1、 2021 年湖南省长沙市天心区仿真数学试卷年湖南省长沙市天心区仿真数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列各数中，比2 小的数是（ ） A0 B1 C3 D3 2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2 B （xy）2x2y2 C+ D （3a）29a2 4 （3 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预 定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国
2、北斗卫星导航系统全面建成该卫星距 离地面约 36000 千米，将数据 36000 用科学记数法表示为（ ） A3.6103 B3.6104 C3.6105 D36104 5 （3 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其 俯视图是（ ） A B C D 6 （3 分） 如图， 在ABC 中， 按以下步骤作图： 分别以点 B 和 C 为圆心， 以大于BC 的长为半径作弧， 两弧相交于点 M 和 N； 作直线 MN 交 AC 于点 D， 连接 BD 若 AC6， AD2，则 BD 的长为 （ ） A2 B3 C4 D6 7 （3 分）很多生产生活
3、用品中都需要制作弯道，在制作弯道时，需要先按照其中心线计算出“展直长度” 再备料工人师傅准备制作如图所示弯道，半径 OA900mm，弯道圆心角AOB100，中心线的“展 直长度”是（ ）mm A50 B500 C250 D2250 8 （3 分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每棵产量的平均数 （单 位：千克）及方差 S2（单位：千克 2）如下表所示今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的 葡萄树进行种植，应选的品种是（ ） 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 S2 1.9 2.1 2 1.9 A甲 B乙 C丙 D丁 9 （3 分）我国古代数学著作九
4、章算术卷七有下列问题： “今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足 四，问人数、物价几何？“意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出 8 钱，则剩余 3 钱； 如果每人出 7 钱，则差 4 钱问有多少人，物品的价格是多少？设有 x 人，物品的价格为 y 元，可列方 程组为（ ） A B C D 10 （3 分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的函 数关系如图所示下列结论：小球抛出 3 秒时达到最高点；小球从抛出到落地经过的路程是 80m； 小球的高度 h20 时，t1s 或 5s小球抛出 2 秒后的高度是 35m其中正确的有（ ）
5、A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：xxy2 12 （3 分）计算： 13 （3 分）习近平总书记提出： “绿水青山就是金山银山 ”为深入践行绿色生态理念， “植树节”这天，九 年级 3 班几位同学来到天心向阳坡参与义务植树活动，活动结束后统计，同学们共植树 11 棵，其中男生 每人植树 3 棵，女生每人植树 2 棵，则参与此次植树活动的同学至少有 人 14 （3 分）袁隆平院士是我国著名的科学家，被誉为“世界杂交水稻之父” 生活中的袁隆平爷爷也是一位 乐观开朗的人，有次他给前来拜访
6、他的七年级的孩子们出了这样一道题：为了观察不同的培育环境对稻 谷种子的影响，在第 1 个器皿中放入 10 粒种子，在第 2 个器皿中放入 15 粒种子，在第 3 个器皿中放入 20 粒种子，依此在后面的每一个器皿中放入种子，数量都比前一个器皿多 5 粒，则第 n 个器皿中放入的 种子数量为 （用含 n 的式子表示） 15 （3 分）学校生物兴趣小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，他们沿着前 进路线铺了若干木板，构筑成一条临时近道，木板对地面的压强 P（Pa）是木板面积 S（m2）的反比例 函数，其图象如图所示，则当木板面积为 0.5m2时，木板对地面的压强为 Pa 16
7、 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 3，BPCQ，连接 AQ、DP 交于点 O，并分别与边 CD、BC 交 于点 F、E，连接 AE，下列结论：DFCE；OQ2OAOF；SAODS四边形OECF；当 BP1 时， 则，其中正确结论的是 （请将正确结论的序号填写在横线上） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72 分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算： 18 （6 分）解不等式组：，并写出它们的整数解 19 （6 分）在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直
