2021年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷(四)含答案详解

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1、2021 年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷(四)年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷(四) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的分下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.) 1 (3 分)|5|的倒数是( ) A B C5 D5 2 (3 分)2021 年的河南春晚火了,在网上搜索关键词“唐宫夜宴“出现相关词条约 560 万个用科学记 数法将数据“560 万”表示为( ) A560104 B5.6106 C5.6107 D0.56108 3 (3 分)如图所示,是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形的俯视图,

2、方框内数字为对应位置上的小 正方体的个数,它的左视图是( ) A B C D 4 (3 分)下列各运算中,计算正确的是( ) Am6m3m2 B (2m2)36m6 C (m+n)2m2+n2 D (m)3m32m3 5 (3 分)在一个暗盒内有 3 张除颜色不同其他完全相同的卡片,其中红色卡片有 2 张,蓝色卡片有 1 张, 现在随机抽取一张,放回后摇匀再抽取 1 张,则两次抽到都是红色卡片的概率为( ) A B C D 6 (3 分)某单位招聘大堂经理,考核项目为个人形象、交际能力、专业知识三个项目,且权重之比为 2: 3:5,应聘者高颖三个方面的得分依次为 80,90,80,则她的最终得

3、分为( ) A79 B83 C85 D87 7 (3 分)若关于 x 的一元二次方程(x+1)2ax0 有两个不相等的实数根,则 a 的值可以是( ) A3 B2 C1 D1 8(3 分) 已知二次函数 yx2+ (2m1) x3, 当 x1 时, y 随 x 的增大而减小, 而 m 的取值范围是 ( ) Am Bm Cm Dm 9 (3 分)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,ABBC4,以点 B 为圆心,以适当长度为半径作弧,分 别交 BA、BC 于点 M、N,再分别以 M、N 为圆心,以大于MN 的长为半径作弧,两弧交于点 P,作射 线 BP 交 AD 于点 E交 CD 的延长线于点

4、F,则 DF 的长度为( ) A B2 C D3 10 (3 分)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 4cm点 P 是 BC 的中点,动点 M 从点 D 向点 A 运动,速度 为 2cm/s到点 A 时停止运动;同时,动点 N 从点 P 出发沿 PCD 运动,点 N 的速度为 3cm/s设点 M 的运动时间为 x 秒,DMN 的面积为 y,能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是( ) A B C D 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11 (3 分)计算() 1 12 (3 分)不等式组的解集为 13 (3 分)一副三角板如图所示所置,已知斜边互相平

5、行,则1 的度数为 14(3 分) 在线段 BG 上取点 C, 分别以 BC、 CG 为边在 BC 的同一侧构造正方形 ABCD 和正方形 ECGF 点 P、Q 分别是 BC、EF 的中点连接 PQ,若 BG8,则线段 PQ 的最小值为 15 (3 分)如图所示,ABC 中,BAC105,ACB45,将ABC 绕点 C 顺时针旋转 45得对 应DEC,若 BC2,则线段 AB 扫过的阴影面积为 三、简答题(本大题共三、简答题(本大题共 8 个小题,满分个小题,满分 75 分)分) 16 (8 分)先化简,再求值: (1+),其中 a 为1,0,1,2,3 中的一个合适的数字 17 (9 分)如

6、图所示,BC 为O 的直径点 A 为 BC 上方圆周上一动点,过点 O 作 OFAB,分别交 AC、 圆周于 D、G 两点,作射线 CG 交 AF 于点 E已知FACO (1)求证:AF 为O 的切线; (2)填空:连接 AO、AG,当ACO 时,四边形 AOCG 是菱形; 若已知 AC2AB4,则 OF 18 (9 分)复学之后,某校要求各班必须配备额温枪并全员测温打卡登记,如图所示为依据九(2)班学生 5 月 6 日温测数据绘制的不完整统计图表,已知当日温测 1 次的同学人数占全班人数的 12%请结合以 上信息解答下列问题: (1)九(2)班学生人数为 ; (2)温测 3 次的人数为 m,

