1、7.3.2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 1随机变量 X 的方差，反映其取值的( ) A平均水平 B分布规律 C波动大小 D最大值和最小值 答案 C 2(多选)已知 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 4 1 3 1 6 1 4 则( ) AE(X)29 12 BD(X)121 144 CD(X)179 144 DE(X)17 12 答案 AC 解析 E(X)11 42 1 33 1 64 1 4 29 12， D(X) 129 12 21 4 229 12 21 3 329 12 21 6 429 12 21 4 179 144. 3由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员
2、在比赛中的得分情况为 X1(甲得分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好( ) A甲 B乙 C甲、乙均可 D无法确定 答案 A 解析 E(X1)E(X2)1.1， D(X1)1.120.20.120.50.920.30.49， D(X2)1.120.30.120.30.920.40.69， D(X1)D(X2)，即甲比乙得分稳定， 故派甲运动员参加较好 4 设随机变量X的概率分布列为P(Xk)pk(1p)1 k(k0,1)， 则E(X)， D(X)的值分别是( ) A0 和 1 Bp 和 p2 C
3、p 和 1p Dp 和(1p)p 答案 D 解析 由 X 的分布列知，P(X0)1p，P(X1)p， 故 E(X)0(1p)1pp， 易知 X 服从两点分布，D(X)p(1p) 5已知随机变量 X 的分布列为 P(Xk)1 3，k1,2,3，则 D(3X5)等于( ) A6 B9 C3 D4 答案 A 解析 E(X)11 32 1 33 1 32， D(X)1 3(12) 2(22)2(32)22 3， D(3X5)9D(X)92 36. 6已知随机变量 X 的分布列如表所示： X 1 3 5 P 0.4 0.1 a 则 a_，D(X)_. 答案 0.5 3.56 解析 根据随机变量分布列的性
4、质，知 0.40.1a1，所以 a0.5， E(X)0.40.32.53.2， D(X)2.220.40.220.11.820.53.56. 7已知离散型随机变量 X 的可能取值为 x11，x20，x31，且 E(X)0.1，D(X)0.89， 则对应 x1，x2，x3的概率 p1，p2，p3分别为_，_，_. 答案 0.4 0.1 0.5 解析 由题意知， p1p30.1， 1.21p10.01p20.81p30.89， p1p2p31， 解得 p10.4， p20.1， p30.5. 8若随机事件 A 在 1 次试验中发生的概率为 p(0p1)，用随机变量 X 表示 A 在 1 次试验中
5、发生的次数，则方差 D(X)的最大值为_，此时 p_. 答案 1 4 1 2 解析 随机变量 X 的所有可能的取值是 0,1，并且 P(X1)p，P(X0)1p. 从而 E(X)0(1p)1pp， D(X)(0p)2(1p)(1p)2 ppp2 p1 2 21 4. 0pE()，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但 D()D()，说明甲得分的稳 定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣 10已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 1 2 1 4 a (1)求 X2的分布列； (2)计算 X 的方差； (3)若 Y4X3，求 Y 的均值和方差 解 (1)由分布列的性质，知1
6、2 1 4a1，故 a 1 4， 从而 X2的分布列为 X2 0 1 P 1 4 3 4 (2)由(1)知 a1 4， 所以 X 的均值 E(X)(1)1 20 1 41 1 4 1 4. 故 X 的方差 D(X) 11 4 21 2 01 4 21 4 11 4 21 4 11 16. (3)因为 Y4X3，所以 E(Y)4E(X)32， D(Y)42D(X)11. 11 设随机试验的结果只有 A 发生和 A 不发生， 且 P(A)m， 令随机变量 X 1，A发生， 0，A不发生， 则 X 的方差 D(X)等于( ) Am B2m(1m) Cm(m1) Dm(1m) 答案 D 解析 显然 X
7、 服从两点分布，D(X)m(1m) 12(多选)已知随机变量 X 的分布列是 X 1 2 3 P 1 3 a b 若 E(X)11 6 ，则( ) Aa1 2 Bb1 6 CD(X)17 36 DD(X)23 18 答案 ABC 解析 由题意得 ab2 3. 由 E(X)1 32a3b 11 6 ， 得 2a3b3 2， 联立，得 a1 2，b 1 6. 所以 D(X) 111 6 21 3 211 6 21 2 311 6 21 6 17 36.故选 ABC. 13已知随机变量 的分布列为 m n P 1 3 a 若 E()2，则 D()的最小值等于( ) A0 B2 C4 D无法计算 答案
8、 D 解析 由题意得 a11 3 2 3，所以 E() 1 3m 2 3n2，即 m2n6.又 D() 1 3(m2) 22 3 (n2)22(n2)2，当 n2 时，D()取得最小值，此时 m2，不符合题意，故 D()无法取 得最小值 14若 X 是离散型随机变量，P(Xx1)2 3，P(Xx2) 1 3，且 x1x2，又已知 E(X) 4 3，D(X) 2 9，则 x1x2的值为_ 答案 3 解析 由已知得 x1 2 3x2 1 3 4 3， x14 3 2 2 3 x24 3 2 1 3 2 9， 即 2x1x24， 2 x14 3 2 x24 3 22 3， 解得 x15 3， x22
9、 3 或 x11， x22， 又 x1x2，所以 x11， x22， 所以 x1x23. 15编号为 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与 座位编号相同的学生的人数是 ，则 E()_，D()_. 答案 1 1 解析 的所有可能取值为 0,1,3，0 表示三位同学全坐错了，有 2 种情况，即编号为 1,2,3 的座位上分别坐了编号为 2,3,1 或 3,1,2 的学生， 则 P(0) 2 A33 1 3； 1 表示三位同学只有 1 位同学坐对了， 则 P(1)C 1 3 A33 1 2； 3 表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则 P(3) 1
10、A33 1 6. 所以 的分布列为 0 1 3 P 1 3 1 2 1 6 E()01 31 1 23 1 61. D()1 3(01) 21 2(11) 21 6(31) 21. 16A，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2，根据市场分析，X1和 X2的分布列 分别如下表： X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在 A， B 两个投资项目上各投资 100 万元， Y1和 Y2分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润， 求方差 D(Y1)，D(Y2)； (2)将 x(0 x100)万元投资项目 A，(100 x)万
11、元投资项目 B，f(x)表示投资项目 A 所得利润 的方差与投资项目 B 所得利润的方差的和求 f(x)的最小值，并指出 x 为何值时，f(x)取得最 小值 解 (1)根据题意，知 Y1和 Y2的分布列分别如下表： Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 从而 E(Y1)50.8100.26， D(Y1)(56)20.8(106)20.24， E(Y2)20.280.5120.38， D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312. (2)f(x)D x 100Y1 D 100 x 100 Y2 x 100 2D(Y 1) 100 x 100 2D(Y 2) 4 1002x 23(100 x)2 1 2 500(4x 2600 x30 000) 1 625(x75) 23， 当 x75 时，f(x)取得最小值 3.
