2021届湖南省长沙市重点中学高三上数学月考试题(二)含答案解析

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1、2021 届高三月考届高三月考数学数学试卷试卷( (二二) ) 本试卷分第本试卷分第卷卷( (选择题选择题) )和第和第卷卷( (非选择题非选择题) )两部分,共两部分,共 8 页页.时量时量 120 分钟分钟.满分满分 150 分分. 第第卷卷 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,毎小题小题,毎小题 5 分,共分,共 40分分.在毎小题给出的四个选项中,只有在毎小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1. 设全集U R,已知集合 2 20Ax xx ,1,0,1,2,3B ,则 UA B ( ) A. 1,0,1 B. 1,0,1,2-

2、 C. 0,1 D. 1,0 【答案】B 【解析】 【分析】 解一元二次不等式得集合A,先求补集再求交集即可. 【详解】因为(1)(2)02Ax xxx x或1x , 所以12 UA xx , 即有 1,0,1,2 UA B . 故选:B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,集合间交、并、补的混合运算,属于基础题. 2. 命题“0 x ,都有 2 30 xx”的否定是( ) A. 0 0 x,使得 2 00 30 xx B. 0 0 x,使得 2 00 30 xx C. 0 x ,都有 2 30 xx D. 0 x ,使得 2 30 xx 【答案】B 【解析】 【分析】 按照全称命题的

3、否定是特称命题的原则来处理即可. 【详解】原命题为全称命题,由全称命题的否定为特称命题,可得命题“0 x 都有 2 30 xx ”的否定 是“ 0 0 x,使得 2 00 30 xx”. 故选:B. 【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题. 3. 设复数 z 满足 2 (1)52izi,则 z的虚部为( ) A. 1 B. i C. 5 2 D. 5 2 i 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意得到 5 1 2 zi ,再求复数的虚部即可. 【详解】 22 5252(52 )255 1 (1)2222 iii ii zi iii ,则 z的虚部为 5 2 . 故选:C 【点睛】本题

4、主要考查复数的运算,同时考查复数的定义,属于简单题. 4. 在平行四边形 ABCD中,33ABAD,则AC BD ( ) A. 6 B. 6 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 由平面向量的线性运算可得 AC BDADABADAB,再由平面向量数量积的运算即可得解. 【详解】由题意作出图形,如图, 所以 22 1 98AC BDADABADABADAB . 故选:C. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算与数量积运算的应用,考查了运算求解能力,属于基础题. 5. 函数 2 e1 ( )(1 ln) e1 x x f xx 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【

5、解析】 【分析】 先求函数的定义域,再判断其奇偶性,然后取特殊值即可得答案. 【详解】解:函数 ( )f x的定义域为 0 x x , 因为 22 e11 ()1 ln() (1 ln)( ) e11 xx xx e fxxxf x e 所以 ( )f x为奇函数,因此排除 A,C 因为 2 2 e1 (2)(1 ln4)0 e1 f ,所以排除 B 故选:D 【点睛】此题考查函数图像的识别,主要利用了函数的奇偶性和取特殊值进行判断,属于基础题. 6. 斜率为3的直线 l过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点 F, 若 l与圆 22 :(2)12Mxy相切, 则p ( ). A. 12

6、B. 8 C. 10 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据题意直线 l 方程3 2 p yx ,根据直线 l 与圆 22 :(2)12Mxy相切,得到 3 2 3 2 2 3 2 p d ,再解方程即可. 【详解】抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点 ,0 2 p , 设直线 l方程为3 2 p yx ,即 3 30 2 xyp, 因为 l与圆 22 :(2)12Mxy相切, 所以圆心2,0到直线的距离为 3 2 3 2 2 3 2 p d , 解得12p 。 故选:A. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义,同时考查直线与圆的位置关系,属于简单题. 7. 甲、乙、丙、丁四人分

