1、2020 年湖北省襄阳市年湖北省襄阳市 XX 学校自主招生数学试卷学校自主招生数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 50 分）分） 1 已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为（ ） A B C D 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 为（0，3） ，点 B 为（2，1） ，点 C 为（2，3） 则经画图操作 可知：ABC 的外心坐标应是（ ） A （0，0） B （1，0） C （2，1） D （2，0） 3二次不等式 ax2+bx+10 的解集为1x，则 ab 的值为（ ） A5 B5 C6 D6 4已知 tan2，则的值为（ ） A5 B4
2、C3 D2 5若某公司从 5 位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用 3 人，这 5 人被录用的机会均等，则甲或乙被录 用的概率为（ ） A B C D 6已知函数 f（x），则 ff（1）（ ） A0 B1 C2 D 7已知数列 2008，2009，1，2008，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和， 则这个数列的前 2014 项之和 S2014等于（ ） A1 B4018 C2010 D0 8如果 ab0，那么（ ） A Bacbc C Da2b2 9若不等式 x2xa2+a+10 对任意实数 x 成立，则（ ） A1a1 B0a2 Ca Da 10如图，O 的半径为 2
3、，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是O 上任意一点（P 与 A、B、C、D 不重合） ，经过 P 作 PMAB 于点 M，PNCD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆周转过 45 时，点 Q 走过的路径长为（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 30 分）分） 11函数 y中，自变量 x 的取值范围为 12BD 为等腰ABC 的腰 AC 上的高，BD1，tanABD，则 CD 的长为 13 当 xa 与 xb （ab） 时， 代数式 x22x+3 的值相等， 则 xa+b 时， 代数式 x22x+3 的值为 14若0，化简3 的结果为 15若 0a1，则关
4、于 x 的不等式（ax） （x）0 的解集是 16已知 x0，则 2+3x+的最大值等于 三解答下列各题（第三解答下列各题（第 17、18、19 题每题题每题 6 分，第分，第 20、21、22、23 每题每题 10 分，分，24 题题 12 分）分） 17 （6 分）若关于 x 的方程只有一个解（相等的解也算作一个） ，试求 k 的值与方程的 解 18 （6 分）一堆彩球有红、黄两种颜色，首先数出的 50 个球中有 49 个红球，以后每数出 8 个球中都有 7 个红球，一直数到最后 8 个球，正好数完，在已经数出的球中红球的数目不少于 90% （1）这堆球的数目最多有多少个？ （2）在（1）
5、的情况下，从这堆彩球中任取两个球，恰好为一红一黄的概率有多大？ 19 （6 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，C45，sinB，AD 1 （1）求 BC 的长； （2）求 tanDAE 的值 20 （10 分）如图，点 C 为ABD 的外接圆上的一动点（点 C 不在上，且不与点 B，D 重合） ，ACB ABD45 （1）求证：BD 是该外接圆的直径； （2）连接 CD，求证：ACBC+CD； （3）若ABC 关于直线 AB 的对称图形为ABM，连接 DM，试探究 DM2，AM2，BM2三者之间满足的 等量关系，并证明你的结论 21 （10 分）某中
6、学为了奖励平时工作认真、业绩突出的教师，今年“五一”小长假期间，将组织 50 名教 师分散到 A，B，C 三个景点游玩三个景点的门票费如下表： 景点 A B C 门票单价（元） 30 55 75 学校欲购买的 50 张票中，B 种票张数是 A 种票张数的 3 倍还多 1 张，设需购 A 种票张数为 x，C 种票张 数为 y （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）设购买门票总费用为 W（元） ，求出 W 与 x 之间的函数关系式； （3） 若每种票至少购买一张， 且 A 种票不少于 10 张， 则共有几种购票方案？并求出购票总费用最少时， 购买 A，B，C 三种票的张数 22 （10
