1、2020-2021 学年江西省赣州市于都县九年级（上）期末数学试卷学年江西省赣州市于都县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 1 （3 分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列事件是必然事件的是（ ） A实心铁球放入贡江水中，会下沉 B网上随机购一张电影票，座位号是奇数 C打开电视机，正播放“农民丰收节”的新闻 D任意画一个三角形，其内角和为 360 3 （3 分）如图，AB 是O 的直径，C 为圆内一点，则下列说法中正确的是（ ） AAC 是O 的弦 BBOC 是圆心角 CC
2、 是圆周角 DAC+OCAB 4 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，APBAPC，求证：PBPC，当用反证法证明时，第一步应 假设（ ） AABAC BPBPC CAPBAPC DBC 5 （3 分）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的 500 万元，连续两个月降至 380 万元，设平均 下降率为 x，则可列方程（ ） A500（1x）2380 B500（1x）380 C500（12x）380 D500（1+x）2380 6 （3 分）某数学兴趣小组对我县祁禄山的红军小道的长度进行 n 次测量，得到 n 个结果 x1，x2，x3， xn（单位：km） 如果用 x 作为这条路线长度
3、的近似值，要使得（xx1）2+（xx2）2+（xxn）2的 值最小，x 应选取这 n 次测量结果的（ ） A中位数 B众数 C平均数 D最小值 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 7 （3 分）在“大学习、大调研、大攻坚”九个汉字中，随机抽取一个汉字，抽到“大”字的概率 为 8 （3 分）若关于 x 的方程 x25x+a3 的一根为 1，则方程的另一个根为 9 （3 分）在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的对角线交于原点 O，点 A 的坐标为（2，2） ，点 B 的 坐标为（1，） ，则点 D 的坐标为 10 （3 分）如图，两个大小一样的传送轮连接着
4、一条传送带，两个传送轮中心的距离是 10m，求这条传送 带的长 米 11 （3 分）如图，正方形 OABC 的一个顶点与原点 O 重合，OC 与 y 轴的正半轴的夹角为 15，点 B 在抛 物线 yx2的图象上，则 OA 的长为 12 （3 分）已知在ABC 中，ACB90，A30，若该三角形的一中线长为，则 BC 的长 为 三、解答题。 （每小题三、解答题。 （每小题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 13 （3 分）解方程：x（x2）+x20 14 （3 分）如图，O 中，C75，求A 的度数 15 （6 分）若关于 x 的方程（x3） （x2）p 有两个不相等的实数根，求 p 的取值
5、范围 16 （6 分）一个二次函数的图象经过（0，0） ， （1，1） ， （1，9）三点，求这个二次函数的解析式 17 （6 分） “赣江”是长江主要支流之一，江西省最大的河流其东源出自石城县武夷山，称“绵水” ，流 经瑞金，在会昌县与“湘水” （江西）汇合，称“贡水” ；其西源出自崇义县聂都山，称“章水” “章水 “与“贡水”在赣州市八镜台汇合，是为“赣江” 小丽和小杰一起玩游戏：将“章水” 、 “贡水” 、 “绵水” 、 “湘水”分别写在四张完全相同的卡片正面，把 四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上小丽从中随机抽取一张卡片，小杰再从剩余的卡片中随机抽取 一张卡片 （1） “赣江被抽中”是
6、 事件， “章水被抽中”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随 机” ） ； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求“两人抽取的河流能汇合”的概率 18 （6 分）如图，A、B、C 均为O 上的点，且 ABBC，请你用无刻度的直尺按下列要求作图 （1）在图 1 中，在圆上取点 P，使PAOB； （2）在图 2 中，作出AOB 的一个余角 为所求； 为所求 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 8 分，共计分，共计 24 分）分） 19 （8 分）某数学兴趣小组在探究函数 yx22|x|+3 的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格） x 3 2 1 0 1
