1、2020 年四川省自贡市自流井区中考数学模拟试卷（年四川省自贡市自流井区中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 一、选择题： （每个一、选择题： （每个 4 分，共分，共 48 分）分） 1|2020|的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 2 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟， 它的质量约为 0.056 盎司 将 0.056 用科学记数法表示为 （ ） A5.610 1 B5.610 2 C5.610 3 D0.5610 1 3下列计算正确的是（ ） A2x+3y5xy B （m+3）2m2+9 C （xy2）3xy6 Da10a5a5 4已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所
2、搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体 的个数是（ ） A6 个 B7 个 C8 个 D9 个 5在 RtABC 中C90，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，c3a，tanA 的值为（ ） A B C D3 6已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等边AOB 的边长为 2，点 C 在边 OA 上，点 D 在边 AB 上， 且 OC2BD反比例函数 y（k0）的图象恰好经过点 C 和点 D，则 k 的值为（ ） A B C D 7在 RtABC 中，C90，BC4cm，AC3cm把ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到AB1C1， 如图所示，则点 B 所走过的路径长为（ ）
3、 A5cm Bcm Ccm D5cm 8已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ） A4 B4 C1 D1 9如图，已知O 圆心是数轴原点，半径为 1，AOB45，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与 OA 平 行的直线与O 有公共点，设 OPx，则 x 的取值范围是（ ） A1x1 Bx C0 x Dx 10如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度 h 随 时间 t 变化规律的是（ ） A B C D 11如图，矩形 ABCD 中，AB2，点 E 在 AD 边上，以 E 为圆心，EA 长为半径的E 与 B
4、C 相切，交 CD 于点 F，连接 EF若扇形 EAF 的面积为，则 BC 的长是（ ） A2 B C3 D4 12我们发现：若 AD 是ABC 的中线，则有 AB2+AC22（AD2+BD2） ，请利用结论解决问题：如图，在 矩形 ABCD 中，已知 AB20，AD12，E 是 DC 中点，点 P 在以 AB 为直径的半圆上运动，则 CP2+EP2 的最小值是（ ） A B C34 D68 二、填空题： （每个二、填空题： （每个 4 分，总共分，总共 24 分）分） 13分解因式：2a38a2+8a 14若一组数据 4，1，7，x，5 的平均数为 4，则这组数据的中位数为 15 九章算术是
5、中国传统数学最重要的著作，方程术是九章算术最高的数学成就 九章算术中 记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问：牛、羊各直金几何？译文：假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值 金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为 16如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米/分的速度沿与地面成 75角的 方向飞行， 25 分钟后到达 C 处， 此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30， 则小山东西两侧 A、 B 两点间的距离为 米 17如图，AOB 中，AOB90，AO3
6、，BO6，AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB处，此 时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 BE 的长度为 18如图，在菱形纸片 ABCD 中，AB2，A60，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处，折 痕为 FG，点 F，G 分别在边 AB，AD 上，则 cosEFG 的值为 三、解答题： （答案在最后）三、解答题： （答案在最后） 19 （8 分）计算：|+（1）20202cos45+ 20 （8 分）先化简，再求值： （1x+），其中 xtan45+（） 1 21 （8 分）关于 x 的方程，kx2+（k+1）x+k0 有两个不等实根 求 k 的取值
7、范围； 是否存在实数 k，使方程的两实根的倒数和为 0？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由 22 （8 分）目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学 随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A无所谓；B基本赞成；C赞成； D反对） 并将调查结果绘制成频数折线统计图 1 和扇形统计图 2（不完整） 请根据图中提供的信息， 解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名名中学生家长； （2）求出图 2 中扇形 C 所对的圆心角的度数，并将图 1 补充完整； （3）在此次调查活动中，初三（1）班有 A1、A2两位家长对中学
8、生带手机持反对态度，初三（2）班有 B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这 4 位家长中选 2 位家长参加学校组织的家校 活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的 2 人来自不同班级的概率 23已知点 A（a，m）在双曲线 y上且 m0，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B （1）如图 1，当 a2 时，P（t，0）是 x 轴上的动点，将点 B 绕点 P 顺时针旋转 90至点 C 若 t1，直接写出点 C 的坐标； 若双曲线 y经过点 C，求 t 的值 （2）如图 2，将图 1 中的双曲线 y（x0）沿 y 轴折叠得到双曲线 y（x0） ，将线段 OA 绕 点 O 旋转，点
9、 A 刚好落在双曲线 y（x0）上的点 D（d，n）处，求 m 和 n 的数量关系 24如图，在ABC 中，ABAC，AE 是 BC 边上的高线，BM 平分ABC 交 AE 于点 M，经过 B，M 两点 的O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 为O 的直径 （1）求证：AM 是O 的切线； （2）当 BE3，cosC时，求O 的半径 25如图，已知正方形 ABCD，AC 交 BD 于点 O，在线段 BC 上任取一点 P（不含端点） ，连结 AP，延长 AP 交 DC 延长线于点 N，交 BD 于点 M （1）当 ACCN 时； 求BAP 的度数； AMB 和BMP 的面积分别为 S
10、1和 S2，求的值； （2）探索线段 AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明 26综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx8 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于点 E，连接 CE，已知点 A，D 的坐 标分别为（2，0） ， （6，8） （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B 和点 E 的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点 F，使FOEFCE？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（
11、0，m） ，直线 PB 与直线 l 交于点 Q，试探究： 当 m 为何值时，OPQ 是等腰三角形 2020 年四川省自贡市自流井区中考数学模拟试卷（年四川省自贡市自流井区中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （每个一、选择题： （每个 4 分，共分，共 48 分）分） 1|2020|的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质即可求解 【解答】解：|2020|的相反数是|2020|2020 故选：C 2 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟， 它的质量约为 0.056 盎司 将 0.056 用科学记数
12、法表示为 （ ） A5.610 1 B5.610 2 C5.610 3 D0.5610 1 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：将 0.056 用科学记数法表示为 5.610 2， 故选：B 3下列计算正确的是（ ） A2x+3y5xy B （m+3）2m2+9 C （xy2）3xy6 Da10a5a5 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式m2+6m+9，不符合题意； C、
13、原式x3y6，不符合题意； D、原式a5，符合题意， 故选：D 4已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体 的个数是（ ） A6 个 B7 个 C8 个 D9 个 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有 4 个小正方体，第二层有 2 个小正方体，第，三层 有 1 个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是 4+2+17 个 故选：B 5在 RtABC 中C90，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，c3a，tanA 的值为（ ） A B C D3 【分析
14、】根据锐角三角函数的定义即可求出答案 【解答】解：由题意可知：sinA， tanA， 故选：B 6已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等边AOB 的边长为 2，点 C 在边 OA 上，点 D 在边 AB 上， 且 OC2BD反比例函数 y（k0）的图象恰好经过点 C 和点 D，则 k 的值为（ ） A B C D 【分析】过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，设 BDa，则 OC2a，根据等边三角 形的性质结合解含 30 度角的直角三角形，可找出点 C、D 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特 征即可求出 a、k 的值，此题得解 【解答】解：过点 C 作
15、 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，如图所示 设 BDa，则 OC2a AOB 为边长为 2 的等边三角形， COEDBF60，OB2 在 RtCOE 中，COE60，CEO90，OC2a， OCE30， OEa，CEa， 点 C（a，a） 同理，可求出点 D 的坐标为（2a，a） 反比例函数 y（k0）的图象恰好经过点 C 和点 D， kaa（2a）a， a，k， 故选：C 7在 RtABC 中，C90，BC4cm，AC3cm把ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到AB1C1， 如图所示，则点 B 所走过的路径长为（ ） A5cm Bcm Ccm D5cm 【分析】根
16、据勾股定理可将 AB 的长求出，点 B 所经过的路程是以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径，圆 心角为 90的扇形 【解答】解：在 RtABC 中，AB5， lABcm， 故点 B 所经过的路程为cm 故选：C 8已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ） A4 B4 C1 D1 【分析】根据根的判别式的意义得到224 （a）0，然后解方程即可 【解答】解：根据题意得224 （a）0， 解得 a1 故选：D 9如图，已知O 圆心是数轴原点，半径为 1，AOB45，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与 OA 平 行的直线与O 有公共点，设 OPx，
17、则 x 的取值范围是（ ） A1x1 Bx C0 x Dx 【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的 P 的取值，再结合图象可得出 P 的取值范围，即可 得出答案 【解答】解：半径为 1 的圆，AOB45，过点 P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点， 当 PC 与圆相切时，切点为 C， OCPC， CO1，POC45，OP， 过点 P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点，即 0 x， 同理点 P 在点 O 左侧时，0 x， 0 x 故选：C 10如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度 h 随 时间 t 变化规律的是（ ） A B C D
18、【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度 h 随时间 t 变化而分三个阶段 【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度 h 随时间 t 的 增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短， 故选：A 11如图，矩形 ABCD 中，AB2，点 E 在 AD 边上，以 E 为圆心，EA 长为半径的E 与 BC 相切，交 CD 于点 F，连接 EF若扇形 EAF 的面积为，则 BC 的长是（ ） A2 B C3 D4 【分析】设AEFn，由题意，解得 n120，推出AEF120，在 RtEFD 中， 求出 DE 即可解决问题 【解答】解：设A
19、EFn， 由题意，解得 n120， AEF120， FED60， 四边形 ABCD 是矩形， BCAD，D90， EFD30， DEEF1， BCAD2+13， 故选：C 12我们发现：若 AD 是ABC 的中线，则有 AB2+AC22（AD2+BD2） ，请利用结论解决问题：如图，在 矩形 ABCD 中，已知 AB20，AD12，E 是 DC 中点，点 P 在以 AB 为直径的半圆上运动，则 CP2+EP2 的最小值是（ ） A B C34 D68 【分析】设点 O 为 AB 的中点，H 为 CE 的中点，连接 HO 交半圆于点 P，此时 PH 取最小值，根据矩形 的性质得到 CDAB，EO
20、AD，求得 OPCEAB10，过 H 作 HGAB 于 G，根据矩形的性质得 到 HG12，OG5，于是得到结论 【解答】解：设点 O 为 AB 的中点，H 为 CE 的中点， 连接 HO 交半圆于点 P，此时 PH 取最小值， AB20，四边形 ABCD 为矩形， CDAB，BCAD， OPCEAB10， CP2+EP22（PH2+CH2） 过 H 作 HGAB 于 G， HG12，OG5， OH13， PH3， CP2+EP2的最小值2（9+25）68， 故选：D 二、填空题： （每个二、填空题： （每个 4 分，总共分，总共 24 分）分） 13分解因式：2a38a2+8a 2a（a2）
21、2 【分析】先提取公因式 2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】解：2a38a2+8a， 2a（a24a+4） ， 2a（a2）2 故答案为：2a（a2）2 14若一组数据 4，1，7，x，5 的平均数为 4，则这组数据的中位数为 4 【分析】先根据平均数为 4 求出 x 的值，然后根据中位数的概念求解 【解答】解：数据 4，1，7，x，5 的平均数为 4， 4， 解得：x3， 则将数据重新排列为 1、3、4、5、7， 所以这组数据的中位数为 4， 故答案为：4 15 九章算术是中国传统数学最重要的著作，方程术是九章算术最高的数学成就 九章算术中 记载：今有牛五、羊二，直金十
22、两；牛二、羊五，直金八两问：牛、羊各直金几何？译文：假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值 金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为 【分析】根据“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两” ，得到等量关系，即可 列出方程组 【解答】解：根据题意得：， 故答案为：， 16如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米/分的速度沿与地面成 75角的 方向飞行， 25 分钟后到达 C 处， 此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30， 则小山东西两侧
23、 A、 B 两点间的距离为 750 米 【分析】作 ADBC 于 D，根据速度和时间先求得 AC 的长，在 RtACD 中，求得ACD 的度数，再求 得 AD 的长度，然后根据B30求出 AB 的长 【解答】解：如图，过点 A 作 ADBC，垂足为 D， 在 RtACD 中，ACD753045， AC3025750（米） ， ADACsin45375（米） 在 RtABD 中， B30， AB2AD750（米） 故答案为：750 17如图，AOB 中，AOB90，AO3，BO6，AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB处，此 时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 BE 的长
24、度为 【分析】利用勾股定理列式求出 AB，根据旋转的性质可得 AOAO，ABAB，再求出 OE，从而 得到 OEAO， 过点 O 作 OFAB于 F， 利用三角形的面积求出 OF， 利用勾股定理列式求出 EF， 再根据等腰三角形三线合一的性质可得 AE2EF， 然后根据 BEABAE 代入数据计算即可 得解 【解答】解：AOB90，AO3，BO6， AB3， AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB处， AOAO3，ABAB3， 点 E 为 BO 的中点， OEBO63， OEAO， 过点 O 作 OFAB于 F， SAOB3OF36， 解得 OF， 在 RtEOF 中，EF， OEAO，OFA
25、B， AE2EF2（等腰三角形三线合一） ， BEABAE3 故答案为： 18如图，在菱形纸片 ABCD 中，AB2，A60，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处，折 痕为 FG，点 F，G 分别在边 AB，AD 上，则 cosEFG 的值为 【分析】作 EHAD 于 H，连接 BE、BD，连接 AE 交 FG 于 O，如图，利用菱形的性质得BDC 为等 边三角形， ADC120， 再在在 RtBCE 中计算出 BECE， 接着证明 BEAB， 设 AFx， 利用折叠的性质得到 EFAF，FG 垂直平分 AE，EFGAFG，所以在 RtBEF 中利用勾股定理得 （2x）2+（）
26、2x2，解得 x，接下来计算出 AE，从而得到 OA 的长，然后在 RtAOF 中利用 勾股定理计算出 OF，再利用余弦的定义求解 【解答】解：作 EHAD 于 H，连接 BE、BD，连接 AE 交 FG 于 O，如图， 四边形 ABCD 为菱形，A60， BDC 为等边三角形，ADC120， E 点为 CD 的中点， CEDE1，BECD， 在 RtBCE 中，BECE， ABCD， BEAB， 设 AFx， 菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点 F，G 分别在边 AB，AD 上， EFAF，FG 垂直平分 AE，EFGAFG， 在 RtBEF 中， （2x）
27、2+（）2x2，解得 x， 在 RtDEH 中，DHDE，HEDH， 在 RtAEH 中，AE， AO， 在 RtAOF 中，OF， cosAFO 故答案为 三、解答题： （答案在最后）三、解答题： （答案在最后） 19 （8 分）计算：|+（1）20202cos45+ 【分析】 直接利用二次根式的性质和绝对值的定义、 特殊角的三角函数值分别化简， 进而计算得出答案 【解答】解：原式+12+4 +1+4 5 20 （8 分）先化简，再求值： （1x+），其中 xtan45+（） 1 【分析】 先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式， 再根据三角函数值、 负整数指数幂得出 x 的值， 最后代入
28、计算可得 【解答】解：原式（+） ， 当 xtan45+（） 11+23 时， 原式 21 （8 分）关于 x 的方程，kx2+（k+1）x+k0 有两个不等实根 求 k 的取值范围； 是否存在实数 k，使方程的两实根的倒数和为 0？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由 【分析】因为方程有两个不等实根，所以判别式大于 0，可以求出 k 的取值范围 根据根与系数的关系，用 k 的式子表示两根之和与两根之积，然后代入两根的倒数和为 0 的等式中， 求出 k 的值对不在取值范围内的值要舍去 【解答】解：（k+1）24kk， k2+2k+1k2， 2k+10， k， k0， 故 k且 k0
29、设方程的两根分别是 x1和 x2，则： x1+x2，x1x2， +0， k+10，即 k1， k， k1（舍去） 所以不存在 22 （8 分）目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学 随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A无所谓；B基本赞成；C赞成； D反对） 并将调查结果绘制成频数折线统计图 1 和扇形统计图 2（不完整） 请根据图中提供的信息， 解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名名中学生家长； （2）求出图 2 中扇形 C 所对的圆心角的度数，并将图 1 补充完整； （3）在此次调查活动中，初三（1）班有 A
30、1、A2两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有 B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这 4 位家长中选 2 位家长参加学校组织的家校 活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的 2 人来自不同班级的概率 【分析】 （1）用 D 类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （2）用 360乘以 C 类所占的百分比得到扇形 C 所对的圆心角的度数，再用 200 乘以 C 类所占的百分 比得到 C 类人数，然后补全图 1； （3） 画树状图展示所有 12 种等可能结果， 再找出 2 人来自不同班级的结果数， 然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）12060%200
31、（人） ， 所以调查的家长数为 200 人； （2）扇形 C 所对的圆心角的度数360（120%15%60%）18， C 类的家长数200（120%15%60%）10（人） ， 补充图为： （3）设初三（1）班两名家长为 A1、A2，初三（2）班两名家长为 B1，B2， 画树状图为 共有 12 种等可能结果，其中 2 人来自不同班级共有 8 种， 所以 2 人来自不同班级的概率 23已知点 A（a，m）在双曲线 y上且 m0，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B （1）如图 1，当 a2 时，P（t，0）是 x 轴上的动点，将点 B 绕点 P 顺时针旋转 90至点 C 若 t1，直接写出点
32、C 的坐标； 若双曲线 y经过点 C，求 t 的值 （2）如图 2，将图 1 中的双曲线 y（x0）沿 y 轴折叠得到双曲线 y（x0） ，将线段 OA 绕 点 O 旋转，点 A 刚好落在双曲线 y（x0）上的点 D（d，n）处，求 m 和 n 的数量关系 【分析】 （1）如图 11 中，求出 PB、PC 的长即可解决问题； 图 12 中，由题意 C（t，t+2） ，利用待定系数法，把问题转化为方程解决即可； （2）分两种情形当点 A 与点 D 关于 x 轴对称时，A（a，m） ，D（d，n） ，可得 m+n0 当点 A 绕点 O 旋转 90时，得到 D，D在 y上，作 DHy 轴，则ABOD
33、HO，推 出 OBOH，ABDH，由 A（a，m） ，推出 D（m，a） ，即 D（m，n） ，由 D在 y上， 可得 mn8； 【解答】解： （1）如图 11 中， 由题意：B（2，0） ，P（1，0） ，PBPC3， C（1，3） 图 12 中，由题意 C（t，t+2） ， 点 C 在 y上， t（t+2）8， t4 或 2， （2）如图 2 中， 当点 A 与点 D 关于 x 轴对称时，A（a，m） ，D（d，n） ， m+n0 当点 A 绕点 O 旋转 90时，得到 D，D在 y上， 作 DHy 轴，则ABODHO， OBOH，ABDH， A（a，m） ， D（m，a） ，即 D（m，
34、n） ， D在 y上， mn8， 综上所述，满足条件的 m、n 的关系是 m+n0 或 mn8 24如图，在ABC 中，ABAC，AE 是 BC 边上的高线，BM 平分ABC 交 AE 于点 M，经过 B，M 两点 的O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 为O 的直径 （1）求证：AM 是O 的切线； （2）当 BE3，cosC时，求O 的半径 【分析】 （1）连结 OM， 易证 OMBC， 由于 AE 是 BC 边上的高线， 从而可知 AMOM， 所以 AM 是O 的切线 （2）由于 ABAC，从而可知 ECBE3，由 cosC，可知：ACEC，易证AOM ABE，所以，再证明
35、cosAOMcosC，所以 AO，从而可求出 OM 【解答】解： （1）连结 OM BM 平分ABC 12 又 OMOB 23 OMBC AE 是 BC 边上的高线 AEBC， AMOM AM 是O 的切线 （2）ABAC ABCC，AEBC， E 是 BC 中点 ECBE3 cosC ACEC OMBC，AOMABE AOMABE 又ABCC AOMC 在 RtAOM 中 cosAOMcosC， AO AB+OB 而 ABAC OM O 的半径是 25如图，已知正方形 ABCD，AC 交 BD 于点 O，在线段 BC 上任取一点 P（不含端点） ，连结 AP，延长 AP 交 DC 延长线于点
36、 N，交 BD 于点 M （1）当 ACCN 时； 求BAP 的度数； AMB 和BMP 的面积分别为 S1和 S2，求的值； （2）探索线段 AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明 【分析】 （1）根据正方形的性质得到ACB45，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算 即可； 设 ADa，根据相似三角形的性质得到 CP（2）a，得到 BP（1）a，证明AMD PMB，求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案； （2）设 ADx，CNy，根据相似三角形的性质求出和，计算即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， ACB45，BCD90， BCN90， ACN135，
37、CACN， CANN22.5， ABCD， BAPN22.5； 设 ADa，则 ACa， CNCAa， ND（+1）a， ADBC， NCPNDA， ，即， 解得，CP（2）a， BPa（2）a（1）a， ADBC， AMDPMB， +1， +1； （2）AM2MPMN， 理由如下：设 ADx，CNy， NCPNDA， ，即， 解得，CP， 则 BPx， ABCD， AMBNMD， ， ADCB， AMDPMB， ， 1， AM2MPMN 26综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx8 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 经过坐标原点 O，与抛
38、物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于点 E，连接 CE，已知点 A，D 的坐 标分别为（2，0） ， （6，8） （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B 和点 E 的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点 F，使FOEFCE？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m） ，直线 PB 与直线 l 交于点 Q，试探究： 当 m 为何值时，OPQ 是等腰三角形 【分析】 （1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点 B 坐标，求出直线 OD 解析式即可解决点 E 坐标 （2）抛物线上存在点 F 使得FO
39、EFCE，此时点 F 纵坐标为4，令 y4 即可解决问题 （3） ）如图 1 中，当 OPOQ 时，OPQ 是等腰三角形，过点 E 作直线 MEPB，交 y 轴于点 M， 交 x 轴于点 H，求出点 M、H 的坐标即可解决问题如图 2 中，当 QOQP 时，POQ 是等腰三角 形，先证明 CEPQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx8 经过点 A（2，0） ，D（6，8） ， ，解得， 抛物线解析式为 yx23x8， yx23x8（x3）2， 抛物线对称轴为直线 x3， 又抛物线与 x 轴交于点 A、B 两点，点 A 坐标（2，0） ， 点 B 坐
40、标（8，0） 设直线 l 的解析式为 ykx， 经过点 D（6，8） ， 6k8， k， 直线 l 的解析式为 yx， 点 E 为直线 l 与抛物线对称轴的交点， 点 E 的横坐标为 3，纵坐标为34， 点 E 坐标（3，4） （2）抛物线上存在点 F 使得FOEFCE， 由 O 点，E 点，C 点的坐标，可知 OECE，FOE 与FCE 有公共边 FE， 此时点 F 纵坐标为4， x23x84， x26x80， x3， 点 F 坐标（3+，4）或（3，4） （3）如图 1 中，当 OPOQ 时，OPQ 是等腰三角形 点 E 坐标（3，4） ， OE5，过点 E 作直线 MEPB，交 y 轴于
41、点 M，交 x 轴于点 H则， OMOE5， 点 M 坐标（0，5） 设直线 ME 的解析式为 yk1x5， 3k154， k1， 直线 ME 解析式为 yx5， 令 y0，得x50，解得 x15， 点 H 坐标（15，0） ， MHPB， ，即， m， 如图 2 中，当 QOQP 时，POQ 是等腰三角形 当 x0 时，yx23x88， 点 C 坐标（0，8） ， CE5， OECE， 12， QOQP， 13， 23， CEPB， 设直线 CE 交 x 轴于 N，解析式为 yk2x8， 3k284， k2， 直线 CE 解析式为 yx8， 令 y0，得x80， x6， 点 N 坐标（6，0） ， CNPB， ， ， m OPPQ 时，显然不可能，理由， D（6，8） ， 1BOD， OQPBOQ+ABP， PQO1， OPPQ， 综上所述，当 m或时，OPQ 是等腰三角形
