1、 2021 年四川省自贡市中考数学试卷年四川省自贡市中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1. 自贡恐龙博物馆世界三大恐龙遗址博物馆之一今年“五一黄金周”共接待游客 8.87 万人次，人数 88700 用科学记数法表示为（ ） A. 5 0.887 10 B. 3 8.87 10 C. 4 8.87 10 D. 3 88.7 10 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10
2、，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数； 当原数的绝对值1 时，n是负整数 【详解】解： 88700 用科学记数法表示为 4 8.87 10 故选：C 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值 2. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（ ） A. 百 B. 党 C. 年 D. 喜 【答案】B 【解析】 【分析】正方体的表面展开图“一
3、四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建” 与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解 答问题 3. 下列运算正确的是（ ） A. 22 541aa B. 2 2346 a ba b C. 933 aaa D. 222 (2 )4abab 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式逐一计算即可 【详解】解：A 222 54aaa，该项
4、运算错误； B 2 2346 a ba b，该项运算正确； C 936 aaa，该项运算错误； D 222 (2 )44abaabb，该项运算错误； 故选：B 【点睛】本题考查整式的运算，掌握合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式是解题 的关键 4. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可 【详解】解：A 是轴对称图形，对称轴有 1 条； B 不是轴对称图形； C 不是轴对称图形； D 是轴对称图形，对称轴有 2 条； 故选：D 【点睛】本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定
5、义是解题的关键 5. 如图，AC 是正五边形 ABCDE 的对角线，ACD的度数是（ ） A. 72 B. 36 C. 74 D. 88 【答案】A 【解析】 【分析】根据正五边形的性质可得108BBCD ，ABBC，根据等腰三角形的性质可得 36BCABAC，利用角的和差即可求解 【详解】解：ABCDE 是正五边形， 108BBCD ，ABBC， 36BCABAC, 1083672ACD， 故选：A 【点睛】本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键 6. 学校为了解“阳光体育”活动开展情况， 随机调查了 50 名学生一周参加体育锻炼时间， 数据如下表所示： 人数（人） 9
6、16 14 11 时间（小时） 7 8 9 10 这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A. 16，15 B. 11，15 C. 8，8.5 D. 8，9 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的意义与表格直接求解即可 【详解】解：这 50 名学生这一周在校的体育锻炼时间是 8 小时的人数最多，故众数为 8； 统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间分别是 8，9，故中位数是（8+9） 2=8.5 故选：C 【点睛】本题考查了众数和中位数的意义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数将一组数据从小到 大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个
7、数的平均数） ，叫做这组数据的中位数 7. 已知 2 3120 xx，则代数式 2 395xx的值是（ ） A. 31 B. 31 C. 41 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可先求出 x2-3x 的值，再化简 22 395=3+53xxxx ，然后整体代入所求代数 式求值即可 【详解】解： 2 3120 xx， 2 3 =12xx， 22 3395=3+5=3 12+5=31xxxx 故选：B 【点睛】此题考查了代数式求值，此题的关键是代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设 中，得出 2 3 =12xx，是解题的关键 8. 如图，8,0A，2,0C ，以点 A
