1、第第 12 章章 证明（证明（2） 一、选择题一、选择题 1、下列命题中，是真命题的是（ ） A过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B平移的方向一定是水平的 C同旁内角互补 D对顶角相等 2、下列语句中，不是命题的是（ ） A过一点作已知直线的垂线 B两点确定一条直线 C钝角大于 90度 D平角都相等 3、 如图， 点 D、 E 分别是ABC 的边 AB、 AC 上的点， CD、 BE 交于点 F， 现给出下面两个命题： 当 CD、 BE 是ABC 的中线时，S三角形BFCS四边形ADFE；当 CD、BE 是ABC 的角平分线时，BFC90 + 2 1 A下列说法正确的是（ ） A是真命题
2、是假命题 B是假命题 是真命题 C是假命题 是假命题 D是真命题 是真命题 4、下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A如果 ab，那么 a2b2 B若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等 C两直线平行，同位角相等 D对顶角相等 5、如图，/m n，直线l分别交m，n于点A，点B，ACAB ，AC交直线n于点C，若135 ， 则2等于（） A35 B45 C55 D65 6、直角三角板和直尺如图放置，若1=20 ，则2的度数为（ ） A60 B50 C40 D30 7、 如图， 直线/ABCD， 点 E， F分别在直线 AB和直线 CD 上， 点 P 在两条平行线之间，AEP 和CFP 的角平分
3、线交于点 H，已知78P ，则H的度数为（ ） A102 B156 C142 D141 8、如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则A 与1+2 之间有一种数量 关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A1+22A B1+2A CA2（1+2） D1+2= 2 1 A 9、如图，/ /,ABCD ABK的平分线BE的反向延长线和DCK的平分线CF的反向延长线相交于 点 24HKH，则K（ ） A76 B78 C80 D82 10、如图，延长ABC的边AC到点E，过点E作 /DEBC，BG平分ABC，EF平分AED交BG 的反向延长线于点
4、F，已知34AF ，则A的大小为（ ） A75 B74 C72 D70 二、填空题二、填空题 11、命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果，那么”的形式为： 如果 ，那么 12、命题“两直线平行，内错角相等”的题设是_. 13、命题：“如果ab，那么 22 ab ”的逆命题是_（填“真命题”或“假命题”） 14、对于下列命题：若 ab，则 a2b2；在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角； 无论 x取什么值，代数式 x22x2 的值都不小于 1；在同一平面内，有两两相交的 3条直线，这些 相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于 61 其中，真命题的是_ （填所有真命题的序
5、号） 15、如图，ab，168 ，242 ，则3_ 16、如图，点E在AC的延长线上，给出的五个条件：34 ；12 ；ADCE ； DDCE； 0 180DABD能判断/ABCD的有_ 17、如图，/ABCD直线 l交ABCD，于点 E，F，把一块含45的三角板按如图所示位置摆放，测得 1110 ，则GFE_ 18、如图，ABC， ABC、ACB 的三等分线交于点 E、D，若BFC=132，BGC=118， 则A 的度数为（ ） A、65 B、66 C、70 D、78 19、如图，将一张长方形纸片与一张直角三角形纸片(EFG90)按如图所示的位置摆放，使直角三角形纸 片的一个顶点 E 恰好落在
6、长方形纸片的一边 AB 上，已知BEF21，则CMF_ 20、如图，A+B+C+D+E+F 的度数为_ 三、解答题三、解答题 21、如图，有以下四个条件：ACDE，DCEF，CD 平分BCA，EF 平分BED （1）若 CD 平分BCA，ACDE，DCEF，求证：EF 平分BED （2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给 予证明 22、完成下列证明过程：如图，12，AC 平分DAB求证：DCAB 证明：因为 AC 平分DAB(已知)， 所以13(_ ) 又因为12(_)， 所以23(_)， 所以 DCAB(_) 23、如图，直线 a，b，c被
7、直线 m，n 所截，已知条件BAC=BDC；AFE=FED；m/n （1）从中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题? （2）写出一个真命题，并证明 24、如图，已知 ABCD，现将一直角三角形 PMN 放入图中，其中P90 ，PM交 AB 于点 E，PN交 CD 于点 F （1）当 PMN所放位置如图所示时，则PFD与AEM 的数量关系为_； （2）当 PMN所放位置如图所示时，求证：PFDAEM90 ； （3）在（2）的条件下，若 MN与 CD交于点 O，且DON30 ，PEB15 ，求N的度数 25、在数学课本中，有这样一道题： 如图 1，ABCD，试用不同的方法证