7、别去云南、张家界、北京三个地方旅游,每个地方至少有一人去,且甲、乙两人 不能同去一个地方,则不同分法的种数( ) A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 先把 4 人分为 3组,共 2 4 C种不同的情况,把 3组全排列共有 23 43 C A种,再排除甲乙被分在同一地方的情况, 即得解. 【详解】先计算 4人中有两名分在一个地方的种数,可从 4个中选 2 个,和其余的 2 个看作 3个元素的全排 列共有 23 43 C A种,再排除甲乙被分在同一地方的情况共有 3 3 A种,所以不同的安排方法种数是: 233 433 36630C AA. 故选:C 【

8、点睛】本题考查了排列组合的综合运用,考查了学生综合分析,转化与划归的能力,属于中档题. 8. 2019 年末,武汉岀现新型冠状病毒肺炎(COVID-19)疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这 种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大,武汉市 出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从 2 月 7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺 炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类” 人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密切接 触者”

9、,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭 为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)pp且相互独立, 该家庭至少检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为( )f p,当 0 pp时,( )f p最大,则 0 p ( ) A. 6 1 3 B. 6 3 C. 3 3 D. 3 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出概率 4 ( )(2)(1)f pppp,再求最大值,借助于均值不等式求解 【详解】解:设事件 A:检测 5 个人确定为“感染高危户”, 事件 B:检测 6 个人确定为“感染高危户”. 4 ( )(1)P

10、 App, 5 ( )(1)P Bpp. 即 454 ( )(1)(1)(2)(1)f pppppppp. 设10 xp ,则 424 ( )(1)(1)(1)1g xfpxx xxx , 24222 1 ( )122 2 g xxxxxx 3 222 22 14 2327 xxx , 当且仅当 22 22xx 即 6 3 x 时取等号, 即 0 6 1 3 pp . 故选:A. 【点睛】本题考查概率,以及求函数最值,属于中档题 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20分分.在每小题给出的四个选项中,有多在每小题给出的四个选项中,有

11、多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分. 9. 若1ab,0c ,则下列不等式中一定成立的是( ) A. 11 ab B. 11 ba ab C. ln()0ba D. cc ab ba 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用做差法即可判断 A 错误,B 正确,利用对数函数的性质即可判断 C 错误,利用幂函数的性质即可判断 D 正确. 【详解】对选项 A, 11ba abab ,因为1ab, 所以0ab,0ba,即0 ba ab ,所以 11 ab ,故 A错误; 对选项 B, 11111ab

12、abab ba ab abab , 因为1ab,所以0ab ,1ab ,即 1 0 ab ab ab , 所以 11 ba ab,故 B正确; 对选项 C,因为0ba,所以ln()ba的范围为R,故 C 错误. 对选项 D,因为1ab,所以0 a b ,0 b a , 因为 22 0 abab baab ,所以 ab ba , 又因为0c ,所以 c yx在0,为增函数, 所以 cc ab ba ,故 D正确. 故选:BD 【点睛】本题主要考查不等关系,同时考查了幂函数和对数函数的性质,做差法为解决本题的关键,属于 简单题. 10. 已知函数 2 sin coscosf xxxx,则( ) A

13、. 函数 f x在区间 0, 8 上为增函数 B. 直线 3 8 x 是函数 f x图象的一条对称轴 C. 函数 f x的图象可由函数 2 sin2 2 yx的图象向右平移 8 个单位得到 D. 对任意xR,恒有 f xf x 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换思想化简函数 yf x的解析式为 21 sin 2 242 f xx , 利用正弦函数的单调 性可判断 A选项的正误;利用代入检验法可判断 B选项的正误;利用三角函数图象变换可判断 C选项的正 误;利用正弦型函数的周期性可判断 D 选项的正误. 【详解】 2 11 cos221 sin coscossin2sin 2

