1、2020-2021 学年河南省郑州市中原区八年级（下）期中数学试卷学年河南省郑州市中原区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（一、选择题（3 分分1030 分）分） 1 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列条件中，不能判定ABC 是等腰三角形的是（ ） Aa3，b3，c4 Ba：b：c2：3：4 CB50，C80 DA：B：C1：1：2 3 （3 分）下列说法错误的是（ ） A若 a+3b+3，则 ab B若，则 ab C若 ab，则 acbc D若 ab，则 a+3b+2 4 （3 分）下列因式分解正确的是（ ） An25n+6
2、n（n5）+6 B4x21（2x1）2 Cy24y4（y2）2 D4t24t+1（2t1）2 5 （3 分）A、B、C 分别表示三个村庄，AB1000 米，BC600 米，AC800 米，为拟建一个文化活动中 心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 P 的位置应在（ ） AAB 中点 BBC 中点 CAC 中点 DC 的平分线与 AB 的交点 6（3 分） 如图， 一次函数 y2x 和 yax+4 的图象相交于点 A （m， 3） ， 则不等式 ax+42x 的解集是 （ ） Ax Bx2 Cx Dx2 7 （3 分）在平面直角坐标系内，将 M（5，2）先向下平移 2 个单位，再向
3、左平移 3 个单位，则移动后的点 的坐标是（ ） A （2，0） B （3，5） C （8，4） D （2，3） 8 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，B15，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 E，AC2，则 S ABE的值是（ ） A4 B5 C6 D8 9 （3 分）如图，在ABC 中，BC5，A80，B70，把ABC 沿 RS 的方向平移到DEF 的位 置，若 CF4，则下列结论中错误的是（ ） ABE4 BF30 CABDE DDF5 10 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，第一次将ABC 作原点的中心对称图形得到A1B1C1，第二次在作 A1B1C1关于 x 轴的对
4、称图形得到A2B2C2，第三次A2B2C2作原点的中心对称图形得到A3B3C3，第 四次再作A3B3C3关于 x 轴的对称图形得到A4B4C4，按照此规律作图形的变换，可以得到 A2021B2021C2021的图形，若点 C（3，2） ，则 C2021的坐标为（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算 5.3524.652 12 （3 分）写一个解集为 x4 的不等式为 13 （3 分）如图，将ABC 纸片绕点 C 顺时针旋转 40得到ABC，连接 AA，若 ACAB，则A
5、AB 的度数为 14 （3 分）如图，等边三角形 ABC 中，点 O 是ABC 的B 和C 的角平分线的交点，FOG120， 绕点 O 旋转FOG，分别交线段 AB、BC 于点 D、E 两点，连接 DE，若 OA2，则ODE 周长最小值 为 15 （3 分）如图所示，等腰三角形 ABC 的底边为 8cm，腰长为 5cm，一动点 P（与 B、C 不重合）在底边 上从 B 向 C 以 1cm/s 的速度移动，当 P 运动 秒时，ACP 是直角三角形 三、解答题（三、解答题（8 题，共题，共 75 分）分） 16 （9 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 17 （8 分）如图，在平面直角坐标系
6、中，ABC 三个顶点的坐标分别是 A（2，4） 、B（1，2） 、C（5，3） （1）作出ABC 关于点 O 对称的图形A1B1C1； （2）以点 B 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转 90，得到A2B2C2，在坐标系中画出A2B2C2 18 （9 分）阅读材料：已知ABC 中，AD 平分BAC，AD 是ABC 的中线，求证：ABAC 小明根据已知条件发现若 AD 平分BAC 可得BADCAD， 又 AD 是ABC 的中线， 可得 BDCD， 加上公共边的条件 ADAD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到ABD 和ACD 是全等的，从 而得到结论BC，可证出 ABAC 成立 小芳的方法是用
7、角平分线的性质得到 DEDF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的 方法可以得到结论 请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明（可以与小明和小芳的方 法不同） 19 （9 分）为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 4 只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯 共需 55 元，2 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯共需 17 元 （1）求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共 300 只，要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 2 倍，请设计出最省钱的购买
