1、2021 年陕西省西安市新城区年陕西省西安市新城区二校联考二校联考中考数学联考试卷中考数学联考试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有一个选项是符合题意的）每小题只有一个选项是符合题意的） 1|2021|的相反数是（ ） A2021 B C2021 D 2下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ） A B C D 3下列各运算中，计算正确的是（ ） A3x+5x8x2 B （3m3）26m6 Ca8a4a2 D （2n+1） （12n）14n2 4如图，直线 ab，直线 c 与直线 a、b 分别交于点 M、N，PNc，170，
2、则2 的度数为（ ） A20 B25 C15 D10 5已知正比例函数 ykx（k0）的图象过点（2，k+6） ，则正比例函数图象（ ） A经过第一、四象限 B经过第二、三象限 C经过第一、三象限 D经过第二、四象限 6不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 7如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC10，BD4，EF 为过点 O 的一条直线，则图中 阴影部分的面积为（ ） A5 B6 C8 D12 8如图，AB 是O 的直径，弦 ACOB，D 是半圆 AB 的中点，连接 CD 交 AB 于点 E，则BEC 的大 小为（ ） A60 B65 C70 D75 9
3、如图，在 RtABC 中，ABC90，AB8，BC6，D 是 AC 的中点，AF 平分BAC 交 BD 于点 E， 则 BE 的长为（ ） A B3 C D 10已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点（2，0） 、 （x1，0） 且 1x12，与 y 轴的负半轴相 交则下列关于 a、b 的大小关系正确的是（ ） Aa0b Bab0 Cba0 Dba0 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11在实数，3.14159，中，无理数是 12正九边形的每一个内角是 度 13如图，在平面直角坐标系中，B（2，0） ，ABOB，反比
4、例函数 y （x0）的图象与 AB 交于点 C， 与 OA 交于点 E，且 AC3BC，SAOC3，则点 E 的坐标为 14如图，四边形 ABCD 中，B60，ABBC，将边 DA 绕点 D 逆时针旋转 60得到线段 DE，过点 E 做 EFBC，垂足为 F，若 EF2，BF3，则线段 CD 的长是 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15 （5 分）计算： 16 （5 分）计算： （1） 17 （5 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，D 是斜边 AC 上一点，在射线 BD 上用尺规作一点 E， 使BECA（不写作法，保留
5、作图痕迹） 18 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，连接 BD，E 是 BC 延长线上一点，连接 DE，且 BDDE， EADB，求证：ABCD 19 （7 分）健康的体魄是青少年为祖国和人民服务的其本前提，是中华民族旺盛生命力的体现某初中学 校为了增强学生体质健康，制定合理的校园阳光体育锻炼方案，随机抽查了部分学生最近两周参加晨跑 锻炼活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）本次抽样调查的参加晨跑锻炼活动的天数的众数为 ，中位数为 ； （3）如果该校约有 3500 名学生，请你估计全校有多少名学
6、生参加体育晨跑的天数不少于 7？ 20 （7 分）在陕西省洛南县有一右手执刀笔，左手持结绳的古人雕像，是为了纪念中华汉字造字始祖仓颉 而建 因不能直接测量， 小凯和同学小段想利用所学知识来测量雕像的高度 如图， 小凯站在雕像 （AB） 旁的水平地面上 D 处，小段在 BD 之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点 E 时，小凯刚好在平面境内看到雕像顶端 A，此时测得 DE0.9 米，小凯眼睛距地面的高度 CD1.8 米， 然后小段在距离小凯 4.1 米的点 G 处用测角仪测得雕像顶端 A 处的仰角为 40，测角仪 FG1.6 米已 知 G、 D、 E、 B 在同一水平线上，