8、线的垂线 已 知 ： 如 图1 ， 直 线l及 其 外 一 点A 求 作 ： l的 垂 线 ， 使 它 经 过 点 A 小云的作法如下： 在直线 l 上任取一点 B，连接 AB 以 A 为圆心，线段 AB 的长度为半径作弧，交直线 l 于点 D 分别以 B、D 为圆心，线段 AB 的长度为半径作弧，两弧相交于点 C 作直线 AC直线 AC 即为所求（如图 2） （1）请证明：AC直线 l （2）若 BD12，AC16，求四边形 ABCD 的周长 20 （8 分）长沙市某中学计划开办经典诵读社、舞蹈社、绘画社、书法社、柔道社五个兴趣社为了解学 生的需求，校委会从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷
9、调查（每位同学必须且只能选择一个兴趣社 报名参加） ，并根据调查结果绘制了如下的频数分布表和扇形统计图 请根据所给信息，解答下列问题： （1）本次共抽取学生 名，频数分布表中的 b （2）在扇形统计图中， “柔道社”所在的扇形的圆心角为 （3）各兴趣社成立一段时间后，学校为了解同学们参加兴趣社的个人感受，从经典诵读社中的四名同学 中（恰好是两男两女）随机选取两人调查，用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率 兴趣社 频数（人数） 经典诵读社 4 舞蹈社 a 绘画社 b 书法社 8 柔道社 12 21 （8 分）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图 1 是他的电脑液晶显示器的侧面图，
10、显示屏 AB 可以绕 O 点旋转一定角度研究表明：当眼睛 E 与显示屏顶端 A 在同一水平线上，且望向显示器屏 幕形成一个 18俯角，即望向屏幕中心 P（APBP）的视线 EP 与水平线 EA 的夹角AEP18时， 对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端 A 与底座 C 的连线 AC 与水平线 CD 垂直时（如图 2）时，观看屏 幕最舒适，此时测得BCD30，APE90，液晶显示屏的宽 AB 为 30cm （1）求眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE； （结果精确到 1cm） （2） 求显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC（结果精确到 1cm）（参考数据： sin180.31， cos1
11、80.95， tan180.32，1.41，1.73） 22 （9 分）今年新型冠状病毒肺炎（COVID19，简称为新冠肺炎）疫情在全球蔓延，我们国家坚决打赢 这场无硝烟的人民战争，我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措复课返校后， 为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进 2 根 跳绳和 3 个毽子共需 55 元；购进 1 根跳绳和 5 个毽子共需 45 元 （1）求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元？ （2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共 400 个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售， 其中跳绳以八折出售，毽子以九折
12、出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的 3 倍，请求出学校花钱 最少时需要多少元 23 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 O 是 BC 上一点，以点 O 圆心，OC 为半径的圆交 BC 于点 D，恰好与 AB 相切于点 E （1）求证：AO 是BAC 的平分线； （2）若 BD1cm，BE3cm，求 sinB 及 AC 的长 24 （10 分）定义：与坐标轴不重合的直线 l 交 x，y 轴于 A、B 两点（A、B 不重合） ，若抛物线 L 过点 A 和 点 B，则称此抛物线 L 为直线 l 的“和谐线” ，如图 L1，L2均为直线 l 的“和谐线” （1）已知直线的解析式为
13、 yx+4，则下列抛物线是直线 l 的“和谐线”的有 yx25x+4 y2x27x4 （2）已知直线 ykx+b 的“和谐线”为，且直线与双曲线交于点 M，N，求线段 MN 的长 （3）已知直线 ycx+c（c0）的“和谐线”为 yax2+bx+c（a0，且 abc） ，求该“和谐线” 在 x 轴上所截线段长 d 的取值范围 25 （10 分）如图 1，直线 l 为 yx+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、点 E，抛物线 L：yax2+bx+c，经过点 A，点 B（1，0）和点 C（0，3） ，并与直线 l 交于另一点 D （1）求抛物线 L 的解析式 （2）如图 2，点 P 为 x 轴上
