC90，得出1+290，由正方 形的性质得出 OCAO，1+390，证出32，由 AAS 证明OCEAOD，OEAD1， CEOD，即可得出结果 【解答】解：作 ADy 轴于 D，作 CEy 轴于 E 则ADOOEC90， 1+290， 点 A 的坐标为（8，） ， AD1，OD， 四边形 OABC 是正方形， AOC90，OCAO， 1+390， 42， 在OCE 和AOD 中， ， OCEAOD（AAS） ， OEAD1，CEOD， 点 C 的坐标为（，1） 故选：A 8如图，四边形 ABCD 内接于O，连接
13、OA，若AOC：ADC2：3，则ABC 的度数为（ ） A30 B40 C45 D50 【分析】设AOC2x，ADC3x，根据圆周角定理求出ABCAOCx，根据圆内接四 边形的性质得出ADC+ABC180，即可求出答案 【解答】解：设AOC2x，ADC3x， 圆心角AOC 和圆周角ABC 都对着， ABCAOCx， 四边形 ABCD 是O 的内接四边形， ADC+ABC180， 3x+x180， 解得：x45， 即ABC45， 故选：C 9如图，在矩形 ABCD 中，点 E，BC 边的中点，连接 EF，AB1，则矩形 ABCD 的面积为（ ） A1 B C D2 【分析】根据相似多边形的性质列
14、出比例式，计算即可 【解答】解：设 AEx，则 AD2AE2x， 矩形 ABFE 与矩形 ABCD 相似， ，即， 解得，x， AD2x， 矩形 ABCD 的面积为 ABAD1， 故选：C 10已知二次函数 yax2+bx+c+2 的图象如图所示，顶点为（1，0） ，下列结论：abc024ac0； a2；方程 ax2+bx+c2 的根为 x1x21；若点 B（，y1） ，C（，y2）为函数图象 上的两点，则 y2y1，其中正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】首先根据抛物线开口向上，可得 a0；然后根据对称轴在 y 轴左边，可得 b0；最后根据 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的
15、上方，可得 c0，据此判断出 abc0 即可 根据二次函数 yax2+bx+c+2 的图象与 x 轴只有一个交点，可得0，即 b24a（c+2）0，b24ac 8a0，据此解答即可 首先根据对称轴 x1，可得 b2a，然后根据 b24ac8a，确定出 a 的取值范围即可 根据顶点为（1，0） ，可得方程 ax2+bx+c2 的有两个相等实根， 根据点 BC 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大来判断即可 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 对称轴在 y 轴左边， b0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方， c+82， c0， abc8， 结论正确； 二次函数 yax2+bx+c+2
16、的图象与 x 轴只有一个交点， 6， 即 b24a（c+6）0， b25ac8a0， 结论不正确； 对称轴 x1， b2a， b54ac8a， 5a24ac8a， ac+2， c0， a5， 结论正确； 二次函数 yax2+bx+c+2 的顶点为（3，0） ， 方程 ax2+bx+c+70 的根为 x1x81； 结论正确； x1，y 随 x 的增大而增大， y5y2， 结论正确 综上，可得正确结论的个数是 2 个： 故选：C 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11分解因式：ab2a a（b2） 【分析】观察原式，公因式为 a，然后提取公因式即可 【解答】解：ab2aa（b2） （提取
17、公因式） 12如果，那么 【分析】由可知：若设 a2x，则 b3x代入所求式子就可求出 【解答】解：， 设 a4x，则 b3x， 故答案为 13如图，已知 ABCD，A55，则P 35 度 【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出1，再利用外角性质即可求出 【解答】解：ABCD，A55， 1A55， P1C552035 故应填 35 14若|a+b+1|与互为相反数，则（a+b）2021 1 【分析】利用相反数的性质列出关系式，再利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到 a 与 b 的值，即可求出原式的值 【解答】解：|a+b+1|与互为相反数， |a+b+1|+0， ， 解得， （a+
