1、2020 年广西来宾市中考数学试卷年广西来宾市中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 要求的，用要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 ）铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 ） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的三种形式求解即可 【详解】解：1，0，-5 是有理数， 2是无理数 故选：A 【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：
2、开方开不尽的数，无 限不循环小数，含有 的数 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中心对称图形的定义逐一判断即可 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确， 故选：D 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，关键是要寻找对称中心，图形旋转 180后与原图重合 3. 2020年 2月至 5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务 中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受
3、广大师生欢迎.其中某节数学课的点击观看次 数约889000次，则数据889000用科学记数法表示为（ ） A. 3 88.9 10 B. 4 88.9 10 C. 5 8.89 10 D. 6 8.89 10 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式其中 1|a|10，n为整数，确定 n的值时，要看把原数 变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数； 当原数的绝对值1 时，n是负数 【详解】889000这个数据用科学记数法表示为 5 8.89 10 故选：C 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表
4、示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4. 下列运算正确的是（ ） A. 224 22xxx B. 333 2xxx C. 2 57 xx D. 752 22xxx 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算性质逐项判断即可； 【详解】 222 23xxx，故 A错误； 336 xxx，故 B错误； 2 510 xx，故 C错误； 752 22xxx，故 D正确； 故答案选 D 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质，准确分析判断是解题的关键 5. 以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 检测长征运载火箭的零部件质量情况 B
5、. 了解全国中小学生课外阅读情况 C. 调查某批次汽车的抗撞击能力 D. 检测某城市的空气质量 【答案】A 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果 比较近似解答即可 【详解】A.检测长征运载火箭的零部件质量情况,必须全面调查才能得到准确数据； B 了解全国中小学生课外阅读情况，量比较大，用抽样调查； C.调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，用抽样调查； D.检测某城市的空气质量，不可能全面调查，用抽样调查. 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征 灵活选用，一般来说，对于具
6、有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查， 对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查 6. 一元二次方程 2 210 xx 的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断 【详解】1a ，2b ，1c， 2 2 424 1 1440bac ， 方程有两个相等的实数根 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程 2 0axbxc（0a）的根的判别式 2 4bac：当0，方程 有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等
7、的实数根；当0，方程没有实数根 7. 如图，在ABC中， ,80BABCB，观察图中尺规作图的痕迹，则 DCE的度数为（ ） A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出BCA，进而求得ACD，由作图痕迹可知 CE 为ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可 【详解】在ABC中，,80BABCB， 18018080 50 22 B ACB oo o ， ACD=180-ACB=180-50=130， 由作图痕迹可知 CE为ACD 的平分线， 1 65 2 DCEACD o ， 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的
