2021年中考数学分类专题突破专题12 等边三角形的判定与性质(解析版)

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1、专题专题 12 12 等边三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质 一选择题 1关于等边三角形,下列说法中错误的是( ) A等边三角形中,各边都相等 B等腰三角形是特殊的等边三角形 C两个角都等于 60 的三角形是等边三角形 D有一个角为 60 的等腰三角形是等边三角形 解:A、等边三角形中,各边都相等,此选项正确; B、等边三角形是特殊的等腰三角形,此选项错误; C、两个角都等于 60 的三角形是等边三角形,此选项正确; D、有一个角为 60 的等腰三角形是等边三角形,此选项正确; 故选:B 2如图,四边形 ABCD 为菱形,AB2,DAB60 ,点 E、F 分别在边 DC、BC 上,且 C

2、ECD,CF CB,则 S CEF( ) A B C D 解:四边形 ABCD 为菱形,AB2,DAB60 ABBCCD2,DCB60 CECD,CF CB CECF CEF 为等边三角形 S CEF 故选:D 3如图,半径为 1 的半圆 O 上有两个动点 A,B,CD 为直径,若 AB1,则四边形 ABCD 的面积的最大值 为( ) A B4 C D 解:过点 O 作 OHAB 于点 H,连接 OA,OB,分别过点 A、H、B 作 AECD、HFCD,BGCD 于点 E、F、G, AB1,O 的半径1, OH , 垂线段最短, HFOH, HF(AE+BG), S四边形ABCDS AOC+S

3、 AOB+S BOD , , , 故选:C 4如图, ABC 是等边三角形,P 是三角形内任意一点,D、E、F 分别是 AC、AB、BC 边上的三点,且 PFAB,PDBC,PEAC若 PF+PD+PEa,则 ABC 的边长为( ) Aa Ba Ca Da 解:延长 EP 交 BC 于点 G,延长 FP 交 AC 于点 H,如图所示: PFAB,PDBC,PEAC, 四边形 AEPH、四边形 PDCG 均为平行四边形, PEAH,PGCD 又ABC 为等边三角形, FGP 和 HPD 也是等边三角形, PFPGCD,PDDH, PE+PD+PFAH+DH+CDAC, ACa; 故选:D 5如图

4、, MNP 中,P60 ,MNNP,MQPN,垂足为 Q,延长 MN 至 G,取 NGNQ,若 MNP 的周长为 12,MQa,则 MGQ 周长是( ) A8+2a B8+a C6+a D6+2a 解:MNP 中,P60 ,MNNP MNP 是等边三角形 又MQPN,垂足为 Q, PMPNMN4,NQNG2,MQa,QMN30 ,PNM60 , NGNQ, GQMN, QGMQa, MNP 的周长为 12, MN4,NG2, MGQ 周长是 6+2a 故选:D 6如图,四边形 ABCD 中,AC,BD 是对角线, ABC 是等边三角形ADC30 ,AD3,BD5,则 CD 的长为( ) A B

5、4 C D4.5 解:如图,以 CD 为边作等边 CDE,连接 AE BCDBCA+ACDDCE+ACDACE, 在 BCD 和 ACE 中, , BCDACE(SAS), BDAE 又ADC30 , ADE90 在 Rt ADE 中,AE5,AD3, 于是 DE, CDDE4 故选:B 7如图,在 ABC 中,ACB90 ,D 是 AB 上的点,过点 D 作 DEAB 交 BC 于点 F,交 AC 的延长线 于点 E,连接 CD,DCADAC,则下列结论正确的有( ) DCBB;CDAB;ADC 是等边三角形;若E30 ,则 DEEF+CF A B C D 解:在 ABC 中,ACB90 ,

6、DEAB, ADEACB90 , A+B90 ,ACD+DCB90 , DCADAC, ADCD,DCBB;故正确; CDBD, ADCD, CDAB;故正确; DCADAC, ADCD, 但不能判定 ADC 是等边三角形;故错误; 若E30 , A60 , ACD 是等边三角形, ADC60 , ADEACB90 , EDCBCDB30 , CFDF, DEEF+DFEF+CF故正确 故选:B 8如图,ABAC,AEECCD,A60 ,若 EF2,则 DF( ) A3 B4 C5 D6 解:如图,过点 E 作 EGBC,交 BC 于点 G ABAC,A60 , ABC 是等边三角形, ACB

7、60 , ECCD, CEDCDEACB30 , AEF30 , AFE90 ,即 EFAB, ABC 是等边三角形,AECE, BE 平分ABC, EGEF2, 在 Rt DEG 中,DE2EG4, DFEF+DE2+46; 方法二、 ABAC,A60 , ABC 是等边三角形, ACB60 , ECCD, CEDCDEACB30 , ABC 是等边三角形,AECE, BE 平分ABC, ABECBE30 CDE, BEDE,BFD90 , BE2EF4DE, DFDE+EF6; 故选:D 9如图,在边长为 2 的等边三角形 ABC 中,D 为边 BC 上一点,且 BDCD点 E,F 分别在

