1、2021 届高三月考届高三月考数学数学试卷试卷( (二二) ) 本试卷分第本试卷分第卷卷( (选择题选择题) )和第和第卷卷( (非选择题非选择题) )两部分，共两部分，共 8 页页.时量时量 120 分钟分钟.满分满分 150 分分. 第第卷卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，毎小题小题，毎小题 5 分，共分，共 40分分.在毎小题给出的四个选项中，只有在毎小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1. 设全集U R，已知集合 2 20Ax xx ，1,0,1,2,3B ，则 UA B ( ) A. 1,0,1 B. 1,0,1,2-
2、 C. 0,1 D. 1,0 【答案】B 【解析】 【分析】 解一元二次不等式得集合A，先求补集再求交集即可. 【详解】因为(1)(2)02Ax xxx x或1x ， 所以12 UA xx ， 即有 1,0,1,2 UA B . 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间交、并、补的混合运算，属于基础题. 2. 命题“0 x ，都有 2 30 xx”的否定是( ) A. 0 0 x，使得 2 00 30 xx B. 0 0 x，使得 2 00 30 xx C. 0 x ，都有 2 30 xx D. 0 x ，使得 2 30 xx 【答案】B 【解析】 【分析】 按照全称命题的
3、否定是特称命题的原则来处理即可. 【详解】原命题为全称命题，由全称命题的否定为特称命题,可得命题“0 x 都有 2 30 xx ”的否定 是“ 0 0 x，使得 2 00 30 xx”. 故选：B. 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题. 3. 设复数 z 满足 2 (1)52izi，则 z的虚部为( ) A. 1 B. i C. 5 2 D. 5 2 i 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意得到 5 1 2 zi ，再求复数的虚部即可. 【详解】 22 5252(52 )255 1 (1)2222 iii ii zi iii ，则 z的虚部为 5 2 . 故选：C 【点睛】本题
4、主要考查复数的运算，同时考查复数的定义，属于简单题. 4. 在平行四边形 ABCD中，33ABAD，则AC BD ( ) A. 6 B. 6 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 由平面向量的线性运算可得 AC BDADABADAB，再由平面向量数量积的运算即可得解. 【详解】由题意作出图形，如图， 所以 22 1 98AC BDADABADABADAB . 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算与数量积运算的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5. 函数 2 e1 ( )(1 ln) e1 x x f xx 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【
5、解析】 【分析】 先求函数的定义域，再判断其奇偶性，然后取特殊值即可得答案. 【详解】解：函数 ( )f x的定义域为 0 x x ， 因为 22 e11 ()1 ln() (1 ln)( ) e11 xx xx e fxxxf x e 所以 ( )f x为奇函数，因此排除 A,C 因为 2 2 e1 (2)(1 ln4)0 e1 f ，所以排除 B 故选：D 【点睛】此题考查函数图像的识别，主要利用了函数的奇偶性和取特殊值进行判断，属于基础题. 6. 斜率为3的直线 l过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点 F， 若 l与圆 22 :(2)12Mxy相切， 则p ( ). A. 12
6、B. 8 C. 10 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据题意直线 l 方程3 2 p yx ，根据直线 l 与圆 22 :(2)12Mxy相切，得到 3 2 3 2 2 3 2 p d ，再解方程即可. 【详解】抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点 ,0 2 p ， 设直线 l方程为3 2 p yx ，即 3 30 2 xyp， 因为 l与圆 22 :(2)12Mxy相切， 所以圆心2,0到直线的距离为 3 2 3 2 2 3 2 p d ， 解得12p 。 故选：A. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，同时考查直线与圆的位置关系，属于简单题. 7. 甲、乙、丙、丁四人分
7、别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人 不能同去一个地方，则不同分法的种数( ) A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 先把 4 人分为 3组，共 2 4 C种不同的情况，把 3组全排列共有 23 43 C A种，再排除甲乙被分在同一地方的情况， 即得解. 【详解】先计算 4人中有两名分在一个地方的种数，可从 4个中选 2 个，和其余的 2 个看作 3个元素的全排 列共有 23 43 C A种，再排除甲乙被分在同一地方的情况共有 3 3 A种，所以不同的安排方法种数是： 233 433 36630C AA. 故选：C 【
8、点睛】本题考查了排列组合的综合运用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题. 8. 2019 年末，武汉岀现新型冠状病毒肺炎(COVID-19)疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这 种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市 出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月 7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺 炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类” 人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密切接 触者”
