1、2021 年山东省烟台市中考数学试卷年山东省烟台市中考数学试卷 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,满分分,满分 36 分)每小题都给出标号为分)每小题都给出标号为 A,B,C,D 四个备选答案,四个备选答案, 其中有且只有一个是正确的其中有且只有一个是正确的 1若 x 的相反数是 3,则 x 的值是( ) A3 B C3 D3 2下列数学符号中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 3下列计算正确的是( ) Aa2a3a6 Ba2+a3a5 C (a2)3a6 Da2a3a 4一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后,如图所示,
2、则该几何体的左视图是( ) A B C D 52021 年 5 月 15 日,天问一号探测器成功着陆火星,迈出了我国星际探测征程的重要一步已知火星与 地球的近距离约为 5500 万公里,5500 万用科学记数法表示为( ) A0.55108 B5.5107 C55106 D5.5103 6一副三角板如图放置,两三角板的斜边互相平行,每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上, 图中 的度数为( ) A45 B60 C75 D85 7如图,在直角坐标系中,菱形 ABCD 的顶点 A,B,C 在坐标轴上,若点 B 的坐标为(1,0) ,BCD 120,则点 D 的坐标为( ) A (2,2) B
3、 (,2) C (3,) D (2,) 8如图所示,若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算,其按键顺序及结果如下: 按键的结果为 m; 按键的结果为 n; 按键的结果为 k 下列判断正确的是( ) Amn Bnk Cmk Dmnk 9已知关于 x 的一元二次方程 x2mnx+m+n0,其中 m,n 在数轴上的对应点如图所示,则这个方程的根 的情况是( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 10连接正六边形不相邻的两个顶点,并将中间的六边形涂成黑色,制成如图所示的镖盘,将一枚飞镖任 意投掷到镖盘上,飞镖落在黑色区域的概率为( ) A B C D 11如图
4、,二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A(1,0) ,B(3,0) ,与 y 轴交于点 C下列结论: ac0; 当 x0 时,y 随 x 的增大而增大; 3a+c0; a+bam2+bm 其中正确的个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成的图形如图所示,AOBBOCLOM30若 OA16,则 OG 的长为( ) A B C D 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,满分分,满分 18 分)分) 13若代数式在实数范围内有意义,则 x 的取值范围为 14 九章算术中记载了一种测量古
5、井水面以上部分深度的方法如图所示,在井口 A 处立一根垂直于井 口的木杆 AB,从木杆的顶端 B 观察井水水岸 D,视线 BD 与井口的直径 AC 交于点 E,如果测得 AB1 米,AC1.6 米,AE0.4 米,那么 CD 为 米 15幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书” 把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三 阶幻方将数字 19 分别填入如图所示的幻方中,要求每一横行,每一竖行以及两条对角线上的数字之 和都是 15,则 a 的值为 16数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的飞行高度为 40 米,当无人机与旗杆的水平 距离是 45 米时,观测旗杆顶部的俯角为 30
6、,则旗杆的高度约为 米 (结果精确到 1 米,参考数据:1.41,1.73) 17如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是 1,O 是ABC 的外接圆,点 A,B,O 在网格线 的交点上,则 sinACB 的值是 18综合实践活动课上,小亮将一张面积为 24cm2,其中一边 BC 为 8cm 的锐角三角形纸片(如图 1) ,经 过两刀裁剪,拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 BCDE(如图 2) ,则矩形的周长为 cm 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 7 个小题,满分个小题,满分 66 分分 19 (6 分)先化简,再求值:,从2x2 中选出合适的 x 的整数值代入求 值 20 (8