7、AB、 CD、 FG 都垂直 GB， 请根据以上信息， 求出雕像的高 （AB 的长） （参 考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84） 21 （7 分）学校为继续做好疫情防控工作，守护师生健康，欲购买单价为 20 元的消毒液和单价为 80 元的 免洗洗手液共 100 瓶设购买消毒液 x 瓶，购买两种防疫用品的总费用为 y 元 （1）请求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若免洗洗手液瓶数不少于消毒液瓶数的 3 倍，则购买这两种防疫用品各多少瓶时，花费最少，此时 的花费是多少元？ 22 （7 分）为培养学生的动手操作能力，提高学生的化学实
8、验素养，备考 2021 年初中学业水平考试化学实 验操作，某校进行了化学实验模考，要求学生从下列 6 个实验中抽取并完成 A粗盐中难溶性杂质的去除 B二氧化碳的实验室制取、验满及检验 C镁、锌、铁、铜主要化学性质的探究 D配制 50g 质量分数为 6%的氯化钠溶液 E探究物质燃烧的条件 F碱的主要化学性质 （1）若某同学从中抽取一个实验，求某同学抽到实验 C 的概率； （2）若某同学从中抽取两个实验，请用列表或画树状图的方法，求抽到实验 A 和实验 F 的概率 23 （8 分） 如图， 在 RtABC 中， BC6， BD 是斜边 AC 上的高， 延长 BD 交 RtABC 外接圆O 于点 E
9、， 过 E 作O 的切线 EF 交 BC 的延长线于点 F，连接 AF 交 BE 于点 G，EFAB （1）求证：AEB60； （2）求 FG 的长 24 （10 分）已知抛物线 L1：yax2+bx（a0）经过 A（2，4） 、B（4，4）两点 （1）求抛物线 L1的函数表达式； （2）先将抛物线 L1沿 x 轴翻折，再向右平移 m（m0）个单位长度，得到抛物线 L2，L2与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线 L2上一点要使以 AB 为边，A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形，求所有满 足条件的抛物线 L2的函数表达式 25 （12 分） （1）问题提出：如图，在矩形 ABCD 中，
10、AB1，BC，P 是 AD 上一动点，则 BP+PD 的最小值为 （2）问题探究：如图，在正方形 ABCD 中，AB3，点是平面上一点，且 CE1，连接 BE，在 BE 上方作正方形 BEMN，求 BM 的最大值 （3）问题解决：为迎接 2021 年 9 月在西安举办的第 14 届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一 正方形区域 ABCD 进行设计改造，方便大家锻炼运动如图，在正方形内设计等腰直角CEF 为健身 运动区域，直角顶点 E 设计在草坪区域扇形 MBN 的弧 MN 上设计铺设 CF 和 DF 这两条不同造价鹅卵 石路，已知 AB40 米，BM10米，CEF90，CEEF，若铺设
11、CF 路段造价为每米 200 元， 铺设 DF 路段的造价为每米 100 元，请求出铺设 CF 和 DF 两条路段的总费用的最小值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有一个选项是符合题意的）每小题只有一个选项是符合题意的） 1|2021|的相反数是（ ） A2021 B C2021 D 【分析】根据相反数的概念解答即可 【解答】解：|2021|2021， 2021 的相反数是2021， 故选：C 2下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ） A B C D 【分析】根据正方体展开图的 11
12、种形式对各小题分析判断即可得解 【解答】解：A、B、D 均是正方体表面展开图； C、正方体有 6 个面，C 有 7 个小正方形，故不是正方体表面展开图 故选：C 3下列各运算中，计算正确的是（ ） A3x+5x8x2 B （3m3）26m6 Ca8a4a2 D （2n+1） （12n）14n2 【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及平方差公式逐一判断 即可 【解答】解：A、3x+5x8x，故本选项不合题意； B、 （3m3）29m6，故本选项不合题意； C、a8a4a4，故本选项不合题意； D、 （2n+1） （12n）14n2，故本选项符合题意； 故选：D
13、4如图，直线 ab，直线 c 与直线 a、b 分别交于点 M、N，PNc，170，则2 的度数为（ ） A20 B25 C15 D10 【分析】根据平行线的性质得出1370，根据 PNc 求出MNP90，即可求解 【解答】解：PNc， MNP90， ab，170， 1370， 2MNP320， 故选：A 5已知正比例函数 ykx（k0）的图象过点（2，k+6） ，则正比例函数图象（ ） A经过第一、四象限 B经过第二、三象限 C经过第一、三象限 D经过第二、四象限 【分析】由点（2，k+6）在正比例函数的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 k 值，再利 用正比例函数的性质可得出正比例