8、明B+CBEC （1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整 已知：如图 1，B+CBEC, 求证：ABCD 证明：如图 2，过点 E，作 EFAB B B+CBEC，BEF+FECBEC（已知） B+CBEF+FEC（等量代换） （等式性质） EF EFAB ABCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行） （2）如图 3，已知 ABCD，在BCD 的平分线上取两个点 M、N，使得BMNBNM， 求证：CBMABN （3）如图 4，已知 ABCD，点 E 在 BC 的左侧，ABE，DCE 的平分线相交于点 F请直接写出 E 与F 之间的等量关系 26、 （1）如图，在锐
9、角ABC 中，BD 和 BE 三等分ABC，CD 和 CE 三等分ACB，请分别写出 A 和D，A 和E 的数量关系，并选择其中一个说明理由； （2）如图，在锐角ABC 中，BD 和 BE 三等分ABC，CD 和 CE 三等分外角ACM，请分别写 出A 和D，A 和E 的数量关系，并选择其中一个说明理由； （3）如图，在锐角ABC 中，BD 和 BE 三等分外角PBC，CD 和 CE 三等分外角QCB，请分 别直接写出A 和D，A 和E 的数量关系 第第 12 章章 证明（证明（2） （解析） （解析） 一、选择题一、选择题 1、下列命题中，是真命题的是（ ） A过一点有且只有一条直线与已知直
10、线平行 B平移的方向一定是水平的 C同旁内角互补 D对顶角相等 【答案】D 【分析】根据学习知识成立的条件和举反例法去判断 【详解】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，A 项是假命题； 平移的方向可以是铅直的，也可以是倾斜的，B 项是假命题； 两直线平行，同旁内角互补，C项是假命题； 对顶角相等,D项是真命题； 故选 D 2、下列语句中，不是命题的是（ ） A过一点作已知直线的垂线 B两点确定一条直线 C钝角大于 90度 D平角都相等 【答案】A 【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句叫命题，进行选择 【详解】解：A、没判断一件事情，只是叙述一件事情，故不是命题； B、两点确定一条
11、直线，判断一件事情，故是命题； C、钝角大于 90 ，判断一件事情，故是命题； D、平角都相等，判断一件事情，故是命题； 故选：A 3、 如图， 点 D、 E 分别是ABC 的边 AB、 AC 上的点， CD、 BE 交于点 F， 现给出下面两个命题： 当 CD、 BE 是ABC 的中线时，S三角形BFCS四边形ADFE；当 CD、BE 是ABC 的角平分线时，BFC90 + 2 1 A下列说法正确的是（ ） A是真命题 是假命题 B是假命题 是真命题 C是假命题 是假命题 D是真命题 是真命题 【分析】由 CD、BE 是ABC 的中线，得出 F 是ABC 的重心，根据三角形重心的性质以及三角
12、形的 面积公式可判定是真命题；根据角平分线定义以及三角形内角和定理可判定是真命题 【解答】解：CD、BE 是ABC 的中线， F 是ABC 的重心，S三角形BFC= 3 1 S三角形ABC， S三角形EFC= 3 1 S三角形BEC= 6 1 S三角形ABC， S三角形BDF= 3 1 S三角形BDC= 6 1 S三角形ABC， S四边形ADFES三角形ABCS三角形BFCS三角形EFCS三角形BDF S三角形ABC- 3 1 S三角形ABC- 6 1 S三角形ABC- 6 1 S三角形ABC = 3 1 S三角形ABC， S三角形BFCS四边形ADFE，故命题正确； CD、BE 是ABC 的
13、角平分线，BCF= 2 1 BCA，FBC= 2 1 ABC， BFC180（BCF+FBC）180- 2 1 （BCA+ABC） 180- 2 1 （180A）90+ 2 1 A，故命题正确 故选：D 4、下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A如果 ab，那么 a2b2 B若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等 C两直线平行，同位角相等 D对顶角相等 【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、等式的性质和平行线的判定进行判 断 【解答】解：A、如果 ab，那么 a2b2的逆命题是如果 a2b2，那么 ab，也可能是 ab，逆命 题是假命题； B、若两个数相等，则这两个数的绝
