1、 浙江省宁波市浙江省宁波市 2021 中考数学试卷中考数学试卷 试题卷试题卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在3，1，0，2 这四个数中，最小的数是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】画出数轴，在数轴上标出各点，再根据数轴的特点进行解答即可 【详解】这四个数在数轴上的位置如图所示： 由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是3 故选 A 2. 计算 3 aa 的结果是（ ） A. 2 a B. 2 a C. 4 a
2、 D. 4 a 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式和同底数幂的运算法则解答即可 【详解】解：原式 4 a 故选：D 【点睛】本题考查了整式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键 3. 2021年 5 月 15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约 320000000 千 米数 320000000科学记数法表示为（ ） A. 7 32 10 B. 8 3.2 10 C. 9 3.2 10 D. 9 0.32 10 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的形式是：10na ，其中1a10，n为整数所以3.2a，n取决于原数小数点 的移动位数与移动
3、方向，n是小数点的移动位数，往左移动，n为正整数，往右移动，n为负整数本题 小数点往左移动到3的后面，所以8.n 【详解】解： 8 320000000=3.2 10 . 故选：.B 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定 好 , a n的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响 4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可 【详解】解：由于圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，所以该物体的主视图是： 故选：C 【点
4、睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于常考题型，熟知主视图是从物体的正面看到的图形是解题 关键 5. 甲、 乙、 丙、 丁四名射击运动员进行射击测试， 每人 10 次射击成绩的平均数x（单位： 环） 及方差 2 S（单 位：环 2 ）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 x 9 8 9 9 2 S 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的
5、运动员中选取， 由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是 9， 从甲，丙，丁中选取， 甲的方差是 1.6，丙的方差是 3，丁的方差是 0.8， S 2丁S 2甲S 2乙， 发挥最稳定的运动员是丁， 从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁 故选：D 【点睛】本题重点考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离 平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平 均数越小，即波动越小，数据越稳定. 6. 要使分式 1 2x 有意义，x的取值应满足（ ） A. 0 x B. 2x C. 2x D. 2x 【答
6、案】B 【解析】 【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案 【详解】解： 分式 1 2x 有意义， 20,x 2.x 故选：.B 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键 7. 如图，在ABC中，45 ,60 ,BCADBC 于点 D，3BD 若 E，F分别为AB，BC 中点，则EF的长为（ ） A. 3 3 B. 3 2 C. 1 D. 6 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可知ABD 为等腰直角三角形，则 BD=AD，ADC 是 30、60的直角三角形，可求 出 AC长，再根据中位线定理可知 EF= 2 AC 。
7、【详解】解：因为 AD 垂直 BC， 则ABD和ACD都是直角三角形， 又因为45 ,60 ,BC 所以 AD= 3BD ， 因为 sinC= 3 2 AD AC ， 所以 AC=2， 因为 EF 为ABC 的中位线， 所以 EF= 2 AC =1， 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理 推导，是解决问题的关键 8. 我国古代数学名著张邱建算经中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗今持粟三斛， 得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值 10 斗谷子，一斗醑酒价值 3斗谷子，现在拿 30 斗谷子，共换了 5