14、函数图象经过的象限 【解答】解：正比例函数 ykx（k0）的图象过点（2，k+6） ， k+62k， k6 又k60， 正比例函数 y6x 的图象经过第一、三象限 故选：C 6不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可 【解答】解：， 解不等式得：x1， 解不等式得：x2， 不等式组的解集是：1x2， 在数轴上表示为：， 故选：C 7如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC10，BD4，EF 为过点 O 的一条直线，则图中 阴影部分的面积为（ ） A5 B6 C8 D12 【分
15、析】由“ASA”可证AEOCFO，可得 SAEOSCFO，即可求解 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOCO，ADBC， DAOBCO， 在AEO 和CFO 中， ， AEOCFO（ASA） ， SAEOSCFO， 图中阴影部分的面积SBOCS菱形ABCD5， 故选：A 8如图，AB 是O 的直径，弦 ACOB，D 是半圆 AB 的中点，连接 CD 交 AB 于点 E，则BEC 的大 小为（ ） A60 B65 C70 D75 【分析】连接 AD，BD，过点 O 作 OHAC 于 H证明ABD 是等腰直角三角形，解直角三角形求出 EAC 可得结论 【解答】解：连接 AD，BD
16、，过点 O 作 OHAC 于 H ， ADBD， AB 是直径， ADB90， ABD45， ACDABD45， OHAC， AHHC， ACOB，AOOB， cosOAH， OAH30， CEBACE+EAC75， 故选：D 9如图，在 RtABC 中，ABC90，AB8，BC6，D 是 AC 的中点，AF 平分BAC 交 BD 于点 E， 则 BE 的长为（ ） A B3 C D 【分析】过点 F 作 FGAC 于 G，作 DHAF 交 BC 于 H，根据角平分线的性质求出 BFFG，证明 CGFCBA，由相似三角形的性质可得 BF，则 CF，根据三角形中位线定理可得 FHCF ，再证BE
17、FBDH，由相似三角形的性质即可求解 【解答】解：过点 F 作 FGAC 于 G，作 DHAF 交 BC 于 H， 在 RtABC 中，ABC90，AB8，BC6，D 是 AC 的中点， BDAC，AC10， BD5， AF 平分BAC，FGAC，ABC90， BFFG， CC，CGFCBA90， CGFCBA， ，即， BF， CFBCBF， D 是 AC 的中点，DHAF， DH 是AFC 的中位线， FHCF， BHBF+FH， DHAF， BEFBDH， ，即， BE 故选：C 10已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点（2，0） 、 （x1，0） 且 1x12，与
18、y 轴的负半轴相 交则下列关于 a、b 的大小关系正确的是（ ） Aa0b Bab0 Cba0 Dba0 【分析】 首先根据题意画出草图， 再根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定 a、 b 的大小和符号即可 【解答】解：根据题意画出草图， 可得抛物线开口向上，则 a0， 1x12， 12+x10 0， 对称轴在 y 轴左侧， a、b 同号， b0， ， 1， ba， ab0， 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11在实数，3.14159，中，无理数是 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的
19、概念，有理数是整 数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数 【解答】解：是分数，属于有理数； 2，是整数，属于有理数； 3.14159 是有限小数，属于有理数； 3，是整数，属于有理数； 是无理数 故答案为： 12正九边形的每一个内角是 140 度 【分析】先求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数 【解答】解：180 （92）9140 13如图，在平面直角坐标系中，B（2，0） ，ABOB，反比例函数 y （x0）的图象与 AB 交于点 C， 与 OA 交于点 E，且 AC3BC，SAOC3，则点 E 的坐标为 （1，2） 【分析】根据 B（2，0） ，A