7、 分)2021 年是中国共产党成立 100 周年为普及党史知识,培养爱国主义精神,今年五月份,某市 党校举行党史知识竞赛,每个班级各选派 15 名学员参加了网上测试,现对甲、乙两班学员的分数进行整 理分析如下: 甲班 15 名学员测试成绩(满分 100 分)统计如下: 87,84,88,76,93,87,73,98,86,87,79,85,84,85,98 乙班 15 名学员测试成绩(满分 100 分)统计如下: 77,88,92,85,76,90,76,91,88,81,85,88,98,86,89 (1)按如表分数段整理两班测试成绩 班级 70.5 75.5 75.5 80.5 80.5
8、85.5 85.5 90.5 90.5 95.5 95.5 100.5 甲 1 2 a 5 1 2 乙 0 3 3 6 2 1 表中 a ; (2)补全甲班 15 名学员测试成绩的频数分布直方图; (3)两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示: 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 86 x 86 44.8 乙 86 88 y 36.7 表中 x ,y (4)以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 班; (5)本次测试两班的最高分都是 98 分,其中甲班 2 人,乙班 1 人现从以上三人中随机抽取两人代表 党校参加全市党史知识竞赛,利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各
9、一人参加全市党史知识竞赛 的概率 21 (8 分)如图,正比例函数 yx 与反比例函数 y(x0)的图象交于点 A,过点 A 作 ABy 轴于 点 B,OB4,点 C 在线段 AB 上,且 ACOC (1)求 k 的值及线段 BC 的长; (2)点 P 为 B 点上方 y 轴上一点,当POC 与PAC 的面积相等时,请求出点 P 的坐标 22(9 分) 直播购物逐渐走进了人们的生活 某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售, 如果按每件 60 元销售,每天可卖出 20 件通过市场调查发现,每件小商品售价每降低 5 元,日销售量 增加 10 件 (1)若日利润保持不变,商家想尽
10、快销售完该款商品,每件售价应定为多少元? (2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件 62.5 元为提高市场竞争力,促进线下销售, 小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售? 23 (10 分)如图,已知 RtABC 中,C90 (1)请按如下要求完成尺规作图(不写作法,保留作图痕迹) 作BAC 的角平分线 AD,交 BC 于点 D; 作线段 AD 的垂直平分线 EF 与 AB 相交于点 O; 以点 O 为圆心,以 OD 长为半径画圆,交边 AB 于点 M (2)在(1)的条件下,求证:BC 是O 的切线; (3)若 AM4BM,AC1
11、0,求O 的半径 24 (11 分)有公共顶点 A 的正方形 ABCD 与正方形 AEGF 按如图 1 所示放置,点 E,F 分别在边 AB 和 AD 上,连接 BF,DE,M 是 BF 的中点,连接 AM 交 DE 于点 N 【观察猜想】 (1)线段 DE 与 AM 之间的数量关系是 ,位置关系是 ; 【探究证明】 (2) 将图 1 中的正方形 AEGF 绕点 A 顺时针旋转 45, 点 G 恰好落在边 AB 上, 如图 2, 其他条件不变, 线段 DE 与 AM 之间的关系是否仍然成立?并说明理由 25 (14 分)如图,抛物线 yax2+bx+c 经过点 A(2,0) ,B(4,0) ,
12、与 y 轴正半轴交于点 C,且 OC 2OA,抛物线的顶点为 D,对称轴交 x 轴于点 E直线 ymx+n 经过 B,C 两点 (1)求抛物线及直线 BC 的函数表达式; (2)点 F 是抛物线对称轴上一点,当 FA+FC 的值最小时,求出点 F 的坐标及 FA+FC 的最小值; (3)连接 AC,若点 P 是抛物线上对称轴右侧一点,点 Q 是直线 BC 上一点,试探究是否存在以点 E 为 直角顶点的 RtPEQ,且满足 tanEQPtanOCA若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理 由 2021 年山东省烟台市中考数学试卷年山东省烟台市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解