8、方案，并说明理由 20 （9 分）教科书中这样写道： “我们把多项式 a2+2ab+b2及 a22ab+b2叫做完全平方式” ，如果一个多项 式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个 项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以 将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值 等 例如：分解因式 x2+2x3（x2+2x+1）4（x+1）24（x+1+2） （x+12）（x+3） （x1） ；求 代数式 2x2+4x6 的最小值 2x2+4x62（x2+2x
9、+1）262（x+1）28可知当 x1 时，2x2+4x6 有最小值，最小值是 8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：x2+4x5 ； （2）当 x 为何值时，多项式2x24x+3 有最大值，并求出这个最大值 21 （9 分）4 月 23 日是“世界读书日” ，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动： 甲书店：所有书籍按标价 8 折出售； 乙书店：一次购书标价总额不超过 100 元的按原价计费，超过 100 元的部分打 6 折 设小红同学当天购书标价总额为 x 元，去甲书店付 y甲元，去乙书店购书应付 y乙元，其函数图象如图所 示 （1）求 y甲、y乙与 x 的关系式； （2
10、）两图象交于点 A，请求出 A 点坐标，并说明点 A 的实际意义； （3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算 22 （11 分）问题探究：小江同学根据学习函数的经验，对函数 y2|x|+5 的图象和性质进行了探究下 面是小刚的探究过程，请你解决相关问题： （）在函数 y2|x|+5 中，自变量 x 可以是任意实数； （）如表 y 与 x 的几组对应值： x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y 3 1 1 3 5 3 1 1 3 （）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点， 并根据描出的点，画出该函数的图象； （1）若 A（m，n） ，B（6，n）为该函数
11、图象上不同的两点，则 m ； （2）观察函数 y2|x|+5 的图象，写出该图象的两条性质 （3）直接写出，当 02|x|+53 时，自变量 x 的取值范围是 23 （11 分） （一）发现探究 在ABC 中 ABAC，点 P 在平面内，连接 AP 并将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转与BAC 相等的角 度，得到线段 AQ，连接 BQ 【发现问题】如图 1，如果点 P 是 BC 边上任意一点，则线段 BQ 和线段 PC 的数量关系是 ； 【探究猜想】如图 2，如果点 P 为平面内任意一点前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证 明；若不成立，请说明理由请仅以图 2 所示的位置关系加以证
12、明（或说明） ； （二）拓展应用 【拓展应用】如图 3，在ABC 中，AC2，ACB90，ABC30，P 是线段 BC 上的任意一点 连接 AP，将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 60，得到线段 AQ，连接 CQ，请直接写出线段 CQ 长度 的最小值 2020-2021 学年河南省郑州市中原区八年级（下）期中数学试卷学年河南省郑州市中原区八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（3 分分1030 分）分） 1 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本
13、选项符合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：A 2 （3 分）下列条件中，不能判定ABC 是等腰三角形的是（ ） Aa3，b3，c4 Ba：b：c2：3：4 CB50，C80 DA：B：C1：1：2 【解答】解：A、a3，b3，c4， ab， ABC 是等腰三角形； B、a：b：c2：3：4 abc， ABC 不是等腰三角形； C、B50，C80， A180BC50， AB， ACBC， ABC 是等腰三角形； D、A：B：C1：1：2， AB， AC
14、BC， ABC 是等腰三角形 故选：B 3 （3 分）下列说法错误的是（ ） A若 a+3b+3，则 ab B若，则 ab C若 ab，则 acbc D若 ab，则 a+3b+2 【解答】解：A、若 a+3b+3，则 ab，原变形正确，故此选项不符合题意； B、若，则 ab，原变形正确，故此选项不符合题意； C、若 ab，则 acbc，这里必须满足 c0，原变形错误，故此选项符合题意； D、若 ab，则 a+3b+2，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C 4 （3 分）下列因式分解正确的是（ ） An25n+6n（n5）+6 B4x21（2x1）2 Cy24y4（y2）2 D4t24t+