14、一动点，连 BD，AC，PC，当PCAADB，求点 P 的坐标 （3）如图 3，将抛物线 L 平移，使其顶点是坐标原点 O，得到抛物线 M，将直线 AD 向下平移，经过坐 标原点O， 交抛物线M于另一点F， 点H是抛物线M上且位于第二象限内一动点， 点G的坐标为， GH 交抛物线 M 于 Q 点，QRx 轴分别交 OF、OH 于点 S、R，试说明 QS 与 SR 存在一个确定的关系， 并加以证明 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列各数中，比2 小的数是（ ） A0 B1 C
15、3 D3 【解答】解：将这些数在数轴上表示出来： 32103， 比2 小的数是3， 故选：C 2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2 B （xy）2x2y2 C+ D （3a）29a2 【解答】解：A.2，所以 A 选项错误； B （xy）2x22xy+y2，所以 B
16、选项错误； C.+，所以 C 选项错误； D （3a）29a2所以 D 选项正确 故选：D 4 （3 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预 定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成该卫星距 离地面约 36000 千米，将数据 36000 用科学记数法表示为（ ） A3.6103 B3.6104 C3.6105 D36104 【解答】解：360003.6104， 故选：B 5 （3 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其 俯视图是（ ）
17、A B C D 【解答】解：从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形， 故选：C 6 （3 分） 如图， 在ABC 中， 按以下步骤作图： 分别以点 B 和 C 为圆心， 以大于BC 的长为半径作弧， 两弧相交于点 M 和 N； 作直线 MN 交 AC 于点 D， 连接 BD 若 AC6， AD2，则 BD 的长为 （ ） A2 B3 C4 D6 【解答】解：由作图知，MN 是线段 BC 的垂直平分线， BDCD， AC6，AD2， BDCD4， 故选：C 7 （3 分）很多生产生活用品中都需要制作弯道，在制作弯道时，需要先按照其中心线计算出“展直长度” 再备料工人师傅准备制
18、作如图所示弯道，半径 OA900mm，弯道圆心角AOB100，中心线的“展 直长度”是（ ）mm A50 B500 C250 D2250 【解答】解：500（mm） 故选：B 8 （3 分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每棵产量的平均数 （单 位：千克）及方差 S2（单位：千克 2）如下表所示今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的 葡萄树进行种植，应选的品种是（ ） 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 S2 1.9 2.1 2 1.9 A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解：甲的平均数最大，方差最小，最稳定 应选的品种是甲 故选：A 9 （3 分）我
19、国古代数学著作九章算术卷七有下列问题： “今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足 四，问人数、物价几何？“意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出 8 钱，则剩余 3 钱； 如果每人出 7 钱，则差 4 钱问有多少人，物品的价格是多少？设有 x 人，物品的价格为 y 元，可列方 程组为（ ） A B C D 【解答】解：设有 x 人，物品的价格为 y 元， 根据题意得：， 故选：A 10 （3 分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的函 数关系如图所示下列结论：小球抛出 3 秒时达到最高点；小球从抛出到落地经过的路程是 80m； 小
20、球的高度 h20 时，t1s 或 5s小球抛出 2 秒后的高度是 35m其中正确的有（ ） A B C D 【解答】解：由图象可知，点（0，0） ， （6，0） ， （3，40）在抛物线上，顶点为（3，40） ， 设函数解析式为 ha（t3）2+40， 将（0，0）代入得：0a（03）2+40， 解得：a， h（t3）2+40 顶点为（3，40） ， 小球抛出 3 秒时达到最高点，故正确； 小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为 40280m，故正确； 令 h20，则 20（t3）2+40， 解得 t3，故错误； 令 t2，则 h（23）2+40m，故错误 综上，正确的有