18、b）2021（83）2021（1）20214 故答案为：1 15如图，AB 是O 的直径，AB13，则 tanADC 【分析】根据勾股定理求出 BC 的长，再将 tanADC 转化为 tanB 进行计算 【解答】解：AB 为O 直径， ACB90， BC12， tanADCtanB， 故答案为 16如图，甲楼的高度 AB 为 20m，自甲楼楼顶 A 处，测得乙楼底部 D 处的俯角为 30，则乙楼的高度 CD 为 （20+20） m 【分析】过点 A 作 AECD 于点 E，根据题意可得CAE45，DAE30，利用其公共边构造关 系式求解即可 【解答】解：如图，过点 A 作 AECD 于点 E，
19、 根据题意，CAE45 ABBD，CDBD， 四边形 ABDE 为矩形 DEAB20m， 在 RtADE 中，tanDAE， AE20， 在 RtACE 中， CAE45， CEAE20（m） ， CDCE+DE（20+20）m 故答案为： （20+20）m 17如图，一段抛物线：yx（x3） （0 x3） ，记为 C1，它与 x 轴交于两点 O，A1；将 C1绕 A1旋转 180得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180得到 C3，交 x 轴于 A3，过抛物线 C1，C3顶点的直 线与 C1、C2、C3围成的如图中的阴影部分，那么该面积为 【分析】当 x时，y，则点 C1（
20、，） ，同理点 C3（，） ，阴影部分的面积等于C1C2C3 的面积C1C32yC1，即可求解 【解答】解：当 x时，y 1（ ，） ，同理点 C3（，） ， 由图象可以看出阴影部分的面积等于C1C5C3的面积C1C36yC16， 故答案为： 三解答题三解答题 18计算： （2）2+（1）0+6sin60 【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式43+1+6 42+1+3 5 19如图，AB 为O 的直径，弦 AC 的长为 8cm （1）尺规作图：过圆心 O 作弦 AC 的垂线 DE，交弦 AC 于点 D，交优弧； （保留作图痕迹，
21、不要求写作法） ； （2）若 DE 的长为 8cm，求直径 AB 的长 【分析】 （1）以点 A，点 C 为圆心，大于AC 为半径画弧，两弧的交点和点 O 的连线交弦 AC 于点 D， 交优弧于点 E； （2）由垂径定理可得 ADCD4cm，由勾股定理可求 OA 的长，即可求解 【解答】解： （1）如图所示： （2）DEAC， ADCD4cm， AO2DO4+AD2， AO2（DEAO）2+16， AO5， AB2AO10cm 20如图，在矩形 ABCD 中，AB4，M 是 BC 的中点，DEAM 于点 E （1）求证：ADEMAB； （2）求 DE 的长 【分析】 （1）先根据矩形的性质，得
22、到 ADBC，则DAEAMB，又由DEAB，根据有两角对 应相等的两三角形相似，即可证明出DAEAMB； （2）由DAEAMB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出 DE 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， DAEAMB， 又DEAB90， DAEAMB； （2）由（1）知DAEAMB， DE：ADAB：AM， M 是边 BC 的中点，BC6， BM3， 又AB4，B90， AM5， DE：68：5， DE 21为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学生，调查了他们平均 每天的睡眠时间（单位：h） 9，8，10.5，7