7、 2 3 y 6 3 2 m 3 n 3 6 （2）描点并在图中画出函数的大致图象； （3）根据函数图象，完成以下问题： 当函数 yx22|x|+3 的图象向下平移 个单位时，图象与 x 轴有三个公共点； 结合图象探究发现，当 p 满足 时，方程 x22|x|+3p 有四个解 20 （8 分）如图，ABC 中，C90ABC 绕点 B 逆时针旋转，旋转角为 ，点 C为点 C 的对应点 （1）请用尺规作图法画出旋转后的ABC； （2）若 90，BC3，AC4求 AA 的长 21 （8 分）返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液去市场购买时发现当购买量不超 过 100 瓶时，免洗抑菌洗
8、手液的单价为 8 元；超过 100 瓶时，每增加 10 瓶，每瓶单价就降低 0.2 元，但 最低价格不能低于每瓶 5 元，设学校共买了 x 瓶免洗抑菌洗手液 （1） 当 x80 时， 每瓶洗手液的价格是 元； 当 x150 时，每瓶洗手液的价格是 元；当 x100 时，每瓶洗手液的价格为 元（用含 x 的式子表示） ； （2）若学校一次性购买洗手液共花费 1250 元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 9 分，共计分，共计 18 分）分） 22 （9 分）如图，半O 的直径 AB10，C 为半圆一动点（不与 A，B 重合） ，AC 的延长线与直线 BP 相 交于
9、点 P，且PABC （1）求证：BP 为半O 的切线； （2）若 CD 是ACB 的平分线，且 BDCD 于 D，连接 OD 请判断线段 OD 与 BC 有什么位置关系，并说明理由； 当 OD1 时，则 BC 的长为 23 （9 分）已知二次函数 yax22ax （1）二次函数图象的对称轴是直线 x ； （2）当 0 x3 时，y 的最大值与最小值的差为 4，求该二次函数的表达式； （3）若 a0，对于二次函数图象上的两点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，当 tx1t+1，x23 时，均满足 y1y2，请结合函数图象，直接写出 t 的取值范围 六、解答题六、解答题 24 （12 分）
10、【问题提出】如图 1，在等边三角形 ABC 内部有一点 P，PA3，PB4，PC5求APB 的 度数 【数学思考】当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题 【尝试解决】 （1）将APC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到APB，连接 PP，则APP为等边三角形 PPPA3，PB4，PBPC5， PP2+PB2PB2， BPP为 三角形， APB 的度数为 【类比探究】 （2）如图 2，在等边三角形 ABC 外部有一点 P，若BPA30，求证：PA2+PB2PC2 【联想拓展】 （3）如图 3，在ABC 中，BAC90，ABAC点 P 在直线 BC 上方且APB45， P
11、CBC2，求 PA 的长 2020-2021 学年江西省赣州市于都县九年级（上）期末数学试卷学年江西省赣州市于都县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 1 （3 分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 2 （3
12、分）下列事件是必然事件的是（ ） A实心铁球放入贡江水中，会下沉 B网上随机购一张电影票，座位号是奇数 C打开电视机，正播放“农民丰收节”的新闻 D任意画一个三角形，其内角和为 360 【解答】解：A、实心铁球放入贡江水中，会下沉是必然事件，符合题意； B、网上随机购一张电影票，座位号是奇数是随机事件，不符合题意； C、打开电视机，正播放“农民丰收节”的新闻是随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和为 360是不可能事件，不符合题意 故选：A 3 （3 分）如图，AB 是O 的直径，C 为圆内一点，则下列说法中正确的是（ ） AAC 是O 的弦 BBOC 是圆心角 CC 是圆周角
13、 DAC+OCAB 【解答】解：A、AC 是弦，错误，弦的两个端点必须在圆上，本选项不符合题意 B、BOC 是圆心角，正确，本选项符合题意 C、C 是圆周角，错误，顶点不在圆上，本选项不符合题意 D、AC+OC 与 AB 的大小无法确定，本选项错误，本选项不符合题意 故选：B 4 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，APBAPC，求证：PBPC，当用反证法证明时，第一步应 假设（ ） AABAC BPBPC CAPBAPC DBC 【解答】解：假设结论 PBPC 不成立，即：PBPC 成立 故选：B 5 （3 分）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的 500 万元，连续两个月降至