8、 斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒 x斗，醑酒 y斗，那么可列方程组为（ ） A. 5 10330 xy xy B. 5 31030 xy xy C. 30 5 103 xy xy D. 30 5 310 xy xy 【答案】A 【解析】 【分析】根据“现在拿 30斗谷子，共换了 5斗酒”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解 【详解】解：依题意，得： 5 10330 xy xy 故选：A 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方 程组是解题的关键 9. 如图，正比例函数 111 0yk x k的图象与反比例函数 2 22 0
9、 k yk x 的图象相交于 A，B两点，点 B 的横坐标为 2，当 12 yy时，x的取值范围是（ ） A. 2x或2x B. 20 x 或2x C. 2x或02x D. 20 x 或02x 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到点 A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案 【详解】解：正比例函数与反比例函数都关于原点对称， 点 A与点 B关于原点对称， 点 B的横坐标为 2， 点 A的横坐标为-2， 由图象可知，当2x或02x时，正比例函数 111 0yk x k的图象在反比例函数 2 22 0 k yk x 的图象的上方， 当2x或02x时， 12 yy， 故选：C 【点睛
10、】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题 的关键 10. 如图是一个由 5张纸片拼成的ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形 纸片的面积都为 1 S，另两张直角三角形纸片的面积都为 2 S，中间一张矩形纸片EFGH的面积为 3 S，FH 与GE相交于点 O当,AEOBFO CGODHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ） A 12 SS= B. 13 SS C. ABAD D. EHGH 【答案】A 【解析】 【分析】根据AED和BCG 是等腰直角三角形，四边形 ABCD是平行四边形，四边形 HEFG 是矩形可得 出 A
11、E=DE=BG=CG=a， HE=GF， GH=EF，点 O 是矩形 HEFG 的中心， 设 AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ， GH=EF= c， 过点 O作 OPEF 于点 P， OQGF 于点 Q， 可得出 OP， OQ分别是FHE 和EGF的中位线， 从而可表示 OP，OQ的长，再分别计算出 1 S， 2 S， 3 S进行判断即可 【详解】解：由题意得，AED 和BCG是等腰直角三角形， 45ADEDAEBCGGBC 四边形 ABCD是平行四边形， AD=BC，CD=AB，ADC=ABC，BAD=DCB HDC=FBA，DCH=BAF， AEDCGB，CDHABF AE
12、=DE=BG=CG 四边形 HEFG是矩形 GH=EF，HE=GF 设 AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c 过点 O作 OPEF于点 P，OQGF于点 Q， OP/HE，OQ/EF 点 O是矩形 HEFG对角线交点，即 HF和 EG 的中点， OP，OQ分别是FHE和EGF 的中位线， 11 22 OPHEb， 11 22 OQEFc 1111 ()() 2224 BOF SBF OQabcab c 1111 2224 AOE SAE OPabab BOFAOE SS 11 () 44 ab cab，即ac bcab 而 2 1 11 22 AED SSAE D
13、Ea ， 222 2 11111 ()()()() 22222 AFB SSAF BFac abaabacbcaababa 所以， 12 SS= ，故选项 A 符合题意， 222 3= ()()SHE EFab acabcabacaababa 13 SS，故选项 B 不符合题意， 而ABAD于EHGH都不一定成立，故,C D都不符合题意， 故选：A 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、 直角三角形的面积等知识， 解题的关键是求出 S1， S2， S3之间的关系 试题卷试题卷 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11. 5的绝对值是_ 【答案】5 【解析】 【
14、分析】根据绝对值的定义计算即可 【详解】解：|-5|=5， 故答案为：5 【点睛】本题考查了绝对值的定义，掌握知识点是解题关键 12. 分解因式： 2 3xx_ 【答案】x(x-3) 【解析】 【详解】直接提公因式 x即可，即原式=x(x-3). 13. 一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 5 个黑球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红 球的概率为_ 【答案】 3 8 【解析】 【分析】用红球的个数除以球的总个数即可 【详解】解：从袋中任意摸出一个球有 8 种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有 3 种结果， 所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 3 8 ， 故答案为： 3 8
15、 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 14. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如示意图，,AC BD分别与O相切 于点 C， D， 延长,AC BD交于点 P 若120P ，O的半径为6cm， 则图中CD的长为_cm（结 果保留） 【答案】2 【解析】 【分析】连接 OC、OD，利用切线的性质得到 90OCPODP，根据四边形的内角和求得 60COD，再利用弧长公式求得答案 【详解】连接 OC、OD， ,AC BD分别与O相切于点 C，D， 90OCPODP， 120P ，360O