9、，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭 为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)pp且相互独立， 该家庭至少检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为( )f p，当 0 pp时，( )f p最大，则 0 p ( ) A. 6 1 3 B. 6 3 C. 3 3 D. 3 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出概率 4 ( )(2)(1)f pppp，再求最大值，借助于均值不等式求解 【详解】解：设事件 A：检测 5 个人确定为“感染高危户”， 事件 B：检测 6 个人确定为“感染高危户”. 4 ( )(1)P
10、 App， 5 ( )(1)P Bpp. 即 454 ( )(1)(1)(2)(1)f pppppppp. 设10 xp ，则 424 ( )(1)(1)(1)1g xfpxx xxx ， 24222 1 ( )122 2 g xxxxxx 3 222 22 14 2327 xxx ， 当且仅当 22 22xx 即 6 3 x 时取等号， 即 0 6 1 3 pp . 故选：A. 【点睛】本题考查概率，以及求函数最值，属于中档题 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有
11、多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 若1ab，0c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A. 11 ab B. 11 ba ab C. ln()0ba D. cc ab ba 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用做差法即可判断 A 错误，B 正确，利用对数函数的性质即可判断 C 错误，利用幂函数的性质即可判断 D 正确. 【详解】对选项 A， 11ba abab ，因为1ab， 所以0ab，0ba，即0 ba ab ，所以 11 ab ，故 A错误； 对选项 B， 11111ab
12、abab ba ab abab ， 因为1ab，所以0ab ，1ab ，即 1 0 ab ab ab ， 所以 11 ba ab，故 B正确； 对选项 C，因为0ba，所以ln()ba的范围为R，故 C 错误. 对选项 D，因为1ab，所以0 a b ，0 b a ， 因为 22 0 abab baab ，所以 ab ba ， 又因为0c ，所以 c yx在0,为增函数， 所以 cc ab ba ，故 D正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查不等关系，同时考查了幂函数和对数函数的性质，做差法为解决本题的关键，属于 简单题. 10. 已知函数 2 sin coscosf xxxx，则( ) A
13、. 函数 f x在区间 0, 8 上为增函数 B. 直线 3 8 x 是函数 f x图象的一条对称轴 C. 函数 f x的图象可由函数 2 sin2 2 yx的图象向右平移 8 个单位得到 D. 对任意xR，恒有 f xf x 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换思想化简函数 yf x的解析式为 21 sin 2 242 f xx ， 利用正弦函数的单调 性可判断 A选项的正误；利用代入检验法可判断 B选项的正误；利用三角函数图象变换可判断 C选项的正 误；利用正弦型函数的周期性可判断 D 选项的正误. 【详解】 2 11 cos221 sin coscossin2sin 2
14、22242 x f xxxxxx . 对于 A选项，当0, 8 x 时，2,0 44 x ，函数 yf x为增函数，A选项正确； 令2 42 xk ，kZ，得 3 82 k x ，kZ，当0k 时， 3 8 x ， 所以，直线 3 8 x 是函数 yf x图象的一条对称轴，B选项正确； 函数 2 sin2 2 yx的图象向右平移 8 个单位得到函数 22 sin 2sin 2 2824 yxx 的图 象，C选项错误； 函数 yf x的最小正周期为 2 2 T ，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，考查了正弦型函数的单调性、对称性、图象变换以及周期 性的判断，
15、解题的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 11. 已知 M 是正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 DD的中点，则下列是真命题的是( ) A. 过点 M有且只有一个平面与直线 AB， 11 BC都平行 B. 过点 M有且只有一个平面与直线 AB， 11 BC都相交 C. 过点 M有且只有一条直线与直线 AB， 11 BC都垂直 D. 过点 M有且只有一条直线与直线 AB， 11 BC都相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，取 1 CC的中点N，设BN与 11 BC交于H，则点 A、B、M、N、H 共面，直线HM必 与AB直线相交
