2021年中考数学微专题讲义专题9.11应用对称性解决实际问题

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1、应用对称性解决实际问题应用对称性解决实际问题 【专题综述】 轴对称图形和中心对称图形都是对称图形,应用其定义和性质求解诸如工厂决策、平分面积和周长、确定 函数及求值,是初中数学中常见的问题,下面略举几例,与大家共同探究求解此类问题的方法 定理 1 如果两个图形关于某一直线对称,则对称轴是对应点连线的垂直平分线 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 【方法解读】 一、工程决策 例 1 如图 1,A、B 是两个蓄水池,都在河流 a 的同旁,为了方便灌溉农作物,要在河边建一个抽水站, 将河水送到 A、 B 两地, 问该站建在河边的哪一点, 可使所修建的渠道最

2、短, 试在图中画出该点 (不写作法) 分析 根据定理 1 可知:只需作出点 A关于河流 a 的对称点 D,连结 BD 交 a 于 C,则 C 点即为所求符合 题意的点 二、平分周长和面积 例 2 如图 2 所示,一个矩形内有任意一圆,请你用一直线同时将圆与矩形的周长二等分,说明作图的道理 和方法 分析 根据定理 2 可知,经过对称中心的任意一条直线可将中心对称图形周长等分、面积等分设矩形对 角线交点为 O1, 则 O1为矩形的对称中心, 圆的圆心为 O, 则 O 为圆的对称中心, 故直线O1为所求直线 例 3 有一块方角形钢板,如图 3 所示请你用一条直线将其分为面积相等的两部分(不写作法,保

3、留作图 痕迹,在图中直接画出) 分析 延长 FE 可将这块方钢分成两个矩形 ABMF、MCDE设两矩形的对称中心分别为 O、O1,根据 定理 2 可知,经过中心 O 的任意一条直线可将矩形 MCDE 面积平分;经过中心 O1的任意一条直线可将矩 形 ABMF 面积平分,故过 O、O1的直线可将这块方钢面积平分 三、求解析式 例 4 如图 4 所示, 正方形 ABCD 的边长是 4, 将此正方形置于直角坐标系 xOy中, 使 AB 在 x 轴正半轴上, A 点坐标是(1,0) (1)经过点 C 的直线 y 4 3 x 8 3 与 x 轴交于点 E,求四边形 AECD 的面积; (2)若直线 l

4、经过点 E 且将正方形 ABCD 面积平分,求直线 l 的方程 分析 (1)略; (2)根据定理 2 可知,设矩形的对称中心为 O,平分矩形面积的直线 l 必经过矩形中心 O,所以直线 EO 为所 求作的直线 l又 O 点坐标为(3,2),E 点坐标为(2,0),故直线 l 的方程为 y2x4 四、求最值 例 5 代数式 2 2 4129xx的最小值是_ 分析 通过观察代数式,可构造如图 5 所示的几何图形,设线段 AB 上有一点 E,且 AB12,AEx,则 EB12xAC2,且垂直 AB 于 A;BD3,且垂直 BD 于 B则 CE 2 4x , DE 2 129x那么,问题变成 E 在

5、AB 上何处时,CEDE 最小? 根据定理 1 可知,设点 F 为点 C关于 AB 的对称点,并设 E 为 DF 与 AB 的交点;则 CEDEFEED DF为最小(两点之间线段最短)此时 DF2122(32)2169,所以 DF16913,即代数式的最小 值为 13 【强化训练】 1. (2017 黑龙江省龙东地区)如图,在矩形 ABCD 中,AD=4,DAC=30 ,点 P、E 分别在 AC、AD 上, 则 PE+PD 的最小值是( ) A2 B2 3 C4 D 8 3 3 【答案】B 【解析】 DD=4,DE=2 3,故选 B 考点:1轴对称最短路线问题;2矩形的性质;3最值问题 2.