7、温测 4 次的人数为 n,且 m2n+1,请补全统计图; (3)若绘制扇形统计图,温测 4 次的同学人数所对应扇形的圆心角的度数为 (4)已知该校共有 2200 名学生请你估计该校当日温测不少于 3 次的人数 19 (9 分)某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示,在配重点 E 处测得塔帽 A 的仰角为 30,在点 E 的正下 方 23 米处的点 D 处测得塔帽 A 的仰角为 53, 请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离 AC 的高度(计 算结果精确到 0.1 米,参考数据:1.732,sin530.80,cos530.60,tan53) 20 (9 分)如图所示,直线 y3 交函数 y的图象于 A

8、、B 两点,已知点 C 坐标为(0,1) ,直线 AC 交 x 轴于点 D,连接 BD (1)将直线 AC 向上平移 m 个单位,恰与函数 y图象的左半支有唯一交点,求 m 的值; (2)在线段 AD 上取点 P,使ABPADB,求点 P 的坐标 21 (10 分)某山地车行八月份购进甲,乙两种品牌的山地车共 45 辆,花费 39000 元已知甲、乙两种车 型的进价分别为 800 元和 950 元,且甲、乙两品牌的单利润分别为 100 元和 150 元 (1)求该车行八月份购进甲、乙两种品牌的山地车各多少辆? (2)由于行情良好,该车行计划九月份再购进甲、乙品牌山地车 60 辆,在货款为 50

9、000 元的情况下, 如何进货才能使得八月份销售利润最大? 22 (10 分)问题发现 (1)如图 1,在 RtABC 中,BAC90,ABAC4,点 D 在 BC 边上,且 BD3CD,将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 90得到线段 AE,连接 DE,BE,则 BE+BD 的值为 类比探究 (2)如图 2,在(1)的条件下,点 P 为 AB 边上的中点,BD3CD,将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90 得到线段 PE,连接 BE,则 BE+BD 的值会发生改变吗?请说明你的理由 拓展延伸 (3)如图 3,在钝角ABC 中,ABAC,BAC,点 P 在边 BA 的延长线上,BPk,连接

10、PD,将 线段 PD 绕点 P 顺时针旋转,旋转角EPD,连接 DE,则 BE+BD (请用含有 k, 的式子表示) 23 (11 分)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于 A(2,0) 、B(1,0)两 点,与 y 轴交于点 C (1)试求抛物线的解析式; (2)作直线 AC,点 E 为线段 AC 上一动点,过点 E 作 DEAC,交抛物线于点 D,交 y 轴于点 F,请 问在点 E 的移动过程中 DE 是否存在最大值,如果有,求出此时点 D 的坐标,如果没有,请说明理由; (3)在(2)的条件下,点 N 是 x 轴上的一个动点,点 M 是坐标平面内的一点,

11、是否存在这样的点 N, 使得以 D、F、M、N 四点组成的四边形是矩形?如果存在,请求出点 N 的坐标;如果不存在,请说明理 由 2021 年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷(四)年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷(四) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的分下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.) 1 (3 分)|5|的倒数是( ) A B C5 D5 【解答】解:|5|5,5 的倒数是, |5|的倒数是 故选:A 2 (3 分)2021 年的河南春晚火了,在网上搜索关键

12、词“唐宫夜宴“出现相关词条约 560 万个用科学记 数法将数据“560 万”表示为( ) A560104 B5.6106 C5.6107 D0.56108 【解答】解:560 万56000005.6106, 故选:B 3 (3 分)如图所示,是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形的俯视图,方框内数字为对应位置上的小 正方体的个数,它的左视图是( ) A B C D 【解答】解:该几何体的左视图为: 故选:A 4 (3 分)下列各运算中,计算正确的是( ) Am6m3m2 B (2m2)36m6 C (m+n)2m2+n2 D (m)3m32m3 【解答】解:A、原式m6 3m3,故此选项计