14、380 万元，设平均 下降率为 x，则可列方程（ ） A500（1x）2380 B500（1x）380 C500（12x）380 D500（1+x）2380 【解答】解：依题意，得：500（1x）2380 故选：A 6 （3 分）某数学兴趣小组对我县祁禄山的红军小道的长度进行 n 次测量，得到 n 个结果 x1，x2，x3， xn（单位：km） 如果用 x 作为这条路线长度的近似值，要使得（xx1）2+（xx2）2+（xxn）2的 值最小，x 应选取这 n 次测量结果的（ ） A中位数 B众数 C平均数 D最小值 【解答】解：设 y（xx1）2+（xx2）2+（xx3）2+（xxn）2 x22
15、xx1+x12+x22xx2+x22+x22xx3+x32+x22xxn+xn2 nx22（x1+x2+x3+xn）x+（x12+x22+x32+xn2） ， 则当 x， 二次函数 ynx22（x1+x2+x3+xn）x+（x12+x22+x32+xn2）最小， x 所取的这个值与平均数有关系 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 7 （3 分）在“大学习、大调研、大攻坚”九个汉字中，随机抽取一个汉字，抽到“大”字的概率为 【解答】解：共有 9 个字，其中大字有 3 个， 随机抽取一个汉字，抽到“大”字的概率为， 故答案为： 8 （3 分）若关于
16、 x 的方程 x25x+a3 的一根为 1，则方程的另一个根为 4 【解答】解：方程的一个根是 1， 125+a3， 解得：a7， 原方程为：x25x+40， 设另一根为 x2，则 x2+15 x24 故方程的另一个根是 4 故答案为 4 9 （3 分）在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的对角线交于原点 O，点 A 的坐标为（2，2） ，点 B 的 坐标为（1，） ，则点 D 的坐标为 （1，） 【解答】解：四边形 ABCD 为菱形， OBOD， 又点 O 为坐标原点， 点 B 和点 D 关于原点对称， 点 B 的坐标为（1，） ， D 点坐标为（1，） ， 故答案为： （1，） 10 （3
17、 分）如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传送轮中心的距离是 10m，求这条传送 带的长 （3+20） 米 【解答】解：从图中可知：两圆的直径是 3cm， 两个传送轮中心的距离是 10m， 这条传送带的长是 3+10+10（3+20）米， 故答案为：3+20 11 （3 分）如图，正方形 OABC 的一个顶点与原点 O 重合，OC 与 y 轴的正半轴的夹角为 15，点 B 在抛 物线 yx2的图象上，则 OA 的长为 【解答】解：连接 OB，作 BDy 轴于 D， 四边形 OABC 是正方形， OAOB，COB45， BOD60 tan60， 设 B（m，m） ， 点 B 在抛物线
18、 yx2的图象上， m3m2，解得 m1 或 m0（舍去） ， B（，1） ， OB2， OA2， 故答案为 12 （3 分）已知在ABC 中，ACB90，A30，若该三角形的一中线长为，则 BC 的长为 或 1 或 【解答】解：当 CD 为 AB 边上的中线， CDAB， AB2， A30， BCAB， 当 AD 为 BC 边上的中线， 设 CDBDx，则 AC2x， CD2+AC2AD2， ， 解得 x1（负值舍去） ， BC1， 当 BD 为 AC 边上的中线， 设 BCy，则 ACy， CDy， BC2+CD2BD2， ， 解得 y（负值舍去） ， BC， 综合以上可得 BC 的长为或
19、 1 或 故答案为：或 1 或 三、解答题。 （每小题三、解答题。 （每小题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 13 （3 分）解方程：x（x2）+x20 【解答】解：x（x2）+x20， （x2） （x+1）0， x20，x+10， x12，x21 14 （3 分）如图，O 中，C75，求A 的度数 【解答】解：O 中，C75， BC75， A18075230 15 （6 分）若关于 x 的方程（x3） （x2）p 有两个不相等的实数根，求 p 的取值范围 【解答】解： （1）方程（x3） （x2）p 可化为 x25x+6p0， 方程有两个不相等的实数根， b24ac（5）241（6p）