14、对值也相等的逆命题是若这两个数的绝对值相等，则两个数相等， 也可能是相反，逆命题是假命题； C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题； D、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不一定是对顶角，逆命题是假命题； 故选：C 5、如图，/m n，直线l分别交m，n于点A，点B，ACAB ，AC交直线n于点C，若135 ， 则2等于（） A35 B45 C55 D65 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，可得3与1 的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是 90 ，根据角的和 差，可得答案 【详解】解：如图，ACAB，3+1=90 ，3=90 -1=90 -35 =
15、55 ， 直线 mn，3=2=55 ， 故选：C 6、直角三角板和直尺如图放置，若1=20 ，则2的度数为（ ） A60 B50 C40 D30 【答案】C 【分析】过 E作 EFAB CD,由平行线的质可得1=3,2=4, 3+4=1+2,根据三角 形内角和可得: 3+4=60 ,从而可得: 1+2=60 ,由1=20 ,可得: 2=40 . 【详解】如图,过 E作 EFAB, 则 ABEFCD,1=3,2=4, 3+4=60 ,1+2=60 , 1=20 ,2=40 , 故选 C 7、 如图， 直线/ABCD， 点 E， F分别在直线 AB和直线 CD 上， 点 P 在两条平行线之间，AE
16、P 和CFP 的角平分线交于点 H，已知78P ，则H的度数为（ ） A102 B156 C142 D141 【答案】D 【分析】过点 P作 PQAB，过点 H作 HGAB，根据平行线的性质得到EPF=BEP+DFP=78 ，结 合角平分线的定义得到AEH+CFH，同理可得EHF=AEH+CFH 【详解】解：过点 P作 PQAB，过点 H作 HGAB， /ABCD，则 PQCD，HGCD，BEP=QPE，DFP=QPF， EPF=QPE+QPF=78 ，BEP+DFP=78 ，AEP+CFP=360 -78 =282 ， EH平分AEP，HF 平分CFP，AEH+CFH=282 2=141 ，
17、 同理可得：EHF=AEH+CFH=141 ， 故选 D 8、如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则A 与1+2 之间有一种数量 关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A1+22A B1+2A CA2（1+2） D1+2= 2 1 A 【分析】根据折叠得出ADEADE，AEDAED，求出 2ADE1801，2AED 1802，推出ADE90- 2 1 1，AED90- 2 1 2，在ADE 中，A180（AED+ ADE） ，代入求出即可 【解答】解：如图，延长 BD 和 CE 交于 A， 把ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四
18、边形 BCDE 内部， ADEADE，AEDAED， 2ADE1801，2AED1802， ADE90- 2 1 1，AED90- 2 1 2， 在ADE 中，A180（AED+ADE） ， A= 2 1 1+ 2 1 2， 即 2A1+2 故选：A 9、如图，/ /,ABCD ABK的平分线BE的反向延长线和DCK的平分线CF的反向延长线相交于 点 24HKH，则K（ ） A76 B78 C80 D82 【答案】A 【分析】分别过K、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用ABK和 DCK分别表示出H和K，从而可找到H和K的关系，结合条件可求得K 【详解】解：如图，分
19、别过K、H作AB的平行线MN和RS， /ABCD，/ / / /ABCDRSMN， 1 2 RHBABEABK ， 1 2 SHCDCFDCK ，180NKBABKMKCDCK ， 1 180180() 2 BHCRHBSHCABKDCK ， 180BKCNKBMKC180ABKDCK ， 36021801802BKCBHCBHC ， 又24BKCBHC，24BHCBKC ， 1802(24 )BKCBKC，76BKC， 故选：A 10、如图，延长ABC的边AC到点E，过点E作 /DEBC，BG平分ABC，EF平分AED交BG 的反向延长线于点F，已知34AF ，则A的大小为（ ） A75 B
20、74 C72 D70 【答案】C 【分析】过点 F作 FMBC，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得 1 1= 2 GBCABC， 11 2= 3= 22 AEDACB， 然后结合三角形内角和定理可得 1 1+ 2=180 2 A， 然后根据题意 列方程求解 【详解】解：过点 F作 FMBC /DEBC，/ / /FMDEBC 又BG平分 ABC，EF平分AED 1 1= 2 GBCABC， 11 2= 3= 22 AEDACB 111 1+ 2=+180 222 ABCACBA 由题意可得：34412AGFE 3 12= 4 A ， 31 180 42 AA，解得：72A 故选：C