16、CPODPPCOD ， 60COD， CD的长= 606 2 180 p p =（cm） ， 故答案为：2 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及 弧长的计算公式是解题的关键 15. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点,A x y，我们把点 1 1 ,B x y 称为点 A 的“倒数 点” 如图， 矩形OCDE的顶点 C为3,0， 顶点 E在 y轴上， 函数 2 0yx x 的图象与DE交于点 A 若 点 B 是点 A 的“倒数点”，且点 B 在矩形OCDE的一边上，则OBC的面积为_ 【答案】 1 4 或 3 2 【解析】 【
17、分析】根据题意，点 B 不可能在坐标轴上，可对点 B 进行讨论分析：当点 B 在边 DE 上时；当点 B 在边 CD 上时；分别求出点 B 的坐标，然后求出OBC的面积即可 【详解】解：根据题意， 点 1 1 ,B x y 称为点,A x y的“倒数点”， 0 x，0y ， 点 B不可能在坐标轴上； 点 A在函数 2 0yx x 的图像上， 设点 A为 2 ( , )x x ，则点 B为 1 ( , ) 2 x x ， 点 C为3,0， 3OC ， 当点 B 在边 DE上时； 点 A 与点 B 都在边 DE上， 点 A与点 B的纵坐标相同， 即 2 2 x x ，解得：2x， 经检验，2x是原
18、分式方程的解； 点 B为 1 (,1) 2 ， OBC的面积为： 13 3 1 22 S ； 当点 B 在边 CD上时； 点 B 与点 C 的横坐标相同， 1 3 x ，解得： 1 3 x ， 经检验， 1 3 x 是原分式方程的解； 点 B为 1 (3,) 6 ， OBC的面积为： 111 3 264 S ； 故答案为： 1 4 或 3 2 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关 键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析 16. 如图，在矩形ABCD中，点 E在边AB上，BEC与FEC关于直线EC对称，点 B的对称点 F在
19、边 AD上，G为CD中点，连结BG分别与 ,CE CF交于 M，N两点，若BM BE，1MG ，则BN的长 为_，sinAFE的值为_ 【答案】 (1). 2 (2). 2 1 【解析】 【分析】 由BEC与FEC关于直线EC对称， 矩形,ABCD证明,BECFEC再证明,BCNCFD 可得,BNCD 再求解2,CD 即可得BN的长； 先证明,AFECBG 可得：, AEEF CGBG 设 ,BMx 则,1,2,BEBMFEx BGxAEx 再列方程，求解 , x 即可得到答案 【详解】解： BEC与FEC关于直线EC对称，矩形,ABCD ,BECFEC 90 ,ABCADCBCD 90 ,E
20、BCEFCBECFEC BEFE BCFC ,BMBE ,BEMBME ,FECBME /,EF MN 90BNCEFC， 90 ,BNCFDC 90BCD, 90,NBCBCNBCNDCF ,NBCDCF ,BCNCFD ,BNCD 矩形 ,ABCD /,/,AB CD AD BC ,BEMGCM ,1,BEMBMECMG MGG 为CD的中点， ,GMCGCM 1,2,CGMGCD 2.BN 如图，,/,BMBEFE MN EF 四边形ABCD都是矩形， ,/,90 ,ABCD AD BCABCG ,AEFABG 90,AFEAEFABGCBG ,AFECBG ,AFECBG , AEEF
21、 CGBG 设,BMx 则,1,2,BEBMFEx BGxAEx 2 , 11 xx x 解得：2,x 经检验： 2x 是原方程的根，但 2x 不合题意，舍去， 22,2,AEEF 22 sin21. 2 AE AFE EF 故答案为：2,21. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数 的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80分）分） 17. （1）计算： 2 113aaa （2）解不等式组： 219 30 x x 【答案】 （1）610a； （2）34x 【解析
22、】 【分析】 （）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可； （）先解出，得到4x，再解出，得到3x，由大小小大中间取得到解集 【详解】解： （1）原式 22 169aaa 610a （2）解不等式，得4x， 解不等式，得3x， 所以原不等式组的解是34x 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算和解不等式组，关键在于平方差公式、完全平方公式以及不等式 基本性质的应用，特别注意不等式的基本性质 3，不等号的方向要改变 18. 如图是由边长为 1 的小正方形构成的6 4的网格，点 A，B 均在格点上 （1）在图 1中画出以AB为边且周长为无理数的ABCD，且点 C和点 D均
23、在格点上（画出一个即可） （2）在图 2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点 E 和点 F 均在格点上 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，只要使得 AB 的邻边 AD 的长是无理数即可； （2）如图，取格点 E、F，连接 EF，则 EF与 AB 互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边形 AEBF为所作 【详解】.解： （1）如图四边形ABCD即为所作，答案不唯一 （2）如图，四边形AEBF即为所求作的正方形 【点睛】 本题考查了在网格中作特殊四边形， 熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关键 19. 如图，二次函数1yxxa