8、为圆心，AC 长为半径画弧，交 y轴正半轴于点 B，则点 B 的坐标为 （ ） A. 0,5 B. 5,0 C. 6,0 D. 0,6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意得出 OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可 【详解】解：由题意可知：AC=AB 8,0A，2,0C OA=8，OC=2 AC=AB=10 在 RtOAB 中， 2222 1086OBABOA B(0，6) 故选：D 【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 O（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比例函数关 系，它的图象如
9、图所示下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 13 I R B. 蓄电池的电压是 18V C. 当10AI 时，3.6R D. 当6R 时，4AI 【答案】C 【解析】 【分析】将将4,9代入 U I R 求出 U的值，即可判断 A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断 C 【详解】解：设 U I R ，将4,9代入可得 36 I R ，故 A 错误； 蓄电池电压是 36V，故 B错误； 当10AI 时，3.6R，该项正确； 当当6R 时，6AI ，故 D错误， 故选：C 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键 10. 如图，AB为O的直径，弦CDAB
10、于点 F，OEAC于点 E，若3OE ，5OB，则 CD 的长 度是（ ） A. 9.6 B. 4 5 C. 5 3 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】先利用垂径定理得出 AE=EC，CF=FD，再利用勾股定理列方程即可 【详解】解：连接 OC ABCD, OEAC AE=EC，CF=FD OE=3，OB=5 OB=OC=OA=5 在 RtOAE中 2222 534AEOAOE AE=EC=4 设 OF=x，则有 2222 ACAFOCOF 2222 8(5)5xx x=1.4 在 RtOFC 中， 2222 51.44.8FCOCOF 29.6CDFC 故选：A 【点睛】本题考查垂径
11、定理、勾股定理、方程思想是解题关键 11. 如图，在正方形 ABCD中，6AB，M 是 AD边上的一点，:1:2AM MD将BMA沿 BM对折至 BMN，连接 DN，则 DN的长是（ ） A. 5 2 B. 9 5 8 C. 3 D. 6 5 5 【答案】D 【解析】 【分析】 延长MN与CD交于点E， 连接BE， 过点N作NFCD， 根据折叠的正方形的性质得到NECE， 在Rt MDE中应用勾股定理求出 DE的长度，通过证明MDENFE，利用相似三角形的性质求出 NF和 DF的长度，利用勾股定理即可求解 【详解】解：如图，延长 MN 与 CD 交于点 E，连接 BE，过点 N作NFCD， 6
12、AB，M 是 AD 边上的一点，:1:2AM MD， 2AM ，4DM ， 将BMA沿 BM 对折至BMN，四边形 ABCD是正方形， 90BNEC ，ABANBC， Rt BNERt BCE(HL)， NECE， 2EMMNNENE， 在Rt MDE中，设DEx，则628MExx， 根据勾股定理可得 2 22 48xx，解得3x ， 3NEDE，5ME ， NFCD，90MDE， MDENFE， 2 5 EFNFNE DEMDME ， 12 5 NF ， 9 5 EF ， 6 5 DF ， 22 6 5 5 DNDFNF， 故选：D 【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定
13、理的应用等内容，做出合适的辅助线是 解题的关键 12. 如图，直线 22yx 与坐标轴交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行 线交直线3yx 于点 Q，OPQ绕点 O顺时针旋转 45，边 PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值 是（ ） A. 2 3 B. 1 2 C. 11 16 D. 21 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得 OQMOMN SSS 阴影扇形扇形 ，设 P(a，2-2a)，则 Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到 2 1 325 ?8Saa 阴影 ，利用二次函数的性质求解即可 【详解】解：如图， 根据旋转的性质，OPQOM