21、二、填空题二、填空题 11、命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果，那么”的形式为： 如果 ，那么 【分析】把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面 【解答】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果，那么”的形式为：如果两 条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行， 故答案为：两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行 12、命题“两直线平行，内错角相等”的题设是_. 【答案】两直线平行 【分析】根据命题的结构填空即可 【详解】题设是条件，结论是结果，故：“两直线平行，内错角相等”的题设是：两直线平行. 故答案为：两直线平行. 13、命题：“
22、如果ab，那么 22 ab ”的逆命题是_（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【分析】直接利用逆命题的写法就是将原命题的结论与题设交换进而得出答案 【详解】解：命题：“如果 a=b，那么 a2=b2”的逆命题是如果 a2=b2，那么 a=b，是假命题； 故答案为：假命题 14、对于下列命题：若 ab，则 a2b2；在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角； 无论 x取什么值，代数式 x22x2 的值都不小于 1；在同一平面内，有两两相交的 3条直线，这些 相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于 61 其中，真命题的是_ （填所有真命题的序号） 【答案】 【分析】根据不等式的
23、性质、三角形内角和定理、完全平方公式、以及平角的定义解答即可 【详解】解：当 a=-1，b=-2 时，满足 ab，但 a2b2；原命题是假命题； 在锐角三角形中，若任意两个内角和小于第三个内角，则这三个角的和小于 180 ，是真命题； 无论 x取什么值，代数式 x2-2x+2=(x-1)2+11，所以其值都不小于 1，是真命题； 如图 1，当三条直线如图 1相交时，若每个角都不小于 61 ， 则1+2+3180 ，这与平角定义相矛盾， 至少有一个角小于 61 ； 当三条直线如图 2相交时，若每个角都不小于 61 ，则1+2+3180 ，这与三角形内角和定理相矛盾， 至少有一个角小于 61 ；
24、综上可知， 在同一平面内， 有两两相交的 3 条直线， 这些相交直线构成的所有角中， 至少有一个角小于 61 ， 是真命题 故答案为： 15、如图，ab，168 ，242 ，则3_ 【答案】110 【分析】如图，利用平行线的性质，求得4=5=1，计算2+5，再次利用平行线的性质，得到 3=2+5 【详解】如图，ab，4=1=68 ，5=4=68 ， 2=42 ，5+2=68 +42 =110 ， ab，3=2+5，3=110 ， 故答案为：110 16、如图，点E在AC的延长线上，给出的五个条件：34 ；12 ；ADCE ； DDCE； 0 180DABD能判断/ABCD的有_ 【答案】 【提
25、示】根据平行线的判定定理，逐一判断各个小题，即可 【详解】3=4，BDAC，不符合题意； 1=2，ABCD，符合题意； A=DCE，ABCD，符合题意； D=DCE，BDAC，不符合题意； D+ABD=180，ABCD，符合题意； 故答案为： 17、如图，/ABCD直线 l交ABCD，于点 E，F，把一块含45的三角板按如图所示位置摆放，测得 1110 ，则GFE_ 【答案】25 【分析】 根据平行线的性质和对顶角相等求出CFE， 再根据三角板的特点得到CFG， 即可得到GFE 【详解】解：ABCD，AEF+CFE=180 ，又1=AEF=110 ，CFE=180 -110 =70 ， 在含
26、45 的三角板中，CFG=45 ，GFE=70 -45 =25 ， 故答案为：25 18、如图，ABC， ABC、ACB 的三等分线交于点 E、D，若BFC=132，BGC=118， 则A 的度数为（ ） A、65 B、66 C、70 D、78 【答案】C 【分析】由三角形内角和及角平分线的定义可得到关于DBC 和DCB 的方程组，可求得DBC+DCB， 则可求得ABC+ACB，再利用三角形内角和可求得A 【考点】三角形内角和定理 【解析】 【解答】解：ABC、ACB 的三等分线交于点 E、D， FBC=2DBC，GCB=2DCB， BFC=132，BGC=118， FBC+DCB=180-B
27、FC=180-132=48，DBC+GCB=180-BGC=180-118=62， 则 2DBC+DCB48 DBC+2DCB62 由+可得：3（DBC+DCB）=110， ABC+ACB=3（DBC+DCB）=110， A=180-（ABC+ACB）=180-110=70， 故选 C 19、如图，将一张长方形纸片与一张直角三角形纸片(EFG90)按如图所示的位置摆放，使直角三角形纸 片的一个顶点 E 恰好落在长方形纸片的一边 AB 上，已知BEF21，则CMF_ 【答案】69 【分析】延长 MF 交 AB 于 H，求出BHF 或EBF，再根据平行线的性质求得CMF. 【考点】平行线的性质，三