13、算错误; B、原式8m6,故此选项计算错误; C、原式m2+2mn+n2,故此选项计算错误; D、原式2m3,故此选项计算正确; 故选:D 5 (3 分)在一个暗盒内有 3 张除颜色不同其他完全相同的卡片,其中红色卡片有 2 张,蓝色卡片有 1 张, 现在随机抽取一张,放回后摇匀再抽取 1 张,则两次抽到都是红色卡片的概率为( ) A B C D 【解答】解:根据题意画图如下: 共有 9 种等可能的情况数,其中两次抽到都是红色卡片的有 4 种, 则两次抽到都是红色卡片的概率为 故选:C 6 (3 分)某单位招聘大堂经理,考核项目为个人形象、交际能力、专业知识三个项目,且权重之比为 2: 3:5

14、,应聘者高颖三个方面的得分依次为 80,90,80,则她的最终得分为( ) A79 B83 C85 D87 【解答】解:她的最终得分为83(分) , 故选:B 7 (3 分)若关于 x 的一元二次方程(x+1)2ax0 有两个不相等的实数根,则 a 的值可以是( ) A3 B2 C1 D1 【解答】解:方程整理得,x2+(2a)x+10 根据题意得(2a)240, 解得 a4 或 a0 故选:D 8(3 分) 已知二次函数 yx2+ (2m1) x3, 当 x1 时, y 随 x 的增大而减小, 而 m 的取值范围是 ( ) Am Bm Cm Dm 【解答】解:yx2+(2m1)x3, 对称轴

15、为 x, a10, 抛物线开口向下, 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小, 当 x1 时,y 随 x 的增大而减小, 1,解得 m, 故选:D 9 (3 分)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,ABBC4,以点 B 为圆心,以适当长度为半径作弧,分 别交 BA、BC 于点 M、N,再分别以 M、N 为圆心,以大于MN 的长为半径作弧,两弧交于点 P,作射 线 BP 交 AD 于点 E交 CD 的延长线于点 F,则 DF 的长度为( ) A B2 C D3 【解答】解:由作图可知,BF 平分ABC, ABECBF, 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD4,BCAD,BC6,ABCF,

16、 FABE, FCBF, CFCB6, DFCFCD642, 故选:B 10 (3 分)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 4cm点 P 是 BC 的中点,动点 M 从点 D 向点 A 运动,速度 为 2cm/s到点 A 时停止运动;同时,动点 N 从点 P 出发沿 PCD 运动,点 N 的速度为 3cm/s设点 M 的运动时间为 x 秒,DMN 的面积为 y,能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是( ) A B C D 【解答】解:当点 N 在 CP 上时, P 为 BC 的中点,BC4cm, CP2cm, PN3xCP, 0 x, 又MD2x, y4x(0 x) ; 当点 N 在 C

17、D 上时, 3x2, 解得 x, DNDC(3x2)63x,MD2x, 3x2+6x(x) , 当 x2 时,M 到达点 A,停止运动 综上所述,能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是选项 C 故选:C 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11 (3 分)计算() 1 5 【解答】解:原式2+35 故答案为:5 12 (3 分)不等式组的解集为 x3 【解答】解:解不等式 2x3,得:x3, 解不等式 1+xx+2,得:x, 则不等式组的解集为x3, 故答案为:x3 13 (3 分)一副三角板如图所示所置,已知斜边互相平行,则1 的度数为 75 【解答】

18、解:两三角板的斜边互相平行, EFCACD45 ACB30, GCDACDACB453015, 又GDC90, DGC180901575, 175 故答案为:75 14(3 分) 在线段 BG 上取点 C, 分别以 BC、 CG 为边在 BC 的同一侧构造正方形 ABCD 和正方形 ECGF 点 P、Q 分别是 BC、EF 的中点连接 PQ,若 BG8,则线段 PQ 的最小值为 4 【解答】解:过点 Q 作 QHBG,交 BG 于点 H, 设 BCx,则 CG8x, 四边形 ABCD 和 ECGF 是正方形,P、Q 分别是 BC、EF 的中点,且 BG8, H 为 CG 中点, PH4,QHC