14、N， OPQOMN SS ， 则 OMNOPQOQMOPN SSSSS 阴影扇形扇形 OQMOPN SS 扇形扇形 ， 点 P在直线22yx 上，点 Q在直线3yx 上，且 PQy轴， 设 P(a，2-2a)，则 Q(a，3-a)， OP2= 2 22 22584aaaa， OQ2= 2 22 3269aaaa， OQMOPN SSS 阴影扇形扇形 22 45 ?45 ? 360360 OQOP 2 1 325 ?8aa ， 设 2 2 116 3253 33 yaaa ， 30 ， 当 1 3 a 时，y有最大值，最大值为16 3 ， S阴影的最大值为 1612 383 故选：A 【点睛】本
15、题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出 所求问题需要的条件 二、填空题（共二、填空题（共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13. 请写出一个满足不等式 27x 的整数解_ 【答案】6（答案不唯一） 【解析】 【分析】先估算出 2的值约为 1.4，再解不等式即可 【详解】解： 21.4 ， 72x ， 5.6x 所以 6 是该不等式的其中一个整数解（答案不唯一，所有不小于 6 的整数都是该不等式的整数解） ； 故答案为：6（答案不唯一） 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的整数解、二次根式的值的估算等内容，要
16、求学生在理解 相关概念的前提下能灵活运用解决问题，本题答案不唯一，有一定的开放性 14. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为 100，其中体育课外活动占 30%，期末考试成绩占 70%，小彤的 这两项成绩依次是 90，80则小彤这学期的体育成绩是_ 【答案】83 分 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可 【详解】解：根据题意得： 90 30%+80 70%=83（分） ； 答：小彤这学期的体育成绩是 83分 故答案为：83分 【点睛】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题 15. 化简： 2 28 24aa _ 【答案】 2 2a
17、 【解析】 【分析】利用分式的减法法则，先通分，再进行计算即可求解 【详解】解： 2 28 24aa 28 222aaa 228 2222 a aaaa 22 22 a aa 2 2a ， 故答案为： 2 2a 【点睛】本题考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键 16. 某校园学子餐厅把 WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接 到了学子餐厅网络，那么他输入的密码是_ 【答案】143549 【解析】 【分析】根据题中密码规律确定所求即可. 【详解】532=5 3 10000+5 2 100+5 （2+3）=151025 924=9 2 10000+9
18、 4 100+9 （2+4）=183654， 863=8 6 10000+8 3 100+8 （3+6）=482472， 725=7 2 10000+7 5 100+7 （2+5）=143549. 故答案为 143549 【点睛】本题考查有理数的混合运算，根据题意得出规律并熟练掌握运算法则是解题关键. 17. 如图，ABC的顶点均在正方形网格格点上只用不带刻度的直尺，作出ABC的角平分线 BD（不 写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】取格点 E，连接 AE，作 AE的中点 D，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD即为ABC的 角平分线 【详解】解：如图，射线 BD 即为
19、所求作 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵 活运用所学知识解决问题 18. 当自变量13x 时， 函数yxk（k为常数） 的最小值为3k ， 则满足条件的 k的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】分1k 时，13k 时，3k 时三种情况讨论，即可求解 【详解】解：若1k 时，则当13x 时，有xk，故yxkxk， 故当1x时，y有最小值，此时函数1yk ， 由题意，1?3kk ， 解得：2k ，满足1k ，符合题意； 若13k ，则当13x 时，0yxk， 故当xk时，y有最小值，此时函数0y ， 由题意，0 ?3k ， 解得：3k
20、 ，不满足13k ，不符合题意； 若3k 时，则当13x 时，有xk，故yxkkx， 故当3x 时，y有最小值，此时函数3yk， 由题意，3 ?3kk ，方程无解，此情况不存在， 综上，满足条件k的值为2 故答案为：2 【点睛】本题考查了一次函数的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 8 个题，共个题，共 78 分）分） 19. 计算： 0 25| 7| (23) 【答案】1 【解析】 【分析】利用算术平方根、绝对值的性质、零指数幂分别计算各项即可求解 【详解】解：原式57 11 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根、绝对值的性质、零指数幂是解题的关