6、(2017 山东省莱芜市)如图,菱形 ABCD 的边长为 6,ABC=120 ,M 是 BC 边的一个三等分点,P 是 对角线 AC 上的动点,当 PB+PM 的值最小时,PM 的长是( ) A 7 2 B 2 7 3 C 3 5 5 D 26 4 【答案】A 【解析】 试题分析:如图,连接 DP,BD,作 DHBC 于 H四边形 ABCD 是菱形,ACBD,B、D 关于 AC 对称, PB+PM=PD+PM, 当 D、 P、 M 共线时, PB+PM=DM 的值最小, CM= 1 3 BC=2, ABC=120 , 考点:1轴对称最短路线问题;2菱形的性质;3动点型;4最值问题;5和差倍分

7、3.(2017 天津)如图,在ABC 中,AB=AC,AD、CE 是ABC 的两条中线,P 是 AD 上一个动点,则下列 线段的长度等于 BP+EP 最小值的是( ) ABC BCE CAD DAC 【答案】B 【解析】 考点:1轴对称最短路线问题;2等腰三角形的性质;3最值问题 4(2017 广西贺州市)如图,在O 中,AB 是O 的直径,AB=10,ACCDDB,点 E 是点 D 关于 AB 的对称点, M 是 AB 上的一动点, 下列结论: BOE=60 ; CED= 1 2 DOB; DMCE; CM+DM 的最小值是 10,上述结论中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【答案

8、】C 【解析】 做 C 关于 AB 的对称点 F,连接 CF,交 AB 于 N,连接 DF 交 AB 于 M,此时 CM+DM 的值最短,等于 DF 长, 连接 CD, ACCDDB=AF, 并且弧的度数都是 60 , D= 1 2 120 =60 , CFD= 1 2 60 =30 , FCD=180 60 30 =90 , DF 是O 的直径, 即 DF=AB=10, CM+DM 的最小值是 10, 正确; 故选 C 考点:1圆周角定理;2轴对称最短路线问题;3最值问题 5. (2017 临沂)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 k y x (x0)的图象与边长是 6 的正方形 OABC

9、 的两边 AB,BC 分别相交于 M,N 两点,OMN 的面积为 10若动点 P 在 x 轴上,则 PM+PN 的最小值是 ( ) A6 2 B10 C2 26 D2 29 【答案】C 【解析】 考点:1反比例函数系数 k 的几何意义;2轴对称最短路线问题;3最值问题;4综合题 6(2017 山东省菏泽市)如图,矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为(4,5),D 是 OB 的中点,E 是 OC 上 的一点,当ADE 的周长最小时,点 E 的坐标是( ) A(0, 4 3 ) B(0, 5 3 ) C(0,2) D(0, 10 3 ) 【答案】B 【解析】 考点:1轴对称最短路线问题;2坐标与图

10、形性质;3矩形的性质;4最值问题 7.(2017 贵州省毕节市)如图,在 RtABC 中,ACB=90 ,AC=6,BC=8,AD 平分CAB 交 BC 于 D 点, E,F 分别是 AD,AC 上的动点,则 CE+EF 的最小值为( ) A 3 40 B 4 15 C 5 24 D6 【答案】C 【解析】 考点:1轴对称最短路线问题;2角平分线的性质;3最值问题 8. (2017 贵州省黔南州)如图,在正方形 ABCD 中,AB=9,点 E 在 CD 边上,且 DE=2CE,点 P 是对角线 AC 上的一个动点,则 PE+PD 的最小值是( ) A3 10 B10 3 C9 D9 2 【答案】A 【解析】 考点:1轴对称最短路线问题;2正方形的性质;3动点型;4最值问题 9. (2017 山东省东营市)如图,已知菱形 ABCD 的周长为 16,面积为8 3,E 为 AB 的中点,若 P 为对角 线 BD 上一动点,则 EP+AP 的最小值为 【答案】2 3 【解析】 10. (2016 四川省雅安市)如图,在矩形 ABCD 中,AD=6,AEBD,垂足为 E,ED=3BE,点 P、Q 分别 在 BD,AD 上,则 AP+PQ 的最小值为( ) A2 2 B2 C2 3 D3 3 【答案】D 【解析】 试题分析: 考点:1矩形的性质;2轴对称-最短路线问题;3最值问题

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