13、析 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,满分分,满分 36 分)每小题都给出标号为分)每小题都给出标号为 A,B,C,D 四个备选答案,四个备选答案, 其中有且只有一个是正确的其中有且只有一个是正确的 1若 x 的相反数是 3,则 x 的值是( ) A3 B C3 D3 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数 【解答】解:3 的相反数是 3, x3 故选:A 2下列数学符号中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断,即可求出答案 【解答】解:A是轴对称图形,不是中心对称图形,
14、故本选项不合题意; B不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意; C是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; D既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意 故选:D 3下列计算正确的是( ) Aa2a3a6 Ba2+a3a5 C (a2)3a6 Da2a3a 【分析】根据同底数幂的乘法,合并同类项,幂的乘方,同底数幂的除法法则进行计算,然后作出判断 【解答】解:Aa2a3a5,故此选项不符合题意; Ba2与 a3不是同类项,不能进行合并计算,故此选项不符合题意; C (a2)3a6,正确,故此选项符合题意; Da2a3,故此选项不符合题意, 故选:C 4一个正方体沿四
15、条棱的中点切割掉一部分后,如图所示,则该几何体的左视图是( ) A B C D 【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可 【解答】解:从左边看,是一个正方形,正方形的中间有一条横向的虚线 故选:C 52021 年 5 月 15 日,天问一号探测器成功着陆火星,迈出了我国星际探测征程的重要一步已知火星与 地球的近距离约为 5500 万公里,5500 万用科学记数法表示为( ) A0.55108 B5.5107 C55106 D5.5103 【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为 a10n,其中 1|a|10,n 为整数,且 n 比原来的 整数位数少 1,据此判断即可 【解答】解:55
16、00 万550000005.5107 故选:B 6一副三角板如图放置,两三角板的斜边互相平行,每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上, 图中 的度数为( ) A45 B60 C75 D85 【分析】根据 EFBC 得出FDCF30,进而得出FDC+C 即可 【解答】解:如图, EFBC, FDCF30, FDC+C30+4575, 故选:C 7如图,在直角坐标系中,菱形 ABCD 的顶点 A,B,C 在坐标轴上,若点 B 的坐标为(1,0) ,BCD 120,则点 D 的坐标为( ) A (2,2) B (,2) C (3,) D (2,) 【分析】根据直角三角形的性质得出 OB,OA
17、的长,进而利用菱形的性质得出点的坐标即可 【解答】解:菱形 ABCD,BCD120, ABC60, B(1,0) , OB1,OA,AB2, A(0,) , BCAD2, C(1,0) ,D(2,) , 故选:D 8如图所示,若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算,其按键顺序及结果如下: 按键的结果为 m; 按键的结果为 n; 按键的结果为 k 下列判断正确的是( ) Amn Bnk Cmk Dmnk 【分析】分别计算出 m,n,k 的值即可得出答案 【解答】解:m23844; n22440; kcos604; mk, 故选:C 9已知关于 x 的一元二次方程 x2mnx+m+n0,其中
18、m,n 在数轴上的对应点如图所示,则这个方程的根 的情况是( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 【分析】先由数轴得出 m,n 与 0 的关系,再计算判别式的值即可判断 【解答】解:由数轴得 m0,n0,m+n0, mn0, (mn)24(m+n)0, 方程有两个不相等的实数根 故选:A 10连接正六边形不相邻的两个顶点,并将中间的六边形涂成黑色,制成如图所示的镖盘,将一枚飞镖任 意投掷到镖盘上,飞镖落在黑色区域的概率为( ) A B C D 【分析】如图,将阴影部分分割成图形小三角形的大小,令小三角形的面积为 a,分别表示出阴影部分 的面积个正六边形的
19、面积,根据概率公式求解即可 【解答】解:如图所示,令 SABCa, 则 S阴影6a,S正六边形18a, 将一枚飞镖任意投掷到镖盘上,飞镖落在黑色区域的概率为, 故选:B 11如图,二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A(1,0) ,B(3,0) ,与 y 轴交于点 C下列结论: ac0; 当 x0 时,y 随 x 的增大而增大; 3a+c0; a+bam2+bm 其中正确的个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】把点 A(1,0) ,B(3,0)代入二次函数 yax2+bx+c,可得二次函数的解析式为:yax2 2ax3a,由图象可知,函数图象开口向下,所以 a0