20、BOB 得出点 C 坐标，再通过 SAOC3 求出 AC 长度，由 AC3BC 可得 点 A 坐标，解出 AO 所在直线解析式然后联立方程求解 【解答】解：B（2，0） ，ABOB， 点 A 横坐标为2，OB2， SAOCOBAC3， AC3， AC3BC， BCAC1， 点 C 坐标为（2，1） ，ABAC+BC4，点 A 坐标为（2，4） ， k212 y， 设直线 OA 解析式为 ymx， 将 A（2，4）代入 ymx 可得 m2， 即 y2x 联立方程， 解得 x1 或 x1（舍） ， 将 x1 代入 y2x 得 y2， 点 E 坐标为（1，2） 故答案为： （1，2） 14如图，四边
21、形 ABCD 中，B60，ABBC，将边 DA 绕点 D 逆时针旋转 60得到线段 DE，过点 E 做 EFBC，垂足为 F，若 EF2，BF3，则线段 CD 的长是 【分析】由勾股定理可求 BE 的长，由“SAS”可证ABEACD，可得 BECD 【解答】解：如图，连接 AC，AE，BE， EF2，BF3， BE， B60，ABBC， ABC 是等边三角形， ABAC，BAC60， 将边 DA 绕点 D 逆时针旋转 60得到线段 DE， ADAE，ADE60， ADE 是等边三角形， AEAD，DAE60， DAEBAC， BAEDAC， 在ABE 和ACD 中， ， ABEACD（SAS）
22、 ， BECD， 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15 （5 分）计算： 【分析】根据二次根式的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案 【解答】解：原式3（3）+ 33+ 16 （5 分）计算： （1） 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得 到结果 【解答】解：原式 17 （5 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，D 是斜边 AC 上一点，在射线 BD 上用尺规作一点 E， 使BECA（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】先作 AC 的垂直平分线得到 AC
23、的中点 O，再作ABC 为外接圆O，则O 与射线 AD 的交点 为 E，利用圆周角定理可确定 E 点满足条件 【解答】解：如图，点 E 为所作 18 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，连接 BD，E 是 BC 延长线上一点，连接 DE，且 BDDE， EADB，求证：ABCD 【分析】 由等腰三角形的性质和已知得DBEADB， 则 ADBC， 再证四边形 ABCD 是平行四边形， 即可得出结论 【解答】证明：BDDE， EDBE， EADB， DBEADB， ADBC， 又ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD 19 （7 分）健康的体魄是青少年为祖国和人民服务
24、的其本前提，是中华民族旺盛生命力的体现某初中学 校为了增强学生体质健康，制定合理的校园阳光体育锻炼方案，随机抽查了部分学生最近两周参加晨跑 锻炼活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）本次抽样调查的参加晨跑锻炼活动的天数的众数为 5 天 ，中位数为 6 天 ； （3）如果该校约有 3500 名学生，请你估计全校有多少名学生参加体育晨跑的天数不少于 7？ 【分析】 （1）根据锻炼 5 天的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出锻炼 8 天的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据条形统
25、计图中的数据，可以写出相应的众数和中位数； （3）根据条形统计图中的数据，可以计算出全校有多少名学生参加体育晨跑的天数不少于 7 【解答】解： （1）本次调查的人数为：24040%600， 锻炼 8 天的有：6002401201503060（人） ， 补全的条形统计图如右图所示； （2）由条形统计图可得， 众数是 5 天，中位数是 6 天， 故答案为：5 天，6 天； （3）35001400（名） ， 即估计全校有 1400 名学生参加体育晨跑的天数不少于 7 20 （7 分）在陕西省洛南县有一右手执刀笔，左手持结绳的古人雕像，是为了纪念中华汉字造字始祖仓颉 而建 因不能直接测量， 小凯和同学