24、（a为常数）的图象的对称轴为直线2x （1）求 a 的值 （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式 【答案】 （1）3a ； （2） 2 4yxx 【解析】 【分析】 （1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴： 2 b x a ，列方程解方程即可得到答案； （2）由（1）得：二次函数的解析式为： 2 43yxx，再结合平移后抛物线过原点，则 0,c 从而可 得平移方式及平移后的解析式 【详解】解： （1） 2 (1)()(1)yxxaxa xa 图象的对称轴为直线2x， 1 2 2 a ， 3a （2）3a ， 二次函数的表达式为 2 43yxx， 抛
25、物线向下平移 3 个单位后经过原点， 平移后图象所对应的二次函数的表达式为 2 4yxx 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移， 熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键 20. 图 1 表示的是某书店今年 15 月的各月营业总额的情况，图 2 表示的是该书店“党史”类书籍的各月 营业额占书店当月营业总额的百分比情况若该书店 15月的营业总额一共是 182 万元，观察图 1、图 2， 解答下列向题： （1）求该书店 4月份的营业总额，并补全条形统计图 （2）求 5 月份“党史”类书籍的营业额 （3）请你判断这 5 个月中哪个月“党史”类书籍的
26、营业额最高，并说明理由 【答案】 （1）45 万元，见解析； （2）10.5 万元； （3）5月份党史类书籍的营业额最高，见解析 【解析】 【分析】 （1）用该书店 15月的营业总额减去其它 4个月的营业总额即可求出该书店 4月份的营业总额， 进而可补全统计图； （2）用 5 月份的营业总额乘以折线统计图中其所占百分比即可； （3）结合两个统计图可以发现：在 5 个月中 4、5月份的营业总额最高，且 13 月份的营业总额以及“党史” 类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于 4、5 月份，故只需比较 4、5月份“党史”类书籍的营业额即 可 【详解】解： （1）182(30402542)45（
27、万元） ， 答：该书店 4月份的营业总额为 45 万元 补全条形统计图： （2）42 25%10.5（万元） 答：5 月份“党史”类书籍的营业额为 10.5万元 （3）4 月份“党史”类书籍的营业额为：45 20%9（万元） 10.59， 且 13月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于 4、 5 月份， 5月份“党史”类书籍的营业额最高 【点睛】本题考查了条形统计图和折线统计图，属于常考题型，读懂图象信息、熟练应用所学知识是解题 的关键 21. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙如图 1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞 骨所成的角BAC， 且A B
28、 A C， 从而保证伞圈 D能沿着伞柄滑动 如图 2 是伞完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈 D已滑动到点D的位置， 且 A， B，D三点共线，40cmAD， B为 AD 中点， 当140BAC 时，伞完全张开 （1）求AB的长 （2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 D 沿着伞柄向下滑动的距离 （参考数据： sin70094,cos700.34,tan702.75） 【答案】 （1）20cm； （2）26.4cm 【解析】 【分析】 （1）根据中点的性质即可求得； （2）过点 B作BEAD于点 E根据等腰三角形的三线合一的性质求出2ADAE利用角平分线的性质 求出BAE 的度数，再利用三角函
29、数求出 AE，即可得到答案 【详解】解： （1）B为 AD 中点， 1 2 ABAD， 40AD， 20 cmAB （2）如图，过点 B 作BEAD于点 E ABBD， 2ADAE AP平分,140BACBAC， 1 70 2 BAEBAC 在RtABE中，20AB ， cos7020 0.346.8AEAB， 213.6ADAE 40AD， 40 13626.4 cm， 伞圈 D 沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm 【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平 分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键 22. 某通讯公司就手机流量套
30、餐推出三种方案，如下表： A 方案 B 方案 C 方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用 y（元）与每月使用的流量 x（兆）之间的函数关系如图所示 （1）请直接写出 m，n 的值 （2） 在 A 方案中， 当每月使用的流量不少于 1024 兆时， 求每月所需的费用 y （元） 与每月使用的流量 x （兆） 之间的函数关系式 （3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择 C 方案最划算？ 【答案】 （1）3072,0.3mn； （2）0.3287.21024yxx； （3