20、,可得 b 和 c 的符号,及 a 和 c 的数量关系;由函 数解析式可得函数对称轴为直线:x1,根据函数的增减性和最值,可判断和的正确性 【解答】解:把点 A(1,0) ,B(3,0)代入二次函数 yax2+bx+c, 可得二次函数的解析式为:yax22ax3a, 该函数开口方向向下, a0, b2a0,c3a0, ac0,3a+c0,错误,正确; 对称轴为直线:x1, x1 时,y 随 x 的增大而增大,x1 时,y 随 x 的增大而减小;错误; 当 x1 时,函数取得最大值,即对于任意的 m,有 a+b+cam2+bm+c, a+bam2+bm,故正确 综上,正确的个数有 2 个, 故选
21、:B 12由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成的图形如图所示,AOBBOCLOM30若 OA16,则 OG 的长为( ) A B C D 【分析】由 AOBBOCLOM30,ABOBCOLMO90,可知 AB:OB: OABC:OC:OBFG:OG:OF1:2,由此可求出 OG 的长 【解答】解:由图可知,ABOBCOLMO90, AOBBOCLOM30, AOBABCDOLM60, ABOA,OBABOA, 同理可得,OCOB()2OA, ODOC()3OA, OGOF()6OA()616 故选:A 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,
22、满分分,满分 18 分)分) 13若代数式在实数范围内有意义,则 x 的取值范围为 x2 【分析】二次根式的被开方数是非负数 【解答】解:依题意,得 2x0, 解得,x2 故答案是:x2 14 九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示,在井口 A 处立一根垂直于井 口的木杆 AB,从木杆的顶端 B 观察井水水岸 D,视线 BD 与井口的直径 AC 交于点 E,如果测得 AB1 米,AC1.6 米,AE0.4 米,那么 CD 为 3 米 【分析】由题意知:ABECDE,得出对应边成比例即可得出 CD 【解答】解:由题意知:ABCD, 则BAEC,BCDE, ABECDE, ,
23、, CD3 米, 故答案为:3 15幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书” 把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三 阶幻方将数字 19 分别填入如图所示的幻方中,要求每一横行,每一竖行以及两条对角线上的数字之 和都是 15,则 a 的值为 2 【分析】利用幻方中每一横行,每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是 15,可求出幻方右下角及第 二行中间的数字,再利用幻方中对角线上的数字之和为 15,即可得出关于 a 的一元一次方程,解之即可 得出结论 【解答】解:幻方右下角的数字为 15834, 幻方第二行中间的数字为 15645 依题意得:8+5+a15, 解得:a2 故答案为:2 1
24、6数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的飞行高度为 40 米,当无人机与旗杆的水平 距离是 45 米时,观测旗杆顶部的俯角为 30,则旗杆的高度约为 14 米 (结果精确到 1 米,参考数据:1.41,1.73) 【分析】过 O 点作 OCAB 的延长线于 C 点,垂足为 C,利用直角三角形的解法得出 OC,进而解答即 可 【解答】解:过 O 点作 OCAB 的延长线于 C 点,垂足为 C, 当无人机与旗杆的水平距离是 45 米时,观测旗杆顶部的俯角为 30, AC45 米,CAO30, OCACtan30(米) , 旗杆的高度401514(米) , 故答案为:14 17如图,在
25、正方形网格中,每个小正方形的边长都是 1,O 是ABC 的外接圆,点 A,B,O 在网格线 的交点上,则 sinACB 的值是 【分析】连接 AO 并延长交O 于 D,根据圆周角定理得到ACBADB,根据勾股定理求出 AD,根 据正弦的定义计算,得到答案 【解答】解:如图,连接 AO 并延长交O 于 D, 由圆周角定理得:ACBADB, 由勾股定理得:AD2, sinACBsinADB, 故答案为: 18综合实践活动课上,小亮将一张面积为 24cm2,其中一边 BC 为 8cm 的锐角三角形纸片(如图 1) ,经 过两刀裁剪,拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 BCDE(如图 2) ,则矩形的周长