14、22242 x f xxxxxx . 对于 A选项,当0, 8 x 时,2,0 44 x ,函数 yf x为增函数,A选项正确; 令2 42 xk ,kZ,得 3 82 k x ,kZ,当0k 时, 3 8 x , 所以,直线 3 8 x 是函数 yf x图象的一条对称轴,B选项正确; 函数 2 sin2 2 yx的图象向右平移 8 个单位得到函数 22 sin 2sin 2 2824 yxx 的图 象,C选项错误; 函数 yf x的最小正周期为 2 2 T ,D选项正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断,考查了正弦型函数的单调性、对称性、图象变换以及周期 性的判断,

15、解题的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式,考查计算能力,属于中等题. 11. 已知 M 是正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 DD的中点,则下列是真命题的是( ) A. 过点 M有且只有一个平面与直线 AB, 11 BC都平行 B. 过点 M有且只有一个平面与直线 AB, 11 BC都相交 C. 过点 M有且只有一条直线与直线 AB, 11 BC都垂直 D. 过点 M有且只有一条直线与直线 AB, 11 BC都相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据题意作出图形,取 1 CC的中点N,设BN与 11 BC交于H,则点 A、B、M、N、H 共面,直线HM必 与AB直线相交

16、于某点O,根据线线关系和线面关系逐一判断即可. 【详解】 直线AB与 11 BC是两条互相垂直的异面直线, 点M不在这两异面直线中的任何一条上, 如图所示: 取 1 CC的中点N,则/MNAB,且MNAB, 设BN与 11 BC交于H,则点 A、B、M、N、H 共面, 直线HM必与AB直线相交于某点O, 过 M点有且只有一个平面与直线 AB、 11 BC都平行,此平面就是过 M 点与正方体的上下底都平行的平面, 故 A 正确; 凡是过OH的面均和 AB、 11 BC都相交,即过 M 点有无数个平面与直线 AB、 11 BC都相交,故 B 不正确; 过 M点有且只有一条直线与直线 AB、 11

17、BC都垂直,此垂线就是棱 1 DD,故 C正确; 所以,过 M 点有且只有一条直线 HO与直线 AB、 11 BC都相交,故 D正确 故选:ACD. 【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质,体现了数形结合的数学思想, 属于中档题. 12. 已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点,且 2 12 2b FF a ,点 P为双曲线右支 一点,I 为 12 PFF的内心,若 121 2 IPFIPFIFF SSSl=+ 成立,则下列结论正确的有( ) A. 当 2 PFx轴时, 12 30PFF B. 离心率 15 2 e

18、 C. 51 2 D. 点 I 的横坐标为定值 a 【答案】BCD 【解析】 【分析】 当 2 PFx轴时,由 2 212 1 2 b PFcFF a ,得 12 1 tan 2 PFF;由 2 12 2b FF a 可得 2 10ee 求 出离心率;设 12 PFF的内切圆半径为r,由 12 2PFPFa, 12 2FFc,用 12 PFF的边长和r表示 出等式中的三角形的面积,解此等式求出;由切线的性质面积和双曲线的定义可得 I 的横坐标 【详解】当 2 PFx轴时, 2 212 1 2 b PFcFF a , 此时 12 1 tan 2 PFF,所以 A 错误; 2 12 2b FF a

19、 , 222 222 2 bca c aa , 整理得 2 10ee (e为双曲线的离心率), 1e, 15 2 e ,所以 B正确. 设 12 PFF的内切圆半径为 r, 由双曲线的定义得 12 2PFPFa, 12 2FFc, 1 1 1 2 IPF SPFr , 2 2 1 2 PF SPFr , 1 2 1 2 2 F F Scrcr , 121 2 IPFIPFIFF SSSl=+ , 12 11 22 PFrPFrcr , 故 12 151 2215 2 PFPFa cc ,所以 C正确. 设内切圆与 1 PF、 2 PF、 12 FF的切点分别为 M、N、T, 可得 11 | |