20、2524+4p0， p，即满足条件的 p 的取值范围为 p 16 （6 分）一个二次函数的图象经过（0，0） ， （1，1） ， （1，9）三点，求这个二次函数的解析式 【解答】解：设所求二次函数的解析式为 yax2+bx+c（a0） ， 根据题意，得， 解得， 所求二次函数的解析式为 y4x2+5x 17 （6 分） “赣江”是长江主要支流之一，江西省最大的河流其东源出自石城县武夷山，称“绵水” ，流 经瑞金，在会昌县与“湘水” （江西）汇合，称“贡水” ；其西源出自崇义县聂都山，称“章水” “章水 “与“贡水”在赣州市八镜台汇合，是为“赣江” 小丽和小杰一起玩游戏：将“章水” 、 “贡水”
21、 、 “绵水” 、 “湘水”分别写在四张完全相同的卡片正面，把 四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上小丽从中随机抽取一张卡片，小杰再从剩余的卡片中随机抽取 一张卡片 （1） “赣江被抽中”是 不可能 事件， “章水被抽中”是 随机 事件（填“不可能”或“必然”或“随 机” ） ； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求“两人抽取的河流能汇合”的概率 【解答】解： （1） ） “赣江被抽中”是不可能事件， “章水被抽中”是随机事件， 故答案为：不可能，随机； （2）将“章水” 、 “贡水” 、 “绵水” 、 “湘水”分别即为 A、B、C、D， 画树状图如图： 共有 12 个等可能的
22、结果，小丽和小杰“两人抽取的河流能汇合”的结果有 4 个， 小丽和小杰“两人抽取的河流能汇合”的概率为 18 （6 分）如图，A、B、C 均为O 上的点，且 ABBC，请你用无刻度的直尺按下列要求作图 （1）在图 1 中，在圆上取点 P，使PAOB； （2）在图 2 中，作出AOB 的一个余角 P 为所求； OAC 为所求 【解答】解： （1）如图 1，P 为所作； （2）如图 2，OAC 为所作 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 8 分，共计分，共计 24 分）分） 19 （8 分）某数学兴趣小组在探究函数 yx22|x|+3 的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表
23、格） x 3 2 1 0 1 2 3 y 6 3 2 m 3 n 3 6 （2）描点并在图中画出函数的大致图象； （3）根据函数图象，完成以下问题： 当函数 yx22|x|+3 的图象向下平移 3 个单位时，图象与 x 轴有三个公共点； 结合图象探究发现，当 p 满足 2p3 时，方程 x22|x|+3p 有四个解 【解答】解： （1）把 x，1 分别代入函数表达式得：y，2； 故 m，n2； （2）描点确定函数图象如下： （3）从图象看，当函数 yx22|x|+3 的图象向下平移 3 个单位时，图象与 x 轴有三个公共点； 从图象看，2p3 时，方程 x22|x|+3p 有四个解； 故答案为
24、：3，2p3 20 （8 分）如图，ABC 中，C90ABC 绕点 B 逆时针旋转，旋转角为 ，点 C为点 C 的对应点 （1）请用尺规作图法画出旋转后的ABC； （2）若 90，BC3，AC4求 AA 的长 【解答】解： （1）如图，ABC为所作； （2）在 RtABC 中，BA5， ABC 绕点 B 逆时针旋转，旋转角为 90得到ABC， BABA，ABA90， BAA为等腰直角三角形， AABA5 21 （8 分）返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液去市场购买时发现当购买量不超 过 100 瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为 8 元；超过 100 瓶时，每增加 10 瓶，每瓶单
25、价就降低 0.2 元，但 最低价格不能低于每瓶 5 元，设学校共买了 x 瓶免洗抑菌洗手液 （1） 当 x80 时， 每瓶洗手液的价格是 8 元； 当 x150 时，每瓶洗手液的价格是 7 元；当 x100 时，每瓶洗手液的价格为 10 x 或 5 元（用含 x 的式子表示） ； （2）若学校一次性购买洗手液共花费 1250 元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 【解答】解： （1）x80100， 每瓶洗手液的价格是 8 元； x150100， 每瓶洗手液的价格是 80.27（元） ； 当 x100 时，每瓶洗手液的价格是 80.210 x， 最低价格不能低于每瓶 5 元， 10 x5， 解得 x2