21、键 20. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、CD 的中点求证：DE=BF 【答案】证明见试题解析 【解析】 【分析】由矩形的性质和已知得到 DF=BE，ABCD，故四边形 DEBF是平行四边形，即可得到答案 【详解】四边形 ABCD是矩形， ABCD，AB=CD， 又 E、F分别是边 AB、CD的中点， DF=BE， 又 ABCD， 四边形 DEBF是平行四边形， DE=BF 考点：1矩形的性质；2全等三角形的判定 21. 在一次数学课外实践活动中， 小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53， 从综合楼底部 A处测得办公楼顶部 C处的仰角恰好是
22、30，综合楼高 24米请你帮小明求出办公楼的高 度 （结果精确到 0.1，参考数据tan370.75，tan531.33 ，31.73） 【答案】办公楼的高度约为 10.4 米 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 AD的长，进而得出 CD的高度 【详解】解：根据题意，BDA=53 ，AB=24， 在 RtBDA 中，tan53 AB AD ， AD= 24 1.33 ， 在 RtACD 中，CAD=30 ， tan30 CD AD ， CD= 243241.73 10.4 1.3331.333 (米)， 故办公楼的高度约为 10.4米 【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，
23、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识 解决问题，属于中考常考题型 22. 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业现有 A，B两种型号的无人机都被用来 运送快件，A型机比 B型机平均每小时多运送 20 件，A 型机运送 700件所用时间与 B 型机运送 500 件所用 时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？ 【答案】A 型机平均每小时运送 70 件，B 型机平均每小时运送 50 件 【解析】 【分析】设 A 型机平均每小时运送 x 件，根据 A型机比 B型机平均每小时多运送 20件，得出 B型机平均每 小时运送（x-20）件，再根据 A 型机运送 700 件
24、所用时间与 B 型机运送 500 件所用时间相等，列出方程解之 即可 【详解】解：设 A 型机平均每小时运送 x 件，则 B型机平均每小时运送（x-20）件， 根据题意得： 700500 20 xx 解这个方程得：x=70 经检验 x=70是方程的解，x-20=50 A型机平均每小时运送 70 件，B 型机平均每小时运送 50 件 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键 23. 为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀） 、B（良好） 、C （合格） 、D（不合格）四个等级小李随机调查了部分同学的竞赛成绩
25、，绘制了如下统计图 （1）本次抽样调查的样本容量是_，请补全条形统计图； （2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用 树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率； （3）该校共有 2000 名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数 【答案】 （1）100，补全条形统计图见解析； （2）P(恰好回访到一男一女) 3 5 ； （3）700 人 【解析】 【分析】 （1）根据条形统计图和扇形统计图可知 C 等级的人数与所占比例，即可求出样本容量，根据 B 所 占百分比求出 B等级的人数，再求出 D 等级的人数即可； （2）画出表格，利用概率公
26、式即可求解； （3）利用样本估计总体的方法求解即可 【详解】解： （1）2525%100（人） ， B等级的人数为10035%=35（人） ， D 等级的人数为：1003535255（人） ， 补全条形统计图如下： ； （2）列表如下： 男 男 男 女 女 男 男男 男男 女男 女男 男 男男 男男 女男 女男 男 男男 男男 女男 女男 女 男女 男女 男女 女女 女 男女 男女 男女 女女 P(恰好回访到一男一女) 123 205 ； （3）200035%700（人） 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键 24. 函数图象是研究函数的重要工具探究函