26、小段想利用所学知识来测量雕像的高度 如图， 小凯站在雕像 （AB） 旁的水平地面上 D 处，小段在 BD 之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点 E 时，小凯刚好在平面境内看到雕像顶端 A，此时测得 DE0.9 米，小凯眼睛距地面的高度 CD1.8 米， 然后小段在距离小凯 4.1 米的点 G 处用测角仪测得雕像顶端 A 处的仰角为 40，测角仪 FG1.6 米已 知 G、 D、 E、 B 在同一水平线上， AB、 CD、 FG 都垂直 GB， 请根据以上信息， 求出雕像的高 （AB 的长） （参 考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84） 【分析
27、】如图，过 F 作 FHAB 于 H，得到四边形 BGFH 是矩形，求得 BHGF1.6 米，BGHF，设 ABx 米，根据相似三角形的性质得到 BE0.5x，由三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：如图，过 F 作 FHAB 于 H， ABBG，CDBG，FGBG， 四边形 BGFH 是矩形， BHGF1.6 米，BGHF， 设 ABx 米， 由题意得，CEDAEB，CDEABE， CDEABE， ， 即， 解得：BE0.5x， HFBGGD+DE+BE（5+0.5x） （m） ， AFH40，AH（x1.6）m， tanAFH0.84， 解得：x10， 雕像的高为 10m 21 （7 分
28、）学校为继续做好疫情防控工作，守护师生健康，欲购买单价为 20 元的消毒液和单价为 80 元的 免洗洗手液共 100 瓶设购买消毒液 x 瓶，购买两种防疫用品的总费用为 y 元 （1）请求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若免洗洗手液瓶数不少于消毒液瓶数的 3 倍，则购买这两种防疫用品各多少瓶时，花费最少，此时 的花费是多少元？ 【分析】 （1）购买消毒液 x 瓶，则购买免洗洗手液（100 x）瓶，根据题意可列 y20 x+80（100 x） ， 因为 100 x0，既 0 x100，化简即可得出答案； （2）先根据免洗洗手液瓶数不少于消毒液瓶数的 3 倍，所
29、以 100 x3x，根据一次函数的性质，k0， y 随 x 的增大而减小，即 x25 时，y 有最小值，代入即可得出答案 【解答】解： （1）y20 x+80（100 x）60 x+8000（0 x100） （2）免洗洗手液瓶数不少于消毒液瓶数的 3 倍， 100 x3x， x25 y60 x+8000， 600， y 随 x 的增大而减小， x25 时，y 最小，此时 y6025+80006500， 当购买消毒液 25 瓶，免洗洗手液 75 瓶时，花费最少，最少花费 6500 元 22 （7 分）为培养学生的动手操作能力，提高学生的化学实验素养，备考 2021 年初中学业水平考试化学实 验操
30、作，某校进行了化学实验模考，要求学生从下列 6 个实验中抽取并完成 A粗盐中难溶性杂质的去除 B二氧化碳的实验室制取、验满及检验 C镁、锌、铁、铜主要化学性质的探究 D配制 50g 质量分数为 6%的氯化钠溶液 E探究物质燃烧的条件 F碱的主要化学性质 （1）若某同学从中抽取一个实验，求某同学抽到实验 C 的概率； （2）若某同学从中抽取两个实验，请用列表或画树状图的方法，求抽到实验 A 和实验 F 的概率 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2） 画树状图， 共有 30 个等可能的结果， 抽到实验 A 和实验 F 的结果有 2 个， 再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）若某同学
31、从中抽取一个实验，则某同学抽到实验 C 的概率为； （2）画树状图如图： 共有 30 个等可能的结果，抽到实验 A 和实验 F 的结果有 2 个， 抽到实验 A 和实验 F 的概率为 23 （8 分） 如图， 在 RtABC 中， BC6， BD 是斜边 AC 上的高， 延长 BD 交 RtABC 外接圆O 于点 E， 过 E 作O 的切线 EF 交 BC 的延长线于点 F，连接 AF 交 BE 于点 G，EFAB （1）求证：AEB60； （2）求 FG 的长 【分析】 （1）连接 EO 并延长交 AB 于 H，根据切线的性质得到 OEEF，根据线段垂直平分线的性质得 到 AEBE，ABAE
32、，于是得到ABE 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到BAD30，ABBC6，AC12，求得 OEAC6，OH BC3，根据矩形的性质得到 BFEH+OH+OE3+69，EFBHAB，根据勾股定理得到 AF 3，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 EO 并延长交 AB 于 H， EF 是O 的切线， OEEF， EFAB， AHBH， EH 垂直平分 AB， AEBE， 同理，AD 垂直平分 BE， ABAE， ABE 是等边三角形， AEB60； （2）解：ABE 是等边三角形，ADBE， BAD30，ABBC6，AC1