26、50， 当 100 x250 每瓶洗手液的价格是（10 x） （元） ， 当 x250 时每瓶洗手液的价格是 5 元； 故答案为：8；7；10 x 或 5； （2）1008800（元） ，8001250，依题意，得：x（80.2）1200， 整理，得：x2500 x+625000， 解得：x1x2250， 答：一共购买了 250 瓶洗手瓶 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 9 分，共计分，共计 18 分）分） 22 （9 分）如图，半O 的直径 AB10，C 为半圆一动点（不与 A，B 重合） ，AC 的延长线与直线 BP 相 交于点 P，且PABC （1）求证：BP 为半O 的切线； （
27、2）若 CD 是ACB 的平分线，且 BDCD 于 D，连接 OD 请判断线段 OD 与 BC 有什么位置关系，并说明理由； 当 OD1 时，则 BC 的长为 6 【解答】解： （1）AB 是直径，则ACB90BCP， 则P+PBC90， PABC， ABC+PCB90， BP 为半O 的切线； （2）延长 BD 交 AC 于点 H， CD 是ACB 的平分线，且 BDCD， HCDBCD，CDBCDH90， CDCD， CDHCDB（AAS） ， DHDB，即点 D 是 BH 的中点， 而点 O 是 AB 的中点 故 OD 是ABH 的中位线， 故 ODAC， 而 ACBC， DOBC； 由
28、知CDHCDB（AAS） ， 则 CHBC，设 CHBCx， OD 是ABH 的中位线，则 AH2OD2， 在 RtABC 中，AC2+x，BCx，AB10， 则 100（x+2）2+x2，解得 x6（负值已舍去） ， 故 BC6 故答案为 6 23 （9 分）已知二次函数 yax22ax （1）二次函数图象的对称轴是直线 x 1 ； （2）当 0 x3 时，y 的最大值与最小值的差为 4，求该二次函数的表达式； （3）若 a0，对于二次函数图象上的两点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，当 tx1t+1，x23 时，均满足 y1y2，请结合函数图象，直接写出 t 的取值范围 【解答】解
29、： （1）由题意可得：对称轴是直线 x1， 故答案为：1； （2）当 a0 时，对称轴为 x1， 当 x1 时，y 有最小值为a，当 x3 时，y 有最大值为 3a， 3a（a）4 a1， 二次函数的表达式为：yx22x； 当 a0 时，同理可得 y 有最大值为a； y 有最小值为 3a， a3a4， a1， 二次函数的表达式为：yx2+2x； 综上所述，二次函数的表达式为 yx22x 或 yx2+2x； （3）a0，对称轴为 x1， x1 时，y 随 x 的增大而增大，x1 时，y 随 x 的增大而减小，x1 和 x3 时的函数值相等， tx1t+1，x23 时，均满足 y1y2， t1，t
30、+13， 1t2 六、解答题六、解答题 24 （12 分） 【问题提出】如图 1，在等边三角形 ABC 内部有一点 P，PA3，PB4，PC5求APB 的 度数 【数学思考】当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题 【尝试解决】 （1）将APC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到APB，连接 PP，则APP为等边三角形 PPPA3，PB4，PBPC5， PP2+PB2PB2， BPP为 直角 三角形， APB 的度数为 150 【类比探究】 （2）如图 2，在等边三角形 ABC 外部有一点 P，若BPA30，求证：PA2+PB2PC2 【联想拓展】 （3）如图 3，在A
31、BC 中，BAC90，ABAC点 P 在直线 BC 上方且APB45， PCBC2，求 PA 的长 【解答】 （1）解：如图 1，将APC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到APB，连接 PP，则APP为 等边三角形 PPPA3，PB4，PBPC5， PP2+PB2PB2 BPP为直角三角形 APB 的度数为 90+60150 故答案为：直角；150 （2）证明：如图 2 中，将PAB 绕点 B 逆时针旋转 60得到TCB，连接 PT BPBT，PBT60， PBT 是等边三角形， PTPB，PTB60， 由旋转的性质可知：PABTCB， APBCTB30，PACT， PTCPTB+CTB60+3090， PC2PT2+CT2， PBPT，PACT， PA2+PB2PC2 （3）解：过点 C 作 CTPB 于 T，连接 AT，设 CT 交 AB 于 O PCBC2，CTPB， PTBT， CAOBTO90，AOCBOT， ACTABP，ATCABC45， CTB90， ATPCTAAPT45 ACAB， CATBAP（AAS） ， CTPB2PT， 设 PTm，则 CT2m， PC2PT2+CT2， （2）2m2+（2m）2， 解得 m2 或2（舍弃） ， PT2， PAPT