20、PMPNFMFT, 22 F NFT. 由 121212 2PFPFFMF NFTFTa, 1212 2FFFTFTc, 可得 2 FTca ,可得 T的坐标为,0a, 即的横坐标为 a,故 D正确; 故选 BCD. 【点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质,利用待定系数法求出参数的值,考查圆的切线的性质,化简 运算能力和推理能力,属于中档题 第第卷卷 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13. 若 6 2 a x x 的展开式的常数项为 60,则a_. 【答案】4 【解析】 【分析】 二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于

21、0,求出r的值,即可求得常数项,再根据常数项等于 60,求 得实数a的值. 【详解】解: 6 2 a x x 展开式的通项公式为: 626 3 166 C()()C rrrrrrr r Txaxax , 令6 30r,可得2r =, 展开式的常数项为 22 6 ()C60a,解得4a. 故答案为:4. 【点睛】本题考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题. 14. 若 3 cos 45 ,则sin2=_ 【答案】 7 25 【解析】 【分析】 由二倍角公式求得cos2 2 ,再由诱导公式得结论 【详解】由题可得 2 2 37 cos22cos121 24525

22、, 7 sin2cos2 225 故答案为: 7 25 【点睛】本题考查二倍角公式和诱导公式的使用,三角函数恒等变形中,公式很多,如诱导公式、同角关 系,两角和与差的正弦(余弦、正切)公式、二倍角公式,先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重 要, 但其中最重要的是“角”的变换, 要分析出已知角与未知角之间的关系, 通过这个关系再选用恰当的公式 15. 函数 2 1 ln 2 f xxxax存在与直线30 xy平行的切线, 则实数a的取值范围是_ 【答案】,1 【解析】 试题分析:由题意,得 1 ( )fxxa x ,故存在切点,使得,所以有 解由于,所以(当且仅当取等号),即 考点:1、导

23、数的几何意义;2、基本不等式 【思路点晴】求解时要充分借助题设和直线与函数代表的曲线相切的的条件,建立含参数的方程,然后运用存 在变量 使得方程有解,再进一步转化为求函数的值域问题求值域时又利用题设 中的,巧妙运用基本不等式使得问题简捷巧妙获解 16. 在三棱锥ASBC中,10AB =, 4 ASCBSC ,ACAS,BCBS,若该三棱锥的体 积为 15 3 ,则棱锥SABC外接球的表面积为_. 【答案】12 【解析】 【分析】 由已知可得90SACSBC,可确定球心在SC的中点,然后利用体积可求出球的半径即可求球的 表面积. 【详解】如图,设 SC的中点为 O,AB 的中点为 D,连接 OA

24、,OB,OD. 因为 4 ASCBSC ,,ACAS BCBS, 所以90SACSBC,所以OAOBOCOS. 所以 O为棱锥SABC外接球的球心, 设半径为 R,又ODAB且10AB =, 所以 10 2 ADDB, 2 5 2 ODR, 则 2 11 1025 22 OAB SAB ODR. 又由SCOA,SCOB且OAOBO可得SC 平面 OAB, 所以 2 1 1 1025 2 3 2 A SBC VRR 15 3 , 解得3R . 所以外接球的表面积 2 4( 3)12S. 【点睛】本题考查了球的内接三棱锥问题,关键是确定球心,属于中档题. 四、解答题:共四、解答题:共 70 分分.

25、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 2 n Snn, 3535 16,42aaSS, 1 7 1, 56 n n an S an 这三个条件中任选一个补充在 下面的问题中,并加以解答. 设等差数列 n a的前n项和为 n S,数列 n b为等比数列,_, 12 112 , 2 a a ba b. 求数列 1 n n b S 的前n项和 n T. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】不论选哪个条件,始终有 1 1 21 1 n n T n 【解析】 【分析】 由 1 * 1 ,1 ,2 n nn S n a SSnnN