21、 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：xxy2 x（1+y） （1y） 【解答】解：xxy2 x（1y2）（提取公因式 x） x（1+y） （1y）（平方差公式） 故答案是：x（1+y） （1y） 12 （3 分）计算： 1 【解答】解：， 故答案为：1 13 （3 分）习近平总书记提出： “绿水青山就是金山银山 ”为深入践行绿色生态理念， “植树节”这天，九 年级 3 班几位同学来到天心向阳坡参与义务植树活动，活动结束后统计，同学们共植树 11 棵，其中男生 每人植树 3 棵，女生每人植
22、树 2 棵，则参与此次植树活动的同学至少有 4 人 【解答】解：设参与此次植树活动的男生有 x 人，女生有 y 人， 依题意得：3x+2y11， y 又x，y 均为正整数， 或， x+y5 或 4， 参与此次植树活动的同学至少有 4 人 故答案为：4 14 （3 分）袁隆平院士是我国著名的科学家，被誉为“世界杂交水稻之父” 生活中的袁隆平爷爷也是一位 乐观开朗的人，有次他给前来拜访他的七年级的孩子们出了这样一道题：为了观察不同的培育环境对稻 谷种子的影响，在第 1 个器皿中放入 10 粒种子，在第 2 个器皿中放入 15 粒种子，在第 3 个器皿中放入 20 粒种子，依此在后面的每一个器皿中放
23、入种子，数量都比前一个器皿多 5 粒，则第 n 个器皿中放入的 种子数量为 5n+5 （用含 n 的式子表示） 【解答】解：在第 1 个器皿中放入 10 粒种子，表示为：51+5 在第 2 个器皿中放入 15 粒种子，表示为：52+5 在第 3 个器皿中放入 20 粒种子，表示为：53+5 第 n 个器皿中放入的种子数量为：5n+5 故答案是：5n+5 15 （3 分）学校生物兴趣小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，他们沿着前 进路线铺了若干木板，构筑成一条临时近道，木板对地面的压强 P（Pa）是木板面积 S（m2）的反比例 函数，其图象如图所示，则当木板面积为 0.5
24、m2时，木板对地面的压强为 1600 Pa 【解答】解：设 P，根据题已知可得图象经过（2，400） ， 则 kPS2400800， 故 P， 当 S0.5m2时，木板对地面的压强为：P1600（Pa） 故答案为：1600 16 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 3，BPCQ，连接 AQ、DP 交于点 O，并分别与边 CD、BC 交 于点 F、E，连接 AE，下列结论：DFCE；OQ2OAOF；SAODS四边形OECF；当 BP1 时， 则，其中正确结论的是 （请将正确结论的序号填写在横线上） 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD，BADABC90， BPCQ，
25、 AB+BPBC+CQ，即 APBQ， 在DAP 和ABQ 中， ， DAPABQ（SAS） ， PQ， 在CQF 和BPE 中， ， CQFBPE（ASA） ， CFBE， CDCFBCBE，即 DFCE，故正确； 四边形 ABCD 是正方形， ADABBCCD，DABABC90， BPCQ， APBQ， 在DAP 和ABQ 中， ， DAPABQ（SAS） ， PQ， Q+QAB90， P+QAB90， AOP90， DAO+ADOADO+FDO90， DAOFDO， DAOFDO， ， OD2OAOF， OD 不一定等于 OQ，故不正确； 在ADF 和DCE 中， ， ADFDCE（SA
26、S） ， SADFSDOFSDCESDOF， 即 SAODS四边形OECF，故正确； BP1，AB3， AP4， PD5， 正方形 ABCD 中，BCAD， PBEPAD， ， BE， QE， PQ，PADQOE90， PADQOE， ， OQ，故正确， 所以其中正确的结论是， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72 分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算： 【解答】解：原式2+12+2 2+1+2 +3 18 （6 分）解不等式组：，并写出它们的整数解 【解答】解：， 解
27、不等式得：x2， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为：1x2 整数解为 0，1，2 19 （6 分）在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线 已 知 ： 如 图1 ， 直 线l及 其 外 一 点A 求 作 ： l的 垂 线 ， 使 它 经 过 点 A 小云的作法如下： 在直线 l 上任取一点 B，连接 AB 以 A 为圆心，线段 AB 的长度为半径作弧，交直线 l 于点 D 分别以 B、D 为圆心，线段 AB 的长度为半径作弧，两弧相交于点 C 作直线 AC直线 AC 即为所求（如图 2） （1）请证明：AC直线 l （2）若 BD12，AC16，求四边形 ABC