23、，9，8，10，8，9，9.5，7.5，9，8.5，7.5，9.5，8，9，7，9.5，9，7，9，9，7.5，8.5， 9，8，7.5，9.5，9.5，8.5，9，8 在对这些数据整理后，绘制了如图的统计图表： 睡眠时间分组统计表 组别 睡眠时间分组 人数（频数） 1 7t8 m 2 8t9 11 3 9t10 n 4 10t11 4 请根据以上信息，解答下列问题： （1）m 7 ，n 18 ，a 17.5% ，b 45% ； （2）抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 3 组（填组别） ；在扇形统计图中，第 4 组 所在扇形的圆心角是 36 度； （3）如果按照学校要求，学生
24、平均每天的睡眠时间应不少于 9h请估计该校学生中睡眠时间符合要求 的人数 【分析】 （1）根据 40 名学生平均每天的睡眠时间即可得出结果； （2）由中位数的定义即可得出结论； （3）由学校总人数该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果 【解答】解： （1）7t8 时，频数为 m5； 9t10 时，频数为 n18； a100%17.4%100%45%； 故答案为：7，18，45%； （2） 由统计表可知， 抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数为第 20 个和第 21 个数据的平均数， 落在第 3 组；在扇形统计图中36， 故答案为：3，36； （3）该校学生中睡眠时间
25、符合要求的人数为 800440（人） ； 答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为 440 人 22如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，交过点 A 的直线于点 D，且DBAC （1）求证：AD 是半圆 O 的切线； （2）若 BC2，AC2，求 AD 的长度 【分析】 （1）由圆周角定理得ACB90，由平行线的性质得AEO90，由三角形外角性质得 D+DAE90，推出DAO90，即可得出结论； （2）易证AOEABC，得出，求出 AE，由勾股定理得 AB2，则 OA， 易证DOAABC，得出，即可得出结果 【解答】 （1）证明：AB 为半圆 O 的直径， ACB90， O
26、DBC， AEO90， D+DAE90， DBAC， DAE+BAC90，即DAO90， OAAD， AD 是半圆 O 的切线； （2）解：ODBC， AOEABC， BA2AO， ， AEAC， 在 RtABC 中，由勾股定理得：AB， OAAB， DBAC，ACBDAO90， DOAABC， ， AD 23我市某水产养殖中心，2020 年鱼塘饲养鱼苗 10 千尾，平均每千尾鱼的产量为 103千克，2021 年计划继 续向鱼塘投放鱼苗，每多投放鱼苗 1 千尾，每千尾的产量将减少 50 千克 （1）2021 应投放鱼苗多少千尾，可以使总产量达到 10450 千克？ （2）该水产养殖中心 202
27、1 应投放鱼苗多少千尾，可以达到最大总产量？最大总产量是多少千克？ 【分析】 （1）设 2021 应多放鱼苗 x 千尾，根据等量关系：总产量达到 10450 千克，列出方程求解即可； （2）根据题意得 y（100050 x） （10+x） ，通过配方即可求解 【解答】解： （1）设 2021 多投放鱼苗 x 千尾，根据题意得 （100050 x） （10+x）10450， 解这个方程得 x11，x29， 10+x11 或 19 答：2021 投放鱼苗 11 千尾或 19 千尾，可以使总产量达到 10450 千克 （2）设 2021 多投放鱼苗 x 千尾，总产量为 y 千克，根据题意得 y（10
28、0050 x） （10+x）50（x5）2+11250， 当 x5 时，10+x15，y 取最大值，最大值为 y11250 答： 当该水产养殖中心 2021 投放 15 千尾鱼苗时， 可以达到最大总产量， 此时最大总产量为 11250 千克 24如图，直线 y2x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，A（3，0）关于 AC 的对称点，反比例函数 y （1）求证：四边形 ABCD 为菱形； （2）求反比例函数的解析式； （3）已知在 y的图象（x0）上一点 N，且四边形 ABMN 是平行四边形，求点 M 的坐标 【分析】 （1）先计算出 AB5，BC5，再根据轴对称的性质得 ADAB5，CDC