26、 、等差数列定义列方程组、递推公式 1 1 nn aa nn 可分别求得中数 列 n a的通项公式及前 n 项和;根据题意可求得 * 2n n bnN ,利用等比数列的前 n项和公式及裂项相 消法即可求得数列 1 n n b S 的前n项和. 【详解】选 当1n 时, 11 2aS, 当2n时, 1 2 nnn aSSn , 又1n 满足2 n an,所以 2* 22 2 , 2 nn nn an Snn nN ; 选 设公差为d,由 3535 16,42aaSS,得 1 1 2616, 81342, ad ad 解得 1 2, 2, a d 所以 2* 22 2 , 2 nn nn an S

27、nn nN ; 选 由 1 1 n n an an ,得 1 1 nn aa nn ,所以 1 1 n aa n ,即 1n aa n, 741 72856Saa,所以 1 2a , 所以 2* 22 2 , 2 nn nn an Snn nN . 均可求得 2* 22 2 , 2 nn nn an Snn nN , 设 n b的公比为 q,又因为 12 2,4aa,由 12 112 2,4 2 a a bab, 得 1 2,2bq,所以 * 2n n bnN , 所以数列 n b的前 n 项和为 1 1 22 22 1 2 n n , 因为 2 11111 11 n Snnn nnn , 数

28、列 1 n S 的前n项和为 111111 11 22311nnn , 故 11 11 22 121 11 nn n T nn . 【点睛】本题考查数列的综合应用,涉及等差数列、等比数列的通项公式及前 n项和,裂项项相消法求和, 属于中档题. 18. 如图,在直角ACB中, 2 ACB , 3 CAB ,2AC ,点M在线段AB上. (1)若 3 sin 3 CMA,求CM的长; (2)点N是线段CB上一点,7MN ,且 1 2 BMNACB SS ,求BMBN的值. 【答案】(1)3;(2)43. 【解析】 分析】 (1)在CAMV中,利用正弦定理即可得到答案; (2)由 1 2 BMNAC

29、B SS 可得4 3BM BN,在BMN中,利用7MN 及余弦定理得 222 2cos 6 MNBMBNBM BN ,解方程组即可. 【详解】(1)在CAMV中,已知 3 CAM , 3 sin 3 CMA,2AC ,由正弦定理, 得 sinsin CMAC CAMCMA ,解得 3 sin2 32 3 sin3 3 AC CM CMA . (2)因为 1 2 BMNACB SS ,所以 111 sin2 2 3 2622 BM BN ,解得 4 3BM BN . 在BMN中,由余弦定理得, 2 222 3 2cos21 62 MNBMBNBM BNBMBNBM BN , 即 2 2 3 (

30、7)24 31 2 BMBN , 2 2 198 343BMBN, 故43BMBN. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的计算能力,是一道中档题. 19. 在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了 做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果 转化为各户的贫困指标x.将指标x按照0,0.2,0.2,0.4,0.4,0.6,0.6,0.8,0.8,1.0分成五组, 得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫 困户”;当0

31、0.2x时,认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测,家庭 受教育水平记为“良好”与“不好”两种. (1)完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关: 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计 100 (2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况, 在贫困指标处于00.4,的贫困户中, 随机选取两户, 用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求X的分布列和数学期望EX. 附: 2 2 n adbc K abcdacbd ,其中na b cd . 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05

32、 0.025 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】(1)列联表见解析,有;(2)分布列见解析, 2 3 . 【解析】 【分析】 (1)根据题意填写列联表,计算 2 K ,对照临界值得出结论; (2)根据题意可得贫困指标在00.4,的贫困户共有15(户),“亟待帮助户”共有5(户), 则X的可能值为0,1,2,列出分布列,计算期望值即可. 【详解】(1)由题意可知,绝对贫困户有0.25 0.500.750.2 10030(户),可得出如列联表: 受教育水平 良好 受教育水平 不好 总计 绝对贫困户 2 28 30 相对贫困户 18 52 70 总计 20 80 100