8、性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三 角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键 8. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的 概率是（ ） A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 【答案】C 【解析】 【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观 察图可得：它有 6种路径，且获得食物的有 2 种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案 【详解】一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径， 它有 6种路径， 获得食物
9、的有 2种路径， 获得食物的概率是： 21 = 63 ， 故选：C 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 9. 如图，在ABC中，120BC ，高60AD ，正方形EFGH一边在BC上，点,E F分别在,AB AC 上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】证明AEFABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得 【详解】解：四边形 EFGH 是正方形， EFBC， AEFABC， EFAN BCAD 设 AN=x，则 EF=FG=DN=60-x， 60
10、12060 xx 解得：x=20 所以，AN=20 故选：B 【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键 10. 甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为/vkm h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后 行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（ ） A. 6001600 31.2 vv B. 6006001 1.23vv C. 600600 20 1.2vv D. 600600 20 1.2vv 【答案】A 【解析】 【分析】行驶路程都是 600 千米；提速前后行驶时间分别是： 600 600 , 1.2vv ；因为提速后行车时间比提速前减 少
11、20min，所以，提速前的时间-提速后的时间=20min 【详解】根据提速前的时间-提速后的时间=20min，可得 6006001 1.23 vv 即 6001600 31.2 vv 故选：A 【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的本题 考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键 11. 九章算术 是古代东方数学代表作， 书中记载： 今有开门去阃(读kun， 门槛的意思)一尺， 不合二寸， 问门广几何？题目大意是：如图 1、2(图 2 为图 1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸， 点C和点D距
12、离门槛AB都为1尺(1尺10寸)，则AB的长是（ ） A. 50.5寸 B. 52寸 C. 101寸 D. 104寸 【答案】C 【解析】 【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论 【详解】设 OA=OB=AD=BC=x，过 D作 DEAB 于 E， 则 DE=10，OE= 1 2 CD=1，AE= 1x 在 RtADE中， 222 AEDEAD ，即 2 22 110 xx， 解得2?101x 故门的宽度（两扇门的和）AB为 101寸 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键 12. 如图，点,A B是直线y x 上的两点，过,A B两点分别作x轴的平
13、行线交双曲线 1 0yx x 于点 ,C D若 3ACBD ，则 22 3ODOC的值为（ ） A. 5 B. 3 2 C. 4 D. 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】设点 A的坐标为(a，a)，则点 C的坐标为( 1 a ，a)，设点 B的坐标为(b，b)，则点 D的坐标为 ( 1 b ，b)，根据 AC=3BD 即可得到 a，b 的关系，然后利用勾股定理，即可用 a，b 表示出所求的式子从 而求解 【详解】点 A、B在直线y x 上，点 C、D在双曲线 1 y x 上， 设点 A 的坐标为(a，a)，则点 C的坐标为( 1 a ，a)， 设点 B的坐标为(b，b)，则点 D 的坐标为
14、( 1 b ，b)， BD= 1 b b ，AC= 1 a a ， AC= 3BD， 11 3 ?ab ab ， 两边同时平方，得 22 11 3ab ab ， 整理得： 22 22 11 232ab ab ， 由勾股定理知： 22 2 1 OCa a ， 22 2 1 ODb b ， 22 232OCOD ， 22 34ODOC 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用 AC= 3BD得到ab，的关系是解题的 关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 13. 如图，在数轴上表示的 x的取值范
15、围是_ 【答案】1x 【解析】 【分析】根据“小于向左，大于向右及边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”求解可得 【详解】解：在数轴上表示的 x 的取值范围是1x， 故答案为：1x 【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界 点，一般在数轴上只标出原点和界点即可定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为 实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右” 14. 计算：123_ 【答案】3 【解析】 【详解】1232 333 15. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 2