15、1（2t1）2 【解答】解：A、n25n+6（n2） （n3） ，故 A 错误； B、4x21（2x+1） （2x1） ，故 B 错误； C、不可因式分解； D、4t24t+1（2t1）2，故 D 正确 故选：D 5 （3 分）A、B、C 分别表示三个村庄，AB1000 米，BC600 米，AC800 米，为拟建一个文化活动中 心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 P 的位置应在（ ） AAB 中点 BBC 中点 CAC 中点 DC 的平分线与 AB 的交点 【解答】解：AB2100021000000，BC26002360000，AC28002640000， AB2BC2+AC2
16、， ABC 为以 AB 为斜边的直角三角形， 当点 P 在 AB 的中点时，CPABPAPB， 故选：A 6（3 分） 如图， 一次函数 y2x 和 yax+4 的图象相交于点 A （m， 3） ， 则不等式 ax+42x 的解集是 （ ） Ax Bx2 Cx Dx2 【解答】解：函数 y2x 过点 A（m，3） ， 2m3， 解得：m， A（，3） ， 不等式 ax+42x 的解集为 x 故选：C 7 （3 分）在平面直角坐标系内，将 M（5，2）先向下平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位，则移动后的点 的坐标是（ ） A （2，0） B （3，5） C （8，4） D （2，3） 【解
17、答】解：平移后的坐标为（53，22） ，即坐标为（2，0） ， 故选：A 8 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，B15，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 E，AC2，则 S ABE的值是（ ） A4 B5 C6 D8 【解答】解：DE 垂直平分 AB， AEBE， EABB15， AECB+BAE30， ACE90，AC2， AEBE2AC4， SABEBEAC， 故选：A 9 （3 分）如图，在ABC 中，BC5，A80，B70，把ABC 沿 RS 的方向平移到DEF 的位 置，若 CF4，则下列结论中错误的是（ ） ABE4 BF30 CABDE DDF5 【解答】解：把ABC
18、 沿 RS 的方向平移到DEF 的位置，BC5，A80，B70， CFBE4，FACB180AB180807030，ABDE， A、B、C 正确，D 错误， 故选：D 10 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，第一次将ABC 作原点的中心对称图形得到A1B1C1，第二次在作 A1B1C1关于 x 轴的对称图形得到A2B2C2，第三次A2B2C2作原点的中心对称图形得到A3B3C3，第 四次再作A3B3C3关于 x 轴的对称图形得到A4B4C4，按照此规律作图形的变换，可以得到 A2021B2021C2021的图形，若点 C（3，2） ，则 C2021的坐标为（ ） A （3，2） B （3
19、，2） C （3，2） D （3，2） 【解答】解：如图，由题意，4 次一个循环， 20214505.1， C2021与 C1的坐标相同， （3，2） 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算 5.3524.652 7 【解答】解：5.3524.652（5.35+4.65）（5.354.65） 100.7 7 故答案为：7 12 （3 分）写一个解集为 x4 的不等式为 2x8 【解答】解：不等式两边同乘2 得： 2x8 故答案为：2x8 13 （3 分）如图，将ABC 纸片绕点 C 顺时针旋转 40得到ABC，连接 AA，若 AC
20、AB，则AAB 的度数为 20 【解答】解：若 ACAB，垂足为 D， ACAB， 直角ACD 中，DAC90DCA904050 CACA， CAACAA（180ACA）（18040）$70， AAB705020 故答案为：20 14 （3 分）如图，等边三角形 ABC 中，点 O 是ABC 的B 和C 的角平分线的交点，FOG120， 绕点 O 旋转FOG，分别交线段 AB、BC 于点 D、E 两点，连接 DE，若 OA2，则ODE 周长最小值 为 【解答】解：连接 OB、OC，过点 H 作 OHDE 于 H，如图， ABC 为等边三角形， ABCACB60， 点 O 是ABC 的B 和C
21、的角平分线的交点， OBOCAO2，ABOOBCOCB30 BOC120，即BOE+COE120， 又DOE120，即BOE+BOD120， BODCOE， 在BOD 和COE 中， ， BODCOE（ASA） ， BDCE，ODOE， 又DOE120，OHDE， ODHOED30， OHOD，DHOHOD， ODE 周长OD+OE+DE2OD+OD， 当 OD 取最小值时，ODE 周长有最小值， 当 DOAB 时，OD 的最小值为 1， ODE 周长的最小值为 2+， 故答案为 2+ 15 （3 分）如图所示，等腰三角形 ABC 的底边为 8cm，腰长为 5cm，一动点 P（与 B、C 不重