33、2， OEAC6，OHBC3， OHAB，OEEF，ABBC， 四边形 EFBH 是矩形， BFEH+OH+OE3+69，EFBHAB， 在 RtABF 中，AF3， EFAB， ， FGAF 24 （10 分）已知抛物线 L1：yax2+bx（a0）经过 A（2，4） 、B（4，4）两点 （1）求抛物线 L1的函数表达式； （2）先将抛物线 L1沿 x 轴翻折，再向右平移 m（m0）个单位长度，得到抛物线 L2，L2与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线 L2上一点要使以 AB 为边，A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形，求所有满 足条件的抛物线 L2的函数表达式 【分析】 （1）将点
34、 A（2，4） 、B（4，4）分别代入解析式可求抛物线 L1的解析式，由轴对称和平移 的性质可求解； （2）由二次函数图象与几何变换规律写出抛物线 L2上解析式；然后由平行四边形的性质和点与坐标的 性质可求解 【解答】解： （1）将点 A（2，4） 、B（4，4）分别代入抛物线 L1：yax2+bx，得 解得 故抛物线 L1的函数表达式为：yx23x； （2）如图，将抛物线 L1沿 x 轴翻折后的表达式为：y（x+3）2，再向右平移 m 个单位长度后， 得抛物线 L2：y（x+3m）2， 以 AB 为边，A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形，A（2，4） 、B（4，4） ， ABx 轴
35、点 C 的坐标是（0，4） 将点 C 的坐标代入表达式得：4（0+3m）2， 解得 m2 或 4 故抛物线 L2的函数表达式为：y（x+1）2或 y（x1）2 25 （12 分） （1）问题提出：如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC，P 是 AD 上一动点，则 BP+PD 的最小值为 （2）问题探究：如图，在正方形 ABCD 中，AB3，点是平面上一点，且 CE1，连接 BE，在 BE 上方作正方形 BEMN，求 BM 的最大值 （3）问题解决：为迎接 2021 年 9 月在西安举办的第 14 届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一 正方形区域 ABCD 进行设计改造，方便大家锻炼运动
36、如图，在正方形内设计等腰直角CEF 为健身 运动区域，直角顶点 E 设计在草坪区域扇形 MBN 的弧 MN 上设计铺设 CF 和 DF 这两条不同造价鹅卵 石路，已知 AB40 米，BM10米，CEF90，CEEF，若铺设 CF 路段造价为每米 200 元， 铺设 DF 路段的造价为每米 100 元，请求出铺设 CF 和 DF 两条路段的总费用的最小值 【分析】 （1）以 PD 为斜边构造 30的直角三角形，则 PB+PDPB+PEBE，求 BE 的值即可； （2）根据题意确定 E 点的运动轨迹，进而得出 BM 最大时 E 点的位置，求出 BM 即可； （3）根据费用的关系可知求出线段 CF+
37、DF 的最小值即可 【解答】解： （1）以 PD 为斜边构造 30的直角三角形，且PDE30， 此时 DEPD， 则 PB+PDPB+PE， 则当 P、B、E 在同一直线上时 PB+PE 有最小值为 BE， 即 PB+PD 的最小值为如图所示 PE 的长度， AB1，BC， BD2，且DBC30， 又四边形 ABCD 为矩形， BDPDBC30， 又PDE30， EDBPDE+PDE60， BEBDsinEDB2sin60； （2）E 为动点且 CE 为 1， E 点的运动轨迹为以 C 为圆心半径为 1 的圆， 四边形 MEBA 为正边形， BMBE，即当 BE 最大时 BM 有最大值， 由图
38、知当 E 在 BC 延长线上 E的位置时，BE有最大值， 此时 BEBC+CE3+14， BMBE4， 故 BM 的最大值为 4； （3）由题知，CD+DF 的费用为 200CF+100DF200（CF+DF） ， 求费用的最小值即为求 CF+DF 的最小值， 连接 AC，AF，在 AD 上截取 AD10， 四边形 ABCD 是正方形， ABC 是等腰直角三角形， CEF 是等腰直角三角形， ACFBCE， ACFBCE， ， AFBE20， 可得点 F 在以 A 为圆心，AF 为半径的弧上， ，DAFDAF， DAFFAD， ，FDDF， CF+DFCF+FD， 当 C，F，D三点共线时 CF+DF 有最小值为 CD， 此时在 RtCDD中，CD50， 铺设 CF 和 DF 两条路段的总费用的最小值为 200（CF+DF）2005010000（元） ， 即铺设 CF 和 DF 两条路段的总费用的最小值为 10000 元