16、于某点O，根据线线关系和线面关系逐一判断即可. 【详解】 直线AB与 11 BC是两条互相垂直的异面直线， 点M不在这两异面直线中的任何一条上， 如图所示： 取 1 CC的中点N，则/MNAB，且MNAB， 设BN与 11 BC交于H，则点 A、B、M、N、H 共面， 直线HM必与AB直线相交于某点O， 过 M点有且只有一个平面与直线 AB、 11 BC都平行，此平面就是过 M 点与正方体的上下底都平行的平面， 故 A 正确； 凡是过OH的面均和 AB、 11 BC都相交，即过 M 点有无数个平面与直线 AB、 11 BC都相交，故 B 不正确； 过 M点有且只有一条直线与直线 AB、 11
17、BC都垂直，此垂线就是棱 1 DD，故 C正确； 所以，过 M 点有且只有一条直线 HO与直线 AB、 11 BC都相交，故 D正确 故选：ACD. 【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想， 属于中档题. 12. 已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，且 2 12 2b FF a ，点 P为双曲线右支 一点，I 为 12 PFF的内心，若 121 2 IPFIPFIFF SSSl=+ 成立，则下列结论正确的有( ) A. 当 2 PFx轴时， 12 30PFF B. 离心率 15 2 e
18、 C. 51 2 D. 点 I 的横坐标为定值 a 【答案】BCD 【解析】 【分析】 当 2 PFx轴时，由 2 212 1 2 b PFcFF a ，得 12 1 tan 2 PFF；由 2 12 2b FF a 可得 2 10ee 求 出离心率；设 12 PFF的内切圆半径为r，由 12 2PFPFa， 12 2FFc，用 12 PFF的边长和r表示 出等式中的三角形的面积，解此等式求出；由切线的性质面积和双曲线的定义可得 I 的横坐标 【详解】当 2 PFx轴时， 2 212 1 2 b PFcFF a ， 此时 12 1 tan 2 PFF，所以 A 错误； 2 12 2b FF a
19、 ， 222 222 2 bca c aa ， 整理得 2 10ee (e为双曲线的离心率)， 1e， 15 2 e ，所以 B正确. 设 12 PFF的内切圆半径为 r， 由双曲线的定义得 12 2PFPFa， 12 2FFc， 1 1 1 2 IPF SPFr ， 2 2 1 2 PF SPFr ， 1 2 1 2 2 F F Scrcr ， 121 2 IPFIPFIFF SSSl=+ ， 12 11 22 PFrPFrcr ， 故 12 151 2215 2 PFPFa cc ，所以 C正确. 设内切圆与 1 PF、 2 PF、 12 FF的切点分别为 M、N、T， 可得 11 | |
20、PMPNFMFT， 22 F NFT. 由 121212 2PFPFFMF NFTFTa， 1212 2FFFTFTc， 可得 2 FTca ，可得 T的坐标为,0a， 即的横坐标为 a，故 D正确； 故选 BCD. 【点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的切线的性质，化简 运算能力和推理能力，属于中档题 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 若 6 2 a x x 的展开式的常数项为 60，则a_. 【答案】4 【解析】 【分析】 二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于
21、0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于 60，求 得实数a的值. 【详解】解： 6 2 a x x 展开式的通项公式为： 626 3 166 C()()C rrrrrrr r Txaxax ， 令6 30r，可得2r =， 展开式的常数项为 22 6 ()C60a，解得4a. 故答案为：4. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题. 14. 若 3 cos 45 ，则sin2=_ 【答案】 7 25 【解析】 【分析】 由二倍角公式求得cos2 2 ，再由诱导公式得结论 【详解】由题可得 2 2 37 cos22cos121 24525
22、， 7 sin2cos2 225 故答案为： 7 25 【点睛】本题考查二倍角公式和诱导公式的使用，三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关 系，两角和与差的正弦(余弦、正切)公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重 要， 但其中最重要的是“角”的变换， 要分析出已知角与未知角之间的关系， 通过这个关系再选用恰当的公式 15. 函数 2 1 ln 2 f xxxax存在与直线30 xy平行的切线， 则实数a的取值范围是_ 【答案】,1 【解析】 试题分析：由题意，得 1 ( )fxxa x ，故存在切点，使得，所以有 解由于，所以(当且仅当取等号)，即 考点：1、导
23、数的几何意义；2、基本不等式 【思路点晴】求解时要充分借助题设和直线与函数代表的曲线相切的的条件,建立含参数的方程,然后运用存 在变量 使得方程有解,再进一步转化为求函数的值域问题求值域时又利用题设 中的，巧妙运用基本不等式使得问题简捷巧妙获解 16. 在三棱锥ASBC中，10AB =， 4 ASCBSC ，ACAS，BCBS，若该三棱锥的体 积为 15 3 ，则棱锥SABC外接球的表面积为_. 【答案】12 【解析】 【分析】 由已知可得90SACSBC，可确定球心在SC的中点，然后利用体积可求出球的半径即可求球的 表面积. 【详解】如图，设 SC的中点为 O，AB 的中点为 D，连接 OA
24、，OB，OD. 因为 4 ASCBSC ，,ACAS BCBS， 所以90SACSBC，所以OAOBOCOS. 所以 O为棱锥SABC外接球的球心， 设半径为 R，又ODAB且10AB =， 所以 10 2 ADDB， 2 5 2 ODR， 则 2 11 1025 22 OAB SAB ODR. 又由SCOA，SCOB且OAOBO可得SC 平面 OAB， 所以 2 1 1 1025 2 3 2 A SBC VRR 15 3 ， 解得3R . 所以外接球的表面积 2 4( 3)12S. 【点睛】本题考查了球的内接三棱锥问题，关键是确定球心，属于中档题. 四、解答题：共四、解答题：共 70 分分.