22、合）在底边 上从 B 向 C 以 1cm/s 的速度移动，当 P 运动 1.75 或 4 秒时，ACP 是直角三角形 【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D， ABAC5cm， BDCDBC4（cm） ， AD3（cm） ， 分两种情况： 当点 P 运动 t 秒后有 PAAC 时，如图 1， 则 PBt，PC8t， AP2PC2AC2PD2+AD2， （8t）252（4t）2+32， 解得：t1.75s； 当 APBC 时，如图 2， ABAC， PBPCBC4（cm） ， t4s， 综上所述，当 P 运动 1.75s 或 4s 秒时，ACP 是直角三角形， 故答案为：1.75 或 4 三、
23、解答题（三、解答题（8 题，共题，共 75 分）分） 16 （9 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 【解答】解： 由式得 x1 由得 x3 所以1x3 17 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别是 A（2，4） 、B（1，2） 、C（5，3） （1）作出ABC 关于点 O 对称的图形A1B1C1； （2）以点 B 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转 90，得到A2B2C2，在坐标系中画出A2B2C2 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求作 （2）如图，A2B2C2即为所求作 18 （9 分）阅读材料：已知ABC 中，AD 平分BAC，AD 是ABC 的
24、中线，求证：ABAC 小明根据已知条件发现若 AD 平分BAC 可得BADCAD， 又 AD 是ABC 的中线， 可得 BDCD， 加上公共边的条件 ADAD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到ABD 和ACD 是全等的，从 而得到结论BC，可证出 ABAC 成立 小芳的方法是用角平分线的性质得到 DEDF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的 方法可以得到结论 请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明（可以与小明和小芳的方 法不同） 【解答】解：BADCAD，BDCD，ADAD，不能证明ABD 和ACD 全等， 小明的证明思路不正确， 小芳的证明思
25、路正确，理由如下： 过点 D 作 DEAB 于点 E，作 DFAC 于点 F，如图所示： AD 是BAC 的角平分线， DEDF， AD 是ABC 的中线， SABDSACD， ABDEACDF， ABAC 19 （9 分）为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 4 只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯 共需 55 元，2 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯共需 17 元 （1）求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共 300 只，要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 2 倍，请设计出最省
26、钱的购买方案，并说明理由 【解答】解： （1）设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元，1 只 B 型节能灯的售价是 y 元， 根据题意得：， 解得， 答：1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元； （2）设购买 A 型号的节能灯 a 只，则购买 B 型号的节能灯（300a）只，费用为 w 元， w5a+7（300a）2a+2100， a2（300a） ， a200， 当 a200 时，w 取得最小值，此时 w1700，300a100， 答：当购买 A 型号节能灯 200 只，B 型号节能灯 100 只时最省钱 20 （9 分）教科书中这样写道： “我们把多项
27、式 a2+2ab+b2及 a22ab+b2叫做完全平方式” ，如果一个多项 式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个 项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以 将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值 等 例如：分解因式 x2+2x3（x2+2x+1）4（x+1）24（x+1+2） （x+12）（x+3） （x1） ；求 代数式 2x2+4x6 的最小值 2x2+4x62（x2+2x+1）262（x+1）28可知当 x1 时，2x2+4x6 有最小