29、B5，于是可根据 菱形的判定方法得到四边形 ABCD 为菱形； （2）由菱形的性质得 ADBC，则 D（5，4） ，然后把 D 点坐标代入 y求出 k 的值即可得到反比例 函数解析式为 y； （3）由四边形 ABMN 是平行四边形知 ABNM，ABNM，据此得 MN 是 AB 经过平移得到的，根据点 M 是点 B 在水平方向向右平移 3 个单位长度可得点 N 的横坐标为 3， 代入 y中得出 y，据此知 点 M 的纵坐标为4，即可得出答案 【解答】解： （1）直线 y2x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，A， A（2，4） ，0） ， AB5， D 为 B 点关于 AC 的对称点， AD
30、AB5，CDCB3， ABBCCDDA， 四边形 ABCD 为菱形； （2）四边形 ABCD 为菱形， ADBC， 而 AD5，A（0， D（2，4） ， 把 D（5，5）代入 y， 反比例函数解析式为 y； （3）四边形 ABMN 是平行四边形， ABNM，ABNM， MN 是 AB 经过平移得到的， 点 M 是点 B 在水平方向向右平移 3 个单位长度， 点 N 的横坐标为 3，代入 y中， 点 M 的纵坐标为4， 点 M 的坐标为（0，） 25如图 1，抛物线 yax2+bx3 经过 A、B、C 三点，已知点 A（3，0） 、C（1，0） （1）求此抛物线的解析式 （2）点 P 是直线
31、AB 下方的抛物线上一动点（不与 A、B 重合） ， 过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，交直线 AB 于点 E，PE 最大，求出此时 P 点的坐标 如图 2，连接 AP以 AP 为边作图示一侧的正方形 APMN，当它恰好有一个顶点落在抛物线对称轴上 时 【分析】 （1）把点 A，B 代入 yax2+bx3 即可； （2）设 P（x，x2+2x3） ，求出直线 AB 的解析，用含 x 的代数式表示出点 E 坐标，即可用含 x 的代 数式表示出 PE 的长度，由函数的思想可求出点 P 的横坐标，进一步求出其纵坐标； 抛物线对称轴为直线 x1，正方形 APMN 的顶点落在抛物线对称轴上的情况有
32、两种：当点 N 在抛 物线对称轴直线 x1 上时， 分别过点 P、 点 N 作 NDx 轴、 PEx 轴交于点 D、 E， 证ANDAPE， 推出 ADPE，列出方程，即可求出点 P 坐标；当点 M 在抛物线对称轴直线 x1 上时，分别过点 P 作 PFx 轴、PG对称轴交于点 F、G，证PFAPGM，推出PFPG，列出方程，即可求出点 P 坐标；当点 P 在抛物线对称轴上时，可代入抛物线解析式，直接写出点 P 坐标 【解答】解： （1）把 A（3，0）和 C（32+bx3， 得， 解得， 抛物线解析式为 yx2+8x3； （2）设 P（x，x2+5x3） ，直线 AB 的解析式为 ykx+b
33、， 由抛物线解析式 yx2+7x3， 令 x0，则 y5， B（0，3） ， 把 A（5，0）和 B（0， 得， 解得， 直线 AB 的解析式为 yx3， PEx 轴， E（x，x3） ， P 在直线 AB 下方， PEx3（x2+4x3）x22x（x+）4+， 当 x时，yx2+4x3， 当 PE 最大时，P 点坐标为（，） ； 抛物线对称轴为直线 x3，A（3，正方形 APMN 的顶点落在抛物线对称轴上的情况有两种： 当点 N 在抛物线对称轴直线 x1 上时，分别过点 P、PEx 轴交于点 D、E， 四边形 APMN 为正方形，NDx 轴， ANAP，ADNAEP90，NAD+AND90，
34、 PAEAND， ANDAPE（AAS） ， ADPE， AD7（3）2， PE8， 此时（x2+2x5）2， 解得 x11，x21， P 在直线 AB 下方， x2， P（1； 当点 M 在抛物线对称轴直线 x8 上时，分别过点 P 作 PFx 轴、G， 四边形 APMN 为正方形，PFx 轴， PAPM，PFAPGM90，MPG+FPM90， APFMPG， PFAPGM（AAS） ， PFPG， 此时（x2+2x4）1x， 解得 x1，x2， P 在直线 AB 下方， x， P（，） ； 当点 P 在抛物线对称轴直线 x1 上时，P（2， 终上所述，点 P 对应的坐标为（，2）或（，4）