19、G8x, 在 RtPHQ 中, PQ2PH2+QH242+(8x)2(x8)2+1616, 当 x8 时,PQ2有最小值, 及 PQmin4, 当点 C 和点 G 重合时,PQ 最小,最小值为 4 故答案为:4 15 (3 分)如图所示,ABC 中,BAC105,ACB45,将ABC 绕点 C 顺时针旋转 45得对 应DEC,若 BC2,则线段 AB 扫过的阴影面积为 【解答】解:作 AMBC 于 M, BAC105,ACB45, CAM45, BAM60, MCAM,BMAM, (1+)AMBC2, AM1, AC, 扇形 BCE 的面积是,SCDESABC2(1)1,S扇形CAD 故 S阴

20、影部分S扇形BCE+SCADSABCS扇形CADS扇形BCES扇形CAD 故答案为 三、简答题(本大题共三、简答题(本大题共 8 个小题,满分个小题,满分 75 分)分) 16 (8 分)先化简,再求值: (1+),其中 a 为1,0,1,2,3 中的一个合适的数字 【解答】解: (1+) , a10,a(a3)0, (a3) (a+1)0, a1,a3,a0, a2, 当 a2 时,原式2 17 (9 分)如图所示,BC 为O 的直径点 A 为 BC 上方圆周上一动点,过点 O 作 OFAB,分别交 AC、 圆周于 D、G 两点,作射线 CG 交 AF 于点 E已知FACO (1)求证:AF

21、 为O 的切线; (2)填空:连接 AO、AG,当ACO 30 时,四边形 AOCG 是菱形; 若已知 AC2AB4,则 OF 5 【解答】 (1)证明:连接 OA BC 是直径, BAC90, OFAB, ODCBAC90, OCOA, ACOCAO, CAO+AOD90,FACO, F+AOD90, OAF90, AFOA, AF 是O 的切线 (2)解:连接 AG当ACO30时,四边形 AOCG 是菱形 理由:OAOC, OCAOAC30, AOC120, ODAC, AOGCOG60, OAOGOC, AOG,COG 都是等边三角形, OAGCGOC, 四边形 AOCG 是菱形 解:在

22、 RtABC 中,AC2AB4, AB2,BC2, OAOBOC, FACB,OAFBAC90, ABCAOF, , , OF5 故答案为:5 18 (9 分)复学之后,某校要求各班必须配备额温枪并全员测温打卡登记,如图所示为依据九(2)班学生 5 月 6 日温测数据绘制的不完整统计图表,已知当日温测 1 次的同学人数占全班人数的 12%请结合以 上信息解答下列问题: (1)九(2)班学生人数为 50 人 ; (2)温测 3 次的人数为 m,温测 4 次的人数为 n,且 m2n+1,请补全统计图; (3)若绘制扇形统计图,温测 4 次的同学人数所对应扇形的圆心角的度数为 50.4 (4)已知该

23、校共有 2200 名学生请你估计该校当日温测不少于 3 次的人数 【解答】解: (1)由统计图可知,温测 1 次的同学有 6 人,占占全班人数的 12%, 则九(2)班学生人数为:612%50(人) , 故答案为:50 人; (2)由题意得,6+10+12+m+n60,即 6+10+12+2n+1+n50, 解得,n7,则 m15, 补全统计图如图所示; (3)温测 4 次的同学人数所对应扇形的圆心角的度数为:36050.4, 故答案为:50.4; (4)估计该校当日温测不少于 3 次的人数为:22001496(人) 19 (9 分)某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示,在配重点 E 处测得塔帽

24、A 的仰角为 30,在点 E 的正下 方 23 米处的点 D 处测得塔帽 A 的仰角为 53, 请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离 AC 的高度(计 算结果精确到 0.1 米,参考数据:1.732,sin530.80,cos530.60,tan53) 【解答】解:连接 DE,如图所示: 由题意得:DECD,BEAC,DCAC,DE23 米, ABECBECCDE90, 四边形 BCDE 是矩形, BECD,BCDE23 米, AEB30, BEAB, 在 RtACD 中,tanADCtan53, ACCD, 设 ABx 米,则 CDBEx 米,ACx 米, BCACAB23, xx23, 解

