1、第第 2 2 课时课时 组合数公式组合数公式 学习目标 1.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式.2.能运用组合数公式进行计算.3.会用组合 数公式解决一些简单的组合问题 知识点一 组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 Cm nnn1n2nm1 m！ ， 其中 m，nN*，并且 mn 阶乘 形式 Cm n n！ m！nm！ 规定：C0n1. 知识点二 组合数的性质 性质 1：Cm nC nm n . 性质 2：Cm n1C m nC m1 n . 1C2 019 2 020_. 答案 2 020 2C12C22_. 答案 3 3若 Cm 721，C m 615，则 C m1 6 _.
2、答案 6 4方程 Cx5C25，则 x_. 答案 2 或 3 一、组合数公式的应用 命题角度 1 化简与求值 例 11 求值： (1)3C382C25； (2)C38 n 3n C3n 21n. 解 (1)3C382C253876 3212 54 21148. (2) 38n3n， 3n21n， 9.5n10.5. nN*，n10， C38 n 3n C3n 21nC 28 30C 30 31C 2 30C 1 31466. 命题角度 2 与组合数有关的证明 例 12 证明：mCm nnC m1 n1. 证明 mCm nm n！ m！nm！ n n1！ m1！nm！ n n1！ m1！nm！n
3、C m1 n1. 命题角度 3 与组合数有关的方程或不等式 例 13 (1)(多选)若 C4nC6n，则 n 的可能取值有( ) A6 B7 C8 D9 答案 ABCD 解析 由 C4nC6n得 n！ 4！n4！ n！ 6！n6！， n6 n29n100， n6 1n10， n6， 又 nN*，则 n6,7,8,9. 该不等式的解集为6,7,8,9 (2)已知 1 Cm 5 1 Cm 6 7 10Cm 7 ，求 Cm 8C 5m 8 . 解 1 Cm 5 1 Cm 6 7 10Cm 7 ， m！5m！ 5！ m！6m！ 6！ 77m！m！ 107！ ， 即m！5m！ 5！ m！6m5m！ 65
4、！ 7m！7m6m5m！ 10765！ ， 16m 6 7m6m 60 ， 即 m223m420， 解得 m2 或 m21. 0m5，mN*，m2， Cm 8C 5m 8 C28C38C3984. 反思感悟 (1)组合数公式 Cm nnn1n2nm1 m！ 一般用于计算， 而组合数公式 Cm n n！ m！nm！一 般用于含字母的式子的化简与证明 (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数 Cm n的隐含条件为 mn，且 m，nN *. (3)计算时应注意利用组合数的两个性质： Cm nC nm n ；Cm n1C m nC m1 n . 跟踪训练 1 (1)计算：C98 100
5、C 199 200； (2)证明：Cm n n nmC m n1. (1)解 C98 100C 199 200C 2 100C 1 20010099 2 200 4 9502005 150. (2)证明 n nmC m n1 n nm n1！ m！n1m！ n！ m！nm！C m n. 二、有限制条件的组合问题 例 2 课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各有一名队长，现从中选 5 人主持 某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选 解 (1)C513C511825(种) (2
6、)至多有 2 名女生当选含有三类： 有 2 名女生当选；只有 1 名女生当选；没有女生当选， 所以共有 C25C38C15C48C58966(种)选法 (3)分两类： 第一类女队长当选，有 C412495(种)选法， 第二类女队长没当选，有 C14C37C24C27C34C17C44295(种)选法， 所以共有 495295790(种)选法 反思感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再 取，分步计数 (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二
7、是 间接法，注意找准对立面，确保不重不漏 跟踪训练 2 某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜， 7 种不同的蔬菜， 用餐者可以按下述方法之一搭配午餐： (1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭则每天不同午餐的搭配方法 共有( ) A210 种 B420 种 C56 种 D22 种 答案 A 解析 由分类加法计数原理知， 两类配餐的搭配方法之和即为所求， 所以每天不同午餐的搭配方法共有 C24C27 C14C27210(种) 三、分组、分配问题 命题角度 1 平均分组 例 31 (1)6 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？ (2)6 本不同
8、的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？ 解 (1)先从 6 本书中选 2 本给甲，有 C26种方法；再从其余的 4 本中选 2 本给乙，有 C24种方法；最后从余下 的 2 本书中选 2 本给丙，有 C22种方法，所以分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，共有 C26C24C2290(种)方法 (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份，每 份两本，设有 x 种方法；第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有 A33种方法根据分步乘法计数 原理，可得 C26C24C22xA33，所以 xC 2 6C 2 4C 2 2 A33 15