26、为 22 cm 【分析】延长 AT 交 BC 于点 P,利用三角形的面积公式求出 AP,求出 BE,CD,DE,可得结论 【解答】解:延长 AT 交 BC 于点 P, APBC, BCAP24, 8AP24, AP6(cm) , 由题意,ATPT3(cm) , BECDPT3(cm) , DEBC8cm, 矩形 BCDE 的周长为 8+8+3+322(cm) 故答案为:22 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 7 个小题,满分个小题,满分 66 分分 19 (6 分)先化简,再求值:,从2x2 中选出合适的 x 的整数值代入求 值 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后从
27、2x2 中选出一个使得原分式有意 义的整数代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解: , 2x2 且(x+1) (x1)0,2x0, x 的整数值为1,0,1,2 且 x1,2, x0, 当 x0 时,原式1 20 (8 分)2021 年是中国共产党成立 100 周年为普及党史知识,培养爱国主义精神,今年五月份,某市 党校举行党史知识竞赛,每个班级各选派 15 名学员参加了网上测试,现对甲、乙两班学员的分数进行整 理分析如下: 甲班 15 名学员测试成绩(满分 100 分)统计如下: 87,84,88,76,93,87,73,98,86,87,79,85,84,85,98 乙班 15 名学员测
28、试成绩(满分 100 分)统计如下: 77,88,92,85,76,90,76,91,88,81,85,88,98,86,89 (1)按如表分数段整理两班测试成绩 班级 70.5 75.5 75.5 80.5 80.5 85.5 85.5 90.5 90.5 95.5 95.5 100.5 甲 1 2 a 5 1 2 乙 0 3 3 6 2 1 表中 a 4 ; (2)补全甲班 15 名学员测试成绩的频数分布直方图; (3)两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示: 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 86 x 86 44.8 乙 86 88 y 36.7 表中 x 87 ,y 86
29、 (4)以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 乙 班; (5)本次测试两班的最高分都是 98 分,其中甲班 2 人,乙班 1 人现从以上三人中随机抽取两人代表 党校参加全市党史知识竞赛,利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛 的概率 【分析】 (1)由甲班 15 名学员的测试成绩即可求解; (2)由(1)的结果,补全甲班 15 名学员测试成绩的频数分布直方图即可; (3)由众数、中位数的定义求解即可; (4)从平均数、中位数、方差几个方面说明即可; (5)画树状图,共有 6 种等可能的结果,恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的结果有 4 种,再
30、由概率公式求解即可 【解答】解: (1)由题意得:a4, 故答案为:4; (2)补全甲班 15 名学员测试成绩的频数分布直方图如下: (3)甲班 15 名学员测试成绩中,87 分出现的次数最多, x87,由题意得:乙班 15 名学员测试成绩的中位数为 86, 故答案为:87,86; (4)以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班,理由如下: 甲、乙两个班的平均数相等,但乙班的中位数大于甲班的中位数; 乙班的方差小于甲班的方差,因此乙班的成绩更稳定; 故答案为:乙; (5)把甲班 2 人记为 A、B,乙班 1 人记为 C, 画树状图如图: 共有 6 种等可能的结果,恰好抽取甲、乙两
31、班各一人参加全市党史知识竞赛的结果有 4 种, 恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率为 21 (8 分)如图,正比例函数 yx 与反比例函数 y(x0)的图象交于点 A,过点 A 作 ABy 轴于 点 B,OB4,点 C 在线段 AB 上,且 ACOC (1)求 k 的值及线段 BC 的长; (2)点 P 为 B 点上方 y 轴上一点,当POC 与PAC 的面积相等时,请求出点 P 的坐标 【分析】 (1)根据正比例函数的解析式求出 A 点坐标,由 A 在反比例函数上,可求出 k,再根据 AC OC 求出点 C 的坐标,即可得线段 BC 的长; (2)设点 P(0,p) ,根据P