28、角形的外角性质 【解答】解：延长 MF 交 AB 于 H，则EFG=90 BEF=21BHF=90+21=111 CDABCMF=180-BHF=180-111=69 故答案为：69 20、如图，A+B+C+D+E+F 的度数为_ 解：如图连接 BE 1=C+D，1=CBE+DEB， C+D=CBE+DEB， A+ABC+C+D+DEF+F=A+ABC+CBE+DEB+DEF+F=A+ABE+BEF+F 又A+ABE+BEF+F=360， A+ABC+C+D+DEF+F=360 故答案为：360 三、解答题三、解答题 21、如图，有以下四个条件：ACDE，DCEF，CD 平分BCA，EF 平分
29、BED （1）若 CD 平分BCA，ACDE，DCEF，求证：EF 平分BED （2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给 予证明 【分析】 （1）根据角平分线的定义得到BCDACD，根据平行线的性质定理证明结论； （2）根据题意写出一个真命题，仿照（1）的证明过程证明结论 【解答】 （1）证明：CD 平分BCA，BCDACD， DCEF，BCDBEF，DEFCDE， ACDE，ACDCDE，BEFDEF，即 EF 平分BED （2）解：如果 EF 平分BED，ACDE，DCEF，那么 CD 平分BCA 证明：EF 平分BED，BEFDEF，
30、DCEF，BCDBEF，DEFCDE， ACDE，ACDCDE， BCDACD，即 CD 平分BCA 22、完成下列证明过程：如图，12，AC 平分DAB求证：DCAB 证明：因为 AC 平分DAB(已知)， 所以13(_ ) 又因为12(_)， 所以23(_)， 所以 DCAB(_) 【答案】角平分线的定义 已知 等量代换 内错角相等，两直线平行 【分析】先根据角平分线的定义得l=3，再利用等量代换得2=3，然后根据内错角相等，两直线平 行得到 ABCD 【详解】证明：因为 AC平分DAB(已知)， 所以13(角平分线的定义) 又因为12(已知)， 所以23(等量代换)， 所以 DCAB(内
31、错角相等，两直线平行) 23、如图，直线 a，b，c被直线 m，n 所截，已知条件BAC=BDC；AFE=FED；m/n （1）从中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题? （2）写出一个真命题，并证明 【答案】 （1）3 个； （2）见解析 【分析】 （1）直接利用命题的定义进而得出答案； （2）结合平行线的判定与性质分别分析得出答案 【详解】 （1）从中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出 3个命题， 分别为 ； ； （2）以上 3个命题都是真命题 (i)AFE=FED，bc，CAB+ABD=180 ， BAC=BDC，ABD+BDC=180 ，mn；
32、(ii)AFE=FED，bc，CAB+ABD=180 ， mn，ABD+BDC=180 ，BAC=BDC； (iii)mn，ABD+BDC=180 ， BAC=BDC，CAB+ABD=180 ，bc，AFE=FED 24、如图，已知 ABCD，现将一直角三角形 PMN 放入图中，其中P90 ，PM交 AB 于点 E，PN交 CD 于点 F （1）当 PMN所放位置如图所示时，则PFD与AEM 的数量关系为_； （2）当 PMN所放位置如图所示时，求证：PFDAEM90 ； （3）在（2）的条件下，若 MN与 CD交于点 O，且DON30 ，PEB15 ，求N的度数 【答案】 （1）PFDAEM
33、=90 ； （2）见解析； （3）45 【分析】 （1）过点 P 作 PHAB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得 PHABCD，根据平行 线的性质可得AEM=MPH，PFD=NPH，然后根据MPHNPH=90 和等量代换即可得出结论； （2）过点 P 作 PGAB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得 PGABCD，根据平行线的性 质可得AEM=MPG，PFD=NPG，然后根据NPGMPG=90 和等量代换即可证出结论； （3）设 AB 与 PN交于点 H，根据三角形的内角和定理即可求出PHE，然后根据平行线的性质可得 PFO=PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论 【详解】