8、边 AB,AC 上,且EDF90 ,M 为边 EF 的中点,连接 CM 交 DF 于点 N若 DFAB,则 CM 的长为( ) A B C D 解:等边三角形边长为 2,BDCD, BD,CD , 等边三角形 ABC 中,DFAB, FDCB60 , EDF90 , BDE30 , DEBE, BEBD,DE , 如图,连接 DM,则 Rt DEF 中,DMEFFM, FDCFCD60 , CDF 是等边三角形, CDCF , CM 垂直平分 DF, DCN30 ,DNFN, Rt CDN 中,DN,CN, M 为 EF 的中点, MNDE , CMCN+MN+ , 故选:C 10 如图, 在

9、平面直角坐标系中 xOy 中, 已知点 A 的坐标是 (0, 1) , 以 OA 为边在右侧作等边三角形 OAA1, 过点 A1作 x 轴的垂线, 垂足为点 O1, 以 O1A1为边在右侧作等边三角形 O1A1A2, 再过点 A2作 x 轴的垂线, 垂足为点 O2,以 O2A2为边在右侧作等边三角形 O2A2A3,按此规律继续作下去,得到等边三角形 O2018A2018A2019,则点 A2019的纵坐标为( ) A()2016 B()2017 C()2018 D()2019 解:三角形 OAA1是等边三角形, OA1OA1,AOA160 , O1OA130 在直角 O1OA1中,OO1A19

10、0 ,O1OA130 , O1A1OA1,即点 A1的纵坐标为; 同理,O2A2O1A2( )2,O3A3O2A3()3, 即点 A2的纵坐标为( )2, 点 A3的纵坐标为( )3, 点 A2019的纵坐标为()2019 故选:D 二填空题 11已知半径为 2 的O 中,弦 AC2,弦 AD,则AOD ,COD 解:如图,在 AOD 中,OA2+OD222+228,AD2(2)28, OA2+OD2AD2, AOD90 ; 连接 OC,OAOCAC2, AOC 是等边三角形, AOC60 CODAOC+AOD60 +90 150 或CODAODAOC90 60 30 故答案为:90 ;150

11、 或 30 12如图,某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸 A,B 两点,“九曲桥”的每一段与 AC 平行或 BD 平行,若 AB100m,AB60 ,则此“九曲桥”的总长度为 解:如图,延长 AC、BD 交于点 E,延长 HK 交 AE 于 F,延长 NJ 交 FH 于 M 由题意可知,四边形 EDHF,四边形 MNCF,四边形 MKGJ 是平行四边形, AB60 , ABC 是等边三角形, EDFM+MK+KHCN+JG+HK,ECEF+FCJN+KG+DH, “九曲桥”的总长度是 AE+EB2AB200m 故答案为:200m 13如图,在一个池塘两旁有一条笔直小路(B,C 为小路端点)和一

12、棵小树(A 为小树位置)测得的相 关数据为:ABC60 ,ACB60 ,BC48 米,则 AC 米 解:ABC60 ,ACB60 , BAC60 , ABC 是等边三角形, BC48 米, AC48 米 故答案为:48 14 如图, 在 ABC 中, AB1.8, BC3.9, B60 , 将 ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 ADE, 当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时,则 CD 的长为 解:由旋转的性质可得:ADAB, B60 , ABD 是等边三角形, BDAB, AB1.8,BC3.9, CDBCBD3.91.82.1 故答案为:2.1 15如图,在矩形 ABCD

13、 中,AB3,ACB60 ,点 F 是对角线 AC 上的一个动点,连接 DF,以 DF 为 斜边作FDE60 的直角三角形 DEF, 使点 E 和点 A 位于 DF 两侧, 点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中, 点 E 的运动路径长是 解:E 的运动路径是线段 EE的长; AB3,ACB60 , BC , 当 F 与 A 点重合时, 在 Rt ADE中,AD,ADE60 , DEAD,CDE30 , 当 F 与 C 重合时,EDC60 , EDE90 ,DEE30 , 在 Rt DEE中,EE; 故答案为 三解答题 16如图, ABC 是等边三角形,DFAB,DECB,EFAC,求证:

14、DEF 是等边三角形 证明:ABC 是等边三角形, ABACBC,ABCACBCAB60 , DFAB,DECB,EFAC, DABACFCBE90 , FACBCEDBA30 , DEF180 90 30 60 , DFDEEF, DEF 是等边三角形 17在等边 ABC 中, (1)如图 1,P,Q 是 BC 边上两点,APAQ,BAP20 ,求AQB 的度数; (2)点 P,Q 是 BC 边上的两个动点(不与 B,C 重合),点 P 在点 Q 的左侧,且 APAQ,点 Q 关于 直线 AC 的对称点为 M,连接 AM,PM 依题意将图 2 补全; 求证:PAPM 解:(1)ABC 为等边