32、OC 与PAC 的面积相等,得出关于 p 的方程,解方程即可得点 P 的坐标 【解答】解: (1)点 A 在正比例函数 yx 上,ABy 轴,OB4, 点 B 的坐标为(0,4) , 点 A 的纵坐标是 4,代入 yx,得 x8, A(8,4) , 点 A 在反比例函数 y(x0)的图象上, k4832, 点 C 在线段 AB 上,且 ACOC 设点 C(c,4) , OC,ACABBC8c, 8c,解得:c3, 点 C(3,4) , BC3, k32,BC3; (2)如图, 设点 P(0,p) , 点 P 为 B 点上方 y 轴上一点, OPp,BPp4, A(8,4) ,C(3,4) ,
33、AC835,BC3, POC 与PAC 的面积相等, 3p5(p4) ,解得:p10, P(0,10) 22(9 分) 直播购物逐渐走进了人们的生活 某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售, 如果按每件 60 元销售,每天可卖出 20 件通过市场调查发现,每件小商品售价每降低 5 元,日销售量 增加 10 件 (1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元? (2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件 62.5 元为提高市场竞争力,促进线下销售, 小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售? 【
34、分析】 (1)根据日利润每件利润日销售量,可求出售价为 60 元时的原利润,设售价应定为 x 元, 则每件的利润为(x40)元,日销售量为 20+(1402x)件,根据日利润每件利润 日销售量,即可得出关于 x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论; (2)设该商品需要打 x 折销售,根据销售价格不超过 50 元,列出不等式求解即可 【解答】 (1)解:设售价应定为 x 元,则每件的利润为(x40)元,日销售量为 20+(140 2x)件, 依题意,得: (x40) (1402x)(6040)20, 整理,得:x2110 x+30000, 解得:x150,x260(舍去) 答:售价应定为
35、 50 元; (2)该商品需要打 a 折销售, 由题意,得,62.550, 解得:a8, 答:该商品至少需打 8 折销售 23 (10 分)如图,已知 RtABC 中,C90 (1)请按如下要求完成尺规作图(不写作法,保留作图痕迹) 作BAC 的角平分线 AD,交 BC 于点 D; 作线段 AD 的垂直平分线 EF 与 AB 相交于点 O; 以点 O 为圆心,以 OD 长为半径画圆,交边 AB 于点 M (2)在(1)的条件下,求证:BC 是O 的切线; (3)若 AM4BM,AC10,求O 的半径 【分析】 (1)以 A 为圆心,以任意长度为半径画弧,与 AC、AB 相交,再以两个交点为圆心
36、,以大于 两点之间距离的一半为半径画弧相交于BAC 内部一点,将点 A 与它连接并延长,与 BC 交于点 D,则 AD 为BAC 的平分线; 分别以点 A、点 D 为圆心,以大于AD 长度为半径画圆,将两圆交点连接,则 EF 为 AD 的垂直平分 线,EF 与 AB 交于点 O; (2)根据线段垂直平分线及角平分线的性质推出角之间的关系,再根据平行线的判定得出 ODAC,从 而得出 ODBC 即可; (3)根据题意得到线段之间的关系:OM2BM,BO3BM,AB5BM,再根据相似三角形的性质求解 即可 【解答】解: (1)如图所示, 以 A 为圆心,以任意长度为半径画弧,与 AC、AB 相交,
37、再以两个交点为圆心,以大于两点之间距离 的一半为半径画弧相交于BAC 内部一点,将点 A 与它连接并延长,与 BC 交于点 D,则 AD 为BAC 的平分线; 分别以点 A、点 D 为圆心,以大于AD 长度为半径画圆,将两圆交点连接,则 EF 为 AD 的垂直平分 线,EF 与 AB 交于点 O; 如图,O 与 AB 交于点 M; (2)证明:EF 是 AD 的垂直平分线,且点 O 在 AD 上, OAOD, OADODA, AD 是BAC 的平分线, OADCAD, ODACAD, ODAC, ACBC, ODBC, 故 BC 是O 的切线 (3)根据题意可知 OMOAODAM,AM4BM,
38、 OM2BM,BO3BM,AB5BM, , 由(2)可知 RtBOD 与 RtBAC 有公共角B, RtBODRtBAC, ,即,解得 DO6, 故O 的半径为 6 24 (11 分)有公共顶点 A 的正方形 ABCD 与正方形 AEGF 按如图 1 所示放置,点 E,F 分别在边 AB 和 AD 上,连接 BF,DE,M 是 BF 的中点,连接 AM 交 DE 于点 N 【观察猜想】 (1)线段 DE 与 AM 之间的数量关系是 DE2AM ,位置关系是 DEAM ; 【探究证明】 (2) 将图 1 中的正方形 AEGF 绕点 A 顺时针旋转 45, 点 G 恰好落在边 AB 上, 如图 2