25、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 2 n Snn， 3535 16,42aaSS， 1 7 1, 56 n n an S an 这三个条件中任选一个补充在 下面的问题中，并加以解答. 设等差数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b为等比数列，_， 12 112 , 2 a a ba b. 求数列 1 n n b S 的前n项和 n T. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】不论选哪个条件，始终有 1 1 21 1 n n T n 【解析】 【分析】 由 1 * 1 ,1 ,2 n nn S n a SSnnN
26、 、等差数列定义列方程组、递推公式 1 1 nn aa nn 可分别求得中数 列 n a的通项公式及前 n 项和；根据题意可求得 * 2n n bnN ，利用等比数列的前 n项和公式及裂项相 消法即可求得数列 1 n n b S 的前n项和. 【详解】选 当1n 时， 11 2aS， 当2n时， 1 2 nnn aSSn ， 又1n 满足2 n an，所以 2* 22 2 , 2 nn nn an Snn nN ； 选 设公差为d，由 3535 16,42aaSS，得 1 1 2616, 81342, ad ad 解得 1 2, 2, a d 所以 2* 22 2 , 2 nn nn an S
27、nn nN ； 选 由 1 1 n n an an ，得 1 1 nn aa nn ，所以 1 1 n aa n ，即 1n aa n， 741 72856Saa，所以 1 2a ， 所以 2* 22 2 , 2 nn nn an Snn nN . 均可求得 2* 22 2 , 2 nn nn an Snn nN ， 设 n b的公比为 q，又因为 12 2,4aa，由 12 112 2,4 2 a a bab， 得 1 2,2bq，所以 * 2n n bnN ， 所以数列 n b的前 n 项和为 1 1 22 22 1 2 n n ， 因为 2 11111 11 n Snnn nnn ， 数
28、列 1 n S 的前n项和为 111111 11 22311nnn ， 故 11 11 22 121 11 nn n T nn . 【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及等差数列、等比数列的通项公式及前 n项和，裂项项相消法求和， 属于中档题. 18. 如图，在直角ACB中， 2 ACB ， 3 CAB ，2AC ，点M在线段AB上. (1)若 3 sin 3 CMA，求CM的长； (2)点N是线段CB上一点，7MN ，且 1 2 BMNACB SS ，求BMBN的值. 【答案】(1)3；(2)43. 【解析】 分析】 (1)在CAMV中，利用正弦定理即可得到答案； (2)由 1 2 BMNAC
29、B SS 可得4 3BM BN，在BMN中，利用7MN 及余弦定理得 222 2cos 6 MNBMBNBM BN ，解方程组即可. 【详解】(1)在CAMV中，已知 3 CAM ， 3 sin 3 CMA，2AC ，由正弦定理， 得 sinsin CMAC CAMCMA ，解得 3 sin2 32 3 sin3 3 AC CM CMA . (2)因为 1 2 BMNACB SS ，所以 111 sin2 2 3 2622 BM BN ，解得 4 3BM BN . 在BMN中，由余弦定理得， 2 222 3 2cos21 62 MNBMBNBM BNBMBNBM BN ， 即 2 2 3 (
30、7)24 31 2 BMBN ， 2 2 198 343BMBN， 故43BMBN. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题. 19. 在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果 转化为各户的贫困指标x.将指标x按照0,0.2，0.2,0.4，0.4,0.6，0.6,0.8，0.8,1.0分成五组， 得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫 困户”；当0
31、0.2x时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭 受教育水平记为“良好”与“不好”两种. (1)完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关： 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计 100 (2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况， 在贫困指标处于00.4,的贫困户中， 随机选取两户， 用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X的分布列和数学期望EX. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd . 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05