27、数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后 观察分析图象特征，概括函数性质的过程请结合已有的学习经验，画出函数 2 8 4 x y x 的图象，并探究 其性质 列表如下： x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y 8 5 24 13 a 8 5 0 b 2 24 13 8 5 （1）直接写出表中 a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察函数 2 8 4 x y x 的图象，判断下列关于该函数性质的命题： 当22x 时，函数图象关于直线y x 对称； 2x时，函数有最小值，最小值为2； 11x 时，函数 y的值随 x的增大而减小 其中正确的是_ （请写出所有正
28、确命题的序号） （3）结合图象，请直接写出不等式 2 8 4 x x x 的解集_ 【答案】 （1）2a， 8 5 b ，画出函数的图象见解析； （2）； （3）0 x 【解析】 【分析】 （1）把2x和1x 分别代入函数解析式，即可求得 a、b的值，再利用描点法作出图像即可； （2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断； （3）根据图象求得即可 【详解】解： （1）当2x时， 22 828 2 4 24 x a x ， 当1x 时， 2 88 18 4145 x b x ， 2a， 8 5 b ， 画出函数的图象如图： （2）函数图象关于直线y x 对称，原说法错误； 2x时，函数有最小
29、值，最小值为2，原说法正确； 22x 时，函数 y的值随 x的增大而减小，则原说法正确 其中正确的是， 故答案为：，； （3）画出直线y x ， 由图象可知：当0 x时，函数 2 8 4 x y x 的图象在直线y x 的上方， 不等式 2 8 4 x x x 的解集为0 x 故答案为：0 x 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利 用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键 25. 如图，点 D 在以 AB为直径的O上，过 D作O的切线交 AB 延长线于点 C，AECD于点 E，交 O 于点 F，连接 AD，FD （1）求证：DAEDAC
30、 ； （2）求证：DF ACAD DC； （3）若 1 sin 4 C， 4 10AD ，求 EF 的长 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）EF6 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，BD，由圆的切线的性质结合圆周角定理可求得EDA=ABD，再利用等角的余角 相等，可证明结论； （2） 如图， 连接 BD、 BF， 利用平行线的性质以及圆周角定理证得C=ADF， 根据 （1） 的结论可证明ADF ACD，可证明结论； （3）设 OA=OD=x，利用三角函数的定义和勾股定理得到 OC=4x，CD 15x ，AC =5x，根据相似三角形 的判定和性质求解即可 【详解】 （1）证明：
31、连接 OD，BD， ED是O的切线，D为切点， ODED， ODA+EDA=90 ， AB 为O的直径， ADB=90 ， ODA+ODB=90 ， ODB=EDA， OB=OD， ODB=OBD， EDA=ABD， AECD， E=90 ， DAEDAC (等角的余角相等)； （2）如图，连接 BD、BF， AB 为O的直径， AFB=90 ， BFCF， C=ABF=ADF， 由（2）得DAEDAC ， ADFACD， ADDF ACCD , DF ACAD DC； （3）过 D作 DHAB于 H，连接 OD，BD， 设 OA=OD=x， 在 RtODC中， 1 sin 4 OD C OC
32、 ， OC=4x， 则 CD= 22 15OCODx ， AC=OA+OC=5x， 由（2）得DF ACAD DC，即 4 10 ? 15 4 6 5 x DF x ， C+DOC=90 ，ODH+DOH=90 ， ODH=C， 在 RtODH中， 1 sin 4 OH ODH OD ， OH= 1 4 x， DH= 22 15 4 ODOHx， 由（1）得DAEDAC ， DH=DE= 15 4 x， EFD=ABD(圆内接四边形外角等于内对角)， 由（1）得EDA=ABD， EFD=EDA， EADEDF， EDAD EFDF ，即 15 4 10 4 4 6 x EF ， EF 3 4
33、x， 在 RtDEF 中， 222 EFDEDF ，即 2 2 2 315 4 6 44 xx ， 解得：8x ， EF 3 86 4 【点睛】本题考查了切线的性质定理，也考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角 三角形，正确的理解题意是解题的关键 26. 如图，抛物线 (1)()yxxa （其中1a ）与 x 轴交于 A、B两点，交 y轴于点 C （1）直接写出OCA的度数和线段 AB的长（用 a 表示） ； （2）若点 D为ABC的外心，且BCD与ACO的周长之比为10 :4，求此抛物线的解析式； （3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()yxxa上是否存在一点 P，使