16、0 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”频率(结 果保留小数点后两位) 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率是_(结果保留小数点后一 位) 【答案】0.8 【解析】 【分析】根据大量的实验结果稳定在 0.8 左右即可得出结论 【详解】从频率的波动情况可以发现频率稳定在 0.8附近， 这名运动员射击一次时“射中 9环以上”的概率大约是 0.8 故答案为：0.8 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生
17、的频率在某个固定位置左右摆动，并 且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似 值就是这个事件的概率 16. 如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有8排， 其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往 后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是 _ 【答案】556个 【解析】 【分析】先计算前区共有多少个座位和前区最后一排有多少个座位，再计算后区一共有多少个座位即可得 解 【详解】前区共有8排， 其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位， 前区共有座位数为：20+(20
18、+1 2)+(20+2 2)+(20+3 2)+(20+7 2) =8 20+(1+2+3+4+5+6+7) 2 =216(个)； 前区最后一排的座位数为：20+7 2=34， 后区的座位数为：34 10=340（个） 因此，该礼堂的座位总数是 216+340=556（个） 故答案为：556 个 【点睛】此题考查了找规律，根据题干得出每一排座位的个数排列规律是解决本题的关键 17. 以原点为中心，把3,4M逆时针旋转 90 得到点N，则点N的坐标为_ 【答案】4,3 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得出 N 点坐标，由此即可得出答案 【详解】解：如图： 由旋转的性质可得：M
19、点横坐标等于 N 点纵坐标的值， M 点纵坐标的值等于 N 点横坐标的绝对值， 又M（3，4） ， N（-4，3） ， 故答案为： （-4，3） 【点睛】此题考查有关点的坐标旋转的性质 ，结合坐标轴和旋转的特点确定坐标即可 18. 如图， 在边长为2 3的菱形ABCD中，60C， 点 ,E F分别是,AB AD上的动点， 且,AEDF DE 与BF交于点P.当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为_ 【答案】 4 3 【解析】 【分析】根据题意证得BFDDEAVV，推出BPE =60，BPD =120，得到 C、B、P、D四点共圆， 知点P的运动路径长为BD的长，利用弧长公式即可求解 【
20、详解】连接 BD， 菱形ABCD中，60C， C=A=60，AB=BC=CD=AD， ABD 和CBD都为等边三角形， BD=AD，BDF=DAE=60， DF=AE， BFDDEAVV， DBF=ADE， BPE=BDP+DBF =BDP+ADE=BDF =60， BPD=180-BPE=120， C=60， C+BPD =180， C、B、P、D 四点共圆，即O是CBD的外接圆， 当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为BD的长， BOD =2BCD =120， 作 OGBD于 G， 根据垂径定理得：BG=GD= 1 2 BD= 3，BOG = 1 2 BOD =60， sinBOG
21、 BG OB ，即 3 sin60 OB ， 2OB ， 从而P点的路径长为 2 1204 1801803 n R 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的 性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19. 计算： 2 131 42 【答案】-5 【解析】 【分析】根据有理数的运算法则计算即可得到答案 【详解】 2 131 42 1 932 1 3 2 16 5 【点睛
22、】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解决本题的关键 20. 先化简，再求值： 11x x xx ，其中3x 【答案】 1 1x ； 1 2 【解析】 【分析】先用异分母加法法则计算括号内的，再把除法运算转化为乘法运算，化简化把 x的值代入求值 【详解】 11x x xx 2 11xx xxx 1 11 xx xxx 1 1x ， 当3x 时，原式 11 3 12 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题关键 21. 如图，点,B E C F在一条直线上， ,ABDE ACDF BECF （1）求证：ABCDEF； （2）连接AD，求证：四边形ABE
23、D是平行四边形 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先证明BCEF，再利用 SSS 证明ABCDEF； （2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABED是平行四边形即可 【详解】 1证明：,BECF ,BEECCFEC 即,BCEF ,ABDE ACDF ABCDEF SSS 2证明：ABCDEF SSSQVV ,BDEF / /,ABDE ,ABDE 四边形ABED是平行四边形 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形 的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键 22. 小手拉大手，共创文