32、 0.025 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】(1)列联表见解析，有；(2)分布列见解析， 2 3 . 【解析】 【分析】 (1)根据题意填写列联表，计算 2 K ，对照临界值得出结论； (2)根据题意可得贫困指标在00.4,的贫困户共有15(户)，“亟待帮助户”共有5(户)， 则X的可能值为0，1，2，列出分布列，计算期望值即可. 【详解】(1)由题意可知，绝对贫困户有0.25 0.500.750.2 10030(户)，可得出如列联表： 受教育水平 良好 受教育水平 不好 总计 绝对贫困户 2 28 30 相对贫困户 18 52 70 总计 20 80 100
33、 2 2 10018 282 52 30 70 20 80 K 4.7623.841 故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关 (2)贫困指标在00.4,的贫困户共有0.25 0.50.2 10015(户)， “亟待帮助户”共有0. 25 0.2 1005(户)， 依题意X的可能值为0，1，2， 2 10 2 15 3 0 7 C P X C ， 11 105 2 15 10 1 21 C C P X C ， 2 5 2 15 2 2 21 C P X C ， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 3 7 10 21 2 21 故 31022 012 721213 EX 【点睛】 本
34、题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查离散型随机变量的分布列和期望， 属于中档题 20. 如图，在ABCD中，30A ，3AD ，2AB ，沿 BD将ABD翻折到A BDV的位置， 使平面ABC平面A BD. (1)求证：AD 平面BCD； (2)若在线段AC上有一点 M满足AMAC，且二面角MBD C的大小为60，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 31 2 . 【解析】 【分析】 (1)ABD中由余弦定理可知90DBC，作DFA B于点F，由面面垂直性质定理得DF 平面 A BC，所以DFBC，再利用线面垂直的判定定理与性质定理可以证得AD 平面BCD； (2)以D为原点，以D
35、A方向为 x轴正方向建立空间直角坐标系，由二面角MBD C的大小为60列关 于的方程解之即可. 【详解】(1)ABD中，由余弦定理，可得1BD . 222 BDADAB ， 90ADB， 90DBC. 作DFA B于点 F， 平面ABC平面A BD，平面ABC平面A BDA B， DF 平面A BC . 又CBQ平面A BC ，DFBC. 又CBBD，BDDFDI，CB平面ADB. 又A D平面ADB，CBAD. 又A DBD，BDCBB， AD 平面BCD. (2)由(1)知 DA，DB， DA 两两垂直，以 D 为原点，以DA方向为 x轴正方向建立如图所示空间直角坐标 系Dxyz，则 (0
36、,1,0)B ，(3,1,0)C ，(0,0, 3)A，(3,1,3)A C . 设( , , )M x y z， 则(, ,3 )A Mxyz， 由 3 ,3, , 33 33 x A MA CyM z ， 设平面 MDB的一个法向量为( , , )ma b c， 则由 0 0, 3330 0 b m DB abc m DM ， 取1(1,0, )acm . 平面 CBD的一个法向量可取(0,0, 3)DA ， 二面角MBD C的大小为60 22 13113 cos, 222 3(1) DA m uuu r u r . 0,1 ， 31 2 . 【点睛】(1)考查线面垂直的判定定理与性质定理
37、的应用； (2)考查用空间向量求二面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题求解，考查学生的运算能力与空 间想象能力，属于中档题. 21. 已知函数 22 ( )1 e x f xaxax . (1)若函数( )( )g xfx ，试讨论( )g x的单调性； (2)若(0,)x ，( )0f x ，求a的取值范围. 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2),2 【解析】 【分析】 (1)由于函数 2 ( )( )22e x g xxaxfa，得出 2 ( )2 2e x g xa ，分类讨论当0a 和0a时， ( )g x的正负，进而得出 g x的单调性； (2)求出 2 2e (21)