34、得CAPDBA？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）OCA=45 ，AB= a+1； （2） 2 yxx2； （3）存在，P1（ 1 2 ， 5 4 ） ，P2（1，-2） 【解析】 【分析】 （1）根据二次函数解析式可得 A（a，0） ，C（0，-a） ，B（-1，0） ，即可得出 OA=OB=a，OB=1， 即可证明 OCA 是等腰直角三角形，可得OCA=45 ，根据线段的和差关系可表示 AB 的长； （2）如图，作 ABC的外接圆D，根据等腰直角三角形的性质可得 AC= 2a，利用两点间距离公式可用 a 表示出 BC 的长，根据圆周角定理可得D=2OAC=
35、90 ，可得 DBC是等腰直角三角形，即可证明 DBC OCA，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出 a值即可得答案； （3）如图，过点 D作 DHAB于 H，过点 C作 AC的垂线，交 x轴于 F，过点 O 作 OGAC于 G，连接 AP 交 CF 于 E，可得 OCF 是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线 CF 的解析式，根据外心的定义 及等腰直角三角形的性质可求出点 D坐标，即可得出 BH、DH的长，根据CAPDBA， BHD=ACE=90 可证明 BHD ACE，根据相似三角形的性质可求出 CE 的长，根据两点间距离公式 可得点 E 坐标，利用待定系数法可得直线 AE解析式，
36、联立直线 AE 与抛物线的解析式求出点 P坐标即可得 答案 【详解】 （1）抛物线(1)()yxxa（其中1a ）与 x 轴交于 A、B两点，交 y轴于点 C 当 x=0 时，y=-a， 当 y=0时，(1)()0 xxa， 解得： 1 1x ， 2 xa， A（a，0） ，C（0，-a） ，B（-1，0） ， OB=1，OA=OC=a， OCA是等腰直角三角形， OCA=45 ，AB=OA+OB=a+1 （2）如图，作 ABC 的外接圆D， 点 D为ABC的外心， DB=DC， OCA是等腰直角三角形，OA=a， OAC=45 ，AC= 2a， BDC和BAC是BC所对的圆心角和圆周角， B
37、DC=2BAC=90 ， DBC=45 ， DBC=OAC， DBC OCA， BCD与ACO的周长之比为10 :4， 10 4 BC AC ，即 2 110 42 a a ， 解得：2a ， 经检验：2a 是原方程的根， 1a , a=2， 抛物线解析式为：(1)(2)yxx= 2 2xx （3）如图，过点 D作 DHAB于 H，过点 C作 AC的垂线，交 x轴于 F，过点 O 作 OGAC于 G，连接 AP 交 CF 于 E， a=2， C（0，-2） ，A（2，0） ，AC=2 2， OCA=45 ， OCF=45 ， OCF是等腰直角三角形， F（-2，0） ， 设直线 CF的解析式为
38、 y=kx+b， 20 2 kb b ， 解得： 1 2 k b ， 直线 CF的解析式为2yx ， OCA是等腰直角三角形，OGAC， OG所在直线为 AC 的垂直平分线，点 G为 AC中点， 点 D为ABC的外心， 点 D在直线 OG 上， A（2，0） ，C（0，-2） ， G（1，-1） ， 设直线 OG的解析式 y=mx， m=-1， 直线 OG的解析式 y=-x， 点 D为 ABC的外心， 点 D在 AB的垂直平分线上， 点 D的横坐标为 12 2 = 1 2 ， 把 x= 1 2 代入 y=-x 得 y=- 1 2 ， D（ 1 2 ，- 1 2 ） ， DH= 1 2 ，BH=
39、1+ 1 2 = 3 2 ， CAPDBA，BHD=ACE=90 ， BHD ACE， DHBH CEAC ，即 13 22 2 2CE ， 解得： 2 2 3 CE ， 点 E在直线 CF上， 设点 E 坐标为（n，-n-2） ， CE= 22 (22)nn = 2 2 3 ， 解得： 2 3 n ， 1 E（ 2 3 ， 4 3 ） ， 2 E（ 2 3 ， 8 3 ） ， 设直线 AE1的解析式为 y=k1x+b1， 11 11 24 33 20 kb kb ， 解得： 1 1 1 2 1 k b ， 直线 AE1解析式为 1 1 2 yx， 同理：直线 AE2的解析式为24yx， 联立
40、直线 AE1解析式与抛物线解析式得 2 1 1 2 2 yx yxx ， 解得： 1 1 1 2 5 4 x y ， 1 2 2 0 x y （与点 A 重合，舍去） ， P1（ 1 2 ， 5 4 ） ， 联立直线 AE2解析式与抛物线解析式得 2 24 2 yx yxx ， 解得： 1 1 1 2 x y ， 2 2 2 0 x y （与点 A 重合，舍去） ， P2（1，-2） 综上所述：存在点 P，使得CAPDBA，点 P 坐标为 P1（ 1 2 ， 5 4 ） ，P2（1，-2） 【点睛】本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、 等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键