28、D 的周长 【解答】 （1）证明：由作法得 ABAD，CBCD， 四边形 ABCD 为菱形， ACBD， 即 AC直线 l （2）解：AC 与 BD 相交于 O 点，如图， 四边形 ABCD 为菱形， OAOCAC8，BODOBD6， 在 RtAOB 中，AB10， 四边形 ABCD 的周长41040 20 （8 分）长沙市某中学计划开办经典诵读社、舞蹈社、绘画社、书法社、柔道社五个兴趣社为了解学 生的需求，校委会从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查（每位同学必须且只能选择一个兴趣社 报名参加） ，并根据调查结果绘制了如下的频数分布表和扇形统计图 请根据所给信息，解答下列问题： （1）本次
29、共抽取学生 40 名，频数分布表中的 b 6 （2）在扇形统计图中， “柔道社”所在的扇形的圆心角为 108 （3）各兴趣社成立一段时间后，学校为了解同学们参加兴趣社的个人感受，从经典诵读社中的四名同学 中（恰好是两男两女）随机选取两人调查，用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率 兴趣社 频数（人数） 经典诵读社 4 舞蹈社 a 绘画社 b 书法社 8 柔道社 12 【解答】解： （1）本次共抽取学生数是：820%40（名） ； 舞蹈社的人数有：4025%10（人） ， b404108126； 故答案为：40，6； （2）在扇形统计图中， “柔道社”所在的扇形的圆心角为：360108；
30、故答案为：108； （3）根据题意画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中所选两人都是女生的结果数为 2， 所以所选两人都是女生的概率 21 （8 分）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图 1 是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 AB 可以绕 O 点旋转一定角度研究表明：当眼睛 E 与显示屏顶端 A 在同一水平线上，且望向显示器屏 幕形成一个 18俯角，即望向屏幕中心 P（APBP）的视线 EP 与水平线 EA 的夹角AEP18时， 对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端 A 与底座 C 的连线 AC 与水平线 CD 垂直时（如图 2）时，观看屏 幕最舒适，此时测得BCD30，AP
31、E90，液晶显示屏的宽 AB 为 30cm （1）求眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE； （结果精确到 1cm） （2） 求显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC（结果精确到 1cm）（参考数据： sin180.31， cos180.95， tan180.32，1.41，1.73） 【解答】解： （1）由已知得 APBPAB15（cm） ， 在 RtAPE 中， sinAEP， AE48（cm） ， 答：眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE 约为 48cm； （2）如图，过点 B 作 BFAC 于点 F， EAB+BAF90，EAB+AEP90， BAFAEP18， 在 R
32、tABF 中， AFABcosBAF30cos18300.9528.5（cm） ， BFABsinBAF30sin18300.319.3（cm） ， BFCD， CBFBCD30， CFBFtanCBF9.3tan309.35.36（cm） ， ACAF+CF28.5+5.3634（cm） 答：显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC 约为 34cm 22 （9 分）今年新型冠状病毒肺炎（COVID19，简称为新冠肺炎）疫情在全球蔓延，我们国家坚决打赢 这场无硝烟的人民战争，我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措复课返校后， 为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的
33、两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进 2 根 跳绳和 3 个毽子共需 55 元；购进 1 根跳绳和 5 个毽子共需 45 元 （1）求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元？ （2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共 400 个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售， 其中跳绳以八折出售，毽子以九折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的 3 倍，请求出学校花钱 最少时需要多少元 【解答】解： （1）设跳绳原来的售价为 x 元，毽子原来的售价为 y 元， 根据题意，得 解之得： 答：跳绳原来的售价为 20 元一根，毽子原来的售价为 5 元一个； （2）设计划跳绳 m 根，则毽子（400m）个，