31、）当每月使用的流量超过 3772兆 时，选择 C方案最划算 【解析】 【分析】 （1）m值可以从图象上直接读取，n 的值可以根据方案 A 和方案 B 的费用差和流量差相除求得； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）计算出方案 C 的图象与方案 B 的图象的交点表示的数值即可求解 【详解】解： （1）3072,m 5620 0.3 1144 1024 n （2）设函数表达式为(0)ykxb k， 把1024,20，1144,56代入y kxb ，得 201024 561144 kb kb ， 解得 0.3 287.2 k b ， y关于 x 的函数表达式0.3287.21024yxx （注
32、：x的取值范围对考生不作要求） （3）307226656)0.37(37 2（兆） 由图象得，当每月使用的流量超过 3772 兆时，选择 C 方案最划算 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结 合的思想解答 23. 【证明体验】 （1） 如图1，AD为ABC的角平分线，60ADC， 点E在AB上，AEAC 求证：DE平分ADB 【思考探究】 （2） 如图 2， 在 （1） 的条件下， F 为AB上一点， 连结FC交AD于点 G 若F B F C，2DG，3CD， 求BD的长 【拓展延伸】 （3）如图 3，在四边形ABCD中，对角线AC平分,
33、2BADBCADCA ，点 E在AC上， EDCABC若5,2 5,2BCCDADAE，求AC的长 【答案】 （1）见解析； （2） 9 2 ； （3）16 3 【解析】 【分析】 （1）根据 SAS 证明EADCAD，进而即可得到结论； （2）先证明EBDGCD，得 BDDE CDDG ，进而即可求解； （3）在AB上取一点 F，使得AFAD，连结CF，可得AFCADC，从而得DCEBCF，可 得, CDCE CEDBFC BCCF ，4CE ，最后证明EADDAC，即可求解 【详解】解： （1）AD平分BAC， EADCAD， ,AEAC ADAD， EADCAD SAS， 60ADEAD
34、C， 18060EDBADEADC， BDEADE，即DE平分ADB； （2）FBFC， EBDGCD， 60BDEGDC， EBDGCD， BDDE CDDG EADCAD， 3DEDC 2DG， 9 2 BD ； （3）如图，在AB上取一点 F，使得AFAD，连结CF AC平分BAD， FACDAC ACAC， AFCADC SAS， ,CFCDACFACDAFCADC 2ACFBCFACBACD ， DCEBCF EDCFBC， DCEBCF， , CDCE CEDBFC BCCF 5,2 5BCCFCD， 4CE 180180AEDCEDBFCAFCADC， 又EADDAC， EADD
35、AC 1 2 EAAD ADAC ， 4ACAE， 416 33 ACCE 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角 形和相似三角形，是解题的关键 24. 如图 1，四边形ABCD内接于O，BD为直径，AD上存在点 E，满足AE CD ，连结BE并延长 交CD的延长线于点 F，BE与AD交于点 G （1）若DBC，请用含的代数式表列AGB （2）如图 2，连结,CE CEBG求证；EFDG （3）如图 3，在（2）的条件下，连结CG，2AG 若 3 tan 2 ADB，求FGD的周长 求CG的最小值 【答案】 （1）90AGB； （2）见解析
36、； （3） 57 2 ；3 【解析】 【分析】 （1）利用圆周角定理求得90BAD，再根据AE CD ，求得ABGDBC，即可得 到答案； （2）由90BECBDC，得到BECAGB，从而推出CEFBGD，证得 CFEBDG ASA，由此得到结论； （3） 连结DE 利用已知求出 3 3 2 ABAD， 证得DA CE ， 得到2BGAD， 利用Rt ABG 中，根据正弦求出 1 60 ,1 2 AGBAGBG，求出 EF 的长，再利用RtDEG中，60EGD， 求出 EG 及 DE，再利用勾股定理求出 DF即可得到答案； 过点 C 作CHBF于 H，证明BADCHF AAS，得到FHAD，证
37、明BHCCHF，得到 BHCH CHFH ，设GHx，得到 2 2 2CHx，利用勾股定理得到 222 CGGHCH ，求得 222 2(2)(1)3CGxxx，利用函数的最值解答即可 【详解】解： （1）BD为O的直径， 90BAD， AE CD ， ABGDBC， 90AGB （2）BD为O的直径， 90BCD， 90BECBDC， BECAGB， 180,180CEFBECBGDAGB， CEFBGD 又,CEBGECFGBD， CFEBDG ASA， EFDG （3）如图，连结DE BD为O的直径， 90ABED 在RtABD中， 3 tan 2 ADB，2AD ， 3 3 2 ABA
38、D AE CD ， AE DECDDE ， 即DA CE ， ADCE CEBG， 2BGAD 在Rt ABG中， 3 sin 2 AB AGB BG ， 1 60 ,1 2 AGBAGBG， 1EFDGADAG 在RtDEG中，60EGD， 1133 , 2222 EGDGDEDG 在Rt FEDV中， 22 7 2 DFEFDE， 57 2 FGDGDF ， FGD的周长为 57 2 如图，过点 C作CHBF于 H BDGCFE， ,BDCFCFHBDA 90BADCHF， BADCHF AAS FHAD， ADBG， FHBG 90BCF， 90BCHHCF 90BCHHBC， HCFHBC， 90BHCCHF， BHCCHF， BHCH CHFH 设GHx， 2BHx， 2 2 2CHx 在Rt GHC中， 222 CGGHCH ， 222 2(2)(1)3CGxxx， 当1x 时， 2 CG的最小值为 3， CG的最小值为3 【点睛】此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数， 相似三角形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键