24、明城.某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发 放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩(成绩得分用x表示，单位：分)，收集数据如下： 90,82,99,86,98,96,90,100,89,83 87,88,81,90,93,100,100,96,92,100 整理数据： 8085x 8590 x 9095x 95100 x 3 4 a 8 分析数据： 平均分 中位数 众数 92 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中, ,a b c的值； （2）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？ （3
25、）请从中位数和众数中选择一个量， 结合本题解释它的意义 【答案】 （1）5；91；100 （2）1040 人 （3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平 均数是 91 分；众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多 【解析】 【分析】 （1）用总人数减去已知人数即可得到 a值；将这 20 个数据按大小顺序排列，第 10 和 11 个数据 的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为人数； （2）先求出样本中不低于 90 分的人数所占样本的百分比，再乘以 1600即可得到结果； （3）根据中位数和众数的意义进行回答即可 【详解】 （1）a=20-3-4-8=5； 将这组数据按大
26、小顺序排列为： 81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100， 其中第 10 个和第 11个数据分别是 90，92， 所以，这组数据的中位数 b= 90+92 =91 2 ； 100出现了 4 次，出现的次数最多，所以，众数 c是 100； （2）5 8200.65， 1600 0.651040(人) （3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是 91分； 众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多. 【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用，熟练掌握定义和计算公式
27、是解 题的关键 23. 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15 的方向航行 （1）渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？ （2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20 6nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上 向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多 少(结果保留根号)？ 【答案】 （1）20 2nmile； （2）南偏东45；40 2nmile 【解析】 【分析】 （1）过B点作AC的垂线BD交AC于点D，则 AD 为所求，根据已知条件得到BAD=45 即可 解答
28、； （2）根据特殊角的锐角三角函数值得到C=30 ，DBC=60 ，从而求出 BC的长度，再求出DBE的度 数，即可得到EBC 的度数 【详解】解： （1）过B点作AC的垂线BD交AC于点D， 垂线段最短，AC上的D点距离B点最近，AD即为所求， 由题意可知：BAF=30 ，CAF=15 ， 2 45 ,454020 2 2 BADADBDABsinmile ， 渔船航行20 2nmile时，距离小岛B最近 （2）在Rt BDC中， 20 23 320 6 BD tan C DC ， 30 ,CDBC=60 ， 40 2 30 BD BCnmile sin ABD=45 ，ABE=90 -30
29、 =60 ， 15DBE， 45EBCDBCDBE o . 答：从B处沿南偏东45出发，最短行程40 2nmile. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相 关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想 24. 倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型 两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机 器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨 （1）1 台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ （2）某垃圾处理厂计划向机器人
30、公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣 垃圾20吨.设购买A型机器人a台104()5a，B型机器人b台，请用含a的代数式表示b； （3）机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台 A型 20万元/台 原价购买 打九折 B型 12万元/台 原价购买 打八折 在 2的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由 【答案】 （1）0.4吨；0.2吨； （2）2100ba； （3）购买 A 型 35 台，B型 30 台费用最少，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）设1台A每小时分拣x吨，1台B每小时分拣y吨，依题意