34、解： （1）过点 P作 PHAB ABCD，PHABCD，AEM=MPH，PFD=NPH MPN=90 MPHNPH=90 PFDAEM=90 故答案为：PFDAEM=90 ； （2）过点 P 作 PGAB ABCD，PGABCD，AEM=MPG，PFD=NPG MPN=90 NPGMPG=90 , PFDAEM=90 ； （3）设 AB 与 PN交于点 H P=90 ，PEB15 PHE=180 PPEB75 ABCD，PFO=PHE=75 N=PFODON=45 25、在数学课本中，有这样一道题： 如图 1，ABCD，试用不同的方法证明B+CBEC （1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮
35、他把逆命题的证明过程补充完整 已知：如图 1，B+CBEC, 求证：ABCD 证明：如图 2，过点 E，作 EFAB B B+CBEC，BEF+FECBEC（已知） B+CBEF+FEC（等量代换） （等式性质） EF EFAB ABCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行） （2）如图 3，已知 ABCD，在BCD 的平分线上取两个点 M、N，使得BMNBNM， 求证：CBMABN （3）如图 4，已知 ABCD，点 E 在 BC 的左侧，ABE，DCE 的平分线相交于点 F请直接写出 E 与F 之间的等量关系 【分析】 （1）过 E 作 EFAB，则BBEF，证出DDEF，得出 EFCD，
36、即可得出结论； （2）过点 N 作 NGAB，交 BM 于点 G，则 NGABCD，由平行线的性质得出ABNBNG， GNCNCD，由三角形的外角性质得出BMNBCM+CBM，证出BCM+CBM BNG+GNC，得出BCM+CBMABN+NCD，由角平分线得出BCMNCD，即 可得出结论； （3）如图 4，分别过 E，F 作 EGAB，FHAB，则 EGCD，FHCD， 根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论 【解答】 （1）证明：如图 2，过点 E，作 EFAB，BBEF， B+CBEC，BEF+FECBEC（已知） ，B+CBEF+FEC（等量代换） ， CCEF（等式性质） ，EF
37、CD， EFAB，ABCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ； 故答案为：BEF，C，CEF，CD； （2）证明：过点 N 作 NGAB，交 BM 于点 G，如图 3 所示：则 NGABCD， ABNBNG，GNCNCD， BMN 是BCM 的一个外角，BMNBCM+CBM， 又BMNBNM，BNMBNG+GNC， BCM+CBMBNG+GNC，BCM+CBMABN+NCD， CN 平分BCD，BCMNCD，CBMABN； （3）解：BEC2BFC， 理由：如图 4，分别过 E，F 作 EGAB，FHAB，则 EGCD，FHCD， BEGABE，CEGDCE，BECBEG+CEGABE+
38、DCE， 同理可得BFCABF+DCF， ABE，DCE 的平分线相交于点 F，ABE2ABF，DCE2DCF， BEC2（ABF+DCF）2BFC 26、 （1）如图，在锐角ABC 中，BD 和 BE 三等分ABC，CD 和 CE 三等分ACB，请分别写出 A 和D，A 和E 的数量关系，并选择其中一个说明理由； （2）如图，在锐角ABC 中，BD 和 BE 三等分ABC，CD 和 CE 三等分外角ACM，请分别写 出A 和D，A 和E 的数量关系，并选择其中一个说明理由； （3）如图，在锐角ABC 中，BD 和 BE 三等分外角PBC，CD 和 CE 三等分外角QCB，请分 别直接写出A
39、和D，A 和E 的数量关系 【分析】 （1）利用三角形的内角和定理求出ABC+ACB，再利用三等分角求出EBC+ECB，然后 列式计算即可求解； （2）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可； （3）根据三角形内角和、外角和定理，及平角定义，列式计算即可 【解答】解： （1）D60+ 3 2 A，E120+ 3 1 A 理由如下：ABC+ACB180A， BE 三等分，CE 三等分ACB， EBC= 3 1 ABC，ECB= 3 1 ACB， EBC+ECB= 3 1 （ABC+ACB）= 3 1 （180A）60- 3 1 A， BEC180（EBC+ECB）180（60-
40、 3 1 A）120+ 3 1 A 答：A 和D，A 和E 的数量关系为：D60+ 3 2 A，E120+ 3 1 A （2）A 和D，A 和E 的数量关系为：D= 3 2 A，E= 3 1 A 理由如下： BE 三等分ABC，CE 三等分外角ACM，EBC= 3 1 ABC，ECM= 3 1 ACM， EECMEBC= 3 1 （ACMABC）= 3 1 A 答：A 和D，A 和E 的数量关系为：D= 3 2 A，E= 3 1 A （3）D60- 3 2 A，E120- 3 1 A 理由如下： BE 三等分外角PBC，CE 三等分外角QCB，CBE= 3 1 CBP，BCE= 3 1 BCQ E180- 3 1 （CBP+BCQ）180- 3 1 （360ABCACB） 180120+ 3 1 （180A）120 3 1 A 答：A 和D，A 和E 的数量关系为：D60- 3 2 A，E120- 3 1 A