33、 2 2 10018 282 52 30 70 20 80 K 4.7623.841 故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关 (2)贫困指标在00.4,的贫困户共有0.25 0.50.2 10015(户), “亟待帮助户”共有0. 25 0.2 1005(户), 依题意X的可能值为0,1,2, 2 10 2 15 3 0 7 C P X C , 11 105 2 15 10 1 21 C C P X C , 2 5 2 15 2 2 21 C P X C , 则X的分布列为 X 0 1 2 P 3 7 10 21 2 21 故 31022 012 721213 EX 【点睛】 本

34、题考查了列联表与独立性检验应用问题,也考查离散型随机变量的分布列和期望, 属于中档题 20. 如图,在ABCD中,30A ,3AD ,2AB ,沿 BD将ABD翻折到A BDV的位置, 使平面ABC平面A BD. (1)求证:AD 平面BCD; (2)若在线段AC上有一点 M满足AMAC,且二面角MBD C的大小为60,求的值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 31 2 . 【解析】 【分析】 (1)ABD中由余弦定理可知90DBC,作DFA B于点F,由面面垂直性质定理得DF 平面 A BC,所以DFBC,再利用线面垂直的判定定理与性质定理可以证得AD 平面BCD; (2)以D为原点,以D

35、A方向为 x轴正方向建立空间直角坐标系,由二面角MBD C的大小为60列关 于的方程解之即可. 【详解】(1)ABD中,由余弦定理,可得1BD . 222 BDADAB , 90ADB, 90DBC. 作DFA B于点 F, 平面ABC平面A BD,平面ABC平面A BDA B, DF 平面A BC . 又CBQ平面A BC ,DFBC. 又CBBD,BDDFDI,CB平面ADB. 又A D平面ADB,CBAD. 又A DBD,BDCBB, AD 平面BCD. (2)由(1)知 DA,DB, DA 两两垂直,以 D 为原点,以DA方向为 x轴正方向建立如图所示空间直角坐标 系Dxyz,则 (0

36、,1,0)B ,(3,1,0)C ,(0,0, 3)A,(3,1,3)A C . 设( , , )M x y z, 则(, ,3 )A Mxyz, 由 3 ,3, , 33 33 x A MA CyM z , 设平面 MDB的一个法向量为( , , )ma b c, 则由 0 0, 3330 0 b m DB abc m DM , 取1(1,0, )acm . 平面 CBD的一个法向量可取(0,0, 3)DA , 二面角MBD C的大小为60 22 13113 cos, 222 3(1) DA m uuu r u r . 0,1 , 31 2 . 【点睛】(1)考查线面垂直的判定定理与性质定理

37、的应用; (2)考查用空间向量求二面角,考查数形结合,将几何问题转化为代数问题求解,考查学生的运算能力与空 间想象能力,属于中档题. 21. 已知函数 22 ( )1 e x f xaxax . (1)若函数( )( )g xfx ,试讨论( )g x的单调性; (2)若(0,)x ,( )0f x ,求a的取值范围. 【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2),2 【解析】 【分析】 (1)由于函数 2 ( )( )22e x g xxaxfa,得出 2 ( )2 2e x g xa ,分类讨论当0a 和0a时, ( )g x的正负,进而得出 g x的单调性; (2)求出 2 2e (21)

38、 21 x fxxa x , 令( ) 0fx , 得 2 2e 21 x a x , 设 2 2 ( ) 21 x e h x x , 通过导函数 h x , 可得出 h x在(0,)上的单调性和值域,再分类讨论2a和2a时, ( )f x的单调性,再结合 (0,)x ,( )0f x 恒成立,即可求出a的取值范围. 【详解】解:(1)因为 2 ( )( )22e x g xxaxfa, 所以 22 ( )24e2 2e xx g xaa , 当0a 时,( )0g x ,( )g x在R上单调递减. 当0a时,令( )0g x ,则 1 ln 22 a x ;令( )0g x ,则 1 l