34、m3（400m） ， 得：m300 设所花钱为 y 元，则 y200.8m+50.9（400m）11.5m+1800 当 m 取最小为 300 时，y最小值5250 答：最小费用为 5250 元 23 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 O 是 BC 上一点，以点 O 圆心，OC 为半径的圆交 BC 于点 D，恰好与 AB 相切于点 E （1）求证：AO 是BAC 的平分线； （2）若 BD1cm，BE3cm，求 sinB 及 AC 的长 【解答】解： （1）OCA90，OC 为圆 O 的半径， AC 为圆 O 的切线，又 AB 与圆 O 相切，E 为切点， AEAC，AO 平
35、分BAC； （2）BE 为圆 O 的切线，BC 为圆 O 的割线， BE2BDBCBD（BD+DC） ，又 BD1cm，BE3cm， 321+DC，即 DC8cm， OEOD4cm， 连接 OE，由 BE 为圆 O 的切线，得到 OEEB， 在直角三角形 BEO 中，OE4cm，OBBD+OD1+45cm， sinB，BE3cm， 在直角三角形 ABC 中，设 AEACxcm，则 ABAE+EB（x+3）cm， BCBD+DC9cm， 根据勾股定理得：AB2AC2+BC2，即（x+3）2x2+92， 解得：x12， 则 AC12cm 24 （10 分）定义：与坐标轴不重合的直线 l 交 x，y
36、 轴于 A、B 两点（A、B 不重合） ，若抛物线 L 过点 A 和 点 B，则称此抛物线 L 为直线 l 的“和谐线” ，如图 L1，L2均为直线 l 的“和谐线” （1）已知直线的解析式为 yx+4，则下列抛物线是直线 l 的“和谐线”的有 yx25x+4 y2x27x4 （2）已知直线 ykx+b 的“和谐线”为，且直线与双曲线交于点 M，N，求线段 MN 的长 （3）已知直线 ycx+c（c0）的“和谐线”为 yax2+bx+c（a0，且 abc） ，求该“和谐线” 在 x 轴上所截线段长 d 的取值范围 【解答】解： （1）直线 yx+4 与 x 轴交点坐标（4，0） ，与 y 轴交
37、点坐标（0，4） ， 把两点坐标代入函数关系式，得到函数都经过这两点， 抛物线是直线 l 的“和谐线” ， 故答案为； （2）令 x0，得 y1； 令 y0，得0， 解得，x2， 抛物线与 x，y 轴的交点分别为（2，0）及（0，1） ， 把两点坐标代入 ykx+b， 得， 直线为：， 联立直线与双曲线的解析式， 解方程组得 或， 两交点坐标为（2，2）及（4，1） ， MN； （3）令 y0，得 ax2+bx+c0， 设方程两根为 x1，x2， d|x1x2|， x1+x2，x1x2， ， 直线 ycx+c（c0）过点（1，0） ， 代入 yax2+bx+c 中， 得 a+b+c0， cab
38、， 代入 d 中得|2+|， a+b+c0，abc， abab，a0， 则， 2+3， 25 （10 分）如图 1，直线 l 为 yx+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、点 E，抛物线 L：yax2+bx+c，经过点 A，点 B（1，0）和点 C（0，3） ，并与直线 l 交于另一点 D （1）求抛物线 L 的解析式 （2）如图 2，点 P 为 x 轴上一动点，连 BD，AC，PC，当PCAADB，求点 P 的坐标 （3）如图 3，将抛物线 L 平移，使其顶点是坐标原点 O，得到抛物线 M，将直线 AD 向下平移，经过坐 标原点O， 交抛物线M于另一点F， 点H是抛物线M上且位于第二象限内
39、一动点， 点G的坐标为， GH 交抛物线 M 于 Q 点，QRx 轴分别交 OF、OH 于点 S、R，试说明 QS 与 SR 存在一个确定的关系， 并加以证明 【解答】解： （1）当 y0 时，x3 A（3，0） 将 A，B，C 三点坐标分别代入 yax2+bx+c 得： 解得： 抛物线 L 的解析式为：yx2+2x3 （2）如图，连接 BD 并延长交 y 轴负半轴与点 F， 当 P 在点 A 的左边时，P 记作点 P1， 联立： 解得：， D（2，5） 设直线 BD 的解析式为 ycx+d， 解得： 直线 BD 的解析式为：y5x5 当 x0 时，y5 F（0，5） OF5 A（3，0） ，
40、C（0，3） ， OA3，OC3 由题意点 E（0，3） ，则 OE3 OAOEOC EAOAEO45，OACOCA45， DECCAP118045135 P1CAADB， P1ACFED 过点 D 作 DHy 轴于 H，则 DH2，OH5， EHOHOE2 DE AC，EFOE+OF3+58， P1A12 OP1OA+P1A15 P1（15，0） 当 P 在点 A 的右边时，P 记作点 P2, CAOEAO45，P2CAADB， P2CABAD ABOA+OB3+14，AD5， OP2OAP2A P2（，0） 综上，点 P 的坐标为（，0）或（15，0） （3）关系为：RSQS理由： 根据题意：如图 3，直线 OF 的解析为：yx，抛物线 M 的解析式为：yx2 设 H（n，n2） ，G， 设 GH 的解析式为：ykx+b，将 H、G 代入得： 解得： 联立直线 GH 和抛物线 M 的表达式得： 解得： 点 Q 坐标为： QRx 轴， 点 Q，R，S 的纵坐标相同 S 在直线 yx 上， 点 S 的坐标为： 设直线 OH 的表达式为：yex，将 H 坐标代入得： enn2 en 直线 OH 的表达式为：ynx 当， 点 R 的坐标为： RS，QS RSQS