9、.因此分为三份，每份两本，一共有 15 种方法 命题角度 2 不平均分组 例 32 (1)6 本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？ (2)6 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？ 解 (1)这是“不平均分组”问题，一共有 C16C25C3360(种)方法 (2)在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有 C16C25C33A33360(种)方法 命题角度 3 分配问题 例 33 6 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？ 解 可以分为三类情况：“2,2,2 型”，有 C26C24C2290(种
10、)方法；“1,2,3 型”，有 C16C25C33A33360(种) 方法；“1，1,4 型”，有 C46A3390(种)方法，所以一共有 9036090540(种)方法 反思感悟 “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： 完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成 n 组，最后必须除以 n！ ； 部分均匀分组，应注意不要重复，有 n 组均匀，最后必须除以 n！ ； 完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象 (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配 跟踪训练 3 将 4 个编号为 1,2,3,4 的小球放入 4
11、个编号为 1,2,3,4 的盒子中 (1)有多少种放法？ (2)每盒至多 1 个球，有多少种放法？ (3)恰好有 1 个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放 1 个球，并且恰好有 1 个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ (5)把 4 个不同的小球换成 4 个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 解 (1)每个小球都可能放入 4 个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有 444444 256(种)放法 (2)这是全排列问题，共有 A4424(种)放法 (3)方法一 先将 4 个小球分为 3 组，有C 2 4C 1 2C 1 1 A22 种方法，再将 3 组小球投入 4 个盒
12、子中的 3 个盒子，有 A34种 投放方法，故共有C 2 4C 1 2C 1 1 A22 A34144(种)放法 方法二 先取 4 个球中的 2 个“捆”在一起，有 C24种选法，把它与其他 2 个球共 3 个元素分别放入 4 个盒 子中的 3 个盒子，有 A34种投放方法，所以共有 C24A34144(种)放法 (4)1 个球的编号与盒子编号相同的选法有 C14种，当 1 个球与 1 个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其 余 3 个球的投入方法有 2 种，故共有 C14 28(种)放法 (5)先从 4 个盒子中选出 3 个盒子，再从 3 个盒子中选出 1 个盒子放入 2 个球，余下 2 个
13、盒子各放 1 个，由 于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有 C34C1312(种)放法 与几何有关的组合应用题 典例 如图，在以 AB 为直径的半圆周上，有异于 A，B 的六个点 C1，C2，C6，线段 AB 上有异于 A，B 的四个点 D1，D2，D3，D4. (1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点可作多少个三角形？其中含 C1点的有多少个？ (2)以图中的 12 个点(包括 A，B)中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？ 解 (1)方法一 可作出三角形 C36C16 C24C26 C14116(个) 其中以 C1为顶点的三角形有 C25C15 C14C2436(个) 方
14、法二 可作三角形 C310C34116(个)， 其中以 C1为顶点的三角形有 C25C15 C14C2436(个) (2)可作出四边形 C46C36 C16C26 C26360(个) 素养提升 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用 直接法，也可采用间接法 (2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养 1C26C57的值为( ) A72 B36 C30 D42 答案 B 解析 C26C57C26C27 65 21 76 21152136. 2若 C2n28，则 n 的值为( ) A9 B8 C7 D6
15、答案 B 解析 因为 C2n28，所以1 2n(n1)28，又 nN *，所以 n8. 3若 A3m6C4m，则 m 等于( ) A9 B8 C7 D6 答案 C 解析 由已知得 m(m1)(m2)6mm1m2m3 4！ ，解得 m7，故选 C. 4甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案的 种数为_ 答案 96 解析 从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有 C24 C34 C3496(种) 5有 4 名男医生、3 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成 1 个医疗小组，则不同的选法共有 _种 答案 18 解析 从 4 名男医生中选 2 人，有 C24种选法，从 3 名女医生中选 1 人，有 C13种选法，由分步乘法计数原理 知，所求选法种数为 C24C1318. 1知识清单： (1)涉及具体数字的可以直接用公式 Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m！ 计算 (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cm n n！ m！nm！计算 (3)计算时应注意利用组合数的性质 Cm nC nm n 简化运算 (4)分组分配问题 2方法归纳：分类讨论、正难则反、方程思想 3常见误区：分组分配中是否为“平均分组”