39、n 22 a x , 所以( )g x在 1 ,ln 22 a 单调递增,在 1 ln, 22 a 上单调递减. 综上所述,当0a 时,( )g x在R上单调递减; 当0a时,( )g x在 1 ,ln 22 a 上单调递增,在 1 ln, 22 a 上单调递减. (2)因为 22 ( )1 e x f xaxax ,可知 (0)0f , 2 ( )22e x fxaxa 2 2 2e (21)2e(21) 21 x x axxa x , 令( )0fx ,得 2 2e 21 x a x . 设 2 2 ( ) 21 x e h x x ,则 2 2 8 e ( ) (21) x x h x

40、x . 当0 x时,( )0h x ,( )h x在(0,)上单调递增, 所以( )h x在(0,)上的值域是(2,),即 2 2 2 21 x e x . 当2a时,( )0fx 没有实根,且( )0fx , ( )f x在(0,)上单调递减,( )(0)0f xf ,符合题意. 当2a时,(0)2ha, 所以 2 2e ( ) 21 x h xa x 有唯一实根 0 x, 当 0 0,xx时,( )0fx,( )f x在 0 0,x上单调递增,( )(0)0f xf,不符合题意. 综上,2a,即a的取值范围为,2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围,还运用

41、了构造函数法,还考 查分类讨论思想和计算能力,属于难题. 22. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 2,1P, 1 F、 2 F分别为椭圆C的左、 右焦点, 且 12 1PF PF. (1)求椭圆 C的方程; (2)过 P点的直线 1 l与椭圆 C有且只有一个公共点,直线 2 l平行于 OP(O 为原点),且与椭圆 C交于 A、B 两 点,与直线2x交于点 M(M 介于 A、B 两点之间). (i)当 PAB 面积最大时,求 2 l的方程; (ii)求证:| | | |PAMBPBMA 【答案】(1) 22 1 82 xy ;(2)(i) 1 2 2 yx ;(ii)

42、证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据条件求出, a b,即可写出椭圆方程; (2)(i)设直线 2 l的方程为 1 2 yxt,联立椭圆方程,表示出 PAB S,可求出 PAB S最大时t的值,即可得 出 2 l的方程; (ii)要证明结论,只需证明 | | PAPB MAMB ,即证直线2x为APB的平分线,转化成证明: 0 PAPB kk. 【详解】(1)设 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c,则 1 (2, 1)PFc , 2 (2, 1)PFc, 2 12 4 11PF PFc , 6c , 又 (2,1)P 在椭圆上,故 22 41 1 ab , 又 22 6ab ,解

43、得 2 8a , 2 2b , 故所求椭圆C的方程为 22 1 82 xy . (2)(i)由于 1 2 OP k,设 2 l的方程为 1 2 yxt, 11 ,A x y, 22 ,B x y, 由 22 1 2 1 82 yxt xy ,消去y整理得 22 2240 xtxt, 由韦达定理可得: 12 2 12 22 2 24 4404 xxt x xt tt , 则 2 22 1212 15 |1444 24 42 ABxxx xtt 22 5 1645 4 2 tt , 又点P到 2 l的距离 2 | |2| | 5 1 1 2 tt d , 所以 22 222 4 12| | 5 4

44、42 225 PAB tt t Sttt . 当且仅当 22 4tt ,即 2 2t 时,等号成立. 又M介于A、B两点之间,故 2t . 故直线AB的方程为: 1 2 2 yx. (ii)要证结论成立,只须证明 | | PAPB MAMB , 由角平分线性质即证:直线2x为APB的平分线, 转化成证明: 0 PAPB kk. 由于 12 12 11 22 PAPB yy kk xx 1221 12 11 1212 22 22 xtxxtx xx 2 1212 121212 (2)4(1)242 (2)4(1)4444 0 222222 x xtxxttt tttt xxxxxx 因此结论成立. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查弦长公式,考查点到直线的距离公式,考查椭圆中三角形面积利 用基本不等式求最值问题,考查了学生的逻辑推理能力与运算能力,属于难题.

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