38、 21 x fxxa x ， 令( ) 0fx ， 得 2 2e 21 x a x ， 设 2 2 ( ) 21 x e h x x ， 通过导函数 h x ， 可得出 h x在(0,)上的单调性和值域，再分类讨论2a和2a时， ( )f x的单调性，再结合 (0,)x ，( )0f x 恒成立，即可求出a的取值范围. 【详解】解：(1)因为 2 ( )( )22e x g xxaxfa， 所以 22 ( )24e2 2e xx g xaa ， 当0a 时，( )0g x ，( )g x在R上单调递减. 当0a时，令( )0g x ，则 1 ln 22 a x ；令( )0g x ，则 1 l
39、n 22 a x ， 所以( )g x在 1 ,ln 22 a 单调递增，在 1 ln, 22 a 上单调递减. 综上所述，当0a 时，( )g x在R上单调递减； 当0a时，( )g x在 1 ,ln 22 a 上单调递增，在 1 ln, 22 a 上单调递减. (2)因为 22 ( )1 e x f xaxax ，可知 (0)0f ， 2 ( )22e x fxaxa 2 2 2e (21)2e(21) 21 x x axxa x ， 令( )0fx ，得 2 2e 21 x a x . 设 2 2 ( ) 21 x e h x x ，则 2 2 8 e ( ) (21) x x h x
40、x . 当0 x时，( )0h x ，( )h x在(0,)上单调递增， 所以( )h x在(0,)上的值域是(2,)，即 2 2 2 21 x e x . 当2a时，( )0fx 没有实根，且( )0fx ， ( )f x在(0,)上单调递减，( )(0)0f xf ，符合题意. 当2a时，(0)2ha， 所以 2 2e ( ) 21 x h xa x 有唯一实根 0 x， 当 0 0,xx时，( )0fx，( )f x在 0 0,x上单调递增，( )(0)0f xf，不符合题意. 综上，2a，即a的取值范围为,2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用
41、了构造函数法，还考 查分类讨论思想和计算能力，属于难题. 22. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 2,1P， 1 F、 2 F分别为椭圆C的左、 右焦点， 且 12 1PF PF. (1)求椭圆 C的方程； (2)过 P点的直线 1 l与椭圆 C有且只有一个公共点，直线 2 l平行于 OP(O 为原点)，且与椭圆 C交于 A、B 两 点，与直线2x交于点 M(M 介于 A、B 两点之间). (i)当 PAB 面积最大时，求 2 l的方程； (ii)求证：| | | |PAMBPBMA 【答案】(1) 22 1 82 xy ；(2)(i) 1 2 2 yx ；(ii)
42、证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据条件求出, a b，即可写出椭圆方程； (2)(i)设直线 2 l的方程为 1 2 yxt，联立椭圆方程，表示出 PAB S，可求出 PAB S最大时t的值，即可得 出 2 l的方程； (ii)要证明结论，只需证明 | | PAPB MAMB ，即证直线2x为APB的平分线，转化成证明： 0 PAPB kk. 【详解】(1)设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，则 1 (2, 1)PFc ， 2 (2, 1)PFc， 2 12 4 11PF PFc ， 6c ， 又 (2,1)P 在椭圆上，故 22 41 1 ab ， 又 22 6ab ，解
43、得 2 8a ， 2 2b ， 故所求椭圆C的方程为 22 1 82 xy . (2)(i)由于 1 2 OP k，设 2 l的方程为 1 2 yxt， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 由 22 1 2 1 82 yxt xy ，消去y整理得 22 2240 xtxt， 由韦达定理可得： 12 2 12 22 2 24 4404 xxt x xt tt ， 则 2 22 1212 15 |1444 24 42 ABxxx xtt 22 5 1645 4 2 tt ， 又点P到 2 l的距离 2 | |2| | 5 1 1 2 tt d ， 所以 22 222 4 12| | 5 4
44、42 225 PAB tt t Sttt . 当且仅当 22 4tt ，即 2 2t 时，等号成立. 又M介于A、B两点之间，故 2t . 故直线AB的方程为： 1 2 2 yx. (ii)要证结论成立，只须证明 | | PAPB MAMB ， 由角平分线性质即证：直线2x为APB的平分线， 转化成证明： 0 PAPB kk. 由于 12 12 11 22 PAPB yy kk xx 1221 12 11 1212 22 22 xtxxtx xx 2 1212 121212 (2)4(1)242 (2)4(1)4444 0 222222 x xtxxttt tttt xxxxxx 因此结论成立. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式，考查点到直线的距离公式，考查椭圆中三角形面积利 用基本不等式求最值问题，考查了学生的逻辑推理能力与运算能力，属于难题.