39、, 其他条件不变, 线段 DE 与 AM 之间的关系是否仍然成立?并说明理由 【分析】(1) 由正方形的性质得出 ADAB, AFAE, DAEBAF90, 证明DAEBAF (SAS) , 由全等三角形的性质得出 DEBF,ADEABF,由直角三角形的性质可得出结论; (2)延长 AM 至点 H,使得 AMMH,连接 FH,证明AMBHMF(SAS) ,由全等三角形的性质得 出 ABHF,ABMHFM,证明EADAFH(SAS) ,由全等三角形的性质得出 DEAH,则可 得出答案 【解答】解: (1)四边形 ABCD 和四边形 AEGF 都是正方形, ADAB,AFAE,DAEBAF90,
40、DAEBAF(SAS) , DEBF,ADEABF, ABF+AFB90, ADE+AFB90, 在 RtBAF 中,M 是 BF 的中点, AMFMBMBF, DE2AM AMFM, AFBMAF, 又ADE+AFB90, ADE+MAF90, AND180(ADE+MAF)90, 即 ANDN; 故答案为 DE2AM,DEAM (2)仍然成立, 证明如下:延长 AM 至点 H,使得 AMMH,连接 FH, M 是 BF 的中点, BMFM, 又AMBHMF, AMBHMF(SAS) , ABHF,ABMHFM, ABHF, HFGAGF, 四边形 ABCD 和四边形 AEGF 是正方形,
41、DABAFG90,AEAF,ADABFH,EAGAGF, EADEAG+DABAFG+AGFAFG+HFGAFH, EADAFH(SAS) , DEAH, 又AMMH, DEAM+MH2AM, EADAFH, ADEFHA, AMBHMF, FHABAM, ADEBAM, 又BAM+DAMDAB90, ADE+DAM90, AND180(ADE+DAM)90, 即 ANDN 故线段 DE 与 AM 之间的数量关系是 DE2AM线段 DE 与 AM 之间的位置关系是 DEAM 25 (14 分)如图,抛物线 yax2+bx+c 经过点 A(2,0) ,B(4,0) ,与 y 轴正半轴交于点 C,
42、且 OC 2OA,抛物线的顶点为 D,对称轴交 x 轴于点 E直线 ymx+n 经过 B,C 两点 (1)求抛物线及直线 BC 的函数表达式; (2)点 F 是抛物线对称轴上一点,当 FA+FC 的值最小时,求出点 F 的坐标及 FA+FC 的最小值; (3)连接 AC,若点 P 是抛物线上对称轴右侧一点,点 Q 是直线 BC 上一点,试探究是否存在以点 E 为 直角顶点的 RtPEQ,且满足 tanEQPtanOCA若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理 由 【分析】 (1)用待定系数法即可求解; (2)点 A、B 关于抛物线的对称轴对称,设抛物线的对称轴交 BC 于点 F,则点 F
43、 为所求点,此时,当 FA+FC 的值最小,进而求解; (3)当点 Q 在点 P 的左侧时,证明QMEENP, 则tanEQPtanOCA ,进而求解;当点 Q 在点 P 的右侧时,同理可解 【解答】解: (1)由点 A 的坐标知,OA2, OC2OA4,故点 C 的坐标为(0,4) , 将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得:,解得, 故抛物线的表达式为 yx+x+4; 将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式得:,解得, 故直线 BC 的表达式为 yx+4; (2)点 A、B 关于抛物线的对称轴对称, 设抛物线的对称轴交 BC 于点 F,则点 F 为所求点,此时,当 FA+FC 的值最小
44、, 理由:由函数的对称性知,AFBF, 则 AF+FCBF+FCBC 为最小, 当 x1 时,yx+43,故点 F(1,3) , 由点 B、C 的坐标知,OBOC4, 则 BCBO4, 即点 F 的坐标为(1,3) 、FA+FC 的最小值为 4; (3)存在,理由: 设点 P 的坐标为(m,m2+m+4) 、点 Q 的坐标为(t,t+4) , 当点 Q 在点 P 的左侧时, 如图 2,过点 P、Q 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 N、M, 由题意得:PEQ90, PEN+QEM90, EQM+QEM90, PENEQM, QMEENP90, QMEENP, tanEQPtanOCA, 则 PNm2+m+4,ME1t,ENm1,QMt+4, , 解得 m(舍去负值) , 当 m时,m2+m+4, 故点 P 的坐标为(,) 当点 Q 在点 P 的右侧时, 分别过点 P、Q 作抛物线对称轴的垂线,垂足分别为 N、M, 则 MQt1,MEt4,NEm2+m+4、PNm1, 同理可得:QMEENP, tanPQE2, 即, 解得 m(舍去负值) , 故 m, 故点 P 的坐标为(,) , 故点 P 的坐标为(,)或(,)