31、得： 2 253.6 5 328 xy xy ，解方程 组可得； （2）根据“每小时一共能分拣垃圾20吨”可得0.40.220ab，从而求解； （3）根据题可得函数： 2012 0.8 1002,(1030) 20 0.912 0.8 1002,(3035) 20 0.9121002,(3545) aaa Waaa aaa ，根据函数性质求最小值. 【详解】解： 1设1台A每小时分拣x吨，1台B每小时分拣y吨，依题意得： 2 253.6 5 328 xy xy 解得 0.4 0.2 x y 2依题意得：0.4 0.220,ab b=-2a+100 （3）结合（2） ，当 10a30 时，b=1
32、00-2a 40b80, 此时，2012 0.8 1002=0.8960Waaa 当 a30 且 100-2a30时，30a35 此时，20 0.912 0.8 1002= 1.2960Waaa 30a45,100-2a30 时，35a45 此时，20 0.9121002=61200Waaa 即： 0.8960,(1030) 1.2960,(3035) 61200,(3545) aa Waa aa 因为W与a是一次函数的关系，1045a 当1030a时，取10a ，函数值最小是：968W 当3035a时，取35a ，函数值最小是：918W 当3545a时，取45a ，函数值最小是：930W 当
33、35a 时，b=100-2a=30 综上，购买 A 型 35台，B型 30 台费用最少 答：购买 A型 35 台，B型 30 台费用最少 【点睛】本题考查一次函数应用，理解题意，列出方程组和一次函数是关键，要注意熟记一次函数的性质. 25. 如图，在ACE中，以AC为直径的O交CE于点 ,D连接,AD且,DAEACE 连接OD并延长 交AE的延长线于点,P PB与O相切于点B （1）求证：AP是O的切线： （2）连接AB交OP于点F，求证：FADDAEV: V； （3）若 1 2 tan OAF，求 AE AP 的值 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3） 51 2 【解析】 【分析
34、】 （1）证明OAAP即可得到结论； （2） 连接 OB， 由切线长定理可得 PA=PB， 根据 SSS即可证明OBPOAPVV， 进一步得到FADDAE ， 90AFDADE o ，从而可证明FADDAEV: V； （3）由 1 2 tan OAF可设,2 ,5OFx AFx OAx，得到 2 5APx ，根据FADDAEV: V得 tan ACEtan FAD列式 51 2 x AEDF ACAFx ，最后进行求解即可 【详解】 1证明：AC直径 90 ,ADC 90 ,ACECAD 又90DAEDAC o ,OAAP AP为O的切线 2连 ,OB,PA PB为圆的切线 ,PAPB 又,O
35、BOA OPOP OBPOAP SSSVV ,BODDOA AD弧DB弧 FADACE ,OFAB 又,ACEDAE Q ,90FADDAEAFDADE o FADDAE AA V: V 3在RtOFA中， 1 2 tan OAF 设：,2 ,5OFx AFx OAx， 故22 5APOAx 51DFODOFOA OFxQ 且FADDAEV: V ,FADDAEACE ,tan ACEtan FAD 即 51 2 x AEDF ACAFx 51555AExx 55 51 22 5 x AE APx 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、
36、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解决问 题的关键 26. 如图 1， 在平面直角坐标系中， 直线 1: 1lyx与直线 2: 2lx 相交于点D， 点A是直线 2 l上的动点， 过点A作 1 ABl于点B， 点C的坐标为0,3， 连接,AC BC.设点A的纵坐标为t，ABC的面积为s （1）当2t 时，请直接写出点B的坐标； （2）s关于t的函数解析式为 2 15 ,15 44 15 , 15 tbttt s a ttt 或 其图象如图 2所示，结合图 1、2的信息，求 出a与b的值； （3） 在 2 l上是否存在点A， 使得ABC是直角三
37、角形？若存在， 请求出此时点A的坐标和ABC的面积； 若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 1 1 , 2 2 （2） 1 4 ；1 （3）存在，见解析 【解析】 【分析】（1） 根据 A点坐标求出直线 AB 的解析式， 然后和直线 1: 1lyx进行联立即可求出 B 点的坐标； （2）将7t ，4s 代入 2 15 44 stbt，可求出 b的值，由题可知，当2t 时，s达到最大值，通过 OACOBC sss VV 求出 s，然后由1 15sat即可求出 a的值； （3）若A为ABC的直角顶点，则 1 / /ACl，可求出 AC的长度，从而得到结果；若C为ABC的直角 顶点，过B作 2 l
38、垂线交 2 l于E，2,At，则 131 2,2, 1 , 222 ttt EDB ，在Rt ABC中， 由勾股定理可求出 t，从而得到结果 【详解】 （1）当2t 时，2,2A ， 直线 1: 1lyx， 1 ABl， 可设直线 AB的解析式为y xn ， 将2,2A 代入y xn ， 得0n， 直线 AB的解析式为y x ， 联立 1 yx yx 得 1 2 1 2 x y ， 1 1 , 2 2 B ； 2依题有，当7t 时， 4,s 故 2 15 774, 44 b 得1b 当2t 时，s达到最大值， 则 1119 3 23 2224 OACOBC sss VV 代入s得 9 2 12
39、5 4 a， 解得 1 4 a 3 ) i若A为ABC的直角顶点，则 1 / / ,ACl 此时AC的方程为3yx=+， 令2x得 1 2,1A 2 2 222 2AC ， 此时 1 22 22 2 ABC S )ii若C为 ABC的直角顶点，过B作 2 l垂线交 2 l于,2,E At 则 131 2,2, 1 , 222 ttt EDB 在Rt ABC中，由勾股定理得 222 ACBCAB 即 2222 2 2 3131 2332 2222 tttt tt 2 12270tt 解得：3t 或9t 此时 2 2,3A 或 3 2,9A ； 1 2 2 ABC SACBC或 1 2 101010 2 ABC S V )iii当B为 ABC的直角顶点，此种情况不存在，当A在D上方时ABC为锐角， 当A在D下方时，ABC为钝角，故不存在 【点睛】本题考查了函数和几何综合问题，题目较难，明确题意，注意分类讨论的思想是解题的关键