15、三角形 B60 APCBAP+B80 APAQ AQBAPC80 , (2)补全图形如图所示, 证明:过点 A 作 AHBC 于点 H,如图 由 ABC 为等边三角形,APAQ, 可得PABQAC, 点 Q,M 关于直线 AC 对称, QACMAC,AQAM MAC+PACPAB+PAC60 , APAM, APM 为等边三角形 PAPM 18如图 1,图 2, ABC 是等边三角形,D、E 分别是 AB、BC 边上的两个动点(与点 A、B、C 不重合), 始终保持 BDCE (1)当点 D、E 运动到如图 1 所示的位置时,求证:CDAE (2)把图 1 中的 ACE 绕着 A 点顺时针旋转

16、 60 到 ABF 的位置(如图 2),分别连接 DF、EF 找出图中所有的等边三角形( ABC 除外),并对其中一个给予证明; 试判断四边形 CDFE 的形状,并说明理由 证明:(1)ABC 是正三角形, BCCA,BECA60 , 又BDCE, BCDCAE, CDAE (2)图中有 2 个正三角形,分别是 BDF, AFE 由题设,有 ACEABF, CEBF,ECAABF60 , 又BDCE, BDCEBF, BDF 是正三角形, AFAE,FAE60 , AFE 是正三角形 四边形 CDFE 是平行四边形 FDBABC60 , FDEC, 又FDFBEC, 四边形 CDFE 是平行四

17、边形 19 如图, 点 O 是等边 ABC 内一点, D 是 ABC 外的一点, AOB110 , BOC, BOCADC, OCD60 ,连接 OD (1)求证: OCD 是等边三角形; (2)当 150 时,试判断 AOD 的形状,并说明理由; (3)探究:当 为多少度时, AOD 是等腰三角形 解:(1)BOCADC, OCDC, OCD60 , OCD 是等边三角形 (2) AOD 是直角三角形 理由如下: OCD 是等边三角形, ODC60 , BOCADC,150 , ADCBOC150 , ADOADCODC150 60 90 , AOD 是直角三角形 (3)OCD 是等边三角形

18、, CODODC60 AOB110 ,ADCBOC, AOD360 AOBBOCCOD360 110 60 190 , ADOADCODC60 , OAD180 AODADO180 (190 )(60 )50 当AODADO 时,190 60 , 125 当AODOAD 时,190 50 , 140 当ADOOAD 时, 60 50 , 110 综上所述:当 110 或 125 或 140 时, AOD 是等腰三角形 20已知在平面直角坐标系内 A(4,0)、B(2,0),点 P 是 y 轴正半轴上一个动点,联结 AP过点 O 作 ODPA,垂足为 D联结 BD 并延长交 y 轴于点 F (1

19、)如果 OD2,求 PF 的长; (2)如果 PDPF,求 OP 的长 解:(1)ODPA, ADO90 , OD2,OA4, ODOA, OAP30 , AOD60 , OB2, ODOB, ODB 是等边三角形, OBF60 , OFOB2 , OPOA , PFOFOP; (2)PFPD, PFDPDF, OB2,OA4, OBAB, ODAP, BDAB, ADBBAD, PDEADB, PFDPDFADBBAD, POD+AODAOD+OAD90 , PODOAD, PODOFD, ODDF, ODBD2, ODOA, OAD30 , OPOA 21如图所示,已知一个面积为 S 的等

20、边三角形,现将其各边 n 等分(n 为大于 2 的整数),并以相邻等分 点为顶点向外作小等边三角形 (1)当 n5 时,共向外作出了 个小等边三角形,每个小等边三角形的面积为 ,这些小 等边三角形的面积和为 ;(用含 S 的式子表示) (2)当 nk 时,共向外作出了 个小等边三角形,每个小等边三角形的面积为 ,这些小 等边三角形的面积和为 ;(用含 k 和 S 的式子表示) (3)若大等边三角形的面积为 100,则当 n10 时,共向外作出了多少个小等边三角形?这些小等边三 角形的面积和为多少? 解:(1)当 n5 时,共有 3 (52)9 个小等边三角形, 每个小三角形与大三角形边长的比, 大三角形的面积是 S, 每个小三角形的面积为S,这些小等边三角形的面积和为S; (2)由(1)可知,当 nk 时,共有 3 (k2)3(k2),每个小等边三角形的面积为S,每个 小三角形的面积和为S 故答案为:(1)9,S,S;(2)3(k2),S,S; (3)当 S100,n10 时, 3(n2)3 (102)24(个), S 10024 即共向外作出了 24 个小等边三角形,这些小等边三角形的面积和为 24

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