25、得:x17.6, ACAB+BC17.6+2340.6(米) , 答:塔帽与地面的距离 AC 的高度约为 40.6 米 20 (9 分)如图所示,直线 y3 交函数 y的图象于 A、B 两点,已知点 C 坐标为(0,1) ,直线 AC 交 x 轴于点 D,连接 BD (1)将直线 AC 向上平移 m 个单位,恰与函数 y图象的左半支有唯一交点,求 m 的值; (2)在线段 AD 上取点 P,使ABPADB,求点 P 的坐标 【解答】解(1)y, 与 y3 交点 A(2,3)B(2,3) , C(0,1) , AC 为 yx+1, 向上平移 m 单位后:yx+1+m, 即,在 x0 只有 1 解

26、, 即 x2+(1+m)x+60 在 x0 只有 1 解,且 x0 代入得, 02+(1+m)0+60,即情况不存在, , m21; (2)D:yx+1,y0 时 x1, D(1,0) ,在坐标轴中如图所示, 若ABPADB, 则BAPDAB, 即PBADBA, 只有PBABDA, 即ABPADB, PBABDA,BPADBA , APBA, P (xAAP,yAAP) , 即 P(2,3) ,P(,) 21 (10 分)某山地车行八月份购进甲,乙两种品牌的山地车共 45 辆,花费 39000 元已知甲、乙两种车 型的进价分别为 800 元和 950 元,且甲、乙两品牌的单利润分别为 100

27、元和 150 元 (1)求该车行八月份购进甲、乙两种品牌的山地车各多少辆? (2)由于行情良好,该车行计划九月份再购进甲、乙品牌山地车 60 辆,在货款为 50000 元的情况下, 如何进货才能使得八月份销售利润最大? 【解答】解: (1)设该车行八月份购进甲种品牌的山地车 x 辆,购进乙种品牌的山地车 y 辆, 根据题意得:, 解得:, 答:该车行八月份购进甲种品牌的山地车 25 辆,购进乙种品牌的山地车 20 辆; (2)设该车行计划九月份再购进甲种品牌的山地车 a 辆,则购进乙种品牌的山地车(60a)辆, 800a+950(60a)50000, 解得:a,且 a 是整数, 设九月份销售利

28、润为 W 元, W100a+150(60a)50a+9000, 500, W 随 a 的增大而减小, 当 a47 时,W 最大,W5047+90006650(元) , 604713(辆) 答: 该车行计划九月份再购进甲种品牌的山地车 47 辆, 则购进乙种品牌的山地车 13 辆, 销售利润最大 22 (10 分)问题发现 (1)如图 1,在 RtABC 中,BAC90,ABAC4,点 D 在 BC 边上,且 BD3CD,将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 90得到线段 AE,连接 DE,BE,则 BE+BD 的值为 4 类比探究 (2)如图 2,在(1)的条件下,点 P 为 AB 边上的中点,

29、BD3CD,将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90 得到线段 PE,连接 BE,则 BE+BD 的值会发生改变吗?请说明你的理由 拓展延伸 (3)如图 3,在钝角ABC 中,ABAC,BAC,点 P 在边 BA 的延长线上,BPk,连接 PD,将 线段 PD 绕点 P 顺时针旋转,旋转角EPD,连接 DE,则 BE+BD 2ksin (请用含有 k, 的式子表示) 【解答】解: (1)如图 1 中, EADBAC90, BAECAD, ADAE,ABAC, BAECAD(SAS) , BEDC, BE+BDBD+DCBC, ABAC4,BAC90, BC4, BE+BD4, 故答案为:4 (