28、值，最小值是 8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：x2+4x5 （x+5） （x1） ； （2）当 x 为何值时，多项式2x24x+3 有最大值，并求出这个最大值 【解答】解： （1）原式x2+4x+445（x+2）29（x+2+3） （x+23）（x+5） （x1） ； （2）2x24x+32（x2+2x）+32（x2+2x+1）+2+32（x+1）2+5， 2（x+1）20， 当 x1 时，多项式x24x+3 有最大值 5 21 （9 分）4 月 23 日是“世界读书日” ，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动： 甲书店：所有书籍按标价 8 折出售； 乙书店：一次购书
29、标价总额不超过 100 元的按原价计费，超过 100 元的部分打 6 折 设小红同学当天购书标价总额为 x 元，去甲书店付 y甲元，去乙书店购书应付 y乙元，其函数图象如图所 示 （1）求 y甲、y乙与 x 的关系式； （2）两图象交于点 A，请求出 A 点坐标，并说明点 A 的实际意义； （3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算 【解答】解： （1）由题意可得， y甲0.8x； 乙书店：当 0 x100 时，y乙与 x 的函数关系式为 y乙x，当 x100 时，y乙100+（x100）0.6 0.6x+40， 由上可得，y乙与 x 的函数关系式为 y乙； （2）， 解得，
30、A（200，160） ， 点 A 的实际意义是当买的书标价为 200 元时，甲乙书店所需费用相同，都是 160 元； （3）由点 A 的意义，结合图象可知， 当 x200 时，选择甲书店更省钱； 当 x200，甲乙书店所需费用相同； 当 x200，选择乙书店更省钱 22 （11 分）问题探究：小江同学根据学习函数的经验，对函数 y2|x|+5 的图象和性质进行了探究下 面是小刚的探究过程，请你解决相关问题： （）在函数 y2|x|+5 中，自变量 x 可以是任意实数； （）如表 y 与 x 的几组对应值： x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y 3 1 1 3 5 3 1 1 3 （）如图
31、，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点， 并根据描出的点，画出该函数的图象； （1）若 A（m，n） ，B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则 m 6 ； （2）观察函数 y2|x|+5 的图象，写出该图象的两条性质 图象关于 y 轴对称；函数最大值为 5； （3）直接写出，当 02|x|+53 时，自变量 x 的取值范围是 x1 或 1x 【解答】解： （）在平面直角坐标系中，描点、连线，画出函数图象如图所示： （1）将 x6 代入函数解析式得 n2|6|+57， 将 y7 代入函数解析式的：72|x|+5， 解得：x6， m6， 故答案为：6； （2）由图知，函数 y2|x
32、|+5 的图象关于 y 轴对称，且函数最大值为 5 故答案为：图象关于 y 轴对称；函数最大值为 5； （3）原不等式变形为解得， 故自变量 x 的取值范围是x1 或 1x 23 （11 分） （一）发现探究 在ABC 中 ABAC，点 P 在平面内，连接 AP 并将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转与BAC 相等的角 度，得到线段 AQ，连接 BQ 【发现问题】 如图 1， 如果点 P 是 BC 边上任意一点， 则线段 BQ 和线段 PC 的数量关系是 BQPC ； 【探究猜想】如图 2，如果点 P 为平面内任意一点前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证 明；若不成立，请说明理由请仅
33、以图 2 所示的位置关系加以证明（或说明） ； （二）拓展应用 【拓展应用】如图 3，在ABC 中，AC2，ACB90，ABC30，P 是线段 BC 上的任意一点 连接 AP，将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 60，得到线段 AQ，连接 CQ，请直接写出线段 CQ 长度 的最小值 【解答】解： 【发现问题】由旋转知，AQAP， PAQBAC， PAQBAPBACBAP， BAQCAP， ABAC， BAQCAP（SAS） ， BQCP， 故答案为：BQPC； 【探究猜想】结论：BQPC 仍然成立， 理由：由旋转知，AQAP， PAQBAC， PAQBAPBACBAP， BAQCAP， A
34、BAC， BAQCAP（SAS） ， BQCP； 【拓展应用】如图 3， 在 AB 上取一点 E，使 AEAC2，连接 PE，过点 E 作 EFBC 于 F， 由旋转知，AQAP，PAQ60， ABC30， EAC60， PAQEAC， CAQEAP， CAQEAP（SAS） ， CQEP， 要使 CQ 最小，则有 EP 最小，而点 E 是定点，点 P 是 AB 上的动点， 当 EFBC（点 P 和点 F 重合）时，EP 最小， 即：点 P 与点 F 重合，CQ 最小，最小值为 EP， 在 RtACB 中，ACB30，AC2， AB4， AEAC2， BEABAE2， 在 RtBFE 中，EBF30，BE2， EFBE1， 故线段 CQ 长度最小值是 1
