1、第 1 页，共 15 页 2021 年上海市奉贤二校联考高考数学二模试卷年上海市奉贤二校联考高考数学二模试卷 一、单选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 已知全集 U，M，N是 U的非空子集，且 ，则必有( ) A. B. C. = D. 2. “ = 2”是“直线2 + + 1 = 0与直线 + 2 1 = 0平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 已知函数() = ; ;1的反函数图象的对称中心是(1,3)，则实数 a的值是( ) A. 2 B. 3 C. 3 D. 4 4. 已知不等式2+ + 0( 0)
2、的解集是*| +，则下列四个命题： 2 2 4： 2+ 1 4； 若不等式2+ 0； 若不等式2+ + 0的解集为 M，且2 ，则实数 a的取值范围是_ 12. 在数列*+中，若对一切 都有= 3:1，且lim (2 + 4+ 6+ + 2) = 9 2，则1的值 为 _ 第 2 页，共 15 页 13. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容. 用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面 的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该 多面体各顶点的曲
3、率之和，例如：正四面体在每个顶点有 3个面角，每个面角是，所以正四面体在各 顶点的曲率为2 3 3 = ，故其总曲率为4，则四棱锥的总曲率为_ 14. 已知 0， 0且 + = 3.式子 2021 :2019 + 2021 :2020的最小值是_ 15. 已知函数 = + ， ,-(其中，a，为常数，且 0)有且仅有 3 个零点，则的最小值 是_ 三、多空题（本大题共 1 小题，共 5.0 分） 16. 已知 是面积为93 4 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上若球 O的表面积为16，则球 O 的体积为 ；O 到平面 ABC的距离为 四、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
4、17. 如图在三棱锥 中，棱 AB、AC、AP两两垂直， = = = 3， 点 M在 AP上，且 = 1 (1)求异面直线 BM 和 PC 所成的角的大小； (2)求三棱锥 的体积 第 3 页，共 15 页 18. 若函数 = ()对定义域内的每一个值1，在其定义域内都存在唯一的2，使(1)(2) = 1成立，则 该函数为“依附函数” (1)判断函数() = 是否为“依附函数”，并说明理由； (2)若函数() = 2;1在定义域,-( 0)上“依附函数”，求 mn的取值范围 19. 由于 2020 年 1 月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐 步推进，
5、 居民生活逐步恢复正常.李克强总理在 6 月 1日考察山东烟台一处老旧小区时提到， 地摊经济、 小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈 某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中 = 120， 且在该区域内点R处有一个路灯， 经测量点R到区域边界PA， PB的距离分别为 = 4， = 6，(为长度单位).陈某准备过点 R 修建一条长椅(点 M，N分别落在 PA，PB 上，长椅的宽 度及路灯的粗细忽略不计)，以供购买冷饮的人休息 ()求点 P 到点 R 的距离； ()为优化经营面积，当 PM 等于多少
6、时，该三角形 PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值 第 4 页，共 15 页 20. 已知 0，如图，曲线由曲线1： 2 2 + 2 2 = 1( 0)和曲线2： 2 2 2 2 = 1( 0)组成，其中点 1，2为曲线1所在圆锥曲线的焦点，点3，4为曲线2所在圆锥曲线的焦点 (1)若2(2,0)，3(6,0)，求曲线的方程； (2)如图，作斜率为正数的直线 l平行于曲线2的渐近线，交曲线1于点 A，B，求弦 AB 的中点 M 的轨 迹方程； (3)对于(1)中的曲线，若直线1过点4交曲线1于点 C，D，求 1面积的最大值 21. 已知函数() = | ， ，各项均不相等的数列*+满足：|
7、 2 ( = 1,2,3,)，令 () = (1+ 2+ +) ,(1)+ (2)+ +()-( ). (1)试举例说明存在不少于 3项的数列*+，使得() = 0； (2)若数列*+的通项公式为= ( 1 3) ( )，证明：(2) 0对 恒成立； (3)若数列*+是等差数列，证明：() 0对 恒成立 第 5 页，共 15 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：集合 M，N的关系如图所示： 则由图可得 ， 故选：A 根据已知画出韦恩图，即可判断选项的正确性 本题考查了集合间的包含关系，涉及到韦恩图的应用，属于基础题 2.【答案】D 【解析】解：当 = 0时，两直线等价为2 +
8、 1 = 0，2 1 = 0，此时两直线不平行，即 0， 当 0时，若两直线平行则满足 2 = 2 1 ;1， 由 2 = 2得 2 = 4，得 = 2， 由 2 1 ;1，得 2， 综上 = 2， 即“ = 2“是“直线2 + + 1 = 0与直线 + 2 1 = 0平行”的充要条件， 故选：D 根据直线平行的等价条件求出 m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件求出 m的值是解决本题的关键，是基 础题 3.【答案】A 【解析】解：函数() = ; ;1的反函数图象的对称中心是(1,3)，所以原函数的对称中心为(3,1)，