7、 分）若一个两位正整数 m 的个位数为 8，则称 m 为“好数” （1）求证：对任意“好数”m，m264 一定为 20 的倍数； （2）若 mp2q2，且 p，q 为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对” ，规定：H（m），例如 68182162，称数对（18，16）为“友好数对” ，则 H（68），求小于 50 的“好数”中，所 有“友好数对”的 H（m）的最大值 23 （10 分）如图，已知ABC 中，AB5cm，BC3cm，AC4cmP 点由 A 点出发，以 1cm/s 的速度沿 线段 AB 方向向 B 点匀速运动， 同时 Q 点由 B 点出发， 以 1cm/s 的速度沿线段 BC 方
8、向向 C 点匀速运动， 当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，连接 PQ设运动的时间为 t（单位：s） （1）当 t 为何值时，PBQ 与ABC 相似； （2）运动过程中，是否存在某时刻 t，使线段 PQ 平分ABC 的面积？若存在，请求出此时 t 的值，若 不存在，请说明理由； （3）当 t 为何值时，四边形 APQC 的面积最小？并求出此时的最小值 24 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点（2，3a） ， 对称轴是直线 x1，顶点是 M （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）经过 C，M 两点作直线与 x 轴交
9、于点 N，在抛物线上是否存在这样的点 P，使以点 P，A，C，N 为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线 yx+3 与 y 轴的交点是 D，在线段 BD 上任取一点 E（不与 B，D 重合） ，经过 A，B，E 三点的圆交直线 BC 于点 F，试判断AEF 的形状，并说明理由； （4）当 E 是直线 yx+3 上任意一点时， （3）中的结论是否成立（请直接写出结论） 2020 年湖北省襄阳市年湖北省襄阳市 XX 学校自主招生数学试卷学校自主招生数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，
10、共分，共 50 分）分） 1 已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为（ ） A B C D 【分析】首先根据俯视图和左视图判断该几何体，然后确定其主视图即可； 【解答】解：根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱， 其主视图应该是矩形，而且有看到两条棱，背面的棱用虚线表示， 故选：D 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 为（0，3） ，点 B 为（2，1） ，点 C 为（2，3） 则经画图操作 可知：ABC 的外心坐标应是（ ） A （0，0） B （1，0） C （2，1） D （2，0） 【分析】首先由ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直
11、角坐标系中作 AB 与 BC 的垂线，两垂线的交点即为ABC 的外心 【解答】解：ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： EF 与 MN 的交点 O即为所求的ABC 的外心， ABC 的外心坐标是（2，1） 故选：C 3二次不等式 ax2+bx+10 的解集为1x，则 ab 的值为（ ） A5 B5 C6 D6 【分析】对原不等式进行等价变形，利用根与系数的关系求出 a、b 的值，即可得出 ab 的值 【解答】解：不等式 ax2+bx+10 的解集为1x， a0， 原不等式等价于ax2bx10， 由根与系数的关系，得1+，13， a3，b2， ab6， 故选：D 4已知 ta
12、n2，则的值为（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】根据同角的三角函数之间的关系代入计算即可 【解答】解：因为 tan2，即2， 所以 sin2cos， 所以原式5， 故选：A 5若某公司从 5 位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用 3 人，这 5 人被录用的机会均等，则甲或乙被录 用的概率为（ ） A B C D 【分析】画树状图，共有 60 个等可能的结果，甲或乙被录用的结果有 54 个，再由概率公式求解即可 【解答】解：把甲、乙、丙、丁、戌分别记为 1、2、3、4、5， 画树状图如图： 共有 60 个等可能的结果，甲或乙被录用的结果有 54 个， 甲或乙被录用的概率为， 故选：D 6已
13、知函数 f（x），则 ff（1）（ ） A0 B1 C2 D 【分析】直接利用函数的定义结合关系式化简得出答案 【解答】解：函数 f（x）， ff（1）f（1）1+12 故选：C 7已知数列 2008，2009，1，2008，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和， 则这个数列的前 2014 项之和 S2014等于（ ） A1 B4018 C2010 D0 【分析】根据题干描述，列项寻找规律 【解答】解：第一项 2008； 第二项 2009； 第三项 1； 第四项2008； 第五项2009； 第六项1； 第七项 2008； 第八项 2009； 数列的周期为 6，且前六项之和为
14、 0 201463354 S20142008+2009+120082010 故选：C 8如果 ab0，那么（ ） A Bacbc C Da2b2 【分析】根据不等式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案 【解答】解：A、因为 ab0，所以0，故本选项错误； B、当 c0 时，由不等式的性质可知 acbc，故本选项错误； C、由题知 ab0，原不等式两边同除以 ab，可得，故本选项正确； D、令 a2，b1，a2b2，故本选项错误 故选：C 9若不等式 x2xa2+a+10 对任意实数 x 成立，则（ ） A1a1 B0a2 Ca Da 【分析】由 x2xa2+a+10 对任意实数 x 成立可
15、得函数 yx2xa2+a+1 与 x 轴没有交点，从而有 14（a2+a+1）0，解不等式可求 a 的范围 【解答】解：x2xa2+a+10 对任意实数 x 成立，即函数 yx2xa2+a+1 与 x 轴没有交点， 14（a2+a+1）0 即 4a24a30 （2a+1） （2a3）0 解不等式可得：a 故选：D 10如图，O 的半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是O 上任意一点（P 与 A、B、C、D 不重合） ，经过 P 作 PMAB 于点 M，PNCD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆周转过 45 时，点 Q 走过的路径长为（ ） A B C D
16、【分析】OP 的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得 OQ1，再由走过的角度代入弧长公 式即可 【解答】解：PMAB 于点 M，PNCD 于点 N， 四边形 ONPM 是矩形， 又点 Q 为 MN 的中点， 点 Q 为 OP 的中点， 则 OQ1， 点 Q 走过的路径长 故选：A 二填空题（共二填空题（共 30 分）分） 11函数 y中，自变量 x 的取值范围为 x1 或 x1 【分析】一般地从两个角度考虑：分式的分母不为 0；偶次根式被开方数大于或等于 0；当一个式子中同 时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分 【解答】解：根据题意得到：|x|10， 解得|x|1， 即
17、x1 或 x1， 故答案为 x1 或 x1 12 BD 为等腰ABC 的腰 AC 上的高， BD1， tanABD， 则 CD 的长为 2或 2或 【分析】分两种情况：如图 1，A 为钝角，ABAC，在 RtABD 中，根据锐角三角函数的定义即可 得到结果；如图 2，A 为锐角，ABAC，在 RtABD 中根据锐角三角函数的定义即可得到结果； 如图 3，A 为底角，由 tanABD，得到ABD60于是得到A30，求得C120， 在 RtBCD 中根据锐角三角函数的定义即可得到结果 【解答】解：分三种情况： 如图 1，A 为钝角，ABAC， 在 RtABD 中，BD1，tanABD， AD，AB
18、2， AC2， CD2+， 如图 2，A 为锐角，ABAC， 在 RtABD 中，BD1，tanABD， AD，AB2， AC2， CD2， 如图 3，A 为底角， tanABD， ABD60， A30， C120， BCD60 BD1， CD； C 为锐角且为顶角时， 如图 4，BDAC， ADB90， tanABD， ABD60， A30， CBAA30，C12090， 这种情况不存在； 综上所述；CD 的长为：2或 2或， 故答案为：2或 2或 13当 xa 与 xb（ab）时，代数式 x22x+3 的值相等，则 xa+b 时，代数式 x22x+3 的值为 3 【分析】先找出二次函数 y
19、x22x+3（x1）2+2 的对称轴为 x1，进而求得 a+b2，再把 x2 代 入代数式即可 【解答】解：由 yx22x+3（x1）2+2 可知抛物线 yx22x+3 对称轴为直线 x1， 当 xa 与 xb（ab）时，代数式 x22x+3 的值相等， 当 xa 或 xb（ab）时，二次函数 yx22x+3 的函数值相等， 以 a、b 为横坐标的点关于直线 x1 对称，则1， a+b2， xa+b， x2， x2 时，代数式 x22x+344+33 故答案为 3 14若0，化简3 的结果为 4x 【分析】解不等式组求出 x 的范围，根据二次根式的性质化简即可 【解答】解：由题意得，或， 解得
20、，2x， 则原式|53x|x+2|353x2x34x， 故答案为：4x 15若 0a1，则关于 x 的不等式（ax） （x）0 的解集是 ax 【分析】已知 0a1，可得1，判断 a 与的大小，再根据不等式的解法，进行求解 【解答】解：因为 0a1，可得1， a （ax） （x）0， （xa） （x）0， ax 关于 x 的不等式（ax） （x ）0 的解集是 ax 故答案为：ax 16已知 x0，则 2+3x+的最大值等于 24 【分析】由 a2+b22ab0 得 a2+b22ab，a2b22ab 【解答】解：x0， 3x+24， 2+3x+24， 当且仅当 3x时等号成立，取得最小值 24
21、 故答案为：24 三解答下列各题（第三解答下列各题（第 17、18、19 题每题题每题 6 分，第分，第 20、21、22、23 每题每题 10 分，分，24 题题 12 分）分） 17 （6 分）若关于 x 的方程只有一个解（相等的解也算作一个） ，试求 k 的值与方程的 解 【分析】 先将分式方程转化为整式方程， 把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解” 内涵丰富，在全面分析的基础上求出 k 的值 【解答】解：原方程化为 kx2+（23k）x10 （1）当 k0 时，原方程有一个解，x； （2）当 k0 时，方程5k2+4（k1）20，总有两个不同的实数根， 由题意知必有
22、一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是 0 或 1，显然 0 不是的根， 故 x1，得 k 综上可知 k 的值为 0 或，当 k0 时，方程的解为 x；k时，方程的解为 x2 18 （6 分）一堆彩球有红、黄两种颜色，首先数出的 50 个球中有 49 个红球，以后每数出 8 个球中都有 7 个红球，一直数到最后 8 个球，正好数完，在已经数出的球中红球的数目不少于 90% （1）这堆球的数目最多有多少个？ （2）在（1）的情况下，从这堆彩球中任取两个球，恰好为一红一黄的概率有多大？ 【分析】可以设这堆球的数目为 n，可列出方程 50+（x49）n，又90%，计算 n 的值，然后 运用概率公
23、式 p可以得到（2） 【解答】解：设这堆球的数目为 n 个，共有 x 个红球， 由于首先数出的 50 个球中有 49 个红球，以后每数出 8 个球中都有 7 个红球，一直数到最后 8 个球，正 好数完， 则可列出方程 50+（x49）n， 又90%，当90%时，n 最大， 求方程得出 n210 个； （2）n210，x189，故从这堆彩球中任取两个球，恰好为一红一黄的概率为 0.18086 约为 18.1% 19 （6 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，C45，sinB，AD 1 （1）求 BC 的长； （2）求 tanDAE 的值 【分析】 （1）
24、先由三角形的高的定义得出ADBADC90，再解 RtADC，得出 DC1；解 Rt ADB，得出 AB3，根据勾股定理求出 BD2，然后根据 BCBD+DC 即可求解； （2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DECECD，然后在 RtADE 中根据正切函数的定 义即可求解 【解答】解： （1）在ABC 中，AD 是 BC 边上的高， ADBADC90 在ADC 中，ADC90，C45，AD1， DCAD1 在ADB 中，ADB90，sinB，AD1， AB3， BD2， BCBD+DC2+1； （2）AE 是 BC 边上的中线， CEBC+， DECECD+1， tanDAE 20
25、 （10 分）如图，点 C 为ABD 的外接圆上的一动点（点 C 不在上，且不与点 B，D 重合） ，ACB ABD45 （1）求证：BD 是该外接圆的直径； （2）连接 CD，求证：ACBC+CD； （3）若ABC 关于直线 AB 的对称图形为ABM，连接 DM，试探究 DM2，AM2，BM2三者之间满足的 等量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）要证明 BD 是该外接圆的直径，只需要证明BAD 是直角即可，又因为ABD45，所 以需要证明ADB45； （2）在 CD 延长线上截取 DEBC，连接 EA，只需要证明EAC 是等腰直角三角形即可得出结论； （3）过点 M 作 MFMB 于点
26、M，过点 A 作 AFMA 于点 A，MF 与 AF 交于点 F，证明AMF 是等腰 三角形后，可得出 AMAF，MFAM，然后再证明ABFADM 可得出 BFDM，最后根据勾股 定理即可得出 DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系 【解答】解： （1）， ACBADB45， ABD45， BAD90， BD 是ABD 外接圆的直径； （2）在 CD 的延长线上截取 DEBC， 连接 EA， ABDADB， ABAD， ADE+ADC180， ABC+ADC180， ABCADE， 在ABC 与ADE 中， ， ABCADE（SAS） ， BACDAE， BAC+CADDAE+CAD， BA
27、DCAE90， ACDABD45， CAE 是等腰直角三角形， ACCE， ACCD+DECD+BC； （3）过点 M 作 MFMB 于点 M，过点 A 作 AFMA 于点 A，MF 与 AF 交于点 F，连接 BF， 由对称性可知：AMBACB45， FMA45， AMF 是等腰直角三角形， AMAF，MFAM， MAF+MABBAD+MAB， FABMAD， 在ABF 与ADM 中， ， ABFADM（SAS） ， BFDM， 在 RtBMF 中， BM2+MF2BF2， BM2+2AM2DM2 21 （10 分）某中学为了奖励平时工作认真、业绩突出的教师，今年“五一”小长假期间，将组织
28、50 名教 师分散到 A，B，C 三个景点游玩三个景点的门票费如下表： 景点 A B C 门票单价（元） 30 55 75 学校欲购买的 50 张票中，B 种票张数是 A 种票张数的 3 倍还多 1 张，设需购 A 种票张数为 x，C 种票张 数为 y （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）设购买门票总费用为 W（元） ，求出 W 与 x 之间的函数关系式； （3） 若每种票至少购买一张， 且 A 种票不少于 10 张， 则共有几种购票方案？并求出购票总费用最少时， 购买 A，B，C 三种票的张数 【分析】 （1）根据 A，B 之间的数量关系，利用 A 种+B 种+C 种50 求出
29、 y 与 x 的函数关系即可； （2）根据 A，B，C 三种门票的价格以及张数得出总费用即可； （3）根据每种票至少购买一张，且 A 种票不少于 10 张，得出不等式组，求出 x 的取值范围，进而得出 购票方案即可 【解答】解： （1）欲购买的 50 张票中，B 种票张数是 A 种票张数的 3 倍还多 1 张， 设需购 A 种票张数为 x，C 种票张数为 y， x+3x+1+y50， 整理得出：y4x+49； （2）根据三种门票的单价为：A 种 30 元，B 种 55 元，C 种 75 元， W30 x+55（3x+1）+75（4x+49）105x+3730； （3）由题意得出：， 解得：10
30、 x12， 故共有 3 种购票方案，即 A 种 10 张，B 种 31 张，C 种 9 张； A 种 11 张，B 种 34 张，C 种 5 张； A 种 12 张，B 种 37 张，C 种 1 张； 根据 A 种票价最低，即购买 A 种门票越多，费用越低， 故购票费用最少时，购买 A 种票 12 张，B 种票 37 张，C 种票 1 张 22 （10 分）若一个两位正整数 m 的个位数为 8，则称 m 为“好数” （1）求证：对任意“好数”m，m264 一定为 20 的倍数； （2）若 mp2q2，且 p，q 为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对” ，规定：H（m），例如 6818216
31、2，称数对（18，16）为“友好数对” ，则 H（68），求小于 50 的“好数”中，所 有“友好数对”的 H（m）的最大值 【分析】 （1）设 m10t+8，1t9，且 t 为整数，由于 m26420（5t2+8t） ，于是得到结论； （2）根据已知条件得到 10t+8（p+q） （pq） ，于是得到 H（28），H（48）或 H（48） 或 H（48），即可得到结论 【解答】 （1）证明：设 m10t+8，1t9，且 t 为整数， m264（10t+8）264100t2+160t+646420（5t2+8t） ， 1t9，且 t 为整数， 5t2+8t 是正整数， m264 一定为 20
32、的倍数； （2）解：mp2q2，且 p，q 为正整数， 10t+8（p+q） （pq） ， 当 t1 时，181182936，没有满足条件的 p，q； 当 t2 时，2812821447， 其中满足条件的 p，q 的数对有（8，6） ，即 288262， H（28）， 当 t3 时，38138219，没有满足条件的 p，q； 当 t4 时，4814822431641268， 满足条件的 p，q 的数对为或或， 解得：或或， 即 4813211282427212， H（48）或 H（48）或 H（48）， ， H（m）的最大值为 23 （10 分）如图，已知ABC 中，AB5cm，BC3cm，A
33、C4cmP 点由 A 点出发，以 1cm/s 的速度沿 线段 AB 方向向 B 点匀速运动， 同时 Q 点由 B 点出发， 以 1cm/s 的速度沿线段 BC 方向向 C 点匀速运动， 当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，连接 PQ设运动的时间为 t（单位：s） （1）当 t 为何值时，PBQ 与ABC 相似； （2）运动过程中，是否存在某时刻 t，使线段 PQ 平分ABC 的面积？若存在，请求出此时 t 的值，若 不存在，请说明理由； （3）当 t 为何值时，四边形 APQC 的面积最小？并求出此时的最小值 【分析】 （1） 两种情况： 当BPQBAC 时， 根据三角形相似的性质得出
34、， 代入求出即可； 当BPQBCA 时，根据三角形相似的性质得出，代入求出即可； （2） 过 P 作 PEBC 于 E， 根据勾股定理的逆定理求出C90， 推出BPEBAC， 得出， 代入求出 PE （5t） ，假如存在某时刻 t，使线段 PQ 平分ABC 的面积，得出t （5t） 43，求出 t 即可； （3）S四边形APQCSABCSBPQ，代入得出二次函数解析式，求出顶点坐标即可 【解答】解： （1）分为两种情况：当BPQBAC 时， 根据三角形相似的性质得：， ， 解得 t； 当BPQBCA 时， 根据三角形相似的性质得：， ， 解得 t3，不符合题意舍去； 综合上述：当 t 为s 时
35、，PBQ 与ABC 相似； （2）不存在某时刻 t，使线段 PQ 平分ABC 的面积， 理由是：如图 2，过 P 作 PEBC 于 E， AB5cm，BC3cm，AC4cm， AB2AC2+BC2， C90， PEAC， BPEBAC， ， ， PE（5t） ， 假如存在某时刻 t，使线段 PQ 平分ABC 的面积， 则BQPEACBC， t（5t）43， 整理，得 2t210t+150， （10）24215200， 此方程无解， 不存在某时刻 t，使线段 PQ 平分ABC 的面积； （3）S四边形APQCSABCSBPQ 43t（5t） t22t+6 （t）2+， 即当 ts 时，四边形 A
36、PQC 的面积 S 值最小，最小值是cm2 24 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点（2，3a） ， 对称轴是直线 x1，顶点是 M （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）经过 C，M 两点作直线与 x 轴交于点 N，在抛物线上是否存在这样的点 P，使以点 P，A，C，N 为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线 yx+3 与 y 轴的交点是 D，在线段 BD 上任取一点 E（不与 B，D 重合） ，经过 A，B，E 三点的圆交直线 BC 于点 F，试判断AEF 的
37、形状，并说明理由； （4）当 E 是直线 yx+3 上任意一点时， （3）中的结论是否成立（请直接写出结论） 【分析】 （1）依题意联立方程组求出 a，b 的值后可求出函数表达式 （2）分别令 x0，y0 求出 A、B、C 三点的坐标，然后易求直线 CM 的解析式证明四边形 ANCP 为 平行四边形可求出点 P 的坐标 （3）求出直线 yx+3 与坐标轴的交点 D，B 的坐标然后证明AFEABE45，AEAF，可 证得三角形 AEF 是等腰直角三角形 （4）根据（3）中所求，即可得出当 E 是直线 yx+3 上任意一点时， （3）中的结论仍成立 【解答】解： （1）根据题意，得， 解得， 抛物
38、线对应的函数表达式为 yx22x3； （2）存在连接 AP，CP， 如下图所示： 在 yx22x3 中，令 x0，得 y3 令 y0，得 x22x30， x11，x23 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） 又 y（x1）24， 顶点 M（1，4） ， 容易求得直线 CM 的表达式是 yx3 在 yx3 中，令 y0，得 x3 N（3，0） ， AN2， 在 yx22x3 中，令 y3，得 x10，x22 CP2， ANCP ANCP， 四边形 ANCP 为平行四边形，此时 P（2，3） ； （3）方法一： AEF 是等腰直角三角形 理由：在 yx+3 中，令 x0，得 y3，令 y0
39、，得 x3 直线 yx+3 与坐标轴的交点是 D（0，3） ，B（3，0） ODOB， OBD45， 又点 C（0，3） ， OBOC OBC45 度， 由图知AEFABF45，AFEABE45， EAF90，且 AEAF AEF 是等腰直角三角形； 方法二： yx22x3， B（3，0） ， C（0，3） ， lBC：yx3， lBD：yx+3， KBCKBD1， EBF90， EF 为直径， EAF90， 点 E 在直线 BD 上，设 E（t，t+3） ，A（1，0） ， KAE， EAAF， KAF， A（1，0） ， lAF：yx+， lBC：yx3， xt+2，yt1， F（t+2，t1） ，E（t，t+3） ， AE2（t+1）2+（t+3）2， AF2（t+2+1）2+（t1）2（t+1）2+（t+3）2， AE2AF2， AEAF， AEF 为等腰直角三角形 （4）当点 E 是直线 yx+3 上任意一点时， （3）中的结论：AEF 是等腰直角三角形成立