30、2)BE+BD 的值不会发生改变,理由如下: 作 DMAC 交 AB 于 M,过点 P 作 PNBC 交 MD 于 N, ABAC,BAC90, ABCC45, MDAC, BMDBAC90, BMD 是等腰直角三角形, DMBM, PNBC, MPNABC45, PMN 是等腰直角三角形, PMNM, BMPMDMNM, PBDN, 由(1) ,知 BC4,BD3CD, BD3, BMBDcos453, P 为 AB 边上的中点, APBPAB2, MNPMBMBP321, PN, BPE+DPM90,PDM+DPM90, BPEPDM, PDPE, PBEDNP(SAS) , BEPN,

31、BE+BD; (3)如图 3 中,作 PHAC 交 BC 的延长线于 H,作 PMBC 于 M ACPH, ACBH,BPHBAC, ABAC, ABCACB, PBHH, PBPH, EPDBPH, BPEHPD, PEPD,PBPH, EPBDPH(SAS) , BEDH, BE+BDBD+DHBH, PBPH,PMBH, BMMH,BPMHPM, BMMHBDsin BD+BEBH2ksin 故答案为:2ksin 23 (11 分)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于 A(2,0) 、B(1,0)两 点,与 y 轴交于点 C (1)试求抛物线的解析式;

32、(2)作直线 AC,点 E 为线段 AC 上一动点,过点 E 作 DEAC,交抛物线于点 D,交 y 轴于点 F,请 问在点 E 的移动过程中 DE 是否存在最大值,如果有,求出此时点 D 的坐标,如果没有,请说明理由; (3)在(2)的条件下,点 N 是 x 轴上的一个动点,点 M 是坐标平面内的一点,是否存在这样的点 N, 使得以 D、F、M、N 四点组成的四边形是矩形?如果存在,请求出点 N 的坐标;如果不存在,请说明理 由 【解答】解: (1)把点 A(2,0) 、B(1,0)分别代入 yax2+bx2,得 , 解得, 所以抛物线的解析式为:yx2+x2; (2)存在, 过点 D 作

33、x 轴的垂线,交直线 AC 于点 P,如图 1, 将 x0 代人 yx2+x2 中,得 y2, C(0,2) 设直线 AC 的解析式为 ymx+n, 将点 A(2,0) ,C(0,2)代人 ymx+n 中, 得, 解得, 直线 AC 的解析式为 yx2 OAOC2,AOC90, ACO45 PDCF,DEAC, DPEACO45,PED90, PED 为等腰直角三角形 DEPEPD 设点 D 的坐标为(k,k2+k2) ,则点 P 的坐标为(k,k2) , PDk2(k2+k2)k22k(k+1)2+1 10, 当 k1 时,PD 有最大值,此时 DE 的值也最大, 点 D 的坐标为(1,2)

34、 ; (3)存在这样的点 N,使得以 D,F,M,N 四点组成的四边形是矩形 当 DF 是矩形的边时,有以下两种情况: (i)当四边形 M1N1FD 为矩形时,连接 DC,如解图 2 由(2)可知 D(1,2) ,C(0,2) ,ACO45,DFAC, DFC45 又点 D 与点 C 的纵坐标相同, DFC 是等腰直角三角形 FCDC1 OFOCFC1 点 F 的坐标为(0,1) N1FO90DFC45, N1OOF1 点 N 的坐标为(1,0) ( ii)当四边形 M2N2DF 为矩形时,过点 D 作 DGx 轴交于点 G,连接 DC,如解图 3 由( i )可知DFC45, N2DG45, N2DG 是等腰直角三角形 GN2GD2 又OGDG1, ON2GN2+OG3 N2的坐标为(3,0) ; 当 DF 是矩形的对角线时,设点 N3的坐标为(x,0) , 则有 N3F2x2+1,N3D2(x+1)2+22,DF22 点 N3为直角顶点, N3F2+N3D2DF2 x2+1+(x+1)2+222,整理得 x2+(x+1)23,此方程无解 此种情况不存在 综上所述,满足条件的点 N 的坐标为(1,0)或(3,0)

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