9、 函数化为() = ; ;1 = 1 + ;1 ;1，所以 + 1 = 3，所以 = 2 故选：A 求出原函数的对称中心，化简函数的表达式，即可求出 a 的值 掌握基本函数的对称中心，反函数的对称性，是解答本题的关键，考查计算能力 第 6 页，共 15 页 4.【答案】C 【解析】解：由题意， = 2 4 = 0， = 2 4 2 2= 4 2= ( 2)2+ 4 4，等号当且仅当 = 22, = 2时成立， 正确； 2+ 1 = 2+ 4 2 22 4 2 = 4，等号当且仅当2= 4 2，即 = 2时成立， 正确； 由韦达定理，知12= = 2 4 2019， 2020且 + = 4042
10、， 1 4042 ( + ) = 1， 2021 :2019 + 2021 :2020 = 2021(1 + 1 ) = 2021( 1 + 1 ) 1 4042( + )， = 1 + 1 2( + ) 1 + 1 2 2 = 2， 当且仅当 = 且 + = 4042，即 = = 2021， = 2， = 1时成立 故答案为：2 令 + 2019 = ， + 2020 = ，则 2019， 2020且 + = 4042，然后利用乘 1法，结合基本不等 式可求 第 10 页，共 15 页 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，换元法的应用是求解问题的关键 15.【答案】2 【解析】解： = +
11、 ， ,-是 偶函数， 若 = + ， ,-有且仅有 3 个 零点， 则必有一个零点是 0，则 + 1 = 0，得 = 1， 由 = 1 + = 0得 = 1， ,-， ,-， 设 = ，则 ,-， 作出 = 与 = 1的图象如图： 则2 4，得2 () () ()， 所以()() ()()与()() = ()() = 1矛盾， 故()() = 1 因为() = 2;1在,-递增，故()() = 1， 即2;12;1= 1， + = 2， 由 0，故 = 2 0，得0 0) (2)由题意曲线2的渐近线为： = ，设直线： = ( )， 第 14 页，共 15 页 由 = ( ) 2 2 + 2
12、 2 = 1 ，得22 2 + (2 2) = 0， 所以= 42 8(2 2) 0，解得：2 2， 又由数形结合知 0)， 由 = + 6 2 20 + 2 16 = 1，得(5 + 4 2)2 + 48 + 64 = 0， 所以= (48)2 4 64 (5 + 42) 0 2 1， 设(3,3)，(4,4)，所以3+ 4= 48 5:42，34 = 64 5:42， 所以|3 4| = (3+ 4)2 434= 1652;1 5:42 ， 所以 1面积 = 1 2|12|3 4| = 1 2 8 1652;1 5:42 = 645 2;1 5:42， 令 = 2 1 0，所以2= 2+
13、1，所以 = 645 42:9 = 645 4:9 165 3 当且仅当 = 3 2，即 = 13 2 时取等号，所以 1面积的最大值为165 3 【解析】(1)利用椭圆的焦距与双曲线的焦距，列出 a，b的方程组然后求解 a、b，得到曲线的方程 (2)由题意曲线2的渐近线为： = ，设直线： = ( )，联立直线与椭圆方程，由数形结合知 0)，联立直线与椭圆方程， 设(3,3)，(4,4)，利用韦达定理，转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解即可 本题考查椭圆方程的求法，双曲线方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计 算能力，是中档题 21.【答案】解：(1)() =
14、| 是奇函数，且在, 2 , 2-上单调递增，取 2 1= 3 2，2 = 0， 则(3) = 0， 第 15 页，共 15 页 可取1= 2 ,2= 0,3= 2，使得(3) = 0； (2)证明：由于= ( 1 3) 那么1 + 2+ += (;1 3),1;(; 1 3) - 1;(;1 3) 0， 1+ 2+ +2 0， 易知()是一个奇函数，当 ,0, 2-时，() = ， () = + 0， ()在,0, 2-单调递 增， 又()是一个奇函数， ()在 , 2 , 2-上单调递增， (2;1) + (2) = (2;1) (2)，而2;1= ( 1 3) 2;1 = (1 3) 2
15、;1，2 = (1 3) 2， 2;1 2， (2;1) (2) 0，即(2;1) + (2) 0，(1)+ (2)+ +(2) 0对 恒成立； (3)证明：如1+ 2+ += 0，() = 0； 若1+ 2+ + 0，则1+ 0，则1 ， (1) () = ()， (1) + () 0， 同理可得2+ ;1 0，(2) (;1)， 累加可得(1)+ (2)+ +() 0， () 0； 若1+ 2+ + 0，则1+ 0，则1 ， (1) () = ()， (1) + () 0， 同理可得2+ ;1 0，(2) (;1)， 累加可得(1)+ (2)+ +() 0， () 0； 综上所述，() 0对 恒成立 【解析】(1)令 = 3，只需使得1+ 2+ 3= 0即可；(2)先证明1+ 2+ +2 0，再证明(1) + (2) + +(2) 0， 1+ 2+ + 0进 行讨论 本题考查了数列与函数结合的问题，思路的切入点比较难找，技巧性较高，计算量也是比较大的，属